期中真题必刷压轴60题-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

期中真题必刷压轴60题 1．（23-24高一上·上海·期中）设集合，，若且，则所有满足条件的集合的个数为 . 2．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P，Q中的元素都为正数；②对于任意，都有；③对于任意，都有；则下列说法正确的是（    ） A．若P有2个元素，则Q有3个元素 B．若P有2个元素，则有4个元素 C．若P有2个元素，则有1个元素 D．存在满足条件且有3个元素的集合P 3．（高一上·上海浦东新·期中）定义区间、、、的长度均为，已知实数，则满足的构成的区间的长度之和为（    ） A． B． C．4 D．2 4．（22-23高一上）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.（21-22高一上·上海宝山·期中）已知x∈R，则“成立”是“成立”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 6．（23-24高一上·上海·期中）已知不等式恒成立，则实数不可能是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 7．（23-24高一上·上海浦东新·期中）根据三角不等式我们可以证明：，当且仅当，，时等号成立．若等式对任意x，y，都成立，则符合要求的有序数组数量为（    ） A．有且仅有6组 B．有且仅有12组 C．大于12组，但为有限多组 D．无穷多组 8．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知实数x，y，z满足，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 9．（22-23高一·上海杨浦）已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 10．（23-24高一上·期中）在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图象的关系可能为（    ） A．   B．  C．   D．   11．（22-23高一上·上海浦东新·期中）Q是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合M相等的集合序号是 ． 12．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知集合.若且，则满足条件的正整数的个数为 . 13．（23-24高一上·上海·期中）定义一种集合运算nand为：或，设全集为，给定集合与，则仅使用nand运算和，可以表示下列集合中的 （填序号） ①；②；③. 14．（23-24高一上·上海杨浦·期中）若集合的两个非空子集A，B满足，则称为集合U的一组“互斥子集”，与视为同一组互斥子集，则U共有互斥子集 组． 15．（22-23高一上·上海徐汇·开学考试）已知A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝且a1＜a2＜a3＜a4，其中ai∈Z（i＝1，2，3，4），若A∩B＝{a2，a3}，a1+a3＝0，且A∪B的所有元素之和为56，求a3+a4＝ ． 16．（24-25高一上·上海·期中）设集合是正整数集的子集，且中至少有两个元素，若集合满足以下三个条件：①是正整数的子集，且中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集，若集合，且，设，则集合的“耦合集” 17．（24-25高一上·上海杨浦·期中）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集的真子集个数为 . 18．（23-24高一上·上海·期中）已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”.例如：对于集合，.则当时，集合的所有子集的“交替和”的总和为 . 19．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“完美集”. ①集合是“完美集”； ②若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2； ③二元“完美集”有无穷多个； ④若，则“完美集”A有且只有一个，且. 其中正确的结论是 （填上你认为正确的所有结论的序号） 20．（22-23高一上·上海长宁·期中）关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围是 ． 21．（22-23高一上·上海黄浦·期中）若关于的不等式组只有一个整数解，则实数的取值范围是 ． 22．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 23．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ． 24．（22-23高三上·上海期中）已知，，则的最小值 . 25．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 ． 26．定义：为实数中较大的数．若，则的最小值为 ． 27．（22-23高一上·上海浦东新·期中）若实数，满足，则的最小值为 ． 28．（21-22高一上·上海浦东新·期中）设，若，则的取值范围为 ． 29．（20-21高二下·上海浦东新·期中）已知，定义：表示不小于的最小整数，如：，，，若，则的取值范围是 . 30．（21-22高一上·湖南·期末）若实数x，y满足，且，则的最小值为 . 31．（2019·上海普陀·期中）设实数a、b、c满足a≥1，b≥1，c≥1，且abc＝10，alga•blgb•clgc≥10，则a+b+c＝ 32．（23-24高一上··期中）为了保证信息安全传输，有一种系统称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下：明文x，密文t密文t明文y．现在加密密钥为幂函数，解密密钥为反比例函数，过程如下：发送方发送明文“4”，通过加密后得到密文“2”，再发送密文“2”，接受方通过解密密钥得到明文“6”．若接受方得到明文“4”，则发送方发送的明文为 ． 33．（22-23高一上·上海闵行·期中）若关于的方程有两个不同实根，且不等式关于满足前述条件的恒成立，则实数的最大值为 . 34．（21-22高三上·上海黄浦·期中）当且仅当（其中）时，函数的图像在函数图像的下方，则的取值范围为 . 35．（21-22高一上·上海浦东新·期中）已知a为奇数且，则关于x的不等式的解集为 ． 36．（21-22高一上·上海黄浦·期中）设集合为非空数集，定义，． (1)若，写出集合、； (2)若，，且，求证：； (3)若，且，求集合元素个数的最大值． 37．（23-24高一上·上海·期中）对于正整数，定义．