串讲04 第4章 数列（考点串讲）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

苏教版(2019)选择性必修 第一册数学 期中考点大串讲 串讲 04 第4章 数列 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 考点1.数列的概念 1．定义：按照确定的________排列的一列数称为数列． 2．项：数列中的__________叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号______表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用______表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用______表示．其中第1项也叫做________． 3．记法：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}． 顺序 每一个数 a1　 a2　 an 首项 考点2.数列的分类 　1．按项的个数分类 类别 含义 有穷数列 __________的数列 无穷数列 __________的数列 2．按项的变化趋势分类 类别 含义 递增数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列 常数列 各项________的数列 项数有限 项数无限 大于 　小于　 都相等 考点3.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的________之间的对应关系可以用__________来表示，那么这个________叫做这个数列的通项公式． 　序号n　 一个式子　 式子　 考点4.数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用__________来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 一个式子 考点5.数列的前n项和 1．定义：把数列{an}从第____项起到第____项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝________________． 2．数列的前n项和公式 (1)如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用__________来表示，那么____________叫做这个数列的前n项和公式； 1　 n a1＋a2＋…＋an 一个式子 　这个式子 a1＋a2＋…＋an－1　 Sn－Sn－1 考点6.等差数列的定义 　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于________常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的______，通常用字母____表示． 同一个　 公差　 d 考点7.等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝________． a＋b 任何两个数都有等差中项吗？ 提示：任何两个数都有等差中项． 考点8.等差数列的通项公式 　　已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d． 递推公式 通项公式 ________＝d(n≥2) an＝__________(n∈N*) an－an－1　 a1＋(n－1)d　 考点9.等差数列的性质 性质1 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*) 性质2 若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an 考点9.等差数列的性质 性质3 若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d 性质4 若{an}，{bn}分别是以d1，d2为公差的等差数列，则{pan＋qbn}是以pd1＋qd2为公差的等差数列 性质5 若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列 性质6 若ap＝q，aq＝p，则ap＋q＝0 性质7 有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项之和：a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an＋1－i＝… 性质8 若数列{an}为等差数列，公差为d，则{λan＋m}(λ，m为常数)是公差为λd的等差数列 考点10.等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用 公式 Sn＝________ Sn＝________________ 考点11.等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于____________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，通常用字母______表示(q≠0)． 同一个常数 　公比　 q　 考点12.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成__________，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝______． 等比数列 ab 考点12.等比中项 任何两个非零实数都有等比中项吗？ 提示：不一定，当两个实数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项． 知识点三　等比数列的通项公式 　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为an＝a1qn－1． 考点13. am·an＝ap·aq qn－m　 qk 考点14.等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1与公比q 首项a1， 末项an与公比q 公式 Sn＝_________________ Sn＝________________ 考点14 2．若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0)． 3．Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm． 考点15.数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1) (归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2) (归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法． 02 典例透析 考点1 解 (5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列． 考点2.数列的表示方法 写出下列数列的前5项，并作出它们的图象： (1)按从小到大的顺序排列的所有素数构成的数列； 解：前5项为2，3，5，7，11，函数图象如图①所示． (2)an＝－n＋1． 解：前5项为0，－1，－2，－3，－4，函数图象如图②所示． 考点3 考点3.写出数列的通项公式 考点3.写出数列的通项公式 (3)9，99，999，9 999． 解：各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*． 考点4.数列通项公式的应用 2．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数． (1)求{an}的通项公式； (2)判断2 022是不是数列{an}中的项？ 解：令an＝2 022，即4n－2＝2 022，解得n＝506， ∵506∈N*， ∴2 022是数列{an}中的项． 考点5. 考点6.