串讲02 第2章 圆与方程（考点串讲）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

苏教版(2019)选择性必修 第一册数学 期中考点大串讲 串讲 02 第2章 圆与方程 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 考点1.圆的标准方程 圆心 半径 |CM|＝r (x－a)2＋(y－b)2＝r2 考点2.　点与圆的位置关系 ＝ ＝ < < > > 考点3.圆的一般方程的定义 D2＋E2－4F>0 D2＋E2－4F<0 考点4.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 外 上 内 考点5.直线与圆的位置关系 两个 一个 没有 考点6.直线与圆位置关系的判定方法 相交 相切 相离 考点7.　圆与圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 考点8.圆与圆位置关系的判定方法 考点8.圆与圆位置关系的判定方法 02 典例透析 考点1.对圆的标准方程的理解　 答案 解析 考点2.判断点与圆的位置关系 解 考点3.求圆的标准方程 解 考点3.求圆的标准方程 解 考点4.　与圆有关的最值问题　 解 考点4.　与圆有关的最值问题　 解 考点5.与圆有关的实际应用问题 考点5.与圆有关的实际应用问题 解 考点6.圆的一般方程的定义 解 考点7.求圆的一般方程　 解 考点7.求圆的一般方程　 解 考点8.直线与圆位置关系的判断 答案 解析 考点9.圆的切线问题 答案 3x－4y＋25＝0 解析 考点10.直线被圆截得的弦长问题 解 考点11.直线与圆的综合应用 答案 解析 考点12.圆与圆位置关系的判定 考点12.圆与圆位置关系的判定 解 考点13.两圆相交的公共弦问题 解 考点13.两圆相交的公共弦问题 解 考点14.圆系方程问题 解 考点14.圆系方程问题 解 03 考场练兵 答案 解析 答案 解析 答案 解析 解析 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 　x2＋(y－1)2＝10 (x－3)2＋(y－2)2＝20 答案 解析 　4 解 解 (1)圆的基本要素 圆的基本要素是eq \x(\s\up1(01))_________和eq \x(\s\up1(02))_________． (2)圆的标准方程 一般地，如果平面直角坐标系中⊙C的圆心为C(a，b)，半径为r(r>0)，设M(x，y)为平面直角坐标系中任意一点，则点M在⊙C上的充要条件是eq \x(\s\up1(03))_________，即eq \x(\s\up1(04))____________________________，两边平方，得eq \x(\s\up1(05))_____________________，此式通常称为圆的标准方程．为了方便起见，我们称圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2时，指的是方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆． eq \r(（x－a）2＋（y－b）2)＝r 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为C(a，b)，半径为r．设所给点为M(x0，y0)，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点M(x0，y0)在圆上 |MC|eq \x(\s\up1(01))_____r (x0－a)2＋(y0－b)2eq \x(\s\up1(02))_____r2 点M(x0，y0)在圆内 |MC|eq \x(\s\up1(03))_____r (x0－a)2＋(y0－b)2eq \x(\s\up1(04))_____r2 点M(x0，y0)在圆外 |MC|eq \x(\s\up1(05))_____r (x0－a)2＋(y0－b)2eq \x(\s\up1(06))_____r2 　 (1)当eq \x(\s\up1(01))__________________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方 程，其圆心为eq \x(\s\up1(02))__________________，半径为eq \x(\s\up1(03))__________________． (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点eq \x(\s\up1(04))_____________． (3)当eq \x(\s\up1(05))__________________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))) eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))) 　 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表： 位置关系 代数关系 点M在圆eq \x(\s\up1(01))______ xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0 点M在圆eq \x(\s\up1(02))______ xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＝0 点M在圆eq \x(\s\up1(03))______ xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F<0 直线与圆有三种位置关系，列表如下： 位置关系 交点个数 相交 有eq \x(\s\up1(01))________公共点 相切 只有eq \x(\s\up1(02))________公共点 相离 eq \x(\s\up1(03))________公共点 (1)代数法 直线l：Ax＋By＋C＝0，圆M：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，直线l与圆M的方程联立得方程组，消去y(或x)整理，得关于x(或y)的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0(或my2＋ny＋k＝0)，其判别式为Δ＝n2－4mk， Δ>0⇔直线l与圆Meq \x(\s\up1(01))________； Δ＝0⇔直线l与圆Meq \x(\s\up1(02))________； Δ<0⇔直线l与圆Meq \x(\s\up1(03))________． 圆与圆的位置关系有五种，分别为eq \x(\s\up1(01))_______、eq \x(\s\up1(02))_______、eq \x(\s\up1(03))_______、eq \x(\s\up1(04))_______、eq \x(\s\up1(05))_______． 　 