对于任意的，称为的第个分量，称是的一个“协同子集”．如果同时满足：①的元素个数不少于；②对于任何、、，存在，使得、、的第个分量都是． (1)对于，若是的一个恰好含有四个元素的“协同子集”，且其中两个元素是和，直接写出另外两个元素； (2)证明：若是的一个“协同子集”，则的元素个数不超过； (3)证明：若是的一个“协同子集”，且的元素个数恰好是，则存在唯一的，使得中所有元素的第个分量都是． 38．（23-24高一上·上海奉贤·期中）已知集合为非空数集，定义：，（实数a，b可以相同） (1)若集合，直接写出集合S、T； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 39．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 40．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）对任意给定的不小于3的正整数，元集合均为正整数集的子集， 若满足: ①; ②; ③，则称互为等矩集. (1)若集合与互为等矩集，求的值; (2)证明: 如果集合互为等矩集，那么对于任意的正整数，集合也互为等矩集； 41．（23-24高一上·上海宝山）记，，存在正整数n，且.若集合满足，则称集合A为“谐调集”. (1)分别判断集合、集合是否为“谐调集”； (2)已知实数x、y，若集合为“谐调集”，是否存在实数z满足，并且使得为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z，若不存在，请说明理由； (3)若有限集M为“谐调集”，且集合M中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合M. 42．（21-22高一上·上海普陀·期中）已知集合 ，，，对任意，定义.若存在正整数，使得对任意 ，都有，则称集合具有性质.如集合、都具有性质.记是集合中的最大值. (1)判断集合和集合是否具有性质（直接写出结论）； (2)若集合具有性质，求证：和； (3)若集合具有性质，求证：. 43．（22-23高一上·上海宝山·期中）对于任意有限集，定义集合表示的元素个数.已知集合为实数集的非空有限子集，设集合. (1)若，求集合和； (2)已知为有限集，若，证明：. (3)若，求的值. 44．（22-23高一上·上海杨浦·期中）对于一个数集，若满足下列条件：①中至少有两个非零元素；②；③任取中的两个非零元素，它们加､减､乘､除后的结果都仍属于，则称数集为数域，如有理数集为有理数域，实数集为实数域. (1)证明整数集不是数域； (2)判断集合是否为数域，并说明理由； (3)若为任意两个数域且中至少存在两个非零元素，判断是否为数域，并说明理由. 45．（23-24高一上·上海·期中）在正向证明问题十分困难时，运用反证法往往是一条捷径. (1)求证：是无理数； (2)已知抛物线，求证：中至少有一个不小于. 46．（23-24高一上·上海杨浦·期中）若实数、、满足，则称比接近， (1)比接近，求的取值范围； (2)判断：“比接近”是“”的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件），并加以证明. 47．（23-24高一上·上海普陀·期中）设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1” (1)分别判断和时是否满足“性质1”; (2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得. (3)求出所有满足“性质1”的实数t 48．（22-23高一上·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系中，将从点出发沿平行于坐标轴方向到达点的任意路径称为到的一条路径．如图所示的路径与路径都是到的“路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面内的三点，，处．现计划在轴上方区域（包含轴）内的某一点处修建一个文化中心． (1)写出点到居民区的路径长度最小值的表达式（不用证明）； (2)请确定点的位置，使其到三个居民区的路径长度之和最小． 49．（21-22高一上·上海杨浦·期中）定理（三角不等式），对于任意的、，恒有.定义:已知且，对于有序数组、、、，称为有序数组、、、的波动距离，记作，即，请根据上述俼息解决以下几个问题: (1)求函数的最小值，并指出函数取到最小值时的取值范围； (2)①求有序数组、、、的波动距离； ②求证：若、、、且，则；题（注：该命题无需证明，需要时可直接使用）.设两两不相等的四个实数、、、，求有序数组、、、的波动距离的最大值. 50．（20-21高一上·上海浦东新·期中）已知函数，，. （1）若，求在上的最小值； （2）若对于任意的实数恒成立，求a的取值范围； （3）当时，求函数在上的最小值. 51．（高一上·上海浦东新·期中）符号表示不大于的最大整数（）,例如： （1）已知，分别求两方程的解集； （2）设方程的解集为,集合，若，求的取值范围. （3）在（2）的条件下，集合，是否存在实数，，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 52．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知为实数， (1)求证:； (2)若不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 53．（23-24高一上··期中）已知幂函数在定义域内单调递增． (1)求的解析式； (2)求关于x的不等式的解集． 54．（23-24高一上·上海静安·期中）已知幂函数的图象关于点中心对称; (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在直角坐标系中做出函数的图像； (3)根据中图像，直接写出不等式的解集， 55．（22-23高一上·期中）已知幂函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为，若存在，求出实数m的值． 56．（2023高一·上海）给定无理数．若正整数满足． (1)试比较三数，，的大小； (2)若，证明下面三个不等式中至少有一个不成立 ①；②；③． 57．已知代数式和． (1)若，求不等式的解集； (2)若，证明中至少有一个数不小于； (3)若，不等式对任意实数恒成立，试确定实数满足的条件. 58．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知二次函数. (1)若等式恒成立，其中，，为常数，求的值； (2)证明：是方程有两个异号实根的充要条件； (3)若对任意，不等式恒成立，求的最大值. 59．（21-22高一下·期中）已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 60．