串讲03 第3章 圆锥曲线与方程（考点串讲）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

苏教版(2019)选择性必修 第一册数学 期中考点大串讲 串讲 03 第3章 圆锥曲线与方程 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 考点1.椭圆的定义 > |PF1|＋|PF2|＝2a 焦点 焦距 考点2.椭圆的标准方程 2c (±c，0) (0，±c) a2＝b2＋c2 考点3.椭圆的几何性质 考点3.椭圆的几何性质 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a x轴、y轴 (0，0) (±a，0)，(0，±b) (0，±a)，(±b，0) 2b 2a (±c，0) (0，±c) 2c 考点4. 椭圆几何性质的应用 半长轴长 半短轴长 半焦距 焦点 原点 |B1F2| |B2F1| |B2F2| a 考点4. 椭圆几何性质的应用 a＋c a－c 考点5. 椭圆的离心率对椭圆形状的影响 小 扁 大 圆 考点6.双曲线的定义 < ||PF1|－|PF2||＝2a 焦点 焦距 考点7.双曲线的标准方程 (±c，0) (0，±c) 考点8.双曲线的几何性质 考点8.双曲线的几何性质 (±c，0) (0，±c) |F1F2|＝2c c2＝a2＋b2 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 关于x轴、y轴和原点对称 (±a，0) (0，±a) 实轴长＝2a，虚轴长＝2b 考点9.等轴双曲线 实轴长与虚轴长相等 x2－y2＝λ(λ≠0) y＝±x 考点10.对双曲线的几何性质的五点认识 考点10.对双曲线的几何性质的五点认识 考点11. 抛物线的定义 相等 定点F 定直线l 考点12.　抛物线的标准方程 y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 考点13.　抛物线的几何性质 y≥0 y≤0 x轴 y轴 O(0，0) e＝1 02 典例透析 考点1.椭圆的定义 ②③ 解析 答案 考点2.求椭圆的标准方程 解 考点2.求椭圆的标准方程 解 考点3.椭圆的定义及标准方程的应用 考点3.椭圆的定义及标准方程的应用 解 考点3.椭圆的定义及标准方程的应用 解 考点4.椭圆的几何性质 解 考点4.椭圆的几何性质 解 考点5.利用椭圆的几何性质求标准方程 考点5.利用椭圆的几何性质求标准方程 解 考点5.利用椭圆的几何性质求标准方程 解 考点5.利用椭圆的几何性质求标准方程 解 考点5.利用椭圆的几何性质求标准方程 解 考点6.椭圆的离心率问题 答案 解析 考点7.椭圆的实际应用问题 考点7.椭圆的实际应用问题 解 考点8.双曲线的定义 答案 解析 考点9.求双曲线的标准方程 答案 考点9.求双曲线的标准方程 解析 考点10.双曲线的定义及标准方程的应用 答案 解析 考点10.双曲线的定义及标准方程的应用 考点10.双曲线的定义及标准方程的应用 解 解 考点10.双曲线的定义及标准方程的应用 考点11.利用双曲线的定义求轨迹方程 解 考点11.利用双曲线的定义求轨迹方程 解 考点11.利用双曲线的定义求轨迹方程 解 考点12.双曲线的几何性质 解析 考点13.由双曲线的几何性质求标准方程 解 考点13.由双曲线的几何性质求标准方程 解 考点13.由双曲线的几何性质求标准方程 答案 解析 考点14. 双曲线的离心率问题 答案 考点15.双曲线的渐近线问题 解析 考点15.双曲线的渐近线问题 答案 解析 考点16.抛物线的定义及其应用 考点17. 求抛物线的标准方程 解 考点17. 求抛物线的标准方程 解 考点17. 求抛物线的标准方程 解 考点18. 利用抛物线的定义求轨迹方程 解析 考点18. 利用抛物线的定义求轨迹方程 答案 考点19. 抛物线的简单几何性质 解析 考点19. 抛物线的简单几何性质 解 考点20.由抛物线的几何性质求标准方程 答案 [4，＋∞) 解析 考点21.抛物线几何性质的应用 03 考场练兵 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 解 解 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2aeq \x(\s\up1(01))_____|F1F2|，则平面内满足eq \x(\s\up1(02))_________________的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的eq \x(\s\up1(03))_______，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的eq \x(\s\up1(04))_______． 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 eq \x(\s\up1(01))___________________ eq \x(\s\up1(02))_________________ 图形 焦距 |F1F2|＝eq \x(\s\up1(03))_____ 焦点坐标 eq \x(\s\up1(04))____________ eq \x(\s\up1(05))____________ a，b，c的关系 eq \x(\s\up1(06))____________ eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0) 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 eq \x(\s\up1(01))________________ eq \x(\s\up1(02))________________ eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0) 范围 eq \x(\s\up1(03))_____________________ eq \x(\s\up1(04))____________________ 对称性 对称轴eq \x(\s\up1(05))____________，对称中心eq \x(\s\up1(06))________ 顶点 eq \x(\s\up1(07))______________________ eq \x(\s\up1(08))______________________ 轴长 短轴长＝eq \x(\s\up1(09))_____，长轴长＝eq \x(\s\up1(10))_____ 焦点 eq \x(\s\up1(11))____________ eq \x(\s\up1(12))____________ 焦距 |F1F2|＝eq \x(\s\up1(13))_____ 离心率 e＝eq \x(\s\up1(14))_______ (0<e<1) eq \f(c,a) (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a，b的值可确定其性质． (2)明确a，b，c的几何意义，a是eq \x(\s\up1(01))___________，b是eq \x(\s\up1(02))___________，c是eq \x(\s\up1(03))___________，不要与长轴长、短轴长、焦距混淆，由a2＝b2＋c2，可知长度分别为a，b，c的三条线段构成一个直角三角形，且长度为a的线段是斜边．这说明，以椭圆任意一个短轴的端点、任意一个eq \x(\s\up1(04))_______以及eq \x(\s\up1(05))________为顶点的三角形是一个直角三角形，而且短轴端点与焦点的连线长为a．