期中真题必刷易错60题（28个考点专练）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

期中真题必刷易错60题（28个考点专练） 一、集合的表示方法（共1小题） 1 .（23-24高一上·上海长宁·期中）用列举法表示集合 . 2、 元素与集合（共4小题） 2．（23-24高一上·上海闵行·期中）下列写法中，正确的有 ①；②；③；④. 3．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若集合有且仅有一个元素，则实数 ． 4．（23-24高一上·上海浦东新·期中）非空集合具有下列性质：①若，，则；②若，，则，下列判断一定成立的序号是 . （1）    （2）    （3）若，，则    （4）若，、则 5．（2022-2023上海·期中）用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则 （    ） A． B． C． D． 三、子集问题（共2小题） 6．（高一上·上海浦东新·期中）已知集合A，，若A不是的子集，则下列命题中正确的是（    ） A．对任意的，都有 B．对任意的，都有 C．存在，满足，且 D．存在，满足，且 7．（23-24高一上·上海杨浦·期中）满足的集合有 个. 四、集合的运算（共3小题） 8．（23-24高一上·上海普陀·期中）若集合满足，则一定有（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·上海普陀·期中）设集合，集合，则 . 10．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知集合，则 ． 五、由集合的运算求参数（共4小题） 11．（23-24高一上·上海·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 12．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合，且，则的值为 . 13．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合满足则实数的值为 ． 14．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，且满足，求实数可能取的一切值． 六、韦恩图（共1小题） 15．（23-24高一上·上海浦东新·期中）如图，U是全集，M、P、S是U的子集，则阴影部分表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 七、充分必要条件（共4小题） 16．（24-25高一上·上海·期中）已知，，，，，均为非零实数，不等式和的解集分别为集合M和N，且，．那么“”是“”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 17．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设、，则“，”是“”的 条件.（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”或“既非充分也非必要”） 18．（23-24高一上·上海嘉定·月考）“”的一个必要非充分条件是 . 19．（21-22高一上·上海普陀·期中）已知“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是 . 八、反证法（共2小题） 20．（24-25高一上·上海·期中）设. (1)求证：； (2)若，求证：中至少有一个数是奇数. 21．（22-23高一上·上海静安·期中）若，用反证法证明：和中至少有一个小于2． 九、不等式的性质（共2小题） 22．（23-24高一上·上海静安·月考）已知，则下列命题为真命题的序号是 . ①若，则； ②若 且，则；③若，则 ；④若，则 . 23．已知，，则的取值范围为 . 十、代数式比大小（共1小题） 24．（24-25高一上·上海）已知a，，记，，则M与N的大小关系是 ． 十一、韦达定理（共1小题） 25．（23-24高一上·上海徐汇月考）设，是方程的两个实数根，则 ． 十二、不等式的解法（共1小题） 26．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 . 十三、一元二次不等式的解法（共1题） 27．（23-24高一上·上海嘉定·期中）设集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 十四、含参数的一元二次不等式（共5小题） 28．（23-24高一上·上海杨浦·期中）解关于的不等式：. 29．（24-25高三上·上海嘉定·月考）若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为 . 30.