串讲01 第1章 直线与方程（考点串讲）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

苏教版(2019)选择性必修 第一册数学 期中考点大串讲 串讲 01 第1章 直线与方程 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 考点1. 数轴上的基本公式 x2－x1 |x2－x1| 考点2.平面直角坐标系中的基本公式 (x2－x1，y2－y1) 考点3.直线的倾斜角 最小正角 0° 考点4. 直线的斜率 k＝tanθ 不存在 不存在 考点5.直线的方向向量 平行或重合 a a∥l a λa 共线 考点5.直线的方向向量 不存在 90° 考点6.直线的法向量 v v⊥l 垂直 考点7.直线的方程、直线的点斜式方程 解 点 F(x，y)＝0 直线l y－y0＝k(x－x0) y＝y0 x＝x0 考点8. 直线的斜截式方程 截距 截距 y＝kx＋b 直线的斜率 直线的截距(即直线在y轴上的截距) 考点9. 直线的两点式方程 直线的两点式方程 考点10.直线的截距式方程 直线的截距式方程 考点11.直线的一般式方程 二元一次方程 一条直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 不存在 考点12.两条直线的相交、平行与重合 k1≠k2 k1＝k2且b1≠b2 k1＝k2且b1＝b2 考点12.两条直线的相交、平行与重合 v1与v2不共线 A1B2≠A2B1 v1与v2共线 A1B2＝A2B1 C1≠C2 C1＝C2 考点13.两条直线的垂直 k1k2＝－1 v1⊥v2 A1A2＋B1B2＝0 考点14.点到直线的距离 考点15.两条平行直线之间的距离 距离 02 典例透析 考点1.两点间的距离公式及其应用　 答案 －6或4 解析 (－5，0)或(11，0) 考点2.中点坐标公式的应用　 解 考点3.坐标法的应用　 解 考点4.构造几何模型解决代数问题　 解 考点5.直线的倾斜角 答案 解析 考点6.直线的斜率 解 考点7.直线的方向向量和法向量的应用 答案 解析 考点8.三点共线问题 解 考点8.三点共线问题 解 考点9.直线的点斜式方程　 答案 解析 考点9.直线的斜截式方程 解 考点10.直线的两点式方程 答案 解析 考点11.直线的截距式方程 答案 解析 考点11.直线的截距式方程 解 考点12.直线的一般式方程 解 考点12.直线的一般式方程 解 考点13.直线的一般式方程与其他形式的互化 考点13.直线的一般式方程与其他形式的互化 解 考点14.两条直线相交、平行与重合的判定 考点14.两条直线相交、平行与重合的判定 解 考点14.两条直线相交、平行与重合的判定 解 考点15.　利用平行关系求直线方程　 考点15.　利用平行关系求直线方程　 解 考点15.　利用平行关系求直线方程　 解 考点16.过定点的直线系问题　 证明 考点16.过定点的直线系问题　 证明 考点17.两条直线垂直的判定　 解 考点18.利用垂直关系求直线方程　 解 考点18.利用垂直关系求直线方程　 解 考点19. 点关于线对称 答案 解析 考点20.　平行与垂直的综合应用　 解 考点20.　平行与垂直的综合应用　 解 考点21.点到直线的距离 答案 解析 考点22.　两条平行直线之间的距离 答案 解析 考点23.距离公式的应用 解 03 考场练兵 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 x＋2y－3＝0 解 解 解 解 如果数轴上点A(x1)，B(x2)，线段AB的中点为M(x)，则 (1)向量eq \o(AB,\s\up16(→))的坐标为eq \x(\s\up1(01))__________________； (2)|AB|＝|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝eq \x(\s\up1(02))____________； (3)x＝eq \x(\s\up1(03))______________． [拓展]　在数轴上，点A(x1)，B(x2)，用绝对值定义两点间的距离，表示为d(A，B)＝|x1－x2|．若A，B，C是数轴上任意三点，则d(A，B)≤d(A，C)＋d(B，C)． eq \f(x1＋x2,2) 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两点，M(x，y)是线段AB的中点，则 (1)eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \x(\s\up1(01))__________________________； (2)|AB|＝|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝eq \x(\s\up1(02))__________________________； (3)x＝eq \x(\s\up1(03))___________，y＝eq \x(\s\up1(04))_______________． eq \f(x1＋x2,2) eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2) eq \f(y1＋y2,2) 　 (1)定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的eq \x(\s\up1(01))_________记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；如果这条直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为eq \x(\s\up1(02))________． (2)范围：[0，π)． (1)定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称eq \x(\s\up1(01))_________为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率eq \x(\s\up1(02))_________． (2)公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线 l的斜率为k＝eq \x(\s\up1(03))_________，当x1＝x2时，直线l的斜率eq \x(\s\up1(04))_________． [提醒]　