如图所示，|B1F1|＝eq \x(\s\up1(06))______＝eq \x(\s\up1(07))______＝eq \x(\s\up1(08))______＝eq \x(\s\up1(09))______． (3)椭圆上的所有点中，到给定焦点距离最大和最小的点，分别是长轴的两个端点．若椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则椭圆与x轴的交点A1(－a，0)，A2(a，0)到右焦点F2的距离分别最大和最小，且|A1F2|＝eq \x(\s\up1(10))________，|A2F2|＝eq \x(\s\up1(11))________． (1)椭圆的半焦距与半长轴长之比称为椭圆的离心率，记作e＝eq \f(c,a)．∵a>c>0，∴0<e<1． (2)eq \f(b,a)＝eq \f(\r(a2－c2),a)＝eq \r(\f(a2－c2,a2))＝eq \r(1－e2)，e越趋近于1，则eq \f(b,a)的值越eq \x(\s\up1(01))_____，因此椭圆越eq \x(\s\up1(02))_____；反之，e越趋近于0，则eq \f(b,a)的值越eq \x(\s\up1(03))_____，这时椭圆就越接近于eq \x(\s\up1(04))_____．当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，图形就变为圆，此时方程即为x2＋y2＝a2． 　 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2aeq \x(\s\up1(01))_____|F1F2|，则平面上满足eq \x(\s\up1(02))____________________的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的eq \x(\s\up1(03))_____，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的eq \x(\s\up1(04))_______． 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 eq \x(\s\up1(01))___________________ eq \x(\s\up1(02))___________________ 焦点坐标 eq \x(\s\up1(03))_______________ eq \x(\s\up1(04))_____________ a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0) 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0) 性质 焦点 eq \x(\s\up1(01))______________ eq \x(\s\up1(02))__________ 焦距 eq \x(\s\up1(03))________________ a，b，c关系 eq \x(\s\up1(04))________________ 范围 eq \x(\s\up1(05))________________ eq \x(\s\up1(06))________________ 对称性 eq \x(\s\up1(07))________________________________ 顶点 eq \x(\s\up1(08))________________ eq \x(\s\up1(09))________________ 轴长 eq \x(\s\up1(10))__________________________ 渐近线 eq \x(\s\up1(11))________________ eq \x(\s\up1(12))________________ 离心率 eq \x(\s\up1(13))________________ y＝±eq \f(b,a)x y＝±eq \f(a,b)x e＝eq \f(c,a)(e>1) eq \x(\s\up1(01))___________________的双曲线称为等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质： (1)方程形式为eq \x(\s\up1(02))___________________； (2)渐近线方程为eq \x(\s\up1(03))___________________，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； (3)离心率e＝eq \x(\s\up1(04))_____________． eq \r(2) (1)双曲线的焦点决定双曲线的位置． (2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，得eq \f(x2,a2)＝1＋eq \f(y2,b2)≥1，所以x2≥a2，所以|x|≥a，即x≤－a或x≥a． (3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，对于双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，因为c>a>0，所以e>1，则eq \f(b,a)＝eq \f(\r(c2－a2),a)＝eq \r(\f(c2－a2,a2))＝eq \r(e2－1)，这说明e越趋近于1，则eq \f(b,a)的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄． (4)对称性：由双曲线的方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，若P(x，y)是双曲线上任意一点，则P1(－x，y)，P2(x，－y)，P3(－x，－y)均在双曲线上，P与P1，P2，P3分别关于y轴、x轴、原点对称，因此双曲线分别关于y轴、x轴、原点对称．双曲线的顶点有两个，而椭圆有四个． (5)双曲线上的所有点中，到给定焦点距离最小的点，是离该焦点最近的实轴的端点． 一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离eq \x(\s\up1(01))_______________的点的轨迹称为抛物线，其中eq \x(\s\up1(02))__________称为抛物线的焦点，eq \x(\s\up1(03))_______________称为抛物线的准线． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0)) x＝eq \f(p,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))) y＝－eq \f(p,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))) 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 eq \x(\s\up1(01))________________ eq \x(\s\up1(02))____________ eq \x(\s\up1(03))___________ eq \x(\s\up1(04))________________ eq \x(\s\up1(05))____________ eq \x(\s\up1(06))___________ eq \x(\s\up1(07))________________ eq \x(\s\up1(08))____________ eq \x(\s\up1(09))___________ eq \x(\s\up1(10))________________ eq \x(\s\up1(11))____________ eq \x(\s\up1(12))___________ y＝eq \f(p,2) y2＝2px(p>0) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)) x＝－eq \f(p,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))) x＝－eq \f(p,2) x＝eq \f(p,2) y＝－eq \f(p,2) y＝eq \f(p,2) 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形　　　　 性质 焦点 eq \x(\s\up1(01))____________ eq \x(\s\up1(02))___________ eq \x(\s\up1(03))__________ eq \x(\s\up1(04))____________ 准线 eq \x(\s\up1(05))____________ eq \x(\s\up1(06))___________ eq \x(\s\up1(07))__________ eq \x(\s\up1(08))____________ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R eq \x(\s\up1(09))_______，x∈R eq \x(\s\up1(10))________，x∈R 对称轴 eq \x(\s\up1(11))____________ eq \x(\s\up1(12))____________ 顶点 eq \x(\s\up1(13))____________ 离心率 eq \x(\s\up1(14))____________ 开口方向 向右 向左 向上 向下 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))) 解析　①因为eq \r(2)<2，所以点P的轨迹不存在；②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③因为|PF1|＋|PF2|＝14>12，所以点P的轨迹为椭圆；④到定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)． 　 【例题1】下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F1(－1，0)，F2(1，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝eq \r(2)的点P的轨迹为椭圆； ②已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段； ③已知定点F1(0，6)，F2(0，－6)，则满足|PF1|＋|PF2|＝14的点P的轨迹为椭圆； ④到定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离相等的点的轨迹为椭圆． 【例题2】求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)两焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，且椭圆经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))； (2)经过P1(eq \r(6)，1)，P2(－eq \r(3)，－eq \r(2))两点； (3)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，eq \r(6))． 解　(1)∵椭圆的焦点在y轴上， ∴设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)． 由椭圆的定义知，2a＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋2))\s\up12(2))＋eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2))\s\up12(2))＝2eq \r(10)， 即a＝eq \r(10)， 又c＝2，∴b2＝a2－c2＝6， ∴所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,10)＋eq \f(x2,6)＝1． (2)设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)，故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6A＋B＝1，,3A＋2B＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝\f(1,9)，,B＝\f(1,3)，)) 即所求椭圆的标准方程是eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1． (3)由题意，椭圆9x2＋5y2＝45化为标准方程eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,5)＝1，知焦点F1(0，2)，F2(0，－2)，设所求椭圆方程为eq \f(y2,λ＋4)＋eq \f(x2,λ)＝1(λ＞0)，将x＝2，y＝eq \r(6)代入，得eq \f(6,λ＋4)＋eq \f(4,λ)＝1，解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．故所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,8)＝1． 　 (x2,25)【例题3】　(1)如图所示，已知经过椭圆＋eq \f(y2,16)＝1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点． ①求△AF1B的周长； ②如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有变化吗？为什么？ 解　①如题图，由题意知，A，B在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上，故有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝10＋10＝20． ②如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长仍为20不变．因为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝20，与AB和x轴是否垂直无关． (2)如图所示，点P是椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积． 解　在椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1中，a＝eq \r(5)，b＝2，∴c＝eq \r(a2－b2)＝1． 