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离　 d>r1＋r2 外切　 d＝r1＋r2 相交　 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切　 d＝|r1－r2| 内含　 d<|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq \o\al(2,1)＋Eeq \o\al(2,1)－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq \o\al(2,2)＋Eeq \o\al(2,2)－4F2>0)， 联立方程得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，)) 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 　 【例题1】已知一个圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别为(　　) A．(1，0)，4 B．(－1，0)，2eq \r(2) C．(0，－1)，4 D．(0，－1)，2eq \r(2) 解析　根据题意，圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，即(x－0)2＋[y－(－1)2]＝(2eq \r(2))2，其圆心为(0，－1)，半径为2eq \r(2)．故选D． 　 【例题2】已知点A(1，2)在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围． 解　∵点A在圆C的内部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2<2a2且a≠0， ∴2a＋5<0且a≠0，∴a<－eq \f(5,2)， ∴实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,2)))． 　 【例题3】求过点A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的圆的标准方程． 解　解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 因为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程， 于是有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（0－a）2＋（5－b）2＝r2，,（1－a）2＋（－2－b）2＝r2，,（－3－a）2＋（－4－b）2＝r2，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝1，,r2＝25.)) 所以所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25． 解法二：因为A(0，5)，B(1，－2)，所以线段AB的中点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，又直线AB的斜率kAB＝eq \f(－2－5,1－0)＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－eq \f(3,2)＝eq \f(1,7) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即x－7y＋10＝0．同理，得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0． 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－7y＋10＝0，,2x＋y＋5＝0，))得圆心的坐标为(－3，1)． 又圆的半径r＝eq \r(（－3－0）2＋（1－5）2)＝5， 所以所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25． 【例题4】已知点A(8，－6)与圆C：x2＋y2＝25，点P是圆C上任意一点，求|AP|的最小值． 解　由于82＋(－6)2＝100>25，故点A在圆外，从而|AP|的最小值为eq \r(82＋（－6）2)－5＝10－5＝5． (2)已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝eq \f(1,4)，求x2＋y2的最大值和最小值． 解　据题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值． 原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d＝1，且1>eq \f(1,2)，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，最小距离为1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)． 因此x2＋y2的最大值和最小值分别为eq \f(9,4)和eq \f(1,4)． 　 【例题5】有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的原则是运费和价格的总费用最低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？ 解　以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设A(－5，0)，则B(5，0)．在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A地运货到P地的运费为2a元/km(a>0)，则从B地运货到P地的运费为a元/km． 若P地居民选择在A地购买此商品， 则2aeq \r(（x＋5）2＋y2)<aeq \r(（x－5）2＋y2)， 整理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,3))) eq \s\up12(2)＋y2<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,3))) eq \s\up12(2)， 即点P在圆C：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,3))) eq \s\up12(2)＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,3))) eq \s\up12(2)的内部， 也就是说，圆C内的居民应在A地购物． 同理可推得圆C外的居民应在B地购物， 圆C上的居民可随意选择A，B两地之一购物． 