专题01 新定义问题（5种题型专项训练）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

专题01 新定义问题（5种题型专项训练） 一、集合中的新定义运算（共6小题） 1．（20-21高一上·湖南邵阳·期中）给定集合，定义一种新运算，或，且，试用列举法写出 . 2．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）定义集合运算：且，若集合，，则集合的子集个数为 ． 3．（23-24高一上·北京延庆·阶段练习）定义集合，的一种运算“”，，若，，则集合的所有元素的和 . 4．（24-25高一上·上海静安·开学考试）已知集合满足若且，则，小张同学迅速得出3个结论：（1）；（2）集合不可能是单元素集；（3）当取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数，其中正确结论的序号为 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（    ） A．甲乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲乙都不是真命题 6．设集合是一个点集，对定义一个新运算，若集合中元素与满足，，则． (1)求； (2)已知，若“”是“对于任意，都成立”的充要条件，求． 二、新定义元素问题（共9小题） 7．（浙江省四校2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题）若数集具有性质：对任意的与中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则（    ） A．“权集”中一定有1 B．为“权集” C．为“权集” D．为“权集” 8．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）用表示非空集合中元素的个数，定义.已知，，且，设实数的所有可能取值构成集合，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）当时， 定义运算: 当时， ；当时，； 当或时，； 当时，； 当时，．在此定义下， 若集合， 则中元素的个数为 ． 10．（23-24高一上·福建龙岩·开学考试）（1）对于数集A，B，定义，，若集合，求集合中所有元素之和． （2）设A，B是R上的两个子集，对任意，定义：，. ①若，则对任意，________； ②若对任意，，则A，B的关系为________．（要求写出解题过程） 11．（22-23高一上·海南·阶段练习）已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为 （     ） A．920. B．924 C．308 D．320 12．（24-25高一上·上海·开学考试）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．则称为一个“封闭集”，以下叙述： ①若为一个“封闭集”，则； ②若为一个“封闭集”且，则； ③若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或； ④若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或． 正确的是（    ） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 13．（24-25高一上·河北秦皇岛·阶段练习）给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合. (1)判断集合是否为闭集合，并给出证明； (2)若集合A，B为闭集合，且AR，BR，求证：R. 14.对于给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A具有孪生性质，而、称为A的孪生集合． (1)判断下列集合S、T是否具有孪生性质，如果有，求出其孪生集合；如果没有，请说明理由． ①；②． (2)若集合，且集合A具有孪生性质，求t的最小值． (3)已知且，记m到100的连续自然数为集合B，即，若集合B具有孪生性质，求m的最小值． 15．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）对了给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A具有孪生性质. (1)判断集合是否具有孪生性质，请说明理由； (2)设集合且，若C具有孪生性质，求n的最小值； (3)设集合，若，求证：. 三、子集有关的新定义（共6小题） 16．（21-22高一上·上海黄浦·阶段练习）设X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X属于，属于；（2）中任意多个元素的并集属于（3）中任意多个元素的交集属于；则称是集合X上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ②； ③； ④； 其中是集合X上的拓扑的集合的序号是（    ） A．② B．①③ C．②④ D．②③ 17．（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”.①集合是“完美集”；②若是两个不同的正数，且是“完美集”，则至少有一个大于；③二元“完美集”有无穷多个；④若为正整数，则“完美集”有且只有一个，且；上列结论是真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（24-25高一上·上海·开学考试）对于正整数的子集（且），如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“平分集” (1)请你直接写出一个‘平分集’ (2)若集合（且）是‘平分集’ ①判断的奇偶性并证明 ②求：集合中元素个数的最小值 19．