2.5.1直线与圆的位置关系课件（第一课时）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系 （第一课时） 一 二 三 学习目标 能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系,培养逻辑推理的核心素养 给定圆上或圆外一点,会求过该点的 圆的切线方程 当直线与圆相交时,会求弦长 学习目标 复习回顾 1.我们是如何判断两条直线的位置关系的？ 2.我们又是如何判断点与圆的位置关系？ （1）求二元一次方程组的解 （2）利用斜率 （3）画图像 设点到圆心的距离为d， 圆的半径为r，则： O A B C 点在圆上 d=r 点在圆外 d>r 点在圆内 d<r 新课导入 在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系．前面我们学习了直线的方程、圆的方程，以及用方程研究两条直线的位置关系、以及点与圆的位置关系． 下面我们类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆、圆与圆的位置关系． 新知探究 问题1.1 观察下列三幅图，回答直线与圆的位置关系是怎样的？它们交点有什么变化？ 位置关系 相离 相切 相交 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 交点个数 2个 1个 0个 r r r 问题1.2 上述变化过程中，除了交点个数发生了变化，还有什么量在改变？你能否用利用这种变化关系来判定直线与圆的位置关系？ ∟ d ∟ d ∟ d 利用圆心到直线的距离。 思考 类比直线与直线的位置关系代数方法，如何用直线的方程和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 下面，我们通过具体例子进行研究. 典例解析 例1 已知直线l: 3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0, 判断直线l与圆C的位置关系; 如果相交, 求直线l被圆C所截得的弦长. 思路1 将判断直线l与圆C的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长． 解1:(代数法) x O y 6 2 1 B A l C • 典例解析 例1 已知直线l: 3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0, 判断直线l与圆C的位置关系; 如果相交, 求直线l被圆C所截得的弦长. 思路2 依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；若相交，则可利用勾股定理求得弦长． x O y 6 2 1 B A d l C • 解2:(几何法) 归纳小结 判断直线与圆位置关系的方法 (1) 代数法： 在平面直角坐标系中, 要判断直线l: Ax+By+C=0与圆C: x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系, 可以联立它们的方程, 通过判断方程组 消去y(或x), 得到关于x(或y)的一元二次方程. 利用一元二次方程的判别式△的值来确定解的情况, 从而判断直线与圆位置关系： ① △＞0 ② △＝0 ③ △＜0 方程有两不等实根 方程有两个相等实根 方程无实数根 直线l与圆C相交 直线l与圆C相切 直线l与圆C相离 可通过两点坐标公式求弦长 归纳小结 判断直线与圆位置关系的方法 (1) 几何法： 根据圆的方程求得圆心坐标与半径r, 从而求得圆心到直线的距离d, 通过比较d与r的大小, 判断直线与圆的位置关系. 若相交, 则可利用勾股定理求得弦长. 已知直线l: Ax+By+C=0, 圆C: (x－a)2 + (y－b)2=r2. 设圆心C到直线l的距离为d，则有 ③ d＞r ① d＜r 直线l与圆C相交，有两个公共点； ② d＝r 直线l与圆C相切，只有一个公共点； 直线l与圆C相离，没有公共点. x y O A B d C 若直线l与圆C相交, 则弦长公式为 r 新知探究 问题2 与初中的方法比较，你认为用方程判断直线与圆的位置关系有什么优点？例1中两种解法的差异是什么？ 代数法是直接运用直线和圆的方程组成的方程组有无实数解的情况判断直线与圆的位置关系，是完全代数的方法；具有程序性、普适性. 几何法是利用图形中的相关几何量（圆心到直线的距离、圆的半径）的大小判断直线与圆的位置关系，涉及圆心到直线距离的计算。利用图形的几何性质，有助于简化计算.（数形结合） 巩固练习 课本P93 1. 判断下列各组直线l与圆C的位置关系, 如果相交, 求直线l被圆C所截得的弦长. 解:(1) 3. 判断直线2x－y＋2＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的弦长. 巩固练习 课本P93 新知探究 问题3 过圆上一点的圆的切线有几条？ 过圆外一点的圆的切线有几条？ 下面我们来研究直线与圆相切的情况. P P 我们该如何去求过一点与圆相切的直线方程？ 典例解析 例2 过点P(2, 1)作圆O: x2＋y2＝1的切线l, 求切线l的方程. 分析：容易知道，点P(2, 1)位于圆O: x2＋y2＝1外，过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方程为y-1=k(x-2)，k为斜率，由直线与圆相切可求出k的方程. • -1 x O y 1 1 2 • P(2,1) r 解1:(几何法) 解2:(代数法) 典例解析 例2 过点P(2, 1)作圆O: x2＋y2＝1的切线l, 求切线l的方程. • -1 x O y 1 1 2 • P(2,1) 变式1 过点P(1,2)作圆O: x2+y2=1的切线l, 求此切线l的方程. O P y x • 解： 由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1,得 设切线l的方程为y-2=k(x-1), ①当切线l的斜率存在时, 此时，切线l的方程为3x-4y+5=0. ②当切线l的斜率不存在时, 解得 此时直线x=1也符合题意. 典例解析 典例解析 变式2 过点P(1, )作圆O: x2+y2=4的切线l, 求此切线l的方程. 解： x O y P(1,) 过圆上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2 归纳小结 求过一点P的圆的切线方程的方法 先判断点P与圆的位置关系 若点P在圆上，切线有一条 若点P在圆外，切线有两条 1.点P(x0, y0)在圆上时: ①先求切点与圆心连线的斜率k， ②再由垂直关系得切线的斜率为 ， ③由点斜式可得切线方程 如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程 y=y0或 x=x0. 归纳小结 求过一点P的圆的切线方程的方法 2.点P(x0, y0)在圆外时: (1)几何法: 设切线方程为y-y0=k(x-x0)，由圆心到直线的距离等于半径，即d=r，可求得k，可得切线方程. (2)代数法: 设切线方程为y-y0=k(x-x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由△=0求出k，可得切线方程. 若通过上述方法只求出一个斜率k, 则说明另一条切线的斜率不存在, 此时另一条切线方程为x=x0. 做这种题要分类讨论：(答题模板) ①当切线斜率不存在时，切线方程为x=x0; ②当切线斜率存在时，设切线方程为y-y0=k(x-x0). 巩固练习 课本P93 2. 已知直线4x＋3y－35＝0与圆心在原点的圆C相切, 求圆C的方程. 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 判断直线与圆的位置关系 代数法： ① △＞0 ② △＝0 ③ △＜0 方程有两不等实根 方程有两个相等实根 方程无实数根 直线l与圆C相交 直线l与圆C相切 直线l与圆C相离 几何法： ③ d＞r ① d＜r 直线l与圆C相交，有两个公共点； ② d＝r 直线l与圆C相切，只有一个公共点； 直线l与圆C相离，没有公共点. 联立直线与圆的方程，消元得px2+qx+t=0的解的个数(△的正负) 圆心到直线的距离 $$