(1)k的大小与A，B两点的位置无关． (2)当直线的斜率存在时，斜率是唯一的． (3)常用斜率表示直线的倾斜程度． eq \f(y2－y1,x2－x1) (1)定义：一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线leq \x(\s\up1(01))___________，则称向量eq \x(\s\up1(02))_____为直线l的一个方向向量，记作eq \x(\s\up1(03))_________． (2)性质：①如果eq \x(\s\up1(04))_____为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量eq \x(\s\up1(05))_____都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定eq \x(\s\up1(06))______． ②如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则eq \x(\s\up1(07))________________是直线l的一个方向向量． eq \o(AB,\s\up16(→))＝(x2－x1，y2－y1) ③若θ为直线l的倾斜角，则(cosθ，sinθ)一定是直线l的一个方向向量． ④如果已知a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则当u＝0时，直线l的斜率eq \x(\s\up1(08))_________，倾斜角为eq \x(\s\up1(09))_________；当u≠0时，直线l的斜率是存在的，直线l的 斜率k＝eq \x(\s\up1(10))_________，即tanθ＝eq \x(\s\up1(11))_________． [提醒]　(1)斜率不存在时，直线的一个方向向量为a＝(0，1)． (2)斜率存在时，直线的一个方向向量为a＝(1，k)． eq \f(v,u) eq \f(v,u) 　 一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量eq \x(\s\up1(01))_______为直线l的一个法向量，记作eq \x(\s\up1(02))_______．一条直线的方向向量与法向量互相eq \x(\s\up1(03))_______． 一般地，如果直线l上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的eq \x(\s\up1(01))______，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的eq \x(\s\up1(02))______都在直线l上，则称eq \x(\s\up1(03))____________为直线l的方程，而eq \x(\s\up1(04))________称为方程F(x，y)＝0的直线．此时，“直线l”也可说成“直线F(x，y)＝0”，并且记作l：F(x，y)＝0． (1)经过点P(x0，y0)且斜率为k的直线方程为eq \x(\s\up1(01))________________，称为直线的点斜式方程． (2)经过点P(x0，y0)且斜率为0的直线方程为eq \x(\s\up1(02))________，经过点P(x0，y0)且斜率不存在的直线方程为eq \x(\s\up1(03))________． (1)一般地，当直线l既不是x轴也不是y轴时：若l与x轴的交点为(a，0)，则称l在x轴上的eq \x(\s\up1(01))______为a；若l与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的eq \x(\s\up1(02))______为b．一条直线在y轴上的截距简称为截距．斜率为k，截距为b的直线方程为eq \x(\s\up1(03))____________，称为直线的斜截式方程． (2)直线y＝kx＋b中k的几何意义是eq \x(\s\up1(04))____________，b的几何意义是eq \x(\s\up1(05))__________________________________． 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x2－x1≠0且y2－y1≠0)的直线方程为eq \x(\s\up1(01)) _______________________，这种形式的直线方程称为eq \x(\s\up1(02))______________________． eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1) [想一想]　方程eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示的直线相同吗？ 提示：不相同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任意两点的直线． 直线在x，y轴上的截距分别为a，b，且a≠0，b≠0，则直线方程可写为eq \x(\s\up1(01)) _________________，这种形式的方程称为eq \x(\s\up1(02))__________________，注意这里要求直线在x轴与在y轴上的截距都存在且不为0． [想一想]　直线的截距式方程可以表示一切直线吗？ eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1 提示：截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线有两个非零截距，截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线． (1)所有的直线方程都是关于x，y的eq \x(\s\up1(01))________________，关于x，y的二元一次方程都表示eq \x(\s\up1(02))__________． (2)把方程eq \x(\s\up1(03))________________________称为直线的一般式方程． (3)在方程Ax＋By＋C＝0中，如果B≠0，则方程可以化为y＝－eq \f(A,B)x－eq \f(C,B)，它表示的是斜率为eq \x(\s\up1(04))________且截距为－eq \f(C,B)的直线；如果B＝0，则由A与B不同时为零可知A≠0，从而方程可以化为eq \x(\s\up1(05))________，它表示的是斜率eq \x(\s\up1(06))________且过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(C,A)，0))的直线． (4)v＝(A，B)为直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量． －eq \f(A,B) x＝－eq \f(C,A) (1)若直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则两条直线的位置关系，可以用方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k1x＋b1，,y＝k2x＋b2))的解的情况进行判断，得出结论： l1与l2相交⇔eq \x(\s\up1(01))__________； l1与l2平行⇔eq \x(\s\up1(02))_______________； l1与l2重合⇔eq \x(\s\up1(03))_______________． (2)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则两条直线的位置关系可以用法向量来处理． 因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量，不难看出： ①l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是eq \x(\s\up1(04))____________，即eq \x(\s\up1(05))____________； ②l1与l2平行或重合的充要条件是eq \x(\s\up1(06))____________，即eq \x(\s\up1(07))____________，其中l1 与l2重合的充要条件是，存在实数λ(λ≠0)，使得eq \x(\s\up1(08))________________． (3)直线Ax＋By＋C1＝0与直线Ax＋By＋C2＝0平行的充要条件是eq \x(\s\up1(09))___________，重合的充要条件是eq \x(\s\up1(10))____________． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1＝λA2，,B1＝λB2，,C1＝λC2)) (1)一般地，若已知平面直角坐标系中的直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，可得l1⊥l2⇔eq \x(\s\up1(01))_______________． (2)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0．因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量，所以l1⊥l2⇔eq \x(\s\up1(02))_________⇔eq \x(\s\up1(03))__________________． 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \x(\s\up1(01))_________________． [提醒]　(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． (3)点到直线的距离公式对于直线方程中A＝0或B＝0时的情况仍然适用．①A＝0时，d＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(C,B)))；②B＝0时，d＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(C,A)))． eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)) (1)两条平行线之间的距离 两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的eq \x(\s\up1(01))_______． (2)两条平行线之间的距离公式 ①P(x1，y1)为l1：Ax＋By＋C1＝0上一点，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则l1与l2之 间的距离d＝eq \x(\s\up1(02))_______________． ②两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝eq \x(\s\up1(03)) _______________． eq \f(|Ax1＋By1＋C2|,\r(A2＋B2)) eq \f(|C2－C1|,\r(A2＋B2)) 【例题1】已知数轴上点A，B的坐标分别为x1，x2，若x2＝－1，且|AB|＝5，则x1的值为________________． 解析　　|AB|＝|x2－x1|＝5，即|x1＋1|＝5，解得x1＝－6或x1＝4． (2)已知平面直角坐标系中的点A(3，6)，x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为_______________________． 解析　设点P的坐标为(x，0)，由|AP|＝10，得eq \r(（x－3）2＋（0－6）2)＝10，解得x＝11或x＝－5，所以点P的坐标为(－5，0)或(11，0)． 【例题2】已知三点A(x，5)，B(－2，y)，C(1，1)，且点C是线段AB的中点，求x，y的值． [解]　由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,2)＝1，,\f(5＋y,2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－3.)) 证明　如图所示，以B为坐标原点，取AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系． 