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． (1)求集合的生成集； (2)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； (3)若集合，的生成集为，求证． 20.（24-25高三上·浙江·开学考试）对于一个四元整数集，如果它能划分成两个不相交的二元子集和，满足，则称这个四元整数集为“有趣的”． (1)写出集合的一个“有趣的”四元子集： (2)证明：集合不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集： (3)证明：对任意正整数， 集合不能划分成个两两不相交的“有趣的”四元子集． 21．（24-25高一上·上海·开学考试）对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地减或加后继的元素所得的结果，例如，子集的“交替和”是，子集的“交替和”是，子集的交替和是2；定义一个唯一确定的“交替积”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地除以或乘以后继的数所得的结果，例如，集合的“交替积”是，的“交替积”是，的“交替积”是2． (1)对于，求其所有子集的“交替和”的总和； (2)对于，求其所有子集的“交替和”的总和； (3)对于求其所有子集的“交替积”的总和． 四、不等式有关的新定义（共3小题） 22．（22-23高一上·四川内江·阶段练习）定义新运算“”，满足对任意的，有．若对，恒成立，则实数m的取值范围是 ． 23．（24-25高一上·湖南株洲·开学考试）对､定义一种新运算“”，规定：（其中､均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：． (1)已知． ①求的值； ②若关于x的不等式组有且只有一个整数解，试求字母的取值范围． (2)若运算“”满足加法的交换律，即对于我们所学过的任意数，结论“”都成立，试探索a､b所应满足的关系式． 24．（24-25高一上·河南·阶段练习）若任意满足（），都有不等式恒成立，则称该不等式为“不等式” (1)已知不等式为“不等式”，求m的取值范围； (2)判断不等式是否为“不等式”，并说明理由； (3)若，，，证明：不等式是“不等式”. 五、其它的新定义（共6小题） 25．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）已知有限集，若，则称为“完全集”. (1)判断集合是否为“完全集”，并说明理由； (2)若为“完全集”，且，用列举法表示集合（不需要说明理由）； (3)若集合为“完全集”，且均大于0，证明：中至少有一个大于2. 26．（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）已知集合，若对任意，都有或，则称集合具有“包容”性. (1)判断集合和集合是否具有“包容”性； (2)若集合具有“包容”性，求的值； (3)若集合具有“包容”性，且集合中的元素共有6个，，试确定集合. 27．（22-23高一上·海南·阶段练习）对于任意的，记集合，，若集合满足下列条件：①；②，且，不存在，使，则称具有性质.如当时，，，，且，不存在，使，所以具有性质. (1)写出集合，中的元素个数，并判断是否具有性质. (2)证明：不存在具有性质，且，使. 28．（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）已知集合，若对任意的整数和中至少有一个是集合的元素，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，并说明理由. (2)若集合具有性质，证明：，且. (3)当时，若集合具有性质，且，求集合. 29．（24-25高一上·上海·开学考试）已知集合具有性质：对任意，与至少一个属于. (1)分别判断集合与是否具有性质P，并说明理由； (2)具有性质P，当时，求：集合A； (3)当时，请直接写出的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 新定义问题（5种题型专项训练） 一、集合中的新定义运算（共6小题） 1．（20-21高一上·湖南邵阳·期中）给定集合，定义一种新运算，或，且，试用列举法写出 . 【答案】/ 【解析】, 所以. 故答案为： 2．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）定义集合运算：且，若集合，，则集合的子集个数为 ． 【答案】4 【解析】集合，， 由的定义可得，， 所以子集有，，，，共4个． 故答案为：4． 3．（23-24高一上·北京延庆·阶段练习）定义集合，的一种运算“”，，若，，则集合的所有元素的和 . 【答案】 【解析】∵， ， ∴， ∴所有元素之和. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海静安·开学考试）已知集合满足若且，则，小张同学迅速得出3个结论：（1）；（2）集合不可能是单元素集；（3）当取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数，其中正确结论的序号为 【答案】（1）（3） 【解析】若 ，则0不能作为分母，故，故（1）正确； 当时时，，所以为单元素集，故（2）错误； 当时时，，所以集合一定包含， 当取其他整数时，则其倒数必在集合中， 所以当取遍可以取的所有数时，集合的元素一定为偶数，故（3）正确. 