【例题6】判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径． 解　　解法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，则D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2． 因此，当m＝2时，它表示一个点； 当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F)＝eq \r(5)|m－2|． 解法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2， 因此，当m＝2时，它表示一个点； 当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝eq \r(5)|m－2|． 解　(1)设顶点C(0，m)，由题意得 kABkBC＝－1，且kAB＝eq \f(8－5,3－8)＝－eq \f(3,5)， 所以kBC＝eq \f(m－8,0－3)＝eq \f(5,3)， 解得m＝3，所以顶点C(0，3)． 【例题7】已知Rt△ABC的顶点A(8，5)，直角顶点为B(3，8)，顶点C在y轴上，求： (1)顶点C的坐标； (2)Rt△ABC外接圆的一般方程． (2)解法一：设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(89＋8D＋5E＋F＝0，,73＋3D＋8E＋F＝0，,9＋3E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝－8，,F＝15.)) 所以Rt△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－8y＋15＝0． 解法二：因为Rt△ABC的斜边AC的中点为圆心，边AC为直径，所以圆心坐标为(4，4)， 半径为r＝eq \r(（4－0）2＋（4－3）2)＝eq \r(17)， 所以所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝17， 即x2＋y2－8x－8y＋15＝0． 【例题8】已知圆O：x2＋y2＝1，直线lα：xcosα＋ysinα＋1＝0，α∈R，则直线lα与圆O的位置关系是(　　) A．相离 B．相交 C．相切 D．都有可能 解析　因为圆O：x2＋y2＝1的圆心坐标为O(0，0)，半径r＝1，则圆心O(0，0)到直线lα：xcosα＋ysinα＋1＝0，α∈R的距离d＝eq \f(|0·cosα＋0·sinα＋1|,\r(cos2α＋sin2α))＝1＝r，所以直线lα：xcosα＋ysinα＋1＝0，α∈R与圆O：x2＋y2＝1相切．故选C． 　 【例题9】经过点(－3，4)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程是________________． 解析　由题意，知圆x2＋y2＝25的圆心为O(0，0)，半径r＝5，如图，因为(－3)2＋42＝25，即点A(－3，4)在圆x2＋y2＝25上，且kOA＝－eq \f(4,3)，可知切线的斜率k＝eq \f(3,4)，所以切线的方程为y－4＝eq \f(3,4)(x＋3)，即3x－4y＋25＝0． 　　 【例题10】点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，求其中最短的弦长． 解　 由题意可知，过点(3，1)的最短的弦垂直于过点(3，1)的直径，弦心距为eq \r(（3－2）2＋（1－2）2)＝eq \r(2)，则最短的弦长为l＝2eq \r(22－（\r(2)）2)＝2eq \r(2)． 　 (y－2,x－1)【例题11】已知x，y满足x2＋y2＝1，则的最小值为________． eq \f(3,4) 解析　　eq \f(y－2,x－1)表示圆上的点P(x，y)与点Q(1，2)连线的斜率，∴eq \f(y－2,x－1)的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，由eq \f(|2－k|,\r(k2＋1))＝1，得k＝eq \f(3,4)，结合图形可知eq \f(y－2,x－1)≥eq \f(3,4)，∴eq \f(y－2,x－1)的最小值为eq \f(3,4)． 　 【例题12】已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)， 圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)． 试求当a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． 解　圆C1，C2的方程经配方后，得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1． ∴|C1C2|＝eq \r(（a－2a）2＋（1－1）2)＝a． (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交． (3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离． (4)当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含． 解　联立两圆的方程得方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋10y－24＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，)) 两式相减得x－2y＋4＝0，此即为两圆公共弦所在直线的方程． 解法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，)) 所以|AB|＝eq \r(（－4－0）2＋（0－2）2)＝2eq \r(5)， 即公共弦长为2eq \r(5)． 　 求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．【例题13】 解法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径r＝5eq \r(2)，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝eq \f(|1－2×（－5）＋4|,\r(12＋（－2）2))＝3eq \r(5)． 设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2， 即50＝(3eq \r(5))2＋l2，解得l＝eq \r(5)， 故公共弦长2l＝2eq \r(5)． 　　 【例题14】求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0与圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程． 