（22-23高一上期中）若函数满足：存在整数，使得关于的不等式的解集恰为（），则称函数为函数. (1)若函数为函数，请直接写出（不要过程）； (2)判断函数是否为函数，并说明理由； (3)是否存在实数使得函数为函数，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷压轴60题 1．（23-24高一上·上海·期中）设集合，，若且，则所有满足条件的集合的个数为 . 【答案】12 【解析】按题意，集合是的子集，且与的交集不为空集 集合的子集有个 其中与的交集为空集的子集，即的子集，有个 故满足题意的集合的个数为 故答案为：12 2．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P，Q中的元素都为正数；②对于任意，都有；③对于任意，都有；则下列说法正确的是（    ） A．若P有2个元素，则Q有3个元素 B．若P有2个元素，则有4个元素 C．若P有2个元素，则有1个元素 D．存在满足条件且有3个元素的集合P 【答案】C 【解析】若有2个元素，设，则， 因为至少有个元素，所以中除外至少还有一个元素， 不妨设，，则， 若，则且， 所以，与假设矛盾，所以， 所以或， 当时，则，所以， 若，则，与矛盾，所以，同理可知， 所以此时，； 当时，则，所以， 若，则，与矛盾，所以，同理可知， 此时，； 由上可知，当有2个元素，则有个元素，有个元素，有个元素， 故A错误，B错误，C正确； 不妨假设有个元素，设，则为互不相等的正数， 由③可知：， 又因为为互不相等的正数，所以也为互不相等的正数， 由②可知：都是集合的元素， 因为为互不相等的正数，所以都是不等于的正数，所以， 又因为为互不相等的正数，所以， 考虑到和，若，则为互不相等的正数， 又因为，所以，所以是与不相等正数， 因为都是集合的元素，所以集合中至少有个元素，这与假设矛盾， 因此考虑的情况，所以，同理可得，所以， 所以，这与集合中元素的互异性矛盾，所以有个元素不可能成立，故D错误； 故选：C. 3．（高一上·上海浦东新·期中）定义区间、、、的长度均为，已知实数，则满足的构成的区间的长度之和为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【解析】原不等式可转化为①，对于，其判别式，故其必有两不相等的实数根，设为，由求根公式得，. 下证： 构造函数，其两个零点为，且.而，所以，由于，且，由二次函数的性质可知. 故不等式①的解集为，其长度之和为 . 故选D. 4．（22-23高一上）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，，则， ∴， 又∵，且， 可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立， ∵的开口向下，对称轴， 则当时，取到最大值， 故实数的取值范围是. 故选：C. 5.（21-22高一上·上海宝山·期中）已知x∈R，则“成立”是“成立”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解析】充分性：若，则2≤x≤3， ， 必要性：若，又， ， 由绝对值的性质：若ab≤0，则， ∴， 所以“成立”是“成立”的充要条件， 故选：C． 6．（23-24高一上·上海·期中）已知不等式恒成立，则实数不可能是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【解析】原式 时，原式恒成立 由于 当且仅当时，取得最小值8，即，则 时，原式恒成立 绝对值内用代替有 当且仅当时，取得最大值8，即，则 故 故选：D. 7．（23-24高一上·上海浦东新·期中）根据三角不等式我们可以证明：，当且仅当，，时等号成立．若等式对任意x，y，都成立，则符合要求的有序数组数量为（    ） A．有且仅有6组 B．有且仅有12组 C．大于12组，但为有限多组 D．无穷多组 【答案】A 【解析】若等式对任意x，y，都成立， 则当或者时，等式均成立， 故， ， ，当且仅当，，时等号成立． 故，，. ，， ，等号成立， ， ，当且仅当时，等号成立 故，，， 结合，，得：，，. 且 所以或 此时对任意x，y，都成立. 故符合要求的有序数组有且仅有6组. 故选：A 8．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知实数x，y，z满足，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】A 【解析】对于C，由， 整理得，，可以看作关于的一元二次方程， 所以， 即，可以看作关于的一元二次不等式， 所以，解得， 当时，，， 所以x的最大值是，故C正确； 对于B，由， 即， 即， 令，，，则， 即，即， 由，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 即， 所以 即，即， 所以， 即， 即，当且仅当，即时等号成立， 对于D，所以的最大值是，故B正确； 由，即， 所以，即， 当且仅当，时等号成立， 所以的最大值是，故D正确； 对于A，取，，， 则， 而， 又， 而， 所以，故A错误. 故选：A. 9．（22-23高一·上海杨浦）已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解析】由，则，且， 所以， 令，则，且， 所以，即，仅当时等号成立， 对于恒成立，仅当，即时等号成立， 综上，若，则， 而，则，只需， 所以，仅当，即时等号成立， 综上，，仅当，即时等号成立. 所以目标式最小值为. 故选：C 10．（23-24高一上·期中）在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图象的关系可能为（    ） A．    B．   C．    D．   【答案】D 【解析】解：因为二次函数的对称轴为， 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴，幂函数在上单调递增， 对于C，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为直线，故不正确； 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴，幂函数在上单调递减， 对于D，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为反比例函数的图象，满足题意，故正确； 当时，二次函数的图象开口向下，对称轴，幂函数在上单调递减， 对于B，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为反比例函数的图象，不满足题意，故不正确； 当时，二次函数的图象开口向下，对称轴，幂函数在上单调递增， 对于A，由题意可得此时，得以，所以幂函数，当时，图象在直线下方，不满足题意，故不正确； 故选：D. 11．（22-23高一上·上海浦东新·期中）Q是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合M相等的集合序号是 ． 