故答案为：（1）（3）. 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（    ） A．甲乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲乙都不是真命题 【答案】B 【解析】对于甲， ，故命题甲正确； 对于乙，如图所示： 所以，，故命题乙不正确. 故选：. 6．设集合是一个点集，对定义一个新运算，若集合中元素与满足，，则． (1)求； (2)已知，若“”是“对于任意，都成立”的充要条件，求． 【答案】(1)(2)． 【解析】（1） （2）必要性： 若，设， 则，即为， 即则， 若，则； 若，则，． 充分性： 若，则满足的只能是，不符合任意性； 若，此时，即为恒成立． 综上，． 二、新定义元素问题（共9小题） 7．（浙江省四校2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题）若数集具有性质：对任意的与中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则（    ） A．“权集”中一定有1 B．为“权集” C．为“权集” D．为“权集” 【答案】B 【解析】因为，，都属于数集,是“权集”， 所以“权集”中不一定有1，所以A错误； 因为都属于数集，为“权集”，所以B正确； 因为与均不属于数集，不为“权集”，所以C错误； 因为与均不属于数集，不为“权集”，所以D错误； 故选：B. 8．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）用表示非空集合中元素的个数，定义.已知，，且，设实数的所有可能取值构成集合，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】由题意知，， ∵，， ∴或， 即方程有1个根或3个根， 若，则或， 若，则或， 当时，，，符合题意； 当时，对应的根为和， 若，则有以下两种情况， 当有两个相等的实数根时， ，解得， 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当有两个不相等的实数根时， 则是的一个根，即，无解； 综上所述，； 故， 故选：B. 9．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）当时， 定义运算: 当时， ；当时，； 当或时，； 当时，； 当时，．在此定义下， 若集合， 则中元素的个数为 ． 【答案】14 【解析】①当时，，所以或或； ②当时，，所以或或； ③当或时，， 所以或或或或或； ④当时，； ⑤当时，． 所以， ，共14个元素． 故答案为：14. 10．（23-24高一上·福建龙岩·开学考试）（1）对于数集A，B，定义，，若集合，求集合中所有元素之和． （2）设A，B是R上的两个子集，对任意，定义：，. ①若，则对任意，________； ②若对任意，，则A，B的关系为________．（要求写出解题过程） 【答案】（1）；（2）①0；②. 【解析】（1）由及，得， 由，得， 所以集合中所有元素之和为. （2）①由，得或， 当时，，； 当时，必有，则，， 所以. ②对任意，，则的值一个为0，另一个为1， 则且，或且，于是，且， 因此集合的关系为. 11．（22-23高一上·海南·阶段练习）已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为 （     ） A．920. B．924 C．308 D．320 【答案】D 【解析】的子集个数有个，其中每个元素均出现次， 故元素在集合的所有非空子集中分别出现了次， 则对的所有非空子集中，元素执行乘以再求和操作， 则这些和的总和为 . 故选：D 12．（24-25高一上·上海·开学考试）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．则称为一个“封闭集”，以下叙述： ①若为一个“封闭集”，则； ②若为一个“封闭集”且，则； ③若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或； ④若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或． 正确的是（    ） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【解析】对于①，因为为一个“封闭集”，由定义可知则，那么,正确； 对于②，因为为一个“封闭集，，所以，所以，正确； 对于③，,，都是封闭集，显然或不成立，错误 对于④，充分性：都是“封闭集”，若或，易知是“封闭集”， 必要性：若是“封闭集”，令, 假设且． 则存在,,同时, 因为是“封闭集”， 所以,，分两类情况讨论 若,又则所以，这与假设矛盾； 若,又则所以，这与假设矛盾； 故假设不成立，原结论是“封闭集”则或．必要性成立，故正确； 故选：D 13．（24-25高一上·河北秦皇岛·阶段练习）给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合. (1)判断集合是否为闭集合，并给出证明； (2)若集合A，B为闭集合，且AR，BR，求证：R. 【答案】(1)不是闭集合，是闭集合，理由见解析 (2)证明过程见解析 【解析】（1）不是闭集合，是闭集合，理由如下： ，但，故不是闭集合， ，任取，设，其中， 则，， 故是闭集合； （2）反证法，假设， 因为AR，所以存在且，故， 同理可得，存在且，故， 因为，所以或， 若，则为闭集合，故，与矛盾， 若，则为闭集合，故，与矛盾， 综上，存在，使得， 故假设不成立，R. 14.