又P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq \r(5)． ① 在△F1PF2中，由余弦定理知， |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos30°＝|F1F2|2＝(2c)2＝4． ② ①式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20． ③ ③－②，得(2＋eq \r(3))|PF1|·|PF2|＝16， ∴|PF1|·|PF2|＝16(2－eq \r(3))， ∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sin30°＝8－4eq \r(3)． 　　 (\r(3),2)【例题4】已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标． 解　椭圆的方程可化为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,\f(m,m＋3))＝1， ∵m－eq \f(m,m＋3)＝eq \f(m（m＋2）,m＋3)>0，∴m>eq \f(m,m＋3)． ∴椭圆的焦点在x轴上． 即a2＝m，b2＝eq \f(m,m＋3)， c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(\f(m（m＋2）,m＋3))． 由e＝eq \f(\r(3),2)，得eq \r(\f(m＋2,m＋3))＝eq \f(\r(3),2)，∴m＝1． ∴椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,\f(1,4))＝1． ∴a＝1，b＝eq \f(1,2)，c＝eq \f(\r(3),2)． ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0))，四个顶点坐标分别为(－1，0)，(1，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))． 　 【例题5】求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的3倍且经过点A(3，0)； (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为eq \r(3)； (3)经过P(－2eq \r(3)，1)，Q(eq \r(3)，－2)两点； (4)与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1有相同离心率，且经过点(2，－eq \r(3))． 解　 (1)若焦点在x轴上，设所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)， ∵椭圆过点A(3，0)，∴eq \f(9,a2)＝1，得a＝3， ∵2a＝3×2b，∴b＝1，∴方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1； 若焦点在y轴上，设所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)， ∵椭圆过点A(3，0)，∴eq \f(9,b2)＝1，得b＝3， 又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程为eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1． 综上所述，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1或eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1． (2)由已知，有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2c，,a－c＝\r(3)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(3)，,c＝\r(3)，)) b2＝a2－c2＝9． 若焦点在y轴上，则eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,9)＝1； 若焦点在x轴上，则eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1． ∴所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,9)＝1． (3)设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(12m＋n＝1，,3m＋4n＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,15)，,n＝\f(1,5)，)) 则所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,5)＝1． (4)由椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，得a2＝4，b2＝3， ∴c2＝a2－b2＝1，e＝eq \f(1,2)． 当焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(1,2)，,a2＝b2＋c2，,\f(4,a2)＋\f(3,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝8，,b2＝6，)) ∴所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1； 当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(1,2)，,a2＝b2＋c2，,\f(3,a2)＋\f(4,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(25,3)，,b2＝\f(25,4)，)) ∴所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,\f(25,3))＋eq \f(x2,\f(25,4))＝1． 故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1或eq \f(y2,\f(25,3))＋eq \f(x2,\f(25,4))＝1． 　 【例题6】(2024·益阳安化县第二中学高二月考)已知正方形ABCD，以A，C两点为焦点的椭圆恰好过正方形四边的中点，则椭圆的离心率为(　　) A．eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(5)－1,2) C．eq \f(\r(10)－\r(2),2) D．eq \f(\r(5),3) 解析　以正方形的中心为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为t(t>0)，则|AD|＝t，|DM|＝|MC|＝eq \f(1,2)t，|AM|＝eq \f(\r(5),2)t，|AC|＝eq \r(2)t，椭圆中2a＝|AM|＋|MC|＝eq \f(\r(5),2)t＋eq \f(1,2)t，2c＝|AC|＝eq \r(2)t，故离心率e＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(\r(2)t,\f(\r(5),2)t＋\f(1,2)t)＝eq \f(2\r(2)×（\r(5)－1）,4)＝eq \f(\r(10)－\r(2),2)．故选C． 　　 (ab)【例题7】　我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星(其半径R＝34百公里)的中心F为右焦点的椭圆．