设△ABD和△BCE的边长分别为a和c， 则A(－a，0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，C(c，0)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(\r(3)a,2)))， 于是|AE|＝eq \r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(c,2)－（－a）))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)c,2)－0))\s\up12(2)) ＝eq \r(a2＋ac＋\f(c2,4)＋\f(3c2,4))＝eq \r(a2＋ac＋c2)， |CD|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)－c))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,2)－0))\s\up12(2))＝eq \r(\f(a2,4)＋ac＋c2＋\f(3a2,4))＝eq \r(a2＋ac＋c2)． 所以|AE|＝|CD|． 【例题3】　如图所示，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：|AE|＝|CD|． 【例题4】　求函数y＝eq \r(x2＋x＋1)－eq \r(x2－x＋1)的值域． 解　显然函数的定义域为R，函数的解析式可化为y＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))－eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))． 设P(x，0)，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))为平面上三点， 则|PA|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))， |PB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))， y＝|PB|－|PA|． ∵||PB|－|PA||<|AB|，且|AB|＝1， ∴|y|<1，即－1<y<1，故函数的值域为(－1，1)． [解析]　通过画图可知，当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°，如图(1)；当135°≤α<180°时，倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°，如图(2)．故选D． 　　 【例题5】　设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135° 　　 【例题6】满足下列条件的直线的斜率是否存在？若存在，求其斜率． (1)经过点A(2，3)，B(4，5)； (2)经过点C(－2，3)，D(2，－1)； (3)经过点P(－3，1)，Q(－3，10)； (4)经过点M(a，2)，N(3，6)． 解　(1)存在．直线AB的斜率k＝eq \f(5－3,4－2)＝1． (2)存在．直线CD的斜率k＝eq \f(－1－3,2－（－2）)＝－1． (3)不存在．因为xP＝xQ＝－3． (4)当a＝3时，直线MN的斜率不存在；当a≠3时，直线MN的斜率k＝eq \f(4,3－a)． 　　 【例题7】(多选)下列说法正确的是(　　) A．若直线垂直于y轴，则该直线的一个方向向量为(1，0)，一个法向量为(0，1) B．若直线的一个方向向量为(a，a＋1)，则该直线的斜率为k＝eq \f(a＋1,a) C．若直线的一个法向量为v＝(x0，y0)，则a＝(y0，－x0)能作为该直线的一个方向向量 D．任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是互相垂直的 解析　由直线的方向向量、法向量的定义知A，C，D正确，选项B中，当a＝0时，不成立．故选ACD． 　　 【例题8】已知三点A(a，2)，B(5，1)，C(－4，2a)在同一直线上，求a的值． 解　解法一：∵5≠－4， ∴三点所在直线的斜率存在， ∴kAB＝eq \f(2－1,a－5)＝eq \f(1,a－5)，kBC＝eq \f(2a－1,－4－5)＝eq \f(1－2a,9)． ∵点A，B，C在同一直线上， ∴kAB＝kBC． ∴eq \f(1,a－5)＝eq \f(1－2a,9)，解得a＝2或a＝eq \f(7,2)． 解法二：∵eq \o(AB,\s\up16(→))＝(5－a，－1)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝(－4－a，2a－2)， 点A，B，C在同一直线上， ∴(5－a)×(2a－2)＝－1×(－4－a)， 即2a2－11a＋14＝0，解得a＝2或a＝eq \f(7,2)． (3)【例题9】 (多选)已知直线的方程是y＋1＝(x－2)，则(　　) A．这是直线的点斜式方程 B．直线经过点(2，1) C．直线的斜率为eq \r(3) D．直线的倾斜角为60° 解析　 y＋1＝eq \r(3)(x－2)是直线的点斜式方程，故A正确；直线y＋1＝eq \r(3)(x－2)经过点(2，－1)，故B错误；直线y＋1＝eq \r(3)(x－2)的斜率为eq \r(3)，倾斜角为60°，故C，D正确．故选ACD． (2)根据条件写出下列直线的斜截式方程． ①斜率为2，在y轴上的截距是5； ②倾斜角为30°，在y轴上的截距是－2； ③斜率为eq \r(3)，与y轴的交点到坐标原点的距离为3． 解　　①由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5． ②因为倾斜角为30°，所以直线的斜率为tan30°＝eq \f(\r(3),3)． 由斜截式可得所求直线方程为y＝eq \f(\r(3),3)x－2． ③由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，则直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝eq \r(3)x＋3或y＝eq \r(3)x－3． 　 (y－0,－3－0)【例题10】已知直线l的两点式方程为＝eq \f(x－（－5）,3－（－5）)，则l的斜率为(　　) A．－eq \f(3,8) 　 B．eq \f(3,8) C．－eq \f(3,2) D．eq \f(3,2) 解析　　由两点式方程知直线过(－5，0)，(3，－3)，故kl＝eq \f(－3－0,3－（－5）)＝－eq \f(3,8)．故选A． 　　 (x,4)【例题11】(2024·宁波咸祥中学高二期中)直线l：－eq \f(y,3)＝1在x轴、y轴上的截距之和是(　　) A．7 B．－7 C．－1 D．1 解析　直线l：eq \f(x,4)－eq \f(y,3)＝1化为截距式得eq \f(x,4)＋eq \f(y,－3)＝1，则直线l：eq \f(x,4)－eq \f(y,3)＝1在x轴、y轴上的截距分别为4，－3，所以直线l：eq \f(x,4)－eq \f(y,3)＝1在x轴、y轴上的截距之和是4＋(－3)＝1．故选D． (2)已知直线过点P(2，3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程． 解　　设直线与两坐标轴的交点为(a，0)，(0，b)． (ⅰ)当ab≠0时，直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1． 由点P在此直线上，得eq \f(2,a)＋eq \f(3,b)＝1， ① 又由已知得|a|＝|b|， ② 联立方程①②可得a＝b＝5或a＝－1，b＝1． 所以直线的方程为y＝－x＋5或y＝x＋1． (ⅱ)当a＝b＝0时，直线过原点和P(2，3)，易知直线的方程为y＝eq \f(3,2)x． 综上所述，直线的方程为y＝－x＋5或y＝x＋1或y＝eq \f(3,2)x． 　 【例题12】　直线l与两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为2，两截距之差为3，求直线l的一般式方程． 解　设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a，b，a>0，b>0， 则由已知可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ab＝2，,|a－b|＝3.))　① 当a≥b时，①可化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ab＝2，,a－b＝3，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－4))(舍去)， 当a<b时，①可化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ab＝2，,b－a＝3，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝－1))(舍去)． 所以直线l的截距式方程为eq \f(x,4)＋y＝1或x＋eq \f(y,4)＝1，化为一般式方程为x＋4y－4＝0或4x＋y－4＝0． 　　 【例题13】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4，2)，且平行于x轴； (5)经过点(2，1)，且一个法向量为v＝(2，－3)． 解 (1)由斜截式，得直线方程为y＝4x－2，即4x－y－2＝0． (2)由两点式，得直线方程为eq \f(y－5,－1－5)＝eq \f(x－（－1）,2－（－1）)，即2x＋y－3＝0． (3)由截距式，得直线方程为eq \f(x,－3)＋eq \f(y,－1)＝1， 即x＋3y＋3＝0． (4)y－2＝0． (5)∵直线的一个法向量为v＝(2，－3)， ∴设直线的一般式方程为2x－3y＋C＝0，代入点(2，1)得4－3＋C＝0，解得C＝－1， ∴直线的一般式方程为2x－3y－1＝0． 　　 【例题14】判断下列各组中两条直线的位置关系． (1)l1：y＝3x＋4，l2：2x－6y＋1＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：y＝eq \f(x,3)＋eq \f(2,3)； (3)l1：(eq \r(2)－1)x＋y＝3，l2：x＋(eq \r(2)＋1)y＝2； (4)l1：x＝5，l2：x＝6． 解　(1)把l1的方程化为3x－y＋4＝0， 则A1＝3，B1＝－1，C1＝4；A2＝2，B2＝－6，C2＝1． 因为eq \f(A1,A2)≠eq \f(B1,B2)，所以l1与l2相交． (2)A1＝2，B1＝－6，C1＝4； 把l2的方程化为x－3y＋2＝0， 所以A2＝1，B2＝－3，C2＝2． 因为eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)＝eq \f(C1,C2)，所以l1与l2重合． (3)把l1的方程化为(eq \r(2)－1)x＋y－3＝0，把l2的方程化为x＋(eq \r(2)＋1)y－2＝0， 则A1＝eq \r(2)－1，B1＝1，C1＝－3；A2＝1，B2＝eq \r(2)＋1，C2＝－2． 因为eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)≠eq \f(C1,C2)，所以l1与l2平行． (4)把l1的方程化为x－5＝0， 把l2的方程化为x－6＝0， 则A1＝1，B1＝0，C1＝－5； A2＝1，B2＝0，C2＝－6， 因为A1B2－A2B1＝0， 而A2C1－A1C2≠0，所以l1与l2平行． 【例题15】　分别求符合下列条件的直线方程． (1)过点P(2，－1)且与直线l：3x－2y－6＝0平行； (2)与直线3x＋4y＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为eq \f(7,3)． 解　(1)解法一：由已知直线l：3x－2y－6＝0得斜率kl＝eq \f(3,2)，因为所求直线与直线l平行，所以所求直线的斜率k＝eq \f(3,2)． 由点斜式得所求直线的方程为y＋1＝eq \f(3,2)(x－2)，即3x－2y－8＝0． 解法二：设所求直线的方程为3x－2y＋C＝0． 由点P(2，－1)在所求直线上，得3×2－2×(－1)＋C＝0，所以C＝－8． 故所求直线的方程为3x－2y－8＝0． (2)解法一：设所求直线的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠1)， 令x＝0，得所求直线在y轴上的截距为－eq \f(m,4)， 令y＝0，得所求直线在x轴上的截距为－eq \f(m,3)， 所以－eq \f(m,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,3)))＝eq \f(7,3)，则m＝－4， 所以所求直线的方程为3x＋4y－4＝0． 