对于给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A具有孪生性质，而、称为A的孪生集合． (1)判断下列集合S、T是否具有孪生性质，如果有，求出其孪生集合；如果没有，请说明理由． ①；②． (2)若集合，且集合A具有孪生性质，求t的最小值． (3)已知且，记m到100的连续自然数为集合B，即，若集合B具有孪生性质，求m的最小值． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3). 【解析】（1）对集合，，， ，所以具有孪生性质，且孪生集合为，； 对集合，，，， 所以，不具有孪生性质． （2），于是2、3、4、、、， 0、1、、， 因为，所以，，又，． （3）， 因为，所以，解得，又，故． 15．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）对了给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A具有孪生性质. (1)判断集合是否具有孪生性质，请说明理由； (2)设集合且，若C具有孪生性质，求n的最小值； (3)设集合，若，求证：. 【答案】(1)不具有孪生性质，具有孪生性质； (2)675 (3)证明见解析． 【解析】（1）由题意，，，， ,, 所以不具有孪生性质，具有孪生性质； （2）由题意，， ，则，， 又，所以的最小值是675； （3）， 则都属于集合， 又，则， 又，所以，所以， 三、子集有关的新定义（共6小题） 16．（21-22高一上·上海黄浦·阶段练习）设X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X属于，属于；（2）中任意多个元素的并集属于（3）中任意多个元素的交集属于；则称是集合X上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ②； ③； ④； 其中是集合X上的拓扑的集合的序号是（    ） A．② B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】D 【解析】①，而，故①不是集合X上的拓扑的集合； ②，满足：①X属于，属于； ②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于， 因此②是集合X上的拓扑的集合； ③，满足：①X属于，属于； ②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于， 因此③是集合X上的拓扑的集合； ④，而，故④不是集合X上的拓扑的集合； 综上得，是集合X上的拓扑的集合的序号是②③. 故答案为：D. 17．（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”.①集合是“完美集”；②若是两个不同的正数，且是“完美集”，则至少有一个大于；③二元“完美集”有无穷多个；④若为正整数，则“完美集”有且只有一个，且；上列结论是真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】对于①中，，， 集合是“完美集”，所以①正确； 对于②中，若、是两个不同的正数，且是“完美集”， 设， 根据根和系数的关系知，和相当于的两根， 由，解得或（舍去），所以，又均为正数， 所以、至少有一个大于2，所以②正确； 对于③中，由②知，一元二次方程，当t取不同的值时，的值是不同的， 所以二元“完美集”有无穷多个，所以③正确； 对于④，不妨设A中， 由，得， 当时，即有，所以，于是，无解， 即不存在满足条件的“完美集”； 当时，，故只能，，求得， 于是“完美集”A只有一个，为． 当时，由，即有， 事实上，，矛盾， 所以当时不存在完美集，所以④正确. 故选：D. 18．（24-25高一上·上海·开学考试）对于正整数的子集（且），如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“平分集” (1)请你直接写出一个‘平分集’ (2)若集合（且）是‘平分集’ ①判断的奇偶性并证明 ②求：集合中元素个数的最小值 【答案】(1) (2)①为奇数，证明见解析 ②最小值为7 【解析】（1）; （2）①设中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 故的奇偶性相同, 如果为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数. 如果为偶数，则均为偶数，此时设，则也是“平分集”. 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“平分集”. 此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数. 综上所述，集合中元素个数为奇数. ②由①知若集合A是平分集，并且集合A中元素个数为奇数， 当时，显然任意集合不是“平分集”. 当时，不妨设，若集合A为平分集， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有①，或者②； 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有③，或者④. 由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾； 由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾. 