串讲04 第4章 指数与对数（考点串讲）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

苏教版(2019)必修第一册 数学 期中考点大串讲 串讲 04 第4章 指数与对数 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 考点1.根式的定义 (1)a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做____________，其中n＞1，且n∈N＋. (2)a的n次方根的表示 ①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．a的n次方根用符号_______表示； ②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．正数a的正的n次方根用符号_______表示，负的n次方根用符号______表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成____________； a的n次方根 考点2.根式的性质 没有 0 根指数 被开方数 a a |a| 考点3.分数指数幂的意义 0 没有意义 提示 考点4.有理数指数幂的运算性质 ar＋s ars arbr 考点5.无理数指数幂、实数指数幂的运算性质 知识点 　 (1)对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果． (2)定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 知识点 　 (1)aras＝_____(a>0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝____ (a>0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝____ (a>0，b>0，r∈R)． [拓展]　 ＝ar－s(a>0，r，s∈R)． [提醒]　实数指数幂中一定要有a>0. ar＋s ars arbr 考点6.指数函数的定义 一般地，___________________________________________________________ _________． [想一想]　指数函数中为什么要规定a>0，且a≠1? 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R 提示 考点7.指数增长模型 知识点 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝_______________．形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型． N(1＋p)x(x∈N) 考点8.指数函数的图像与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 ____ 值域 _____________ 过定点 过定点________，即x＝___时，y＝___ 函数值 的变化 当x>0时，____； 当x<0时，________ 当x>0时，________； 当x<0时，____ 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 对称性 y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 R (0，＋∞) (0，1) 0 1 y>1 0<y<1 0<y<1 y>1 考点9.不同底指数函数图象的相对位置 [点拨]　(1)函数图象只出现在x轴上方． (2)当a>1时，x→－∞，y→0；当0<a<1时，x→＋∞，y→0. (3)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称． 知识点 　 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b. 考点9.不同底指数函数图象的相对位置 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由_____变_____ ； 在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由_____变_____ ． 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增． [点拨]　指数函数的底数即直线x＝1与图象交点的纵坐标，由此可求出指数函数底数的大小． 大 小 大 小 考点10.　指数型复合函数的单调性 知识点　 (1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． (2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f(g(x))的单调性有如下特点： u＝g(x) y＝f(u) y＝f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 (3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通过考查f(u)和g(x)的单调性，求出y＝f(g(x))的单调性． 考点11.对数的概念 知识点 (1)对数的概念：一般地，如果_________(a>0，且a≠1)，那么数__叫做以__为底__的对数，记作_________，其中__叫做对数的底数，___叫做真数． (2)两种特殊的对数 ①常用对数：通常，我们将___________的对数叫做常用对数，并把log10N记为______； ②自然对数：_________的对数称为自然对数，并把logeN记为_______(其中e＝2.71828…)． ax＝N x a N 以10为底 a N x＝logaN lg N 以e为底 ln N 考点11.对数的概念 (3)对数式与指数式的关系 考点12.对数的基本性质 (1)对数的性质 ①__________没有对数，即真数N>0； ②1的对数为___，即loga1＝___ (a>0，且a≠1)； ③底数的对数等于___，即logaa＝___ (a>0，且a≠1)． (2)两个重要的对数恒等式 ①alogaN＝___ (a>0，且a≠1，N>0)； ②logaaN＝___ (a>0，且a≠1)． 