解法二：设所求直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1， 因为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝\f(7,3)，,－\f(b,a)＝－\f(3,4)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(4,3)，,b＝1.)) 所以所求直线的方程为3x＋4y－4＝0． 证明　证法一：当m＝1时，直线方程为y＝－4； 当m＝eq \f(1,2)时，直线方程为x＝9． 这两条直线的交点为(9，－4)． 又当x＝9，y＝－4时，9(m－1)＋(－4)(2m－1)＝m－5，即点(9，－4)在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上， 故不论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点(9，－4)． 【例题16】　求证：不论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点． 证法二：将已知方程以m为未知数整理， 得m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0． 由m取值的任意性， 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－1＝0，,x＋y－5＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝－4.)) 所以不论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点(9，－4)． 【例题17】　判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)l1：y＝－3x＋2，l2：y＝eq \f(1,3)x＋5； (2)l1：4x＋3y＝10，l2：3x－4y＝5； (3)l1：y＝2023，l2：x＝2024． 解　 (1)∵直线l1，l2的斜率分别为－3，eq \f(1,3)，－3×eq \f(1,3)＝－1，∴l1⊥l2． (2)解法一：∵直线l1，l2的斜率分别为－eq \f(4,3)，eq \f(3,4)，－eq \f(4,3)×eq \f(3,4)＝－1，∴l1⊥l2． 解法二：由两直线方程可得它们的法向量分别为n1＝(4，3)，n2＝(3，－4)． 因为n1·n2＝0，∴l1⊥l2． (3)l1的斜率为0，l2的斜率不存在，∴l1⊥l2． 【例题18】求经过两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程． 解　解法一：联立l1，l2的方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，)) 所以交点P(0，2)． 设过点P与l3垂直的直线方程为4x＋3y＋C＝0， 代入点P坐标，得4×0＋3×2＋C＝0， ∴C＝－6． ∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0． 解法二：由解法一知，l1与l2的交点P(0，2)， ∵直线l与l3垂直， ∴kl＝－eq \f(1,k3)＝－eq \f(4,3)， ∴直线l的方程为y－2＝－eq \f(4,3)x， 即4x＋3y－6＝0． 解法三：设过l1，l2交点的直线方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(λ＋1)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，① ∵l与l3：3x－4y＋5＝0垂直， ∴3(λ＋1)－4(λ－2)＝0， ∴λ＝11，代入①式得4x＋3y－6＝0， 即直线l的方程为4x＋3y－6＝0． 【例题19】(2024·荆州松滋一中高二月考)点P(2，0)关于直线l：x＋y＋1＝0的对称点Q的坐标为(　　) A．(－1，－3) B．(－1，－4) C．(4，1) D．(2，3) 解析　设Q(a，b)为点P关于直线l：x＋y＋1＝0的对称点，由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)＋\f(b,2)＋1＝0，,\f(b,a－2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－3，))可得Q(－1，－3)．故选A． 【例题20】　已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状． 解　由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得 kAB＝eq \f(5－3,2－（－4）)＝eq \f(1,3)， kCD＝eq \f(0－3,－3－6)＝eq \f(1,3)， kAD＝eq \f(0－3,－3－（－4）)＝－3， kBC＝eq \f(3－5,6－2)＝－eq \f(1,2)． 所以kAB＝kCD， 由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD， 由kAD≠kBC，知AD与BC不平行． 又因为kABkAD＝eq \f(1,3)×(－3)＝－1，所以AB⊥AD． 故四边形ABCD为直角梯形． 　　 【例题21】点P(1，－2)到直线l：4x－3y＝0的距离为(　　) A．eq \f(2,5) B．2 C．1 D．3 解析　由题意，点P(1，－2)到直线l：4x－3y＝0的距离为eq \f(|4×1－3×（－2）|,\r(42＋（－3）2))＝2．故选B． 　 【例题22】平行直线x＋3y－4＝0与2x＋6y－9＝0之间的距离为________． eq \f(\r(10),20) 解析　解法一：在直线x＋3y－4＝0上取点P(4，0)，则点P(4，0)到直线2x＋6y－9＝0的距离d就是两条平行直线之间的距离，因此，两条平行直线之间的距离为d＝eq \f(|2×4＋6×0－9|,\r(22＋62))＝eq \f(1,\r(40))＝eq \f(\r(10),20)． 解法二：直线2x＋6y－9＝0化为x＋3y－eq \f(9,2)＝0，根据平行线间的距离公式d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，得d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2))))),\r(12＋32))＝eq \f(\f(1,2),\r(10))＝eq \f(\r(10),20)． 