【答案】①②④ 【解析】对于①.，设，则，故①的集合与M相等； 对于②.令 ，则，其中，故②的集合与M相等； 对于③.当 时，，故③的集合与M不相等； 对于④.令， ， 其中，故④的集合与M相等； 故答案为:①②④ 12．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知集合.若且，则满足条件的正整数的个数为 . 【答案】669 【解析】根据题意，集合表示的是位进制数的集合， 位进制数中，最小的位进制数为，，即， 最大的位进制数为，， 即， 所以集合， 因为且， 所以， 所以满足条件的正整数的个数为. 故答案为：669 13．（23-24高一上·上海·期中）定义一种集合运算nand为：或，设全集为，给定集合与，则仅使用nand运算和，可以表示下列集合中的 （填序号） ①；②；③. 【答案】①②③ 【解析】由nand定义知的意义是集合的补集与补集的并集，即， 则或 ，或 ， 所以 或 或， 所以， 综上，，， . 故答案为：①②③ 14．（23-24高一上·上海杨浦·期中）若集合的两个非空子集A，B满足，则称为集合U的一组“互斥子集”，与视为同一组互斥子集，则U共有互斥子集 组． 【答案】90 【解析】任意一个元素只能在集合之一中， 则这5个元素在集合中，共有种； 其中为空集的种数为，为空集的种数为， ∴均为非空子集的种数为， 又与视为同一组互斥子集， U共有互斥子集种. 故答案为：90． 15．（22-23高一上·上海徐汇·开学考试）已知A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝且a1＜a2＜a3＜a4，其中ai∈Z（i＝1，2，3，4），若A∩B＝{a2，a3}，a1+a3＝0，且A∪B的所有元素之和为56，求a3+a4＝ ． 【答案】8 【解析】由得，所以， 又因为，即，所以， （1）若， 因为，所以，此时，，， 即，故，从而， 所以，则，即或1，与矛盾； （2）若， 则，，即，所以， 从而，显然，即或1， 而与矛盾，故，， 又，故， 将，，代入，得到，解得或（舍去）， 所以． 故答案为：8． 16．（24-25高一上·上海·期中）设集合是正整数集的子集，且中至少有两个元素，若集合满足以下三个条件：①是正整数的子集，且中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集，若集合，且，设，则集合的“耦合集” 【答案】 【解析】设中元素为， 若，则由题设有且， 而中只有4个运算，故不成立，故. 又因为，且， 故， 且， 故，故且， ， 故且， 故， 所以故， 所以，， 因为，故，而， 故，故即， 故. 故答案为： 17．（24-25高一上·上海杨浦·期中）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集的真子集个数为 . 【答案】31 【解析】因为， 所以由题意可得的第211个子集为， 所以其真子集个数为个， 故答案为：31 18．（23-24高一上·上海·期中）已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”.例如：对于集合，.则当时，集合的所有子集的“交替和”的总和为 . 【答案】 【解析】由题意知，集合的“交替和”为. 集合的所有个子集中，除去集合外，还有个非空子集. 这个非空子集中不含元素的集合，即的非空子集，共有个， 设为； 则这个非空子集中含元素的集合，也共有个， 这样的集合都可以看成相应地在每个不含的集合中再加上元素得到，即. 对中的任意集合，记， 则“交替和”，其中， 由，则集合的“交替和”为 ， 则集合与集合的“交替和”之和为， 下面举例说明： 如集合与集合， 的“交替和”为， 的“交替和”为 ， 即集合与集合的“交替和”之和为. 综上，把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和， 且每组中“交替和”之和都为，共有组. 故集合所有“交替和”之和，由各组之和再加集合的“交替和”即可， 综上所述，当时，集合的所有子集的所有“交替和”之和为 . 故答案为：. 19．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“完美集”. ①集合是“完美集”； ②若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2； ③二元“完美集”有无穷多个； ④若，则“完美集”A有且只有一个，且. 其中正确的结论是 （填上你认为正确的所有结论的序号） 【答案】①②③④ 【解析】对于①中，，， 集合是“完美集”，所以①正确； 对于②中，若、是两个不同的正数，且是“完美集”， 设， 根据根和系数的关系和相当于的两根， 由，解得或（舍去），所以， 所以、至少有一个大于2，所以②正确； 对于③中，由②知，一元二次方程，当t取不同的值时，的值是不同的， 所以二元“完美集”有无穷多个，所以③正确； 对于④中，不妨设A中， 由，得， 当时，即有，所以，于是，无解， 即不存在满足条件的“完美集”； 当时，，故只能，，求得， 于是“完美集”A只有一个，为． 当时，由，即有， 事实上，，矛盾， 所以当时不存在完美集，所以④正确. 故答案为：①②③④. 20．（22-23高一上·上海长宁·期中）关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】关于的不等式等价于， 此不等式整数解恰有3个，则有且有，故有， 令即得， ， 故不等式的解集为， 因为，所以 所以解集中一定恰有三个整数 ，可得，解得. 故答案为：. 21．（22-23高一上·上海黄浦·期中）若关于的不等式组只有一个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由已知，不等式的解集为， 不等式可转化为， 当时，不等式的解集为， 由解集中整数为，不合题意； 当时，不等式的解集为， 由解集中整数为，得，解得， 当时，不等式的解集为，不满足题意， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 22．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】 ， 当且仅当，，即时，等号成立. 故答案为： 23．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】 ， 所以， 当且仅当时取到等号， 故答案为： 24．（22-23高三上·上海期中）已知，，则的最小值 . 【答案】20 【解析】令，则， 去分母化简得：，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立． 故答案为：20 25．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】根据题意可知，解得； 当时，易知，满足题意； 当时，，所以，符合题意； 当时，当时，，原不等式成立； 当时，，若要满足题意只需，解得，所以可得； 综上可知，原不等式的解集为. 