解　解法一：联立两圆的方程，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－12x－2y－13＝0，,x2＋y2＋12x＋16y－25＝0，)) 相减并化简，得公共弦所在直线的方程为4x＋3y－2＝0． 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋3y－2＝0，,x2＋y2－12x－2y－13＝0，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－6，)) 即两圆的交点坐标分别为(－1，2)，(5，－6)． ∵所求圆以公共弦为直径， ∴圆心C是公共弦的中点(2，－2)， 半径为eq \f(1,2) eq \r(（5＋1）2＋（－6－2）2)＝5． ∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25． 解法二：由解法一可知公共弦所在直线的方程为4x＋3y－2＝0． 设所求圆的方程为x2＋y2－12x－2y－13＋λ(x2＋y2＋12x＋16y－25)＝0(λ≠－1)． 可求得圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6－6λ,1＋λ)，\f(1－8λ,1＋λ)))． ∵圆心C在公共弦所在直线上， ∴4·eq \f(6－6λ,1＋λ)＋3·eq \f(1－8λ,1＋λ)－2＝0，解得λ＝eq \f(1,2)． ∴圆C的方程为x2＋y2－4x＋4y－17＝0． 1．(2024·北京丰台高二期中)已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，则圆心C与半径r分别为(　　) A．C(1，－1)，r＝4 B．C(－1，1)，r＝4 C．C(1，－1)，r＝2 D．C(－1，1)，r＝2 解析　圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝4，即圆心C与半径r分别为C(－1，1)，r＝2．故选D． 2．若点A(－1，1)在圆x2＋y2－2x－y－a＝0外，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，3) B．(－∞，－3) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，3)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，3)) 解析　由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－2）2＋（－1）2－4×（－a）>0，,（－1）2＋12－2×（－1）－1－a>0，))解得－eq \f(5,4)<a<3．故选D． 3．(2024·广东江门第二中学高二期中)已知点P(2，2)，点M是圆O：x2＋(y－1)2＝1上的动点，则|PM|的最大值是(　　) A．eq \r(5)－1 B．3－eq \r(5) C．2－eq \r(5) D．eq \r(5)＋1 解析　因为22＋(2－1)2＝5>1，所以点P为圆外一点，易知圆心为O(0，1)，半径为r＝1，所以|PO|＝eq \r(（2－0）2＋（2－1）2)＝eq \r(5)，则|PM|的最大值为|PO|＋r＝eq \r(5)＋1． 解析　解法一：因为x2＋y2－4x－1＝0，即(x－2)2＋y2＝5，可得圆心C(2，0)，半径r＝eq \r(5)，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，因为|PC|＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，则|PA|＝eq \r(|PC|2－r2)＝eq \r(3)，可得sin∠APC＝eq \f(\r(5),2\r(2))＝eq \f(\r(10),4)，cos∠APC＝eq \f(\r(3),2\r(2))＝eq \f(\r(6),4)，则sin∠APB＝sin2∠APC＝2sin∠APCcos∠APC＝2×eq \f(\r(10),4)×eq \f(\r(6),4)＝eq \f(\r(15),4)，cos∠APB＝cos2∠APC＝cos2∠APC－sin2∠APC＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),4))) eq \s\up12(2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),4))) eq \s\up12(2)＝－eq \f(1,4)<0，即∠APB为钝角，所以sinα＝sin(π－∠APB)＝sin∠APB＝eq \f(\r(15),4)．故选B． 解法二：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2，0)，半径r＝eq \r(5)，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，连接AB，可得|PC|＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，则|PA|＝|PB|＝eq \r(|PC|2－r2)＝eq \r(3)，因为|PA|2＋|PB|2－2|PA|·|PB|cos∠APB＝|CA|2＋|CB|2－2|CA|·|CB|cos∠ACB，且∠ACB＝π－∠APB，则3＋3－6cos∠APB＝5＋5－10cos(π－∠APB)，即3－3cos∠APB＝5＋5cos∠APB，解得cos∠APB＝－eq \f(1,4)<0，即∠APB为钝角，则cosα＝cos(π－∠APB)＝－cos∠APB＝eq \f(1,4)，又α为锐角，所以sinα＝eq \r(1－cos2α)＝eq \f(\r(15),4)．故选B． 5.已知直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝9相交于A，B两点，则弦AB的长为(　　) A．eq \r(7) B．2eq \r(7) C．eq \r(2) D．2eq \r(2) 解析　圆x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，半径为r＝3，圆心(0，0)到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝eq \f(|2|,\r(2))＝eq \r(2)，故弦AB的长为2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(9－2)＝2eq \r(7)．故选B． 6.