（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围为 ． 31．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知，关于x的不等式组没有实数解，求实数a的取值范围． 32．（23-24高一上·上海·期中）已知关于的不等式：． (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求不等式的解集； (3)命题若二次不等式的解集为空集，命题对任意实数都成立，若中至少有一个真命题，求实数的取值范围． 十五、分式不等式的解法（共2小题） 33．（24-25高一·上海）不等式组的解集为 ． 34．（23-24高一上·上海静安·期中）解不等式组 十六、绝对值不等式的解法（共3小题） 35．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 36．（24-25高二上·上海·开学考试）不等式的解集为 . 37．（24-25高一上·上海·）不等式的解集为 ． 十七、绝对值不等式的运用（共2小题） 38．（23-24高三上·上海·期中）2023年“国际进口博览会”即将在上海举行，现要在场馆入口布置一个大型立体花卉景观，景观的框架由中空钢管搭建的而成，外型是由若干个小正方体叠加而成的大正方体，已知搭建此立体花卉景观的脚手架钢管安装呈现东-西、南-北、上-下的网络状，每三根钢管相交处需要焊接，这些焊接点（小正方体的顶点）称为格点，相邻焊接点之间的距离都为1米（即每个小正方体的棱长都为1米），若以互相垂直的三条钢管为轴建立空间直角坐标系，现要在一个格点处接入水源，并在下述6个格点：，，，，，处安装喷淋，使6处喷淋与水源接入口所排水管的总长度最小，则此时水管总长度的最小值为 米（水管必须在连通的钢管内部穿行，不计各接头处的水管损耗）． 39．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知对于实数x，y，满足，，则的最大值为 ． 十八、基本不等式证明（共1小题） 40．（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 十九、基本不等式求最值（共1小题） 41.（23-24高一上·上海静安·期中）（1）已知正实数，满足，求 的最小值，并求出此时，的值. 二十、基本不等式的应用（共1小题） 42．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知某公司生产某款产品的年固定成本为30万元，每万件产品还需另外投入16万元，设该公司一年内共生产万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为万元，且已知. (1)求一年的总利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式： (2)已知某年的年产量超过40万件，当年产量为多少万件时，公司在该款产品的生产中所获得的总利润最大?并求出最大总利润.（总利润=总销售收入-固定成本-额外投入） 二十一、幂与指数的运算（共2小题） 43．化简： ．（，） 44． ． 二十二、对数与对数运算（共4小题） 45．（21-22高一上·上海虹口·期中）（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 46．（21-22高一上·上海普陀·期中）设实数a，b，c为正数，且满足，，，求实数a，b，c的值． 47.（23-24高一上·上海虹口·期中）（1）设，且．求的值； （2）已知，，用及表示． 48．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知． (1)求的值； (2)用m表示． 二十三、对数运算的应用（共1小题） 49.（23-24高一上·上海青浦·期中）在自由声场（开阔空间）条件下，点声源的声波遵循球面发散规律，在与声源距离为（单位：m）处，声音强度的衰减量 （单位:dB）. 若在位置的声源的强度为(单位: dB),与声源距离为(单位：m)的位置的声音强度为(单位: dB),则, (1)有两个距离某一声源分别为20m和50m的声音探测仪和，它们的读数相差多少分贝?（结果精确到1dB） (2)已知某单一声源、两个声音探测仪与，依次在同一条直线上，与间的距离为400m. 假设两个探测仪的读数分别为61.05dB和47.07dB，试求声源与探测仪的距离（结果精确到1m）以及声源处的声音强度（结果精确到1dB）.参考数据：， 二十四、指对数方程（共1小题） 50．（20-21高一上·上海奉贤·期中）我们知道当时，对一切恒成立，学生小贤在进一步研究指数幂运算时，发现有这么一个等式，带着好奇，他进一步对进行深入研究. （1）当时，求的值 （2）当时，求证：是不存在的； （3）求证：只有一对正整数对使得等式成立. 二十五、幂函数的解析式（共2小题） 51．（23-24高一上·上海·期中）已知幂函数的图像经过点，则实数的值为 ． 52．