因此当时，集合一定不是“平分集”； 当，设集合， 去掉1后，， 去掉3后，， 去掉5后，， 去掉7后，， 去掉9后，， 去掉11后，， 去掉13后，， 故集合是平分集， 所以，集合A中元素个数, 中元素个数最小值为7. 19．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． (1)求集合的生成集； (2)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； (3)若集合，的生成集为，求证． 【答案】(1) (2)或或 (3)证明见解析 【解析】（1）由题可知： ①当时，， ②当时，， ③当，或时，， 所以． （2）①当时，， ②当时，， ③当，或，时，， 的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或或， 解得或或（舍去）． （3）证明：，， ， ， ，即， ，又，所以， 综上可得． 20.（24-25高三上·浙江·开学考试）对于一个四元整数集，如果它能划分成两个不相交的二元子集和，满足，则称这个四元整数集为“有趣的”． (1)写出集合的一个“有趣的”四元子集： (2)证明：集合不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集： (3)证明：对任意正整数， 集合不能划分成个两两不相交的“有趣的”四元子集． 【答案】(1)（符合要求即可） (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）（符合要求即可）： （2）假设可以划分， 和一定是一个奇数一个偶数， 中至多两个偶数. 则对于的一种符合要求的划分和 每个四元子集中均有两个偶数． 若两个集合分别为和 则或，不存在使得符合要求： 若两个集合分别为和 则或，不存在使得符合要求： 若两个集合分别为和 则或，不存在使得符合要求； 综上所述，不能划分为两个不相交的“有趣的”四元子集， （3）假设可以划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集． 每个子集中至多两个偶数，又中恰有个偶数， 每个子集中均有两个偶数， 对于， 可设其中是偶数，为奇数， 再由奇偶性，只能是． 且 矛盾． 不能划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集． 21．（24-25高一上·上海·开学考试）对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地减或加后继的元素所得的结果，例如，子集的“交替和”是，子集的“交替和”是，子集的交替和是2；定义一个唯一确定的“交替积”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地除以或乘以后继的数所得的结果，例如，集合的“交替积”是，的“交替积”是，的“交替积”是2． (1)对于，求其所有子集的“交替和”的总和； (2)对于，求其所有子集的“交替和”的总和； (3)对于求其所有子集的“交替积”的总和． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）集合的子集中，除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“交替和”之和， 组合原则是设，，集合的元素为集合中去掉9的所有元素，把和结合为一组，显然，每组的“交替和”的和为9，共有组，所以，所有“交替和”之和应该为 （2）集合的子集中，除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“交替和”之和， 组合原则是设，，集合的元素为集合中去掉的所有元素，把和结合为一组，显然，每组的“交替和”的和为，共有组，所以，所有“交替和”之和应该为； （3）集合， 其中除去外还有个非空子集， 把这把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“交替积”之积， 组合原则是设，，集合的元素为集合中去掉的所有元素，把和结合为一组，显然，每组的“交替积”的和为0，共有组，所以，所有“交替积”之和应该为. 四、不等式有关的新定义（共3小题） 22．（22-23高一上·四川内江·阶段练习）定义新运算“”，满足对任意的，有．若对，恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由得，，化简得对恒成立， 当时，成立； 当时，满足 ，即； 故实数m的取值范围是. 故答案为：. 23．（24-25高一上·湖南株洲·开学考试）对､定义一种新运算“”，规定：（其中､均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：． (1)已知． ①求的值； ②若关于x的不等式组有且只有一个整数解，试求字母的取值范围． (2)若运算“”满足加法的交换律，即对于我们所学过的任意数，结论“”都成立，试探索a､b所应满足的关系式． 【答案】(1)①；②； (2) 【解析】（1）①， ∴ 解得：； ②∵ ∴ 即， 解得： 关于x的不等式组有且只有一个整数解， ， 解得：， 即字母t的取值范围是； （2）， ， ， ， ， 为任意数， 不一定等于0， ， 即所应满足的关系式是． 24．（24-25高一上·河南·阶段练习）若任意满足（），都有不等式恒成立，则称该不等式为“不等式” (1)已知不等式为“不等式”，求m的取值范围； (2)判断不等式是否为“不等式”，并说明理由； (3)若，，，证明：不等式是“不等式”. 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）由及，得. 因为，所以. （2）不是“不等式”. 