直线ax＋y－a＝0(a∈R)与圆x2－4x＋y2＝0的位置关系是(　　) A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 解析　由ax＋y－a＝0变形得y＝－a(x－1)，所以直线ax＋y－a＝0恒过定点(1，0)，圆x2－4x＋y2＝0可化为(x－2)2＋y2＝4，因为(1－2)2＋02<4，所以点(1，0)在圆(x－2)2＋y2＝4的内部，所以直线ax＋y－a＝0与圆x2－4x＋y2＝0相交．故选B． 7．已知圆C经过A(0，2)，B(4，6)两点，且圆心C在直线l：2x－y－3＝0上，则圆C的方程为(　　) A．x2＋y2－6x－6y－16＝0 B．x2＋y2－2x＋2y－8＝0 C．x2＋y2－6x－6y＋8＝0 D．x2＋y2－2x＋2y－56＝0 解析　线段AB的中点坐标为(2，4)，直线AB的斜率kAB＝eq \f(6－2,4－0)＝1，则线段AB的垂直平分线的方程为y－4＝－(x－2)，即x＋y－6＝0．由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－6＝0，,2x－y－3＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3，))所以圆C的圆心坐标为(3，3)，半径r＝eq \r(（3－0）2＋（3－2）2)＝eq \r(10)，所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝10，即x2＋y2－6x－6y＋8＝0．故选C． 8．(多选)已知圆C经过点A(1，4)，B(3，－2)，圆心C到直线AB的距离为eq \r(10)，则圆C的方程为(　　) A．(x－1)2＋y2＝20 B．(x＋1)2＋y2＝20 C．(x＋5)2＋(y＋2)2＝20 D．(x－5)2＋(y－2)2＝20 解析　设圆心C(a，b)，半径为r，易得线段AB的中点为M(2，1)．因为CM⊥AB，kAB＝eq \f(－2－4,3－1)＝－3，所以kCM＝eq \f(b－1,a－2)＝eq \f(1,3)，即3b＝a＋1　①，又因为|CM|＝eq \r(10)，所以(a－2)2＋(b－1)2＝10　②，联立①②得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝2，))即C(－1，0)或C(5，2)，所以r2＝|CA|2＝20，故圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝20或(x－5)2＋(y－2)2＝20．故选BD． 9．(2024·重庆云阳高级中学高二月考)“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x，y)是阴影部分(包括边界)的动点，则eq \f(y,x－2)的最小值为________． 解析　记A(2，0)，则eq \f(y,x－2)为直线AP的斜率，故当直线AP与半圆x2＋(y－1)2＝1(x>0)相切时，eq \f(y,x－2)最小．此时设直线AP：y＝k(x－2)，故eq \f(|－1－2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq \f(4,3)或k＝0(舍去)，即kmin＝－eq \f(4,3)． －eq \f(4,3) 10．已知圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，则周长最小的圆的方程为________________，圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程为____________________． 解析　当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB的中点(0，1)，半径为eq \f(1,2)|AB|＝eq \r(10)．则周长最小的圆的方程为x2＋(y－1)2＝10．设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－a）2＋（－2－b）2＝r2，,（－1－a）2＋（4－b）2＝r2，,2a－b－4＝0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝2，,r2＝20.))所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20． 11．(2024·辽宁朝阳建平县实验中学高二期中)已知圆C1：x2＋y2－2x－2y＝0，圆C2：x2＋y2－mx－ny＝0，若圆C2平分圆C1的周长，则m＋n＝________． 解析　圆C1的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，圆心为C1(1，1)，半径为r＝eq \r(2)，将两圆方程作差可得(m－2)x＋(n－2)y＝0，因为圆C2平分圆C1的周长，则这两圆相交，且相交弦所在直线的方程为(m－2)x＋(n－2)y＝0，由题意可知，直线(m－2)x＋(n－2)y＝0过圆心C1(1，1)，所以m－2＋n－2＝0，解得m＋n＝4． 解　(1)圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆心坐标为(0，－1)，半径为2， 圆O2的圆心为O2(2，1)， 圆心距为eq \r(4＋4)＝2eq \r(2)，因为圆O2与圆O1外切， 所以圆O2的半径为2eq \r(2)－2， 所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8eq \r(2)， 两圆方程相减，即得两圆公切线的方程为x＋y＋1－2eq \r(2)＝0． 12．(2024·兰州外国语高级中学高二期中)圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2，1)． (1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求公切线的方程； (2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(2)，求圆O2的方程． (2)圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(2)． 所以圆O1到直线AB的距离为eq \r(4－2)＝eq \r(2)， 又|O1O2|＝2eq \r(2)，所以O2到直线AB的距离为eq \r(2)或3eq \r(2)． 当O2到直线AB的距离为eq \r(2)时， 圆O2的半径为eq \r(2＋2)＝2， 圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4； 当O2到直线AB的距离为3eq \r(2)时， 圆O2的半径为eq \r(18＋2)＝2eq \r(5)， 圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝20． 综上，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20． $$