解　解法一：因为点(1，2)到直线3x＋4y－12＝0的距离d＝eq \f(|3×1＋4×2－12|,\r(32＋42))＝eq \f(1,5)， 所以(m－1)2＋(n－2)2的最小值为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5))) eq \s\up12(2)＝eq \f(1,25)． 解法二：因为P(m，n)是直线3x＋4y－12＝0上的一点， 所以3m＋4n－12＝0，即n＝eq \f(12－3m,4)， 所以(m－1)2＋(n－2)2＝(m－1)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12－3m,4)－2)) eq \s\up12(2)＝eq \f(25,16)m2－eq \f(7,2)m＋2． 所以当m＝eq \f(\f(7,2),2×\f(25,16))＝eq \f(28,25)时，(m－1)2＋(n－2)2有最小值eq \f(1,25)． 　 【例题23】已知点P(m，n)是直线3x＋4y－12＝0上的一点，求(m－1)2＋(n－2)2的最小值． 1．(2024·长沙一中高二月考)已知线段AB的端点A(3，4)及中点O(0，3)，则点B的坐标为(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(7,2))) B．(－3，2) C．(3，2) D．(3，10) 解析　设B(x，y)，已知AB的端点A(3，4)及中点O(0，3)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝\f(3＋x,2)，,3＝\f(4＋y,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝2，))故点B的坐标为(－3，2)．故选B． 2．已知A(x，－eq \r(xy))和B(y，eq \r(xy))两点，则|AB|＝(　　) A．x＋y B．|x－y| C．－x－y D．|x＋y| 解析　|AB|＝eq \r(（x－y）2＋（－\r(xy)－\r(xy)）2)＝eq \r(x2＋y2＋2xy)＝eq \r(（x＋y）2)＝|x＋y|． 3．(2024·北京大兴高二期中)点P(0，1)到直线x－y－1＝0的距离为(　　) A．eq \f(\r(2),2) B．1 C．eq \r(2) D．2 解析　点P(0，1)到直线x－y－1＝0的距离为eq \f(|0－1－1|,\r(12＋（－1）2))＝eq \r(2)．故选C． 4．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在直线的方程分别为3x＋4y＋C1＝0和3x＋4y＋C2＝0，则|C1－C2|＝(　　) A．2eq \r(3) B．2eq \r(5) C．2 D．4 解析　因为菱形四条边都相等，所以每条边上的高也相等，且菱形对边平行，直线x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之间的距离为eq \f(|1－3|,\r(12＋（－2）2))＝eq \f(2,\r(5))，直线3x＋4y＋C1＝0和3x＋4y＋C2＝0之间的距离为eq \f(|C1－C2|,\r(32＋42))＝eq \f(|C1－C2|,5)，则eq \f(|C1－C2|,5)＝eq \f(2,\r(5))，即|C1－C2|＝2eq \r(5)．故选B． 5．(2024·连云港高二期末)若A(1，2)，B(3，m)，C(7，m＋2)三点共线，则实数m的值为(　　) A．－2 B．2 C．－3 D．3 解析　因为3≠1，所以直线AB的斜率存在，A，B，C三点共线，则kAB＝kAC，即eq \f(m－2,3－1)＝eq \f(m＋2－2,7－1)，解得m＝3．故选D． 6．(2024·大连金州高级中学高二月考)已知直线经过A(3，5)，B(2，6)两点，则该直线的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．135° D．150° 解析　由题意，得直线AB的斜率kAB＝eq \f(6－5,2－3)＝－1，又倾斜角0°≤θ＜180°，故直线的倾斜角θ＝135°．故选C． 7．如图，若直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，则(　　) A．k4<k3<k2<k1 B．k1<k2<k3<k4 C．k3<k4<k1<k2 D．k2<k1<k3<k4 解析　直线l3，l4的倾斜角为钝角，斜率为负，直线l1，l2的倾斜角为锐角，斜率为正，且直线l4的倾斜角大于直线l3的倾斜角，直线l2的倾斜角大于直线l1的倾斜角．所以k3<k4<0，k2>k1>0，所以k3<k4<k1<k2．故选C． 8．(2024·潍坊高二质检)直线l的斜率为方程x2－2x＋1＝0的根，且在y轴上的截距为5，则直线l的方程为(　　) A．y＝－x＋5 B．y＝x－5 C．y＝x＋5 D．y＝5 解析　因为方程x2－2x＋1＝0的根为1，所以直线l的斜率k＝1，直线l的方程为y＝x＋5．故选C． 9．(2024·抚顺高二期中)直线x－eq \r(3)y＋2＝0的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 解析　直线x－eq \r(3)y＋2＝0的斜率为k＝eq \f(\r(3),3)，所以其倾斜角为30°．故选A． 10．(2024·枣庄高二期中)平行直线x＋2y－4＝0与2x＋4y＋7＝0之间的距离为(　　) A．eq \f(3\r(5),5) B．eq \f(11\r(5),5) C．eq \f(3\r(5),2) D．eq \f(3\r(10),2) 解析　将直线x＋2y－4＝0化为2x＋4y－8＝0，所以这两条平行直线之间的距离d＝eq \f(|－8－7|,\r(22＋42))＝eq \f(3\r(5),2)．故选C． 11．(2024·北京顺义杨镇第一中学高二期中)已知直线x＋(m＋2)y－1＝0与直线mx＋3y－1＝0平行，则m的值为(　　) A．－3 B．1 C．1或3 D．－1或3 解析　根据题意，由两直线平行可得m(m＋2)－1×3＝0，即m2＋2m－3＝0，解得m＝1或m＝－3．经检验m＝1时，两直线重合，不符合题意，所以m＝－3．故选A． 