负数和0 0 0 1 1 N N 考点13.对数运算性质 logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 考点14. 换底公式 1 考点15.对数函数 知识点　　一般地，函数______________________叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是____________． [点拨]　两种特殊的对数函数 (1)常用对数函数：y＝lg x. (2)自然对数函数：y＝ln x. y＝logax(a>0，且a≠1) (0，＋∞) 考点16.对数函数的图象和性质 定义 y＝logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 _________________ 值域 ________ 单调性 ________ ___________ (0，＋∞) 知识点　　 R 增函数 减函数 考点16.对数函数的图象和性质 共点性 图象过定点_________，即x＝1时，y＝0 函数值 x∈(0，1)时，y∈_____________； x∈[1，＋∞)时，y∈______________ x∈(0，1)时，y∈_____________； x∈[1，＋∞)时，y∈_____________ 对称性 函数y＝logax与y＝logx的图象关于__________对称 趋势 在直线x＝1右侧，a值越_____，图象越靠近x轴 在直线x＝1右侧，a值越___，图象越靠近x轴 (1，0) (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0] x轴 大 小 02 典例透析 考点1.n次方根与根式 答案 解析 考点2.根式的化简与求值 解 考点3. 根式与分数指数幂的互化 解 考点4.有理数指数幂的运算 考点4.有理数指数幂的运算 解 考点5.无理数指数幂的运算 考点6.指数幂运算中的条件求值 解 考点8.指数函数的概念 答案 解析 【例题8】若函数f(x)＝a2(2－a)x是指数函数，则a＝________． 解析：因为函数f(x)＝a2(2－a)x是指数函数，所以a2＝1，2－a>0，且2－a≠1，解得a＝－1. －1 考点9. 指数函数的解析式及应用 答案 解析 考点10.指数函数的图象 　【例题10】如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为(　　) A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c 答案 考点10.指数函数的图象 解析 解法一：由图象可知③④的底数必大于1， ①②的底数必小于1. 作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交 点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从 而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c. 解法二：根据图象可以先分两类：③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0且小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．所以a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c. 解析 考点11.与指数函数有关的定义域和值域问题 考点11.与指数函数有关的定义域和值域问题 解 考点11.与指数函数有关的定义域和值域问题 解 考点11.与指数函数有关的定义域和值域问题 解 考点12.指数函数图象的应 答案 解析 【例题12】若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________． 考点13.利用指数函数的单调性比较大小 答案 解析 考点14.利用指数函数的单调性解不等式 解 考点15.指数函数性质综合应用问题 解 考点15.指数函数性质综合应用问题 解 考点15.指数函数性质综合应用问题 解 考点16.对数的概念 答案 解析 考点17.指数式与对数式的互化 考点17.指数式与对数式的互化 解 考点18.利用指数式与对数式的关系求值 考点18.利用指数式与对数式的关系求值 解 考点19.对数的性质及对数恒等式 考点19.对数的性质及对数恒等式 解 考点20.对数运算性质的应用 考点20.对数运算性质的应用 解 考点21.换底公式的应用 【例题21】已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)． 解 考点22.对数运算的综合应用 答案 解析 考点23.对数函数的概念 答案 解析 考点24.对数型函数的定义域 解 考点24.对数型函数的定义域 解 考点25.对数型函数在实际问题中的应用 考点25.对数型函数在实际问题中的应用 解 考点26.对数函数的图象及应用 解析　因为函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，令x＋1＝1，得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)． 【例题26】函数y＝loga(x＋1)－2(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________． 答案 解析 (0，－2) 考点27. 　比较对数值的大小 考点27. 　比较对数值的大小 解 考点27. 　比较对数值的大小 解 考点28.对数型函数的单调性 【例题28】函数y＝log2|x－2|在区间(2，＋∞)上(　　) A．先增后减 B．先减后增 C．单调递增 D．单调递减 解析　当x>2时，函数f(x)＝log2|x－2|＝log2(x－2)．又函数y＝log2u是增函数，u＝x－2在区间(2，＋∞)上也是增函数，故y＝log2|x－2|在区间(2，＋∞)上单调递增．故选C. 答案 解析 考点29.对数型函数的值域问题 解　 (1)y＝log2(x2＋4)的定义域是R. 因为x2＋4≥4， 所以log2(x2＋4)≥log24＝2. 