由递推公式求数列的通项公式 【例6】　(1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，n∈N*，求通项an； 解　当n≥2时， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) a1＝1也符合上式， 所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1，n∈N*． 考点7.利用Sn与an的关系求通项公式 已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an． (1)Sn＝2n2＋3n＋2； 解：当n＝1时，a1＝S1＝7， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n＋2)－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1， 又a1＝7不适合上式， (2)Sn＝3n－1． 解：当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1，显然a1＝2适合上式， 所以an＝2×3n－1(n∈N*)． 考点8.等差数列的通项公式及其应用 10 (2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝________； (3)已知{an}的前3项依次为2，6，10，则a15＝________． 解析：由题意得，d＝6－2＝4，把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋(n－1)d，得an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，∴a15＝4×15－2＝58． 58 考点9.等差中项的应用 【例题9】已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是 (　　) A．2 B．3 C．6 D．9 B　 考点10.等差数列的证明 考点11.等差数列的探究 考点11.an＝am＋(n－m)d的应用 已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________． 解析：法一：∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d， ∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8． ∴b8＝2×8－8＝8． 8 考点12.等差数列性质的应用 (2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为 (　　) A．0 B．37 C．100 D．－37 解析　设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以数列{an＋bn}仍然是等差数列．又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100． C 考点13.等差数列中项的设法 考点14.等差数列的实际应用 假设某市2021年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米．那么该市在________年新建住房的面积开始大于820万平方米． 2030 考点15.求{|an|}的前n项和 D　 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－5n＋2，则数列{|an|}的前10项和为 (　　) A．56　　　　　　　　 B．58 C．62 D．60 考点16.等差数列前n项和最值的判断 B　 考点17.等差数列前n项和最值的计算 考点17.等差数列前n项和最值的计算 (2)求Tn及Tn的最小值． 考点18.等差数列求和的实际应用 某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40．从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10． (1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数； 解：由题意，知该地区9月份前10天每天新感染者人数构成一个首项a1＝40，公差d＝40的等差数列{an}， 所以9月10日的新感染者人数为a10＝40＋(10－1)×40＝400． 从9月11日起，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10，所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390． 考点18.等差数列求和的实际应用 (2)该地区9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？ 9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项b1＝390，公差d1＝－10的等差数列{bn}， 又b20＝390－10×19＝200， 所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100(人)． 考点19.等比数列中的基本运算 C　 考点20.等比中项 在等比数列{an}中，a1＝－16，a4＝8，则a7＝ (　　) A．－4 B．±4 C．－2 D．±2 A　 考点21. 等比数列的判定与证明 已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4．证明：数列{an＋4}是等比数列． 证明：∵a1＝－2，∴a1＋4＝2． ∵an＋1＝2an＋4，∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)， ∴{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． 考点22. ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5． (2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解　根据等比数列的性质，得 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 ＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10． 考点23. 等比数列与等差数列的综合应用 题型二　等比数列与等差数列的综合应用 【例2】　已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12． (1)求{an}的通项公式； (2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值． 即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6．   考点24.等比数列的实际应用 画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________． 2 048 考点25. 等比数列前n项和公式的基本运算 【例25】　在等比数列{an}中． (1)若S2＝30，S3＝155，求Sn； 考点25. 等比数列前n项和公式的基本运算 (3)若a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q． 解　因为a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两个根． 考点26. 等比数列连续n项和的性质 一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数． 解：法一：设该等比数列为{an}，公比为q，项数为2n(n∈N*)． 考点27.等比数列前n项和公式的实际应用 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%．