故答案为： 26．定义：为实数中较大的数．若，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设， 则由题意可得， 因为，所以 ①当时，， 只需考虑， 所以，， 所以，可得，当且仅当时取等号； ②当时，，只需考虑， 所以， 可得，当且仅当时取等号. 综上所述，的最小值为2. 故答案为：2. 27．（22-23高一上·上海浦东新·期中）若实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】由，得， 由三角不等式得，， ， 即， 所以， 所以， 所以，即， 当且仅当时，取到最小值为 故答案为： 28．（21-22高一上·上海浦东新·期中）设，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】，当时等号成立， ，当时等号成立， 所以，而， 故，此时，， 令中，与所表示的区域有公共点， 当或时，而，故满足； 当时，由得：，而， 若时，此时，故； 若时，此时，故； 综上，. 故答案为： 29．（20-21高二下·上海浦东新·期中）已知，定义：表示不小于的最小整数，如：，，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由，可得，即； 当时，即时，（舍去）； 当时，即时，，满足题意； 当时，即时，（舍去）； 同理可知，当或时不合题意， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 30．（21-22高一上·湖南·期末）若实数x，y满足，且，则的最小值为 . 【答案】8 【解析】由得：，又实数x，y满足， 则，当且仅当，即时取“=”， 由解得：， 所以当时，取最小值8. 故答案为：8 31．（2019·上海普陀·期中）设实数a、b、c满足a≥1，b≥1，c≥1，且abc＝10，alga•blgb•clgc≥10，则a+b+c＝ 【答案】12 【解析】由a≥1，b≥1，c≥1，且abc＝10，可得0≤lga≤1，0≤lgb≤1，0≤lgc≤1． 可得lg2a≤lga，lg2b≤lgb，lg2c≤lgc， 又由alga•blgb•clgc≥10，可得lg（alga•blgb•clgc）≥lg10， 可得lg2a+lg2b+lg2c≥1 又由lgabc＝lga+lgb+lgc =lg10=1，可得lg2a+lg2b+lg2c≥lga+lgb+lgc， 所以lg2a＝lga，lg2b＝lgb，lg2c＝lgc， 则a＝10或1，b＝10或1，c＝10或1， 由对称思想，不妨a＝10，则b＝1，c＝1， 所以a+b+c＝12． 故答案为：12． 32．（23-24高一上··期中）为了保证信息安全传输，有一种系统称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下：明文x，密文t密文t明文y．现在加密密钥为幂函数，解密密钥为反比例函数，过程如下：发送方发送明文“4”，通过加密后得到密文“2”，再发送密文“2”，接受方通过解密密钥得到明文“6”．若接受方得到明文“4”，则发送方发送的明文为 ． 【答案】9 【解析】设加密密钥为幂函数，，则，则， 解密密钥为反比例函数，，，则，所以通过逆运算可得， 当接受方得到明文“4”时，则发送方发送明文为“9”． 故答案为：9 33．（22-23高一上·上海闵行·期中）若关于的方程有两个不同实根，且不等式关于满足前述条件的恒成立，则实数的最大值为 . 【答案】 【解析】解：因为关于的方程有两个不同实根， 所以，故设 所以，   ①， 所以，令， 当给定时，当，时，可变形为，但由于，故 当时，取，可变形为， 所以，的取值范围为. 所以，实数的最大值为. 故答案为： 34．（21-22高三上·上海黄浦·期中）当且仅当（其中）时，函数的图像在函数图像的下方，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】取,则，当时， 所以可知与相切 当时，可得 所以或（舍，因为为此值时，当时图象不在图象下方） 由，当时， 令， 设两根分别为， 所以 当时， 令 所以 所以 又，所以 故答案为： 35．（21-22高一上·上海浦东新·期中）已知a为奇数且，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】或 【解析】由题设，又a为奇数且，则， 当时，，，则不满足题设； 当时，成立； 当时，不等式等价于， 若时， ，即与题设矛盾； 若时，，满足； 综上，不等式解集为或. 故答案为：或 36．（21-22高一上·上海黄浦·期中）设集合为非空数集，定义，． (1)若，写出集合、； (2)若，，且，求证：； (3)若，且，求集合元素个数的最大值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)1347 【解析】（1）由题意，得，， （2）证明：因为，，且， 所以集合也有四个元素，且都为非负数，因为， 又因为，所以且， 所以集合中其他元素为，，， 即，剩下的， 因为，所以， 即，即，所以 （3）设，满足题意，其中， 因为， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 中最小的元素为0，最大的元素为， 所以， 实际当，时满足题意，证明如下： 设，， 则，， 由题意得， 即，故的最小值为674． 即时，满足题意， 综上所述，集合中元素的个数为（个． 37．（23-24高一上·上海·期中）对于正整数，定义．对于任意的，称为的第个分量，称是的一个“协同子集”．如果同时满足：①的元素个数不少于；②对于任何、、，存在，使得、、的第个分量都是． (1)对于，若是的一个恰好含有四个元素的“协同子集”，且其中两个元素是和，直接写出另外两个元素； (2)证明：若是的一个“协同子集”，则的元素个数不超过； (3)证明：若是的一个“协同子集”，且的元素个数恰好是，则存在唯一的，使得中所有元素的第个分量都是． 【答案】(1)、 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）解：由题意可知，中两个元素分别为和，这两个元素第个分量都是， 故中另外两个元素分别为、. （2）解：对于，考虑元素； 显然，、、，对于任意的，、、不可能都为， 可得、不可能都在“协同子集”中． 又因为取定，则一定存在且唯一，而且， 由的定义知道，，，， 这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素的个数为，所以中元素个数不超过． （3）证明：，， 定义元素、的乘积为，显然． 我们证明“对任意的，都有.” 假设存在、使得， 则由（2）知，． 此时，对于任意的，、、不可能同时为，矛盾，所以． 因为中只有个元素，我们记为中所有元素的乘积， 根据上面的结论，我们知道， 显然这个元素的分量不能都为，不妨设， 根据的定义，可以知道中所有元素的第个分量都为． 下面再证明的唯一性： 若还有，即中所有元素的第个分量都为， 此时由（2）可知集合中元素个数至多为个，矛盾． 