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知幂函数，则实数m的值为 ． 二十六、幂函数的图像与性质（共4小题） 53．（22-23高一上·上海静安·期中）已知函数是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则 ． 54．（20-21高一上·上海虹口·期中）直线，，及幂函数将直角坐标系第一象限分为8个部分（如图所示），那么幂函数的图像在第一象限中经过（    ） A．③⑦ B．③⑧ C．④⑦ D．①⑤ 55．（20-21高一上·上海金山·期中）若幂函数的定义域为． （1）求实数的值； （2）作出此幂函数的大致图象． 56.（23-24高一上·上海奉贤·期中）下列幂函数在区间上是严格增函数，且图像关于原点成中心对称的有 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④ 二十七、利用幂函数性质比大小（共1小题） 57.（19-20高一上·上海浦东新·期末）如果，那么下列不等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 二十八、利用幂函数性质解不等式 58．（22-23高一上·上海静安·期中）已知幂函数，且，则的取值范围是 ． 59．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知幂函数在上为严格减函数. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 60．（22-23高一上·上海杨浦·期中）已知是幂函数， (1)若函数过定点，求函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷易错60题（28个考点专练） 一、集合的表示方法（共1小题） 1 .（23-24高一上·上海长宁·期中）用列举法表示集合 . 【答案】 【解析】因为，且，所以为6的正因数， 所以，或2，或3，或6， 所以， 故答案为： 2、 元素与集合（共4小题） 2．（23-24高一上·上海闵行·期中）下列写法中，正确的有 ①；②；③；④. 【答案】① 【解析】空集是任何非空集合的真子集，故①正确，②错误，，故③错误，空集是不含任何元素的集合，故④错误. 故答案为：①. 3．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若集合有且仅有一个元素，则实数 ． 【答案】0或 【解析】当时，，符合题意； 当时，，即， 综上所述，或. 故答案为：0或. 4．（23-24高一上·上海浦东新·期中）非空集合具有下列性质：①若，，则；②若，，则，下列判断一定成立的序号是 . （1）    （2）    （3）若，，则    （4）若，、则 【答案】（1）（2）（4） 【解析】假设，则令， 则，， 令，， 则，， 令，， 不存在，即，矛盾， 所以，（1）对； 由题知，， 则，， ， ，（2）对； 因为， 若， 则，（3）错； 因为，， 所以， 又，，（4）对. 故答案为：（1）（2）（4） 5．（2022-2023上海·期中）用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知得，因为，所以或． 当时，若要满足题意，则有一个实根，即， 此时没有实根，所以符合题意； 当时，若要满足题意，有两个不等实根， 则有两个相等且异于上面两个根的实根，即且，所以， 此时的三个根为，符合题意． 综上，或，故． 故选：B． 三、子集问题（共2小题） 6．（高一上·上海浦东新·期中）已知集合A，，若A不是的子集，则下列命题中正确的是（    ） A．对任意的，都有 B．对任意的，都有 C．存在，满足，且 D．存在，满足，且 【答案】C 【解析】对于选项A、B：例如，满足A不是的子集， 但，故A错误；，故B错误； 对于选项C：对任意的，都有，则， 若A不是的子集，则存在，满足，且，故C正确； 对于选项D：例如，满足A不是的子集， 但不存在，满足，且，故D错误； 故选：C. 7．（23-24高一上·上海杨浦·期中）满足的集合有 个. 【答案】7 【解析】因为，则集合可以是集合与集合的非空子集的并集， 而集合的非空子集的个数为， 所以集合有7个. 故答案为：7 四、集合的运算（共3小题） 8．（23-24高一上·上海普陀·期中）若集合满足，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若集合满足，则集合P中元素全部在集合M内 有，但不一定是，一定有. 故选：C 9．（23-24高二上·上海普陀·期中）设集合，集合，则 . 【答案】 【解析】，， 故 故答案为： 10．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知集合，则 ． 【答案】 【解析】因为， ， 所以. 故答案为：. 五、由集合的运算求参数（共4小题） 11．