这个热气球上升的高度能超过125 m吗？ 解：用an表示热气球在第n分钟内上升的高度， 即这个热气球上升的高度不可能超过125 m． 考点28. 所以b1＝a2＝a1＋1＝2， b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5． 因为bn＝a2n，所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3， 所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3， 所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，bn＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N*． 考点28. (2)求{an}的前20项和． 所以k∈N*时，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1，即a2k＝a2k－1＋1， ① a2k＋1＝a2k＋2， ② a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1， ③ 所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3， 所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； ②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3， 又a2＝2，所以数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 考点29.并项转化法求和 求和12－22＋32－42＋…＋992－1002． 解：12－22＋32－42＋…＋992－1002＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002) ＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)＝－5 050． 考点30.裂项相消法求和 整理得(an＋1＋an)(an＋1－an)＝2(an＋1＋an)， 因为an＋1＋an≠0，所以an＋1－an＝2， 故数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1． 考点31. (1)求{an}和{bn}的通项公式； 解　设{an}的公比为q，则an＝qn－1． 考点31. 考点32. 考点32. 上式表明当n＝k＋1时，命题也成立． 由(1)(2)知，命题对任何n∈N*均成立． 那么当n＝k＋1时， 考点33. 证明　(1)当n＝2时， (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，即 考点33. 则当n＝k＋1时， 所以当n＝k＋1时不等式也成立． 由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立． 考点34. 考点34. (2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想． 下面用数学归纳法证明． 03 考场练兵 B　 D 3．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝ (　　) A．5 B．8 C．10 D．14 解析：法一：设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8． 法二：由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8． B　 B　 C　 5.《九章算术》一书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为 (　　) A．13 B．14 C．15 D．16 解析：由题意可知，每日所织数量构成等差数列{an}，且a2＋a5＋a8＝15，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝28，设公差为d，由a2＋a5＋a8＝15，得3a5＝15，所以a5＝5，由a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝7a4＝28，得a4＝4，则d＝a5－a4＝1，所以a15＝a5＋10d＝5＋10×1＝15． 6.若数列{an}的通项公式是an＝2(n＋1)＋3，则此数列 (　　) A．是公差为2的等差数列 B．是公差为3的等差数列 C．是公差为5的等差数列 D．不是等差数列 解析：an＋1－an＝[2(n＋2)＋3]－[2(n＋1)＋3]＝2，故{an}是公差为2的等差数列． A　 7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝ (　　) A．63 B．45 C．36 D．27 B　 解析：由等差数列前n项和的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即S9＝3S6－3S3，又S3＝9，S6＝36，所以S9＝3×36－3×9＝81，所以a7＋a8＋a9＝S9－S6＝81－36＝45． B　 8．已知数列{2n－19}，那么这个数列的前n项和Sn (　　) A．有最大值且是整数 B．有最小值且是整数 C．有最大值且是分数 D．无最大值和最小值 9．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项公式an＝ (　　) A．n2＋1 B．n＋1 C．1－n D．3－n D　 解析：由题意得an＋1－an＝－1．∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋ 当n＝1时，a1＝2也符合上式．故数列的通项公式an＝3－n(n∈N*)． 10．某命题与自然数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得 (　　) A．当n＝6时，该命题不成立 B．当n＝6时，该命题成立 C．当n＝4时，该命题不成立 D．当n＝4时，该命题成立 解析：若n＝4时，该命题成立，由条件可推得n＝5命题成立．所以若n＝5该命题不成立，则n＝4时该命题也不成立． C　 11．在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则a1a9的值为 (　　) A．9　　B．－9 C．±9　 D．18 解析：因为{an}为等比数列，所以a3a7＝a4a6＝a1a9．所以(a1a9)2＝81，即a1a9＝±9．因为在等比数列{an}中，奇数项(或偶数项)的符号相同，所以a1，a9同号，所以a1a9＝9． A　 13．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S2＝2，S3＝－6． (1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn； (2)是否存在正整数n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 解：由(1)知Sn＋Sn＋3＝7n－3n2＋7(n＋3)－3(n＋3)2 ＝－6n2－4n－6， 2(Sn＋2＋2n)＝2(－3n2－5n＋2＋2n)＝－6n2－6n＋4， 若存在正整数n使得Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列，则－6n2－4n－6＝－6n2－6n＋4，解得n＝5，所以存在n＝5，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列． 15．已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝30，且a1，a2，a4成等比数列． 求数列{an}的通项公式； 解：由{an}为等差数列，d≠0，前n项和为Sn，且S5＝30，得30＝5a1＋10d① ∴(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)， ② $$