所以结论成立． 38．（23-24高一上·上海奉贤·期中）已知集合为非空数集，定义：，（实数a，b可以相同） (1)若集合，直接写出集合S、T； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)1348 【解析】（1）因为集合，，， 所以由，可得， ，可得． （2）由于集合，， 则T集合的元素在0，，，，，，中， 且，， 而，故中最大元素必在中，而为7个元素中的最大者， 故即，故， 故中的4个元素为0，，，， 且，，与，，重复， 而，故即， 而，故，故或， 若，则，，与题设矛盾； 故即. （3）设满足题意，其中， 则， ∴，，∴， ∵，由容斥原理， 中最小的元素为0，最大的元素为，， ∴，即，∴． 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即， 故m的最小值为674，于是当时，A中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1348． 39．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【解析】（1）已知非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解，所以， 所以，又 则集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且， 又，则S中所有元素之积的所有可能值为或； （2）已知非空实数集满足：任意，均有，且 所以，且，又 则集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且， 若由四个元素组成，则，且所有元素之和为3 所以，整理得 解得或 当或或或时， 综上，； （3）由（1）（2）集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环， 且当时，同一周期内其余元素不相等， 因而和互素，所以和中的各组最多只能有一个公共元素， 因为有五个元素，若要使的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内， 若，此时从中选出5个元素属于，此时T包含20个元素，中包含， 若，此时从中选出5个元素属于，此时S包含15个元素，中包含， 所以的元素个数最小值为. 40．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）对任意给定的不小于3的正整数，元集合均为正整数集的子集， 若满足: ①; ②; ③，则称互为等矩集. (1)若集合与互为等矩集，求的值; (2)证明: 如果集合互为等矩集，那么对于任意的正整数，集合也互为等矩集； 【答案】(1)或. (2)证明见解析. 【解析】（1）解：由等矩集定义，则，可得， 结合韦达定理可知，，为方程的两个根， 解得或，符合题意， 所以或； （2）证明：只需证明和满足等矩集的三条定义即可， ， 故满足定义①； ， 故满足定义②； 假设，则存在，，，可得，与矛盾， 所以， 故满足定义③． 综上所述，和也互为等矩集； 41．（23-24高一上·上海宝山）记，，存在正整数n，且.若集合满足，则称集合A为“谐调集”. (1)分别判断集合、集合是否为“谐调集”； (2)已知实数x、y，若集合为“谐调集”，是否存在实数z满足，并且使得为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z，若不存在，请说明理由； (3)若有限集M为“谐调集”，且集合M中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合M. 【答案】(1)E不是，F是 (2)不存在，理由见解析 (3) 【解析】（1）因为，所以E不是“谐调集”， 因为，所以F是“谐调集”； （2）若存在符合题意的实数z，则， 所以，即，解得或或， 当时，则，，不符合题意； 当时，，， 由此，x、y是方程的实数解. 但，方程无实数解，所以不符合题意； 当时，同理，可得不符合题意， 综上，不存在符合题意的实数z； （3）不妨设A中所有元素满足， 则， 于是，， 即， 当时，则，∴，但无解，所以不存在符合题意的“谐调集”， 当时，则，∴，，，∴， 当时，∵，，，均为正整数，∴，，，. ∴， 又，∴，即， 但当时，，矛盾. 所以不存在符合题意的“谐调集” 综上，符合题意的“谐调集”为. 42．（21-22高一上·上海普陀·期中）已知集合 ，，，对任意，定义.若存在正整数，使得对任意 ，都有，则称集合具有性质.如集合、都具有性质.记是集合中的最大值. (1)判断集合和集合是否具有性质（直接写出结论）； (2)若集合具有性质，求证：和； (3)若集合具有性质，求证：. 【答案】(1)具有，不具有 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）对集合，因为，，，故 具有性质. 对集合，，故不具有； （2）因为集合具有性质，所以对于、有； 因为，所以， 因为是集合中的最大值， 则 ； （3）假设集合的元素个数大于，即 因为集合具有性质，所以，因为，所以， 所以，所以，所以，所以， 因为，所以，所以， 以此类推，得，，，，，，， ，所以， 所以，与矛盾， 所以假设不成立，故. 43．（22-23高一上·上海宝山·期中）对于任意有限集，定义集合表示的元素个数.已知集合为实数集的非空有限子集，设集合. (1)若，求集合和； (2)已知为有限集，若，证明：. (3)若，求的值. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)答案见解析. 【解析】（1）集合，而， 所以，. （2）依题意，，，当且仅当时取等号， 若中至少含有一个不在D中的元素，则有， 当时，则有，因为有限集，且，令的最小元素为， 此时集合A中最小的元素，集合B中最小的元素，因此集合C中最小的元素，即， 于是得，有， 所以. （3），因集合，若或，则，不符合题意，因此且， 当集合中有存在3元素的集合时，不妨令，令，若， 则有，即集合C中至少有4个元素，不符合题意，同理，因此，， 当集合都只有1个元素时，集合C只有1个元素，不符合题意， 当集合中一个只有1个元素，另一个有两个元素时，集合C只有2个元素，不符合题意， 当集合都有2个元素时，令，， ，若，有，满足，此时， 若，有，此时，不符合题意， 所以或的值可能为4. 44．