（23-24高一上·上海·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】，又 所以 故答案为： 12．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合，且，则的值为 . 【答案】 【解析】由题意可知：方程均有根， 设方程的根为，方程的根为， 可知，且且， 分析可知：方程的根为，方程的根为， 即，满足，符合题意， 可得，解得，所以. 故答案为：. 13．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合满足则实数的值为 ． 【答案】1或或0 【解析】因为，所以或或， 若，解得或，当时出现两个1，矛盾；当时符合要求； 若，解得或，经验证都符合要求； 若，解得或者，由上知不符合，经验证时符合， 所以或或或 故答案为：1或或0 14．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，且满足，求实数可能取的一切值． 【答案】 【解析】， 可能为，，. 当时，无解，故，满足， 当时，则，解得， 当时，则，解得. 综上，实数的取值为. 六、韦恩图（共1小题） 15．（23-24高一上·上海浦东新·期中）如图，U是全集，M、P、S是U的子集，则阴影部分表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项，表示的为④，错误； B选项，表示的为③④⑤⑥⑦，错误； C选项，表示的为⑤，正确； D选项，表示的为①②③④⑧，错误. 故选：C 七、充分必要条件（共4小题） 16．（24-25高一上·上海·期中）已知，，，，，均为非零实数，不等式和的解集分别为集合M和N，且，．那么“”是“”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】解：因为，， 所以， 当时，等价于， 所以不成立，故不充分； 当时，，故必要， 故选：B． 17．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设、，则“，”是“”的 条件.（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”或“既非充分也非必要”） 【答案】充分非必要 【解析】当且时，由不等式的基本性质可得， 则“，”“”； 当时，取，，则“，” “”. 所以，“，”是“”的充分非必要条件. 故答案为：充分非必要. 18．（23-24高一上·上海嘉定·月考）“”的一个必要非充分条件是 . 【答案】（答案不唯一） 【解析】设，的必要非充分条件构成集合，则， 所以集合可以是. 故答案为：（答案不唯一）. 19．（21-22高一上·上海普陀·期中）已知“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】解得，解得. 由必要非充分条件的取值范围包含关系可得包含，故且，解得. 故答案为： 八、反证法（共2小题） 20．（24-25高一上·上海·期中）设. (1)求证：； (2)若，求证：中至少有一个数是奇数. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）假设，则， 与矛盾，则假设不成立，故. （2）假设中都是偶数， 则， 两式相加并整理，得， 与矛盾，故假设不成立， 则中至少有一个数是奇数. 21．（22-23高一上·上海静安·期中）若，用反证法证明：和中至少有一个小于2． 【答案】证明见解析 【解析】证明：假设，都不小于2，则 因为a＞0，b＞0，所以1＋b≥2a,1＋a≥2b, 则1＋1＋a＋b≥2（a＋b） 即2≥a＋b,这与已知a＋b＞2相矛盾，故假设不成立 综上，中至少有一个小于2． 九、不等式的性质（共2小题） 22．（23-24高一上·上海静安·月考）已知，则下列命题为真命题的序号是 . ①若，则； ②若 且，则；③若，则 ；④若，则 . 【答案】①②③ 【解析】对于①，由于，故，则；正确， 对于②，由可得，又，所以，故正确； 对于③，由于， 又，所以， 故，则，正确， 对于④，， 由于，则， 故，因此，故④错误， 故答案为：①②③ 23．已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】解：设， 所以，解得， 因为，， 则， 因此，. 故答案为：. 十、代数式比大小（共1小题） 24．（24-25高一上·上海）已知a，，记，，则M与N的大小关系是 ． 【答案】 【解析】因为，且a，， 所以． 故答案为：. 十一、韦达定理（共1小题） 25．（23-24高一上·上海徐汇月考）设，是方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【解析】由题设且， 所以. 故答案为： 十二、不等式的解法（共1小题） 26．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 . 【答案】 【解析】不等式中，，解得， 当时，原不等式为恒成立， 所以不等式的解集是. 