已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里．假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨，其中a，b分别为椭圆的半长轴长、半短轴长，求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百公里)． 解　 探测器的运行轨道方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，且c＝eq \r(a2－b2)． ∵a＋c＝800＋34，a－c＝8＋34， ∴a＝438，c＝396． 于是b2＝a2－c2＝35028． ∴探测器的运行轨道方程为eq \f(x2,191844)＋eq \f(y2,35028)＝1． 设变轨时，探测器位于点P(x0，y0)，则 xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＝ab≈81975．1，2,0)eq \f(x,191844) ＋2,0)eq \f(y,35028) ＝1， 解得x0≈239．7，y0≈156．6． ∴2,0)eq \r(（x0－c）2＋y) －R≈187． 故探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里． 　　 【例题8】已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　) A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4 C．|PF1|－|PF2|＝±5 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4 解析　当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线的定义，所以点P的轨迹是双曲线． 　　 【例题9】在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则其标准方程是(　　) A．eq \f(y2,36)－eq \f(x2,64)＝1 B．eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1 C．eq \f(x2,36)－eq \f(y2,64)＝1 D．eq \f(x2,36)－eq \f(y2,64)＝1或eq \f(y2,36)－eq \f(x2,64)＝1 解析　在双曲线的标准方程中，a＝6，b＝8，当双曲线的焦点在x轴上时，它的标准方程是eq \f(x2,36)－eq \f(y2,64)＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，它的标准方程是eq \f(y2,36)－eq \f(x2,64)＝1．所以双曲线的标准方程是eq \f(x2,36)－eq \f(y2,64)＝1或eq \f(y2,36)－eq \f(x2,64)＝1．故选D． 　 (x2,m－2)【例题10】“m>2”是“方程－eq \f(y2,m－1)＝1表示双曲线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　方程eq \f(x2,m－2)－eq \f(y2,m－1)＝1表示双曲线，则(m－2)(m－1)>0，解得m<1或m>2，所以“m>2”是“方程eq \f(x2,m－2)－eq \f(y2,m－1)＝1表示双曲线”的充分不必要条件．故选A． (2)如图，F1，F2是双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的两个焦点． ①若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； ②若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积． 解　因为双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，故a＝3，b＝4，c＝eq \r(a2＋b2)＝5． ①由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22． 由于c－a＝5－3＝2，10>2，22>2，故点M到另一个焦点的距离为10或22． ②将||PF2|－|PF1||＝2a＝6两边平方得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100． 在△F1PF2中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|) ＝eq \f(100－100,2|PF1|·|PF2|)＝0， 所以∠F1PF2＝90°， 所以S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×32＝16． 　　 (2)【例题11】如图，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程，并指出它表示什么曲线． 解　如图，以AB边所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(－2eq \r(2)，0)，B(2eq \r(2)，0)． 由正弦定理得sinA＝eq \f(|BC|,2R)， sinB＝eq \f(|AC|,2R)，sinC＝eq \f(|AB|,2R)． 因为2sinA＋sinC＝2sinB， 所以2|BC|＋|AB|＝2|AC|， 即|AC|－|BC|＝eq \f(|AB|,2)． 从而有|CA|－|CB|＝eq \f(1,2)|AB|＝2eq \r(2)<|AB|． 所以由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支且不包括点(eq \r(2)，0)． 因为a＝eq \r(2)，c＝2eq \r(2)，所以b2＝c2－a2＝6． 所以顶点C的轨迹方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,6)＝1(x>eq \r(2))． 故顶点C的轨迹为双曲线的右支且除去点(eq \r(2)，0)． 　 【例题12】求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图． 解　将9y2－4x2＝－36变形为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1， 即eq \f(x2,32)－eq \f(y2,22)＝1，所以a＝3，b＝2，c＝eq \r(13)， 因此顶点坐标为(－3，0)，(3，0)， 焦点坐标为(－eq \r(13)，0)，(eq \r(13)，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(13),3)，渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(2,3)x． 作出草图如图： 　　 【例题13】分别求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为eq \f(5,4)； (2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±eq \f(3,2)x． 解　(1)设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)． 