所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)． 解 考点29.对数型函数的值域问题 解 03 考场练兵 答案 解析 答案 解析 3．若函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数在定义域内单调递增，则函数f(x)＝loga(x－1)的图象大致是(　　) 解析：由函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数在定义域内单调递增，可得a>1，所以函数f(x)＝loga(x－1)的图象在(1，＋∞)上单调递增，又f(2)＝0，故选D. 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 11．函数y＝3－x的图象是(　　) 答案 解析 12．若函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标为(　　) A．(0，1) B．(1，1) C．(2，1) D．(1，2) 解析：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，所以令x－1＝0，得x＝1，y＝2.所以函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P(1，2)．故选D. 答案 解析 答案 解析 14．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) 答案 解析 答案 解析 解析：原式＝log62＋log63＝log66＝1.故选D. 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 19．函数y＝loga(x－1)(0＜a＜1)的图象大致是(　　) 解析： ∵0<a<1，∴y＝logax在(0，＋∞)上单调递减．又函数y＝loga(x－1)的图象是由y＝logax的图象向右平移一个单位长度得到的，故选A. 答案 解析 答案 解析 答案 解析 22．若log(x－2)(x2－7x＋13)＝0，则x＝____． 答案 解析 4 答案 解析 (－∞，1) 答案 解析 3 答案 解析 (－∞，－1) 解 27．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份____(填“甲”或“乙”)食堂的营业额较高． 甲 答案 解析 解 解析 eq \r(n,a) eq \r(n,a) －eq \r(n,a) ±eq \r(n,a) (a>0) ③负数______偶次方根； ④0的任何次方根都是____，记作________． (3)根式：式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做______，a叫做__________． 知识点 　 当n>1，且n∈N＋时， (1)根据n次方根的意义，可得(eq \r(n,a))n＝____． (2)当n为奇数时，eq \r(n,an)＝____； 当n为偶数时，eq \r(n,an)＝_____＝__________________． eq \r(n,0)＝0 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0)) 提示：当a＝0时，a0及a的负分数指数幂没有意义；当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则aeq \s\up6(\f(m,n))，a－eq \f(m,n)无意义．因此规定a>0就省去了不必要的讨论，便于学习和应用． 知识点 　 (1)aeq \s\up6(\f(m,n))＝________ (a>0，m，n∈N＋，n>1)， a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝_______ (a>0，m，n∈N＋，n>1)． (2)0的正分数指数幂等于_____，0的负分数指数幂____________． [想一想]　分数指数幂中，为什么规定a>0? eq \r(n,am) eq \f(1,\r(n,am)) (1)aras＝_______ (a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝_____ (a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝_____(a>0，b>0，r∈Q)． [拓展]　(1)eq \f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q)． (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b))) eq \s\up12(r)＝eq \f(ar,br)(a>0，b>0，r∈Q)． eq \f(ar,as) 提示：(1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义． (2)如果a<0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，…，该函数无意义． (3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1. 知识点 　 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝_______________________； (2)logaeq \f(M,N)＝_________________________； (3)logaMn＝_____________(n∈R)． [拓展]　推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(a>0，且a≠1，Nk＞0，k∈N＋)． (1)对数的换底公式：______________________________________________． (2)三个较为常用的推论 ①logab·logbc·logca＝____ (a>0，b>0，c>0，且均不为1)； ②logab＝eq \f(1,logba)(a>0，b>0，且均不为1)； ③logambn＝__________ (a>0，b>0，且a≠1，m≠0)． [点拨]　(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义． (2)在具体运算中，习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝eq \f(lg b,lg a)或logab＝eq \f(ln b,ln a). logab＝eq \f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1) eq \f(n,m)logab 【例题1】 已知a∈R，n∈N＋，给出下列四个式子： ①eq \r(6,（－3）2n)；②eq \r(5,a2)；③eq \r(6,（－5）2n＋1)；④eq \r(9,－a2). 