（22-23高一上·上海杨浦·期中）对于一个数集，若满足下列条件：①中至少有两个非零元素；②；③任取中的两个非零元素，它们加､减､乘､除后的结果都仍属于，则称数集为数域，如有理数集为有理数域，实数集为实数域. (1)证明整数集不是数域； (2)判断集合是否为数域，并说明理由； (3)若为任意两个数域且中至少存在两个非零元素，判断是否为数域，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)集合是数域，证明见解析 (3)为数域，不一定是数域，，证明见解析 【解析】（1）证明：任取，且互质，那么一定是分数，即，故根据数域的概念得整数集不是数域. （2）解：集合是数域，理由如下： ①当或时，则，则至少有两个非零元素； ②当时，，则； ③取， 则，又，所以； ，又，所以； ，又，所以； ，又，所以， 综上，集合是数域. （3）解：为数域，不一定是数域，理由如下： 为任意两个数域且中至少存在两个非零元素，任取，则， 由于为个数域，则，；， 所以，则，同样，则，，则，所以为数域； 当且两集合无包含关系时，不妨设，则， 若是数域，则，即或， 当时，，即，与假设不符； 当时，，即，与假设不符； 所以此时不是数域； 当或两集合有包含关系时，或，此时是数域； 所以不一定是数域. 45．（23-24高一上·上海·期中）在正向证明问题十分困难时，运用反证法往往是一条捷径. (1)求证：是无理数； (2)已知抛物线，求证：中至少有一个不小于. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）假设是有理数，可设，互质，且， 可得，可知为2的倍数，则为8的倍数， 可知为2的倍数，即2为的公约数， 这与互质相矛盾，所以是无理数. （2）因为，则， 可得， 假设均小于，即， 则， 即，即假设不成立，所以中至少有一个不小于. 46．（23-24高一上·上海杨浦·期中）若实数、、满足，则称比接近， (1)比接近，求的取值范围； (2)判断：“比接近”是“”的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件），并加以证明. 【答案】(1)或 (2)必要不充分条件，证明见解析 【解析】（1）解：因为比接近，则，即，即， 解得或， 所以，的取值范围是或. （2）解： 若比接近，则， 由可得，即，可得， 若，则，即，此时，， 若，则，则，则，此时，， 所以，“比接近”“”， 另一方面，若，取，，则， 所以，“比接近” “”， 因此，“比接近”是“”的必要不充分条件. 47．（23-24高一上·上海普陀·期中）设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1” (1)分别判断和时是否满足“性质1”; (2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得. (3)求出所有满足“性质1”的实数t 【答案】(1)不满足性质1，不满足性质1. (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）记，， 假如，则当时，对任意，均有，不满足要求； 假如，则当，时，对任意，均有，， 若，同正或同负，则，其余情况下总有，不满足要求. （2）先来证明：若，且，则，同时该结论记为引理. 当时，， 当时，不妨设，则，又，所以. 所以若，且，则. 下面证当时，对任意，总存在，使得， 若，则取，此时， 其中，，且， 由引理可得， 若，则取，此时， 其中，，且，故由引理可得， 综上，当时，对任意，总存在，使得. （3）当时，当时，可取，使得，理由如下： 当时，取，则； 当时，取，则，则，故， 同理，可取，使得，此时， 所以当时，对任意，总存在，使得. 结合（2）的结论可得，对任意，总存在，使得. 综上，所有满足性质1的实数. 48．（22-23高一上·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系中，将从点出发沿平行于坐标轴方向到达点的任意路径称为到的一条路径．如图所示的路径与路径都是到的“路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面内的三点，，处．现计划在轴上方区域（包含轴）内的某一点处修建一个文化中心． (1)写出点到居民区的路径长度最小值的表达式（不用证明）； (2)请确定点的位置，使其到三个居民区的路径长度之和最小． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）.设点的坐标为.点到居民区的“路径”长度最小值为 . （2）点到三个居民区的“路径”长度之和的最小值为点分别到三个居民区的“路径”长度最小值之和（记为)的最小值. 当时，,因为 当且仅当时，不等式中的等号成立， 又， 当且仅当时，不等式中的等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. ，当且仅当时，等号成立. 故点的坐标为时，到三个居民区的“L路径”长度之和最小，且最小值为. 综上所述，在点处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“路径”长度之和最小. 49．（21-22高一上·上海杨浦·期中）定理（三角不等式），对于任意的、，恒有.定义:已知且，对于有序数组、、、，称为有序数组、、、的波动距离，记作，即，请根据上述俼息解决以下几个问题: (1)求函数的最小值，并指出函数取到最小值时的取值范围； (2)①求有序数组、、、的波动距离； ②求证：若、、、且，则；题（注：该命题无需证明，需要时可直接使用）.设两两不相等的四个实数、、、，求有序数组、、、的波动距离的最大值. 【答案】(1)函数的最小值为，此时的取值范围是. (2)①；②. 【解析】（1）解：由三角不等式可知，当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 由三角不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此，函数的最小值为，此时的取值范围是. （2）解：①由题中定义可得； ②若、、、且，则， 当时，， ， 所以， ，即， 且有， 当取到最大值时，或， 同理或， 若，则，所以，， 故 ， 当且仅当，，，时，等号成立， 所以，为的最大值； 若，则，所以，， 同理可知为的最大值. 综上所述，的最大值为. 50．（20-21高一上·上海浦东新·期中）已知函数，，. （1）若，求在上的最小值； （2）若对于任意的实数恒成立，求a的取值范围； （3）当时，求函数在上的最小值. 【答案】（1）2e；（2）[0,2]；（3）答案见解析 【解析】（1），且时， ， 当且仅当时，等号成立. （2）对于任意的实数恒成立， 即对于任意的实数恒成立， 即对于任意的实数恒成立， 即对于任意的实数恒成立， ， 所以，则， 所以的取值范围是. （3），.的范围是. ， ①当时，由（2）得， 故当，即时，； 当，即时，. 当时，的范围不符合. ②当时，，；. 画出和的大致图象如下图所示： 故当，即时，. 当，即时， （i）时，，，. （ii），，， . 综上所述： 时，； 时，； 时，； 时，. 51．（高一上·上海浦东新·期中）符号表示不大于的最大整数（）,例如： （1）已知，分别求两方程的解集； （2）设方程的解集为,集合，若，求的取值范围. （3）在（2）的条件下，集合，是否存在实数，，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】（1）因为表示不大于的最大整数，时，解得：，所以 ；时，解得：，所以； （2）因为，所以，根据绝对值不等式的几何意义解得： ，又； 当时，，所以成立； 当时， ，若，则有：，解得； 当时，，若，则有：，解得；综上：； （3）因为，所以，且，所以设集合的解集为：，则有：，所以，解得：. 