由题意知2b＝12，eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)且c2＝a2＋b2， ∴b＝6，c＝10，a＝8， ∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1或eq \f(y2,64)－eq \f(x2,36)＝1． (2)解法一：当焦点在x轴上时， 由eq \f(b,a)＝eq \f(3,2)且a＝3得b＝eq \f(9,2)， ∴所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,\f(81,4))＝1； 当焦点在y轴上时，由eq \f(a,b)＝eq \f(3,2)且a＝3得b＝2， ∴所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,4)＝1． 故双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,\f(81,4))＝1或eq \f(y2,9)－eq \f(x2,4)＝1． 解法二：设以y＝±eq \f(3,2)x为渐近线的双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝λ(λ≠0)， 当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2eq \r(4λ)＝6⇒λ＝eq \f(9,4)； 当λ<0时，a2＝－9λ， ∴2a＝2eq \r(－9λ)＝6⇒λ＝－1． ∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,\f(81,4))＝1或eq \f(y2,9)－eq \f(x2,4)＝1． 　　 　 (x2,a2)【例题14】过双曲线－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，以AB为直径的圆恰好过双曲线的左焦点，则双曲线的离心率为________． 解析　设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，则|AB|＝eq \f(2b2,a)，又因为以AB为直径的圆恰好过双曲线的左焦点，所以|F1F2|＝eq \f(1,2)|AB|，即2c＝eq \f(b2,a)，所以c2－2ac－a2＝0，则e2－2e－1＝0，解得e＝1＋eq \r(2)或e＝1－eq \r(2)(舍去)． 1＋eq \r(2) 　　 (y2,a2)【例题15】已知双曲线C：－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离之比为3∶1，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A．y＝±2eq \r(2)x B．y＝±eq \r(2)x C．y＝±eq \f(\r(2),2)x D．y＝±eq \f(\r(2),4)x 解析　根据题意，可设一条渐近线为by－ax＝0，取F(0，c)，A(0，a)，所以eq \f(\f(|bc|,\r(a2＋b2)),\f(|ba|,\r(a2＋b2)))＝3，解得c＝3a，因为c2＝a2＋b2，故b2＝8a2，因此双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x＝±eq \f(\r(2),4)x．故选D． 　 【例题16】 若点P(x，y)满足方程eq \r(（x－1）2＋（y－2）2)＝eq \f(|3x＋4y＋12|,5)，则点P的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析　等式左侧表示点P(x，y)与点(1，2)间的距离，等式右侧表示点P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离，整个等式表示点P(x，y)到点(1，2)的距离和到直线3x＋4y＋12＝0的距离相等，且点(1，2)不在直线3x＋4y＋12＝0上，所以点P的轨迹为抛物线．故选D． 　 【例题17】　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为(－2，0)； (2)准线方程为y＝－1； (3)焦点到准线的距离是4； (4)过点(1，2)． 解　(1)∵焦点在x轴的负半轴上，且eq \f(p,2)＝2，∴p＝4， ∴抛物线的标准方程为y2＝－8x． (2)∵焦点在y轴的正半轴上，且eq \f(p,2)＝1， ∴p＝2， ∴抛物线的标准方程为x2＝4y． (3)由题意可得p＝4，抛物线的标准方程为y2＝8x或y2＝－8x或x2＝8y或x2＝－8y． (4)解法一：点(1，2)在第一象限，要分两种情形： 当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线的标准方程为y2＝2p1x(p1>0)，则22＝2p1·1，解得p1＝2，抛物线的标准方程为y2＝4x； 当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线的标准方程为x2＝2p2y(p2>0)，则12＝2p2·2，解得p2＝eq \f(1,4)，抛物线的标准方程为x2＝eq \f(1,2)y． 解法二：设抛物线的标准方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点(1，2)代入，得m＝4，n＝eq \f(1,2)． 故抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝eq \f(1,2)y． 　 【例题18】　已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P与圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程． 解　解法一：设点P的坐标为(x，y)，圆P的半径为r，由题意知|AP|＝r＋1， 即eq \r(（x＋2）2＋y2)＝|x－1|＋1， 化简，整理得y2＝－8x，y2＝－4x－4(舍去)． ∴动圆的圆心P的轨迹方程为y2＝－8x． 解法二：设圆P的半径为r，如图，作PK垂直于直线x＝1，垂足为K，PQ垂直于直线x＝2，垂足为Q， 则|KQ|＝1，∴|PQ|＝r＋1， 又|AP|＝r＋1，∴|AP|＝|PQ|， 故点P到圆心A(－2，0)的距离与到定直线x＝2的距离相等， ∴点P的轨迹是以A(－2，0)为焦点，直线x＝2为准线的抛物线．∴eq \f(p,2)＝2，∴p＝4， ∴动圆的圆心P的轨迹方程为y2＝－8x． 　　 【例题19】(多选)下列说法中正确的是(　　) A．抛物线关于顶点对称 B．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心 C．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同 D．抛物线x2＝4y，y2＝4x的x，y的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的 解析　对于A，抛物线是轴对称图形，不是中心对称图形，所以A错误；对于B，抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心，所以B正确；对于C，所有抛物线的离心率为1，所以抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同，所以C正确；对于D，抛物线x2＝4y，y2＝4x的x，y的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的，都为2，所以D正确．故选BCD． 　　 (x2,4)【例题20】抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆＋eq \f(y2,9)＝1的短轴所在的直线，抛物线的焦点到抛物线的顶点的距离为4，求抛物线的标准方程及准线方程． 解　因为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1的短轴在x轴上，所以抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)， 因为抛物线的焦点到抛物线的顶点的距离为4，所以eq \f(p,2)＝4，即p＝8，所以抛物线的标准方程为y2＝16x或y2＝－16x，准线方程分别为x＝－4或x＝4． 　　 【例题21】 已知直线x＝t交抛物线y2＝4x于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得AC⊥BC，则t的取值范围为________． 解析　由题意知A(t，2eq \r(t))，B(t，－2eq \r(t))，设C(m，2eq \r(m))(m≥0)，由AC⊥BC，得eq \o(AC,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝0，即(m－t)2＋(2eq \r(m)－2eq \r(t))(2eq \r(m)＋2eq \r(t))＝m2＋(4－2t)m＋t2－4t＝0，解得m＝t(舍去)或m＝t－4，由m＝t－4≥0得t的取值范围为[4，＋∞)． 1．(2024·邢台五校高二质检)“n>m>0”是“方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若n>m>0，则eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则n>m>0，所以“n>m>0”是“方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件．故选C． 2．(2024·榆林第十中学高二月考)以双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的焦点为顶点，离心率为eq \r(3)的双曲线的标准方程为(　　) A．eq \f(x2,32)－eq \f(y2,16)＝1 B．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,32)＝1 C．eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1 解析　双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的焦点在x轴上，且焦点坐标为(±2，0)，故可设新双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则新双曲线的顶点坐标为(±2，0)，即a＝2，∵离心率为eq \r(3)，∴eq \f(c,a)＝eq \r(3)，得c＝2eq \r(3)，则b2＝c2－a2＝12－4＝8，即新双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1．故选D． 3．(2024·北京顺义牛栏山一中高二期中)已知抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为3的点M到焦点F的距离为6，则p＝(　　) A．2 B．3 C．6 D．8 解析　记抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l，作MN⊥l，垂足为N，由抛物线定义可知，|MN|＝|MF|，则3＋eq \f(p,2)＝6，解得p＝6．故选C． 4．(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,5)＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若eq \o(PF1,\s\up16(→))·eq \o(PF2,\s\up16(→))＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 解析　解法一：因为eq \o(PF1,\s\up16(→))·eq \o(PF2,\s\up16(→))＝0，所以∠F1PF2＝90°，从而S△F1PF2＝b2tan45°＝1＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝2．故选B． 解法二：因为eq \o(PF1,\s\up16(→))·eq \o(PF2,\s\up16(→))＝0，所以∠F1PF2＝90°，由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4⇒c＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝42＝16，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq \r(5)，平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2．故选B． 解析　由已知e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，得c＝eq \f(\r(2),2)a，故b＝eq \r(a2－c2)＝eq \f(\r(2),2)a，∵S△PF1F2＝eq \f(1,2)|F1F2||yP|＝eq \f(1,2)×2c|yP|≤bc，即(S△PF1F2)max＝bc＝4，∴eq \f(\r(2),2)a×eq \f(\r(2),2)a＝4，得a2＝8，故b2＝eq \f(1,2)a2＝4，∴椭圆C的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1．故选D． 5．(2024·保定第二中学高二质检)我们把离心率为eq \f(\r(2),2)的椭圆称为“最美椭圆”．已知椭圆C为“最美椭圆”，焦点在x轴上，且以椭圆C上一点P和椭圆两焦点F1和F2为顶点的三角形的面积的最大值为4，则椭圆C的方程为(　　) A．eq \f(x2,2)＋y2＝1 B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 C．eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1 6．抛物线C：y2＝－12x的焦点为F，P为抛物线C上一动点，定点A(－5，2)，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　) A．8 B．6 C．5 D．9 解析　如图，设抛物线C的准线为l，过P作PC⊥l于C，因为|PF|＝|PC|，所以当A，P，C三点共线时，|PA|＋|PF|取得最小值，故|PA|＋|PF|的最小值为|－5|＋eq \f(p,2)＝8．故选A． 7．(2024·宝鸡实验高级中学高二期中)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a，b＞0)的离心率为e，则“e＝eq \r(2)”是“双曲线C为等轴双曲线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　当e＝eq \r(2)时，可得eq \f(c,a)＝eq \r(2)⇒c2＝2a2⇒a2＋b2＝2a2⇒a2＝b2⇒a＝b，所以双曲线C为等轴双曲线；当双曲线C为等轴双曲线时，可得a＝b，所以有eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \f(\r(a2＋a2),a)＝eq \f(\r(2)a,a)＝eq \r(2)．