专题03 恒成立、有解、空集问题（7种题型专项训练）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

专题03 恒成立、有解、空集问题（7种题型专项训练） 一、一元二次不等式恒成立问题（共6小题） 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 . 2．（23-24高一上·上海黄浦·期中）设，若关于的不等式对任意的成立，则的取值范围是 ． 3．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是 ． 4．（高三上·上海徐汇·期中）若命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则实数的取值范围是 . 5．（21-22高一上·上海浦东新·期中）已知. (1)是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由； (2)设对于所有的恒成立，求实数的取值范围. 6．（24-25高一上·广东东莞·开学考试）设. (1)若对于，恒成立，求实数的取值范围； (2)若对于，恒成立，求实数的取值范围. (3)解关于的不等式. 二、一元二次不等式有解问题（共3小题） 7．（20-21高一上·上海徐汇·期中）若关于的不等式在区间(0，2]上有解，则实数的取值范围是 8．已知关于的不等式组有唯一实数解，则实数的取值集合是 . 9．（高一上·上海宝山·期中）关于的不等式的解集不为空集，则的取值范围为 . 三、分式不等式恒成立问题（共3小题） 10．（23-24高一上·上海静安·期中）已知对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 11．（21-22高一上·上海长宁·期中）已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是 . 12．（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）关于的不等式，其中. (1)解集为空集时，求实数的取值范围； (2)解集为时，求实数的取值范围. 四、绝对值不等式恒成立问题（共8小题） 13．（22-23高三上·上海嘉定·期中）设，使不等式取等号的的取值范围 . 14．（23-24高一上·上海普陀·期中）对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 15．（21-22高一上·上海长宁·期末）若对恒成立，则实数的取值范围是 . 16．（21-22高一上·上海嘉定·期中）若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围是 . 17．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知，且，若对，不等式恒成立，则的最大值为 ． 18．（20-21高一上·上海杨浦·期中）若对任意，存在实数，使得成立，则实数的最小值是 . 19．（23-24高一上·上海普陀·期中）（1）求不等式的解集； （2）已知，若的最小值为3，求实数a的值； （3）若不等式对于任意非零实数a恒成立，求实数x的取值范围． 20．（23-24高一上·上海闵行·期中）对于两个实数，，规定， (1)证明：关于的不等式解集为； (2)若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围； (3)设关于的不等式的解集为，试探究是否存在自然数，使得不等式与的解集都包含于，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值. 五、绝对值不等式恒有解集问题（共6小题） 21．（23-24高三上·上海浦东新·期中）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是 . 六、基本不等式恒成立问题（共2小题） 22．（21-22高二上·上海金山·期末）已知不等式的解集为空集，则实数的取值范围为 ． 23．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设，若对任意实数x不等式恒成立，则a的取值范围是 ． 七、基本不等式恒成立问题（共8小题） 24．（23-24高一上·上海浦东新·期中）当，，且满足时，有恒成立，则k的取值范围是 ． 25．（21-22高一上·上海嘉定·期中）对于任意实数，使恒成立，那么我们把M的最大值叫做的下确界.若实数满足且，则的下确界为 . 26.（2021·湖北襄阳·一模）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 27．（22-23高一上·上海黄浦·期中）已知，且，若恒成立，则实数的范围是 ． 28．（22-23高一上·上海嘉定·期中）已知x，y是正实数，且关于x，y的方程有解，则实数k的取值范围是 . 29．（24-25高一上·上海·开学考试）已知，是正实数，且关于，的方程有解，则实数的取值范围是 . 30．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知正实数x，y满足，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 31．（20-21高一上·上海金山·期中）已知实数满足； （1）求证：； （2）将上述不等式加以推广，把的分子改为另一个大于的自然数，使得对任意的恒成立，请加以证明； （3）从另一角度推广，自然数满足什么条件时，不等式对任意恒成立，请加以证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 恒成立、有解、空集问题（7种题型专项训练） 一、一元二次不等式恒成立问题（共6小题） 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为不等式在上恒成立，所以在上恒成立， 令，因为， 由对勾函数性质，知函数在上是严格增函数， 所以，所以. 故答案为： 2．（23-24高一上·上海黄浦·期中）设，若关于的不等式对任意的成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为关于的不等式对任意的成立， 所以对任意的成立， 令，则，则对成立， 令，，则在上递增， 所以， 所以，则的取值范围是. 故答案为： 3．