其中无意义的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 解析：①中(－3)2n>0，所以eq \r(6,（－3）2n)有意义；②中根指数为5，所以eq \r(5,a2)有意义；③中(－5)2n＋1<0，所以eq \r(6,（－5）2n＋1)无意义；④中根指数为9，所以eq \r(9,－a2)有意义．故选A. 【例题2】化简下列各式： (1)eq \r(5,（－3）5)＋(eq \r(5,－2))5；(2)eq \r(4,（－3）4)＋(eq \r(6,2))6； (3)eq \r(4,（a－3）4). 解　(1)原式＝(－3)＋(－2)＝－5. (2)原式＝|－3|＋2＝3＋2＝5. (3)原式＝|a－3|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－3，a≥3，,3－a，a<3.)) 【例题3】用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(式子中字母均是正数)： (1)eq \r(3,a)·eq \r(4,a)；(2)eq \r(a\r(a\r(a)))；(3)eq \r(3,a2)·eq \r(a3)；(4)(eq \r(3,a))2·eq \r(ab3). 解　(1)原式＝aeq \s\up6(\f(1,3))·aeq \s\up6(\f(1,4))＝aeq \s\up6(\f(7,12)). (2)原式＝aeq \s\up6(\f(1,2))·aeq \s\up6(\f(1,4))·aeq \s\up6(\f(1,8))＝aeq \s\up6(\f(7,8)). (3)原式＝aeq \s\up6(\f(2,3))·aeq \s\up6(\f(3,2))＝aeq \s\up6(\f(13,6)). (4)原式＝(aeq \s\up6(\f(1,3)))2·aeq \s\up6(\f(1,2))·beq \s\up6(\f(3,2))＝aeq \s\up6(\f(7,6))beq \s\up6(\f(3,2)). 【例题4】计算下列各式： (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(3,5)))eq \s\up12(0)＋2－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq \s\up12(－\f(1,2))－0.010.5； (2)eq \r(6\f(1,4))－eq \r(3,3\f(3,8))＋eq \r(4,0.0625)＋[(0.064eq \s\up6(\f(1,3)))－2.5]eq \s\up6(\f(2,5))－π0； (3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq \s\up12(－\f(1,2))·eq \f(（\r(4ab－1)）3,0.1－2（a3b－3）\s\up6(\f(1,2)))(a>0，b>0)． 解　(1)原式＝1＋eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9))) eq \s\up6(\f(1,2))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100))) eq \s\up6(\f(1,2))＝1＋eq \f(1,6)－eq \f(1,10)＝eq \f(16,15). (2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,4))) eq \s\up6(\f(1,2))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8))) eq \s\up6(\f(1,3))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(625,10000))) eq \s\up6(\f(1,4))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(64,1000))) eq \s\up12(\f(1,3)×（－2.5）×\f(2,5))－1＝eq \f(5,2)－eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5))) eq \s\up12(－1)－1＝3. (3)原式＝eq \f(4\s\up6(\f(1,2))·4\s\up6(\f(3,2)),100)·aeq \s\up6(\f(3,2))·a－eq \f(3,2)·b－eq \f(3,2)·beq \s\up6(\f(3,2))＝eq \f(4,25)a0b0＝eq \f(4,25). 【例题5】计算下列各式： (1) ； (2)aeq \s\up6(\f(π,6))·aeq \s\up6(\f(2π,3))÷aπ； (3)已知a＝，b＝，c＝，求的值． 【例题6】已知aeq \s\up6(\f(1,2))＋a－eq \s\up6(\f(1,2))＝4，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2. 解　(1)将aeq \s\up6(\f(1,2))＋a－eq \s\up6(\f(1,2))＝4两边平方， 得a＋a－1＋2＝16， 故a＋a－1＝14. (2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196， 故a2＋a－2＝194. 【例题9】若点(a，27)在函数y＝(eq \r(3))x的图象上，则eq \r(a)的值为(　　) A.eq \r(6) B．