因此“e＝eq \r(2)”是“双曲线C为等轴双曲线”的充要条件．故选C． 8．已知双曲线eq \f(y2,m)－eq \f(x2,2)＝1，直线l过其上焦点F2，交双曲线上支于A，B两点，且|AB|＝4，F1为双曲线下焦点，△ABF1的周长为18，则m的值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．eq \f(25,4) 解析　由题意知|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝18，又|AB|＝4，所以|AF1|＋|BF1|＝14．根据双曲线的定义可知2a＝|AF1|－|AF2|＝|BF1|－|BF2|，所以4a＝|AF1|＋|BF1|－(|AF2|＋|BF2|)＝14－4＝10，解得a＝eq \f(5,2)，所以m＝a2＝eq \f(25,4)．故选D． 9．(2024·哈尔滨第三十二中高二期中)抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m，－3)到焦点的距离为4，则抛物线方程为(　　) A．x2＝8y B．x2＝4y C．x2＝－4y D．x2＝－8y 解析　由题意，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，准线方程为y＝eq \f(p,2)，由抛物线的定义知，eq \f(p,2)－(－3)＝4，解得p＝2，故抛物线的方程为x2＝－4y．故选C． 10．(多选)(2024·三门峡陕州中学高二月考)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1有相同的长轴，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的短轴长与椭圆eq \f(y2,21)＋eq \f(x2,9)＝1的短轴长相等，则(　　) A．a2＝25 B．b2＝25 C．a2＝9 D．b2＝9 解析　因为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的长轴长为10，且椭圆eq \f(y2,21)＋eq \f(x2,9)＝1的短轴长为6，所以椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的焦点在x轴上，且有a＝5，b＝3，即a2＝25，b2＝9．故选AD． 11．(多选)如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则(　　) A．|AC|＝6 B．|FC|＝2 C．焦点F到准线的距离为eq \f(3,2) D．抛物线的标准方程为y2＝3x 解析　如图，过A，B分别作准线的垂线AA′，BD，垂足分别为A′，D，则|BF|＝|BD|，又2|BF|＝|BC|，∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°．又|AF|＝3，∴|AA′|＝3，∴|AC|＝6，|FC|＝3．∴焦点F到准线的距离p＝eq \f(1,2)|FC|＝eq \f(3,2)，抛物线的标准方程为y2＝3x．故选ACD． 12．(2024·宁波镇海中学高二质检)已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0，4)，F2(0，－4)，P是双曲线上一点且||PF1|－|PF2||＝6，则双曲线的标准方程为______________． 解析　由题意，得双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．因为||PF1|－|PF2||＝2a＝6，所以a＝3，又双曲线的上、下焦点分别为F1(0，4)，F2(0，－4)，故c＝4，故b2＝c2－a2＝16－9＝7，故双曲线的标准方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,7)＝1． eq \f(y2,9)－eq \f(x2,7)＝1 13．(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，eq \o(F1A,\s\up16(→))⊥eq \o(F1B,\s\up16(→))，eq \o(F2A,\s\up16(→))＝－eq \f(2,3) eq \o(F2B,\s\up16(→))，则C的离心率为________． 解析　解法一：依题意，设|AF2|＝2m，则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，则|AB|＝5a，故cos∠F1AF2＝eq \f(|AF1|,|AB|)＝eq \f(4a,5a)＝eq \f(4,5)，所以在△AF1F2中，cos∠F1AF2＝eq \f(16a2＋4a2－4c2,2×4a×2a)＝eq \f(4,5)，整理得5c2＝9a2，故e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3\r(5),5)． eq \f(3\r(5),5) 14．(2024·吴忠中学高二期中)求分别满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为F1(－2eq \r(3)，0)，长轴长是短轴长的2倍； (2)经过点P(2，2eq \r(2))，离心率为eq \f(\r(2),2)，焦点在x轴上； (3)经过Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，B(2，0)两点． 解　(1)根据题意，可设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)， 由题设，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝b2＋c2，,c＝2\r(3)，,a＝2b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2，,c＝2\r(3)，)) 故椭圆的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1． (2)根据题意，可设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)， 由题设，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝b2＋c2，,e＝\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,\f(4,a2)＋\f(8,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝20，,b2＝10，)) 故椭圆的标准方程为eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,10)＝1． (3)根据题意，可设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)， 由题设，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋\f(9,4)n＝1，,4m＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,4)，,n＝\f(1,3)，)) 故椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1． $$