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】①当，即时， 不等式为恒成立，所以满足题意； ②当时，需满足， 解得. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 4．（高三上·上海徐汇·期中）若命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】设不等式的解集为， 当时，不等式化为，存在整数使不等式成立，所以此时不满足题意，所以； 当时，原不等式化为， 因为,当且仅当即时取等号， 所以， 要使命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则需， 解得； 当时，原不等式化为， 而，当且仅当即时取等号， 所以,所以存在整数使不等式成立，所以不合题意. 综上可知，实数的取值范围是. 故答案为. 5．（21-22高一上·上海浦东新·期中）已知. (1)是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由； (2)设对于所有的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)不存在，理由见解析． (2) 【解析】（1）解：时，不等式为，不恒成立， 若存在，使得对恒成立． 则，，，但， 因此不存在，使得对恒成立． （2）问题转化为不等式在上恒成立， 所以，解得． 实数的取值范围是 6．（24-25高一上·广东东莞·开学考试）设. (1)若对于，恒成立，求实数的取值范围； (2)若对于，恒成立，求实数的取值范围. (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【解析】（1）设 则是关于的一次函数，且一次项系数为， 所以在上单调递增． 所以等价于，解得， 故实数的取值范围为. （2）要使在上恒成立， 即，， 因为当时，，则有在上恒成立， 当，令，即， 所以在上恒成立，则， 即，故实数的取值范围为. （3）由，化简得，即， 当时，，解得. 当时，对于不等式，解得， 当时，对于不等式，解得或， 当时，对于不等式，解得或， 当时，对于不等式，解得或， 综上所述：当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为. 二、一元二次不等式有解问题（共3小题） 7．（20-21高一上·上海徐汇·期中）若关于的不等式在区间(0，2]上有解，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】因为， 所以，由得， 因为关于的不等式在区间(0，2]上有解， 所以只需小于等于的最大值， 又，当且仅当时，等号成立， 所以，则， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 8．已知关于的不等式组有唯一实数解，则实数的取值集合是 . 【答案】 【解析】解：若，不等式组可化为：，不满足条件 若，则若不等式组，时，满足条件 解得： 若，则若不等式组，时，满足条件 解得： 故答案为： 9．（高一上·上海宝山·期中）关于的不等式的解集不为空集，则的取值范围为 . 【答案】或 【解析】因为关于的不等式的解集不为空集, 所以关于的不等式有解, 当时,不等式化为无解; 当时,二次函数的开口向下,关于的不等式恒有解; 当时,二次函数的开口向上, 由关于的不等式有解,可得判别式大于0, 即,化简得,解得或, 又,所以. 故实数的取值范围是或. 故答案为: 或. 三、分式不等式恒成立问题（共4小题） 10．（23-24高一上·上海静安·期中）已知对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】，移项得对任意实数恒成立， 因为恒成立， 所以，解得， 故答案为：. 11．（21-22高一上·上海长宁·期中）已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】恒成立， 不等式等价于的解集是， 当时，不成立，解集是， 当时， ，解得：， 综上：. 故答案为： 12．（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）关于的不等式，其中. (1)解集为空集时，求实数的取值范围； (2)解集为时，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）解：因为恒为正， 所以解集为空集时，恒成立， 当时，不恒成立，舍去； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是； （2）解：因为恒正，所以解集为时，恒成立， 当时，不恒成立，舍去； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 四、绝对值不等式恒成立问题（共8小题） 13．（22-23高三上·上海嘉定·期中）设，使不等式取等号的的取值范围 . 【答案】 【解析】由绝对值三角不等式知：， 当且仅当，即或时取等号， 使不等式取等号的的取值范围为. 故答案为：. 14．（23-24高一上·上海普陀·期中）对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】对于，不等式恒成立， 即的最小值大于或等于， 由绝对值的意义：表示数轴上的x对应点到和对应点的距离之和， 它的最小值为4，故，即，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 15．（21-22高一上·上海长宁·期末）若对恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】， 【解析】由得， 因为，当且仅当取等号， 所以当时，取得最小值5，又当时，取得最小值0， 所以当时，取得最小值5， 故，取的取值范围为，． 故答案为：， 16．（21-22高一上·上海嘉定·期中）若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】不等式对任意的恒成立，只需求出的最大值，由绝对值三角不等式，得：，当且仅当时等号成立，的最大值为3，故，解得： 故答案为： 17．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知，且，若对，不等式恒成立，则的最大值为 ． 【答案】1 【解析】设，对，不等式恒成立的等价条件为，又表示数轴上一点到两点的距离之和的倍，显然当时，， 则有，所以，得， 从而， 所以的最大值为1. 故答案为：1. 18．