理由如下： （方法一）二次函数图象的对称轴为直线， 当时，二次函数取得最小值，且最小值为， 所以不是“不等式”. （方法二）由，得， 解得. 因为，所以对不恒成立， 所以不是“不等式”. （3）证明：由题意得， ①当时，，则，符合题意. ②当时，，研究二次函数的图象， 该二次函数图象的对称轴为直线， 则当时，二次函数取得最小值，且最小值为，符合题意. ③当时，，由二次函数的图象可知， 当或时，二次函数取得最小值， 当时，； 当时，. 故是“不等式”. 五、其它的新定义（共6小题） 25．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）已知有限集，若，则称为“完全集”. (1)判断集合是否为“完全集”，并说明理由； (2)若为“完全集”，且，用列举法表示集合（不需要说明理由）； (3)若集合为“完全集”，且均大于0，证明：中至少有一个大于2. 【答案】(1)是“完全集”，理由见解析； (2)； (3)证明见解析； 【解析】（1）集合，由完全集的定义： ，， 所以集合为“完全集”. （2）不妨设，由于， 所以，当时，即有，又为正整数，所以， 于是，则无解，即不存在满足条件的“完全集”； 当时，，故只能，求得， 于是“完全集”只有一个，为； 当时，由， 即有，而， 又， 因此，故矛盾， 所以当时不存在“完全集”， 综上：“完全集”为. （3）证明：若是两个不同的正数，且是完全集， 设，根据根和系数的关系知，相当于的两个根， 由，解得或（舍）， 所以，又因为都是正数，若都不大于2，，矛盾， 所以中至少有一个大于2. 26．（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）已知集合，若对任意，都有或，则称集合具有“包容”性. (1)判断集合和集合是否具有“包容”性； (2)若集合具有“包容”性，求的值； (3)若集合具有“包容”性，且集合中的元素共有6个，，试确定集合. 【答案】(1)集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性. (2) (3)，，，或. 【解析】（1）集合中的， 所以集合不具有“包容”性. 集合中的任何两个相同或不同的元素相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有“包容”性. （2）若集合具有“包容”性，记，则， 易得，从而必有， 不妨令，则且， 则，且， ①当时，若，得，此时具有包容性； 若，得，舍去；若，无解； ②当时，则，由且，可知无解， 故. 综上，. （3）因为集合中共有6个元素，且，又，且中既有正数也有负数， 不妨设， 其中， 根据题意， 且， 所以，或. ①当时，， 并且由，得， 由，得， 由上可得，并且， 综上可知； ②当时，同理可得. 综上，中有6个元素，且时，符合条件的集合有5个， 分别是，或. 27．（22-23高一上·海南·阶段练习）对于任意的，记集合，，若集合满足下列条件：①；②，且，不存在，使，则称具有性质.如当时，，，，且，不存在，使，所以具有性质. (1)写出集合，中的元素个数，并判断是否具有性质. (2)证明：不存在具有性质，且，使. 【答案】(1)集合中的元素个数分别为9，14；不具有性质 (2)证明见解析 【解析】（1）对于任意的，记集合． 当时，，； 当时，，， 集合，中的元素个数分别为9，14， 满足下列条件：①；②，且，不存在， 使，则称具有性质， 因为，，，不符合题意，不具有性质． （2）假设存在，具有性质，且，使，其中． 因为，所以，不妨设， 因为，所以． 同理．因为，这与具有性质矛盾． 所以假设不成立，即不存在，具有性质，且，使． 28．（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）已知集合，若对任意的整数和中至少有一个是集合的元素，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，并说明理由. (2)若集合具有性质，证明：，且. (3)当时，若集合具有性质，且，求集合. 【答案】(1)集合具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3). 【解析】（1）因为都是集合的元素， 且时，也是集合A的元素， 所以集合具有性质. （2）令 因为集合具有性质，所以和中至少有一个是集合的元素. 因为，所以，所以不是集合的元素， 所以是集合的元素，即0是集合的元素. 因为. 因为，所以， 所以，显然有，得证. （3）由（2）可知，则， 即， 所以，所以. 因为，所以，且， 则或. 当时，， 故集合； 当时，， 故集合，此时，不符合题意. 综上，集合. 29．（24-25高一上·上海·开学考试）已知集合具有性质：对任意，与至少一个属于. (1)分别判断集合与是否具有性质P，并说明理由； (2)具有性质P，当时，求：集合A； (3)当时，请直接写出的值. 【答案】(1)集合C具有性质P，集合D不具有性质P，理由见解析 (2) (3) 【难度】0.4 【分析】（1）对于集合中，结合性质，逐项判定，可得证得具有性质；对于集合，集合且，证得集合不具备性质. （2）根据题，求得，再由，得到，结合集合元素的互异性得到，求得，即可求解； （3）根据题意，求得，且，进而求得，得到，即可求解. 【解析】（1）解：对于集合中， 由， 所以集合具有性质； 对于集合中，因为，， 所以集合不具备性质. （2）解：因为且集合具备性质， 又由，所以，，所以， 又因为，所以，则， 根据集合元素的互异性知，， 因为，所以， 所以集合. （3）解：因为集合具有性质： 由，则，所以， 又因为，所以， 因为，所以，则， 所以， 可得， 即， 所以， 当时，可得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$