52．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知为实数， (1)求证:； (2)若不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）令且， 则，，， 所以， ， 故成立. （2）由（1）知，，即， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 由恒成立知，成立， 即，解得. 53．（23-24高一上··期中）已知幂函数在定义域内单调递增． (1)求的解析式； (2)求关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）幂函数在定义域内单调递增， 故，解得或， 当时，在上单调递减，在上单调递增，不满足； 当时，在上单调递增，满足； 故. （2）在上单调递增，， 故，解得或，即. 54．（23-24高一上·上海静安·期中）已知幂函数的图象关于点中心对称; (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在直角坐标系中做出函数的图像； (3)根据中图像，直接写出不等式的解集， 【答案】(1) (2)答案见解析 (3). 【解析】（1）解：因为函数 是幂函数， 所以 解得 或 ①当 时，函数 定义域是 f（x）的图象关于原点对称， ②当 时，函数的图象关于y轴对称， 则 所以幂函数f（x）的解析式是； （2）由（1）知，其的定义域是 在定义域上的图象，如图所示.      （3）观察（2）中图象得，故函数g（x）的单调递增区间是：和单调递减区间是： 不等式的解集是. 55．（22-23高一上·期中）已知幂函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为，若存在，求出实数m的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为是幂函数， 所以，解得或（舍去） 所以. （2）假设存在实数使得的最小值为，即， 由（1）得， 令，则因为，所以，则，即，此时， 所以可化为，此时，即， 则开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递增，故， 所以由得，即，不满足题意，舍去； 当，即时，易知， 由得或（舍去），故； 当，即时，在上单调递减，故， 由得，不满足题意，舍去； 综上：存在使得的最小值为，故. 56．（2023高一·上海）给定无理数．若正整数满足． (1)试比较三数，，的大小； (2)若，证明下面三个不等式中至少有一个不成立 ①；②；③． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）由题意可知，，所以bc＞ad， 所以，所以， ，所以， 所以； （2）证明：由（1） ，又 若 假设①；②；③都成立， ①③之和可得：④， ②③之和可得：⑤， ④化简得，⑤化简得， 由④⑤之和可得：， 即，则， 又为正整数，所以是有理数，故矛盾；假设不成立 若且，同理可证下列三个不等式中至少有一个不成立； ①；②；③ 所以三个不等式中至少有一个不成立． 57．已知代数式和． (1)若，求不等式的解集； (2)若，证明中至少有一个数不小于； (3)若，不等式对任意实数恒成立，试确定实数满足的条件. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）， 当时，，解得，故， 当时，，解得，故， 当时，，解得，故， 综上，不等式的解集为； （2）假设均小于， 则，解得，解①得， 解②得， 故方程组无解，所以假设不成立， 中至少有一个数不小于； （3）若，不等式对任意实数恒成立， ①当时,, ，要使不等式在R上恒成立，则， 解得，满足，此时由可得，与必有交集，满足要求； ②当时,, ,要使不等式在R上恒成立，则，与矛盾； ③当时,, ,要使不等式在R上恒成立，则，解得； 将代入中,得,要使与有交集,则, 与矛盾； ④当时,, ，要使不等式在R上恒成立，则与矛盾； 综上,要使不等式在R上恒成立,实数满足的条件为. 58．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知二次函数. (1)若等式恒成立，其中，，为常数，求的值； (2)证明：是方程有两个异号实根的充要条件； (3)若对任意，不等式恒成立，求的最大值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【解析】（1）解法1：， 由得， 故. 解法2：在中令得. （2）证明必要性：由于方程（a，b，c是常数且）有一正实根和一负实根，设两根为， ∴，且，∴. 充分性：由可推出，从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， ∴方程（a，b，c是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. （3）若对任意，不等式恒成立， 整理得：恒成立，因为a不为0， 所以，所以， 所以， 令，因为，所以， 若时，此时， 若时，， 当且仅当时，即时，上式取得等号， 综上：的最大值为. 59．（21-22高一下·期中）已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在使得的最小值为0 (3)存在， 【解析】（1）∵为幂函数，∴，∴或． 当时，在上单调递减， 故不符合题意． 当时，在上单调递增， 故，符合题意．∴． （2），令．∵，∴， ∴，． 当时，时，函数有最小值，∴，． ②当时，时，函数有最小值．∴，（舍）． ③当时，时，函数有最小值， ∴，（舍）． ∴综上． （3），易知在定义域上单调递减， ∴，即， 令，， 则，， ∴，∴， ∴． ∵，∴， ∴，∴， ∴． ∵，∴，∴， ∴ ． ∴． 60．（22-23高一上期中）若函数满足：存在整数，使得关于的不等式的解集恰为（），则称函数为函数. (1)若函数为函数，请直接写出（不要过程）； (2)判断函数是否为函数，并说明理由； (3)是否存在实数使得函数为函数，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3)存在， 【解析】（1）函数为二次函数，对称轴为，开口向上， 若函数为函数， 所以，即， 解得. （2）函数不是P函数，理由如下： 在上递增， 因为m，n为整数，由题意可知，即， 令，即，解得， 假设函数为P函数， 则，即，与已知矛盾，所以不存在这样的m，n， 所以函数不是P函数； （3）函数为二次函数，对称轴为，开口向上， 因为关于x的不等式的解集恰为 所以，即 将①代入③得，， 又m，n为整数，，所以，解得，此时，满足题意， 综上所述，存在实数使得函数为P函数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$