（20-21高一上·上海杨浦·期中）若对任意，存在实数，使得成立，则实数的最小值是 . 【答案】 【解析】解：因为对任意，存在实数，使得成立， 所以对任意，存在实数，使得成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以有对任意恒成立， 即对任意恒成立， 由于，当且仅当，即时等号成立； 所以，即. 所以实数的最小值是 故答案为： 19．（23-24高一上·上海普陀·期中）（1）求不等式的解集； （2）已知，若的最小值为3，求实数a的值； （3）若不等式对于任意非零实数a恒成立，求实数x的取值范围． 【答案】（1）或（2）1 （3） 【解析】（1）由题意 ， 解不等式得或， 所以不等式的解集为或. （2）由题意， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，当且仅当时，， 解得符合题意，故实数的值为1. （3）由题意不等式对于任意非零实数a恒成立， 等价于， 所以只需， 我们先来证明如下引理：，恒有， 因为， 所以， 即， 从而，等号成立当且仅当即，引理得证. 由以上引理得，即， 所以， 且注意到，等号成立当且仅当即， 因此，等号成立当且仅当， 综上所述：实数x的取值范围为. 20．（23-24高一上·上海闵行·期中）对于两个实数，，规定， (1)证明：关于的不等式解集为； (2)若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围； (3)设关于的不等式的解集为，试探究是否存在自然数，使得不等式与的解集都包含于，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或或 【解析】（1）不等式化为， 当时，，解得，又，所以； 当时，，符合题意，则； 当时，，解得，又，所以； 综上所述：，即关于的不等式解集为. （2）不等式即解集非空， 记，则， ，当等号成立. 故，解得或，故实数的取值范围. （3）由得，解得； 不等式即，也即， 当时，，解得，故； 当时，，解得，故. 综上所述：. 故. 不等式即，也即， 当时，，解得，满足条件； 当时，设， 因为，所以， 所以，解得或. 当，， 当，， 当，，，符合题意， 当，， 当，，， 当，，，符合题意. 综上，或或. 五、绝对值不等式恒有解集问题（共6小题） 21．（23-24高三上·上海浦东新·期中）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为， 关于的不等式有解， 即，所以，解得： 则实数的取值范围是. 故答案为： 六、基本不等式恒成立问题（共2小题） 22．（21-22高二上·上海金山·期末）已知不等式的解集为空集，则实数的取值范围为 ． 【答案】或. 【解析】由得，由得， 由题意得或，所以或. 故答案为：或. 23．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设，若对任意实数x不等式恒成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，原不等式可化为，而时，，不满足题意，舍去； 当时，原不等式等价于或在上恒成立. 若在上恒成立，只需，解得， 若在上恒成立， 只需，解得， 所以在上恒成立，只需，即； 因为开口向上，所以在上不恒成立， 即在上不恒成立. 综上，a的取值范围是. 故答案为：. 七、基本不等式恒成立问题（共8小题） 24．（23-24高一上·上海浦东新·期中）当，，且满足时，有恒成立，则k的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，x＞0，y＞0， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为恒成立， 所以，即k的取值范围为. 25．（21-22高一上·上海嘉定·期中）对于任意实数，使恒成立，那么我们把M的最大值叫做的下确界.若实数满足且，则的下确界为 . 【答案】 【解析】因为，且， 所以， 当且仅当时取等号，所以的下确界为：. 故答案为：. 26.（2021·湖北襄阳·一模）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】∵，，且， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为8， 由解得， ∴ 实数的取值范围是 27．（22-23高一上·上海黄浦·期中）已知，且，若恒成立，则实数的范围是 ． 【答案】 【解析】因为，且，若恒成立， 则， 又 ， 当且仅当，即，时，等号成立， ，即实数的取值范围是． 28．（22-23高一上·上海嘉定·期中）已知x，y是正实数，且关于x，y的方程有解，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【解析】由有解可化为有解， 而，当且仅当时，等号成立， 又， 所以，又， 可得， 故答案为：. 29．（24-25高一上·上海·开学考试）已知，是正实数，且关于，的方程有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因，是正实数及，可知， 可得，得，得， 因，是正实数，故，得，当且仅当时等号成立， 故，故， 故，故， 故答案为： 30．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知正实数x，y满足，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】或 【解析】因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 所以， 当时，，符合题意； 当时，，解得. 综上所述，实数的取值范围为或． 31．（20-21高一上·上海金山·期中）已知实数满足； （1）求证：； （2）将上述不等式加以推广，把的分子改为另一个大于的自然数，使得对任意的恒成立，请加以证明； （3）从另一角度推广，自然数满足什么条件时，不等式对任意恒成立，请加以证明. 【答案】（1）证明见解析；（2）2或3，证明见解析；（3），证明见解析. 【解析】（1）因为， 要证，即证， 只要证， 而，当且仅当．即或时等号成立， 所以原不等式成立； （2）由（1）恒成立，由（1）最小值为4，所以，，所以2或3； （3）类似（1）不等式恒成立，即， 而，当且仅当，即时等号成立， 所以，即． 所以当自然数满足时，不等式对任意恒成立． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$