12．已知直线l1：x－2y＋3＝0，l2：2x－4y－5＝0，在直角坐标平面上，集合{l|l：x－2y＋3＋λ(2x－4y－5)＝0，λ∈R}表示(　　) A．过l1和l2交点的直线集合 B．过l1和l2交点的直线集合，但不包括直线l2 C．平行于直线l1的集合 D．平行于直线l2的集合 解析　∵l1与l2平行，∴排除A，B；∵当λ＝0时，集合表示l1，不与l1平行，∴排除C．故选D． 13．(2024·潍坊实验中学高二期中)已知直线l1：(m＋1)x＋y＋m＝0，l2：x＋(m＋1)y－2＝0，则下列结论正确的是(　　) A．若l1与l2相交，则m≠－2 B．若l1与l2平行，则m＝－2 C．若l1与l2垂直，则m＝－1 D．若l1与l2重合，则m＝0 解析　当l1∥l2时，(m＋1)2－1＝0，解得m＝0或m＝－2．若m＝0，则l1：x＋y＝0，l2：x＋y－2＝0，此时l1∥l2；若m＝－2，则l1：－x＋y－2＝0，l2：x－y－2＝0，此时l1∥l2，综上可知，l1，l2不可能重合，故D错误；若l1与l2相交，则m≠－2且m≠0，故A错误；若l1∥l2，则m＝0或m＝－2，故B错误；若l1⊥l2，则有(m＋1)×1＋1×(m＋1)＝0，则m＝－1，故C正确．故选C． 14．(多选)(2024·海南嘉积中学高二阶段练习)下列四个结论中正确的是(　　) A．直线l：x－eq \r(3)y＋2＝0的一个法向量为n＝(1，3) B．直线l：x＋y＋3＝0在x轴上的截距为－3 C．直线l过点P(1，2)，且斜率为0，则其方程为y＝2 D．过点P(1，2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程仅有x＋y－3＝0 解析　对于A，易知直线l：x－eq \r(3)y＋2＝0的一个法向量为(1，－eq \r(3))，故A错误；对于B，令y＝0，则x＝－3，所以直线l：x＋y＋3＝0在x轴上的截距为－3，故B正确；对于C，直线l过点P(1，2)，且斜率为0，则其方程为y＝2，故C正确；对于D，当直线在坐标轴上的截距都为0时，直线方程为y＝2x，当直线在坐标轴上的截距都不为0时，可设其方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,a)＝1，解得a＝3，所以直线方程为x＋y－3＝0，综上，过点P(1，2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为y＝2x或x＋y－3＝0，故D错误．故选BC． 15．直线l：2x－y＋4＝0与x，y轴分别交于点A，B，则线段AB的垂直平分线的方程为_____________________． 解析　直线l：2x－y＋4＝0与两坐标轴分别交于点A，B，由y＝0，得x＝－2，则A(－2，0)，由x＝0，得y＝4，则B(0，4)，线段AB的中点坐标为(－1，2)，由直线l：2x－y＋4＝0的斜率kAB＝2，得线段AB的垂直平分线的斜率k＝－eq \f(1,2)，则线段AB的垂直平分线的方程为y－2＝－eq \f(1,2)(x＋1)，整理得x＋2y－3＝0． 三、解答题 16．(2024·郑州一中高二月考)写出下列直线的斜截式方程： (1)倾斜角为45°且在y轴上的截距为2； (2)直线过点(3，1)且在y轴上的截距为－1． 解　(1)斜率k＝tan45°＝1，截距b＝2，所以直线的斜截式方程为y＝x＋2． (2)由题知直线过(3，1)，(0，－1)两点，则直线方程为y＋1＝eq \f(1＋1,3－0)(x－0)，即y＝eq \f(2,3)x－1． 17．已知直线l1：(m－2)x＋2y＋m－2＝0，l2：2x＋(m－2)y＋3＝0，当m为何值时，满足下列条件： (1)l1与l2相交；(2)l1∥l2；(3)l1与l2重合． 解　(1)由A1B2－A2B1＝(m－2)(m－2)－2×2＝(m－2)2－4≠0，得(m－2)2≠4，即m－2≠±2， ∴当m≠4且m≠0时，l1与l2相交． (2)由A1B2－A2B1＝0，得m＝0或m＝4， 当m＝0时，两直线方程分别为－2x＋2y－2＝0，2x－2y＋3＝0，此时l1∥l2； 当m＝4时，两直线方程分别为2x＋2y＋2＝0，2x＋2y＋3＝0，此时l1∥l2． 故m＝0或m＝4时，l1∥l2． (3)由(2)知，l1与l2不可能重合． 18．(2024·沈阳法库县高级中学高二联考)已知直线l：x－2y＋4＝0，点A(0，4)，B(－2，－4)，点P(m，n)在直线l上移动． (1)求m2＋n2－2m＋2n的最小值； (2)求||PB|－|PA||的最大值，以及取最大值时点P的坐标． 解　(1)因为m2＋n2－2m＋2n＝(m－1)2＋(n＋1)2－2， 令d＝eq \r(（m－1）2＋（n＋1）2)，则原式为d2－2， 点(1，－1)到直线x－2y＋4＝0的距离是d的最小值，即dmin＝eq \f(|1＋2＋4|,\r(5))＝eq \f(7\r(5),5)， 所以原式的最小值为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7\r(5),5))) eq \s\up12(2)－2＝eq \f(39,5)． (2)设A(0，4)关于直线l：x－2y＋4＝0的对称点为A′(a，b)， 则eq \f(a,2)－2×eq \f(4＋b,2)＋4＝0，eq \f(b－4,a)×eq \f(1,2)＝－1，解得a＝eq \f(8,5)，b＝eq \f(4,5)， 因为P为直线l上的点，所以||PB|－|PA||＝||PB|－|PA′||≤|A′B|，当且仅当P，A′，B三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|A′B|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2－\f(8,5)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4－\f(4,5)))\s\up12(2))＝6， 直线A′B的方程为y＋4＝eq \f(\f(4,5)＋4,\f(8,5)＋2)(x＋2)，即y＝eq \f(4,3)x－eq \f(4,3)， 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,y＝\f(4,3)x－\f(4,3)，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，)) 所以||PB|－|PA||的最大值为6，此时P(4，4)． $$