故答案为： 十三、一元二次不等式的解法（共1题） 27．（23-24高一上·上海嘉定·期中）设集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）， 由，可得， 当时，得，解得. 综上，得实数的取值范围是. （2） ， ①当时，得，解得. ②当时，或，解得或. 综上，得实数的取值范围是. 十四、含参数的一元二次不等式（共5小题） 28．（23-24高一上·上海杨浦·期中）解关于的不等式：. 【答案】答案见解析 【解析】 对于不等式，. 当时，即当时，不等式的解集为； 当时，即当或时，解不等式可得或， 此时，不等式的解集为或. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当当或时，不等式的解集为或. 29．（24-25高三上·上海嘉定·月考）若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】命题“对任意的，都有”为假命题， 则“存在，”为真命题， 当时，满足； 当时，满足； 当时，需，解得； 综上：. 故答案为： 30.（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】满足，即， 满足，即 ． 因为是的充分条件， 所以，即． 则实数的取值范围为. 故答案为：. 31．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知，关于x的不等式组没有实数解，求实数a的取值范围． 【答案】 【解析】因为，所以，故不等式解集为， 又因为，即且，故不等式解集为， 因为不等式组没有实数解，所以与的交集为， 所以，所以， 故的取值范围是. 32．（23-24高一上·上海·期中）已知关于的不等式：． (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求不等式的解集； (3)命题若二次不等式的解集为空集，命题对任意实数都成立，若中至少有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【解析】（1）当时，原不等式为，即， 解得或， 所以原不等式的解集为. （2）当时，原不等式为，解得； 当时，原不等式变为，其对应方程的两根为，1， 若，即时，由解得， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，由解得， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （3）若命题为真命题，若，原不等式变为，其对应方程的两根为，1， 其解集为，不合题意，当时，由（2）可知时，解集为，所以命题为真命题，则； 命题为真命题，则有相应方程的，即，解得； 所以当命题，都为假命题时，，解得或， 所以命题，中至少有一个真命题，则. 实数的取值范围为. 十五、分式不等式的解法（共2小题） 33．（24-25高一·上海）不等式组的解集为 ． 【答案】 【解析】，等价于， 解得或， ，等价与， 解得， 因为与或同时成立， 所以，故解集为 故答案为：. 34．（23-24高一上·上海静安·期中）解不等式组 【答案】 【解析】由可得， 所以，故， 由得或，解得或， 综上可得的解为， 十六、绝对值不等式的解法（共3小题） 35．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【解析】当时，原不等式可化为，解得，又，； 当时，原不等式可化为，不等式成立； 当时，原不等式可化为，解得，又，； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 36．（24-25高二上·上海·开学考试）不等式的解集为 . 【答案】 【解析】当，即时，则原不等式转化为， 即，解得，故， 当，即时，则原不等式转化为， 即，解得，故， 综上知不等式的解集为， 故答案为：. 37．（24-25高一上·上海·）不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】因为，所以 所以 即所以不等式的解集为． 故答案为：． 十七、绝对值不等式的运用（共2小题） 38．（23-24高三上·上海·期中）2023年“国际进口博览会”即将在上海举行，现要在场馆入口布置一个大型立体花卉景观，景观的框架由中空钢管搭建的而成，外型是由若干个小正方体叠加而成的大正方体，已知搭建此立体花卉景观的脚手架钢管安装呈现东-西、南-北、上-下的网络状，每三根钢管相交处需要焊接，这些焊接点（小正方体的顶点）称为格点，相邻焊接点之间的距离都为1米（即每个小正方体的棱长都为1米），若以互相垂直的三条钢管为轴建立空间直角坐标系，现要在一个格点处接入水源，并在下述6个格点：，，，，，处安装喷淋，使6处喷淋与水源接入口所排水管的总长度最小，则此时水管总长度的最小值为 米（水管必须在连通的钢管内部穿行，不计各接头处的水管损耗）． 