1 C．2eq \r(2) D．0 解析　∵点(a，27)在函数y＝(eq \r(3))x的图象上，∴27＝(eq \r(3))a，即33＝3eq \s\up6(\f(a,2))，∴eq \f(a,2)＝3，解得a＝6，∴eq \r(a)＝eq \r(6). 【例题11】求下列函数的定义域和值域： (1)y＝2eq \s\up6(\f(1,x－4))； (2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(－|x|)； (3)y＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)). 解　(1)x应满足x－4≠0，∴x≠4， ∴函数y＝2eq \s\up6(\f(1,x－4))的定义域为{x|x≠4，x∈R}． ∵eq \f(1,x－4)≠0，∴2eq \s\up6(\f(1,x－4))≠1， ∴函数y＝2eq \s\up6(\f(1,x－4))的值域为{y|y>0，且y≠1}． (2)函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(－|x|)的定义域为R. ∵|x|≥0，∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(－|x|)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up12(|x|)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up12(0)＝1， ∴函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(－|x|)的值域为[1，＋∞)． (3)由题意知1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)≥0， ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)≤1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(0)，∴x≥0， ∴函数y＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x))的定义域为[0，＋∞)． 又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)>0， ∴0<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)≤1， ∴0≤1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)<1， ∴0≤y<1， ∴函数y＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x))的值域为[0，1)． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) 解析：当a＞1时，通过平移变换和翻折变换可得如图1所示的图象，则由图可知1＜2a＜2，即eq \f(1,2)＜a＜1，与a＞1矛盾；当0＜a＜1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图2所示的图象，则由图可知1＜2a＜2，即eq \f(1,2)＜a＜1.综上可知，a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)). 【例题13】 已知a＝2eq \s\up6(\f(4,3))，b＝4eq \s\up6(\f(2,5))，c＝25eq \s\up6(\f(1,3))，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 解析：因为a＝2eq \s\up6(\f(4,3))，b＝4eq \s\up6(\f(2,5))＝2eq \s\up6(\f(4,5))，由函数y＝2x在R上为增函数，知b<a.又a＝2eq \s\up6(\f(4,3))＝4eq \s\up6(\f(2,3))，c＝25eq \s\up6(\f(1,3))＝5eq \s\up6(\f(2,3))，由函数y＝xeq \s\up6(\f(2,3))在(0，＋∞)上单调递增，知a<c.综上可得b<a<c.故选A. 　 【例题14】解不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(3x－7)≤2. 解　∵2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(－1)， ∴原不等式可以转化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(3x－7)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(－1). ∵函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)在R上是减函数， ∴3x－7≥－1，∴x≥2. 故原不等式的解集是{x|x≥2}． 【例题15】已知函数f(x)＝eq \f(ax－1,ax＋1)(a>1)． (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)证明f(x)是R上的增函数； (3)求函数f(x)的值域． 解：(1)函数f(x)的定义域为R， 则f(－x)＝eq \f(a－x－1,a－x＋1)＝eq \f(1－ax,1＋ax)＝－eq \f(ax－1,ax＋1)＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数． (2)证明：f(x)＝eq \f(ax－1,ax＋1)＝eq \f(ax＋1－2,ax＋1)＝1－eq \f(2,ax＋1)，因为a>1，所以y＝ax是增函数，∀x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,ax1＋1)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,ax2＋1)))＝eq \f(2,ax2＋1)－eq \f(2,ax1＋1)＝eq \f(2（ax1－ax2）,（ax2＋1）（ax1＋1）)， 因为x1<x2， 所以ax1－a x2<0，(a x2＋1)(a x1＋1)>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)＝1－eq \f(2,ax＋1)为增函数，即f(x)是R上的增函数． (3)因为f(x)＝1－eq \f(2,ax＋1)，a>1，所以ax＋1>1，则0<eq \f(1,ax＋1)<1，所以0<eq \f(2,ax＋1)<2，即－2<－eq \f(2,ax＋1)<0，所以－1<1－eq \f(2,ax＋1)<1，即－1<f(x)<1，故函数f(x)的值域为(－1，1)． 