【答案】 【解析】设水源接入口的坐标为， ； ； 则6处喷淋与水源接入口所管的总长度为， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当时，的最小值为； 同理，由零点分段函数最值求法可知， 当时，的最小值为； 当时，的最小值为. 故水管总长度的最小值为（米）. 故答案为：. 39．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知对于实数x，y，满足，，则的最大值为 ． 【答案】7 【解析】因为，，所以， 设， 故，所以， ， 由于， 故， 即. 故答案为：7 十八、基本不等式证明（共1小题） 40．（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析，当且仅当 (2)证明见解析，当且仅当 【解析】（1）因为， ， ， 所以成立； 当且仅当时，等号成立； （2）， ． 所以． 当且仅当时，等号成立． 十九、基本不等式求最值（共1小题） 41.（23-24高一上·上海静安·期中）（1）已知正实数，满足，求 的最小值，并求出此时，的值. 【答案】（1）4；. 【解析】因为正实数，满足， 所以 ， 所以 的最小值为4，此时，又，即. 二十、基本不等式的应用（共1小题） 42．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知某公司生产某款产品的年固定成本为30万元，每万件产品还需另外投入16万元，设该公司一年内共生产万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为万元，且已知. (1)求一年的总利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式： (2)已知某年的年产量超过40万件，当年产量为多少万件时，公司在该款产品的生产中所获得的总利润最大?并求出最大总利润.（总利润=总销售收入-固定成本-额外投入） 【答案】(1)， (2)50; 5770万元 【解析】（1）一年的总利润: （2）年产量超过40万件，即，此时 ， 当且仅当，即时取等号. 故当年产量为50万件时，公司在该款产品的生产中所获得的总利润最大，最大总利润为5770万元. 二十一、幂与指数的运算（共2小题） 43．化简： ．（，） 【答案】 【解析】原式. 故答案为：. 44． ． 【答案】 【解析】由根式的运算可知，. 故答案为： 二十二、对数与对数运算（共4小题） 45．（21-22高一上·上海虹口·期中）（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 【答案】（1）；（2）或；（3） 【解析】（1）∵ ∴ ∴ （2）对数有意义，则，解得：或， 所以实数x的取值范围为或； （3） 即 =① 方程两边同乘x得： 即② 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当且时方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即 若是方程①的解，则，即 则要使方程①有且仅有一个解，则 综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是 46．（21-22高一上·上海普陀·期中）设实数a，b，c为正数，且满足，，，求实数a，b，c的值． 【答案】 【解析】由得，即， 由得，又， ∴. 47.（23-24高一上·上海虹口·期中）（1）设，且．求的值； （2）已知，，用及表示． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1） . （2）依题意，， 所以. 48．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知． (1)求的值； (2)用m表示． 【答案】(1) (2) 【解析】（1），则 . （2） . 二十三、对数运算的应用（共1小题） 49.（23-24高一上·上海青浦·期中）在自由声场（开阔空间）条件下，点声源的声波遵循球面发散规律，在与声源距离为（单位：m）处，声音强度的衰减量 （单位:dB）. 若在位置的声源的强度为(单位: dB),与声源距离为(单位：m)的位置的声音强度为(单位: dB),则, (1)有两个距离某一声源分别为20m和50m的声音探测仪和，它们的读数相差多少分贝?（结果精确到1dB） (2)已知某单一声源、两个声音探测仪与，依次在同一条直线上，与间的距离为400m. 假设两个探测仪的读数分别为61.05dB和47.07dB，试求声源与探测仪的距离（结果精确到1m）以及声源处的声音强度（结果精确到1dB）.参考数据：， 【答案】(1)8dB (2)声源与探测仪的距离为100m, 声源处的声音强度为100dB 【解析】（1）设对应的声音强度分别为，声音强度分别为， 所以， 则 （2）设声源与探测仪的距离为，声源强度为,声音强度衰减量为 则声源与探测仪的距离为，声源强度为，声音强度衰减量为, 所以 ， 所以，故，解得， 所以, 故声源处的声音强度为100dB. 二十四、指对数方程（共1小题） 50．（20-21高一上·上海奉贤·期中）我们知道当时，对一切恒成立，学生小贤在进一步研究指数幂运算时，发现有这么一个等式，带着好奇，他进一步对进行深入研究. （1）当时，求的值 （2）当时，求证：是不存在的； （3）求证：只有一对正整数对使得等式成立. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）当时，，即，所以， （2）设，因为，所以，且， 当时，，不成立； 当时，，由可得， 因为，，，所以不成立， 综上所述：当时，是不存在的； （3）由可得， 当，均为正整数时，等号左侧为的指数幂，故右侧也是的指数幂， 所以，即时符合题意，此时， 所以只有一对正整数对使得等式成立. 二十五、幂函数的解析式（共2小题） 51．（23-24高一上·上海·期中）已知幂函数的图像经过点，则实数的值为 ． 【答案】4 【解析】因为幂函数的图像经过点，所以，解得. 故答案为：4. 52．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知幂函数，则实数m的值为 ． 【答案】1 【解析】由题设可得，解得， 故答案为：1. 二十六、幂函数的图像与性质（共4小题） 53．（22-23高一上·上海静安·期中）已知函数是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则 ． 【答案】 【解析】根据其为幂函数，则，解得或， 当时，，则其定义域关于原点对称，，故其为偶函数，且分布在一、二象限，图像如图所示： 故舍去， 当时，，则其定义域关于原点对称，，故其为奇函数，且分布在一、三象限，图像如图所示： 故答案为：. 54．（20-21高一上·上海虹口·期中）直线，，及幂函数将直角坐标系第一象限分为8个部分（如图所示），那么幂函数的图像在第一象限中经过（    ） A．③⑦ B．③⑧ C．④⑦ D．①⑤ 【答案】D 【解析】解：在直线的左侧，幂函数的指数越大越接近于轴， ， 在的左侧位于左侧，故经过⑤， 在直线的右侧，幂函数的指数越小越接近于轴， 在的右侧位于上方的下方，故经过①. 故选：D. 55．（20-21高一上·上海金山·期中）若幂函数的定义域为． （1）求实数的值； （2）作出此幂函数的大致图象． 【答案】（1）； （2）图象见解析. 【解析】（1）由题意，幂函数的定义域为， 可得，即，解得或， 当时，函数，此时函数的定义域为且，不符合题意； 当时，函数，此时函数的定义域为，符合题意， 所以实数的值. （2）由（1）知，幂函数的解析式为， 则满足，所以函数为偶函数， 结合幂函数的图象与性质，可得函数图象如图所示： 56.（23-24高一上·上海奉贤·期中）下列幂函数在区间上是严格增函数，且图像关于原点成中心对称的有 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④ 【答案】①③ 【解析】根据幂函数性质，因为幂函数在区间上单调递增， 所以，此时有①②③满足， 又因为函数图象关于原点成中心对称， 所以该幂函数为奇函数， 根据奇函数的性质， 又因为的定义域为，所以图象不关于原点成中心对称，故②不满足题意， 故答案为：①③. 二十七、利用幂函数性质比大小（共1小题） 57.（19-20高一上·上海浦东新·期末）如果，那么下列不等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，当时，可得，故A错误； 对于B，当时，，故B错误；     对于C，∵，函数在R上单调递增，∴，故C正确； 对于D，∵，∴，，可得，故D错误. 故选：C． 二十八、利用幂函数性质解不等式 58．（22-23高一上·上海静安·期中）已知幂函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】, ， 且函数在上单调递增， 而， ，解得. 故答案为： 59．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知幂函数在上为严格减函数. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为函数是幂函数， 所以，得或， 因为幂函数在上为严格减函数，所以不符合题意， 所以. （2）由（1）可得 设函数， 因为函数在上严格单调递减， 所以或或，得或. 所以实数的取值范围是. 60．（22-23高一上·上海杨浦·期中）已知是幂函数， (1)若函数过定点，求函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，定义域为 (2)或 【解析】（1）设，代入点得，解得 即，其定义域为 （2）由幂函数的性质可得，函数的定义域为，且在定义域上单调递减， ， ， 解得或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$