【例题16】使对数log2(－2x＋1)有意义的x的取值范围为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) 解析　要使对数log2(－2x＋1)有意义，只要使真数－2x＋1>0即可，即x<eq \f(1,2)，所以x的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))).故选C. 【例题17】将下列对数式化为指数式，指数式化为对数式： (1)2－7＝eq \f(1,128)；(2)logeq \s\do9(\f(1,3))81＝－4； (3)lg 1000＝3；(4)ln x＝2. 解　(1)由2－7＝eq \f(1,128)， 可得log2eq \f(1,128)＝－7. (2)由logeq \s\do9(\f(1,3))81＝－4，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(－4)＝81. (3)由lg 1000＝3，可得103＝1000. (4)由ln x＝2，可得e2＝x. 【例题18】求下列各式中x的值： ①log27x＝－eq \f(2,3)；②logx16＝－4； ③lg eq \f(1,1000)＝x；④－ln e－3＝x. 解　①因为log27x＝－eq \f(2,3)， 所以x＝27－eq \s\up7(\f(2,3))＝(33) －eq \s\up7(\f(2,3))＝3－2＝eq \f(1,9). ②因为logx16＝－4，所以x－4＝16， 即x－4＝24. 所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x))) eq \s\up12(4)＝24，所以eq \f(1,x)＝2，即x＝eq \f(1,2). ③因为lg eq \f(1,1000)＝x， 所以10x＝10－3， 所以x＝－3. ④因为－ln e－3＝x，所以－x＝ln e－3， 即e－x＝e－3，所以x＝3. 【例题19】求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； (3)log3[log4(log5x)]＝0； (4) ＝9. 解　(1)因为log2(log5x)＝0， 所以log5x＝20＝1，所以x＝51＝5. (2)因为log3(lg x)＝1， 所以lg x＝31＝3， 所以x＝103＝1000. (3)由log3[log4(log5x)]＝0， 可得log4(log5x)＝1， 故log5x＝4，所以x＝54＝625. (4)由＝9，可得eq \r(x)＝9，解得x＝81. 【例题20】计算下列各式的值： (1)eq \f(1,2)lg eq \f(32,49)－eq \f(4,3)lg eq \r(8)＋lg eq \r(245)； (2)lg 52＋eq \f(2,3)lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2； (3)eq \f(lg\r(2)＋lg 3－lg \r(10),lg 1.8). 解　(1)原式＝eq \f(1,2)(5lg 2－2lg 7)－eq \f(4,3)×eq \f(3,2)lg 2＋eq \f(1,2)(2lg 7＋lg 5)＝eq \f(5,2)lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋eq \f(1,2)lg 5＝eq \f(1,2)lg 2＋eq \f(1,2)lg 5＝eq \f(1,2)(lg 2＋lg 5)＝eq \f(1,2)lg 10＝eq \f(1,2). (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. (3)原式＝eq \f(\f(1,2)（lg 2＋lg 9－lg 10）,lg 1.8)＝eq \f(lg \f(18,10),2lg 1.8)＝eq \f(lg 1.8,2lg 1.8)＝eq \f(1,2). 解　因为18b＝5，所以b＝log185. 所以log3645＝eq \f(log1845,log1836)＝eq \f(log18（5×9）,log18（2×18）)＝eq \f(log185＋log189,log182＋log1818)＝eq \f(a＋b,1＋log182)＝eq \f(a＋b,1＋log18\f(18,9))＝eq \f(a＋b,2－log189)＝eq \f(a＋b,2－a). 【例题22】方程log3(x－1)＝log3(x＋eq \r(3))＋log3(x－eq \r(3))的解为(　　) A．－1，2 B．2 C．－1 D．1，－2 解析　由log3(x＋eq \r(3))＋log3(x－eq \r(3))＝log3[(x＋eq \r(3))(x－eq \r(3))]＝log3(x2－3)，可得log3(x－1)＝log3(x2－3)，故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝x2－3，,x＋\r(3)>0，,x－\r(3)>0，,x－1>0，))解得x＝2. 【例题23】给出下列函数：①y＝log5x＋1；②y＝log(eq \r(3)－1)x； ③y＝log3eq \f(x,3)；④y＝logxeq \r(3)(x＞0，且x≠1)；⑤y＝logeq \s\do9(\f(2,π))x.其中是对数函数的是(　　) A．③④⑤ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②⑤ 解析　由对数函数的定义知，②⑤是对数函数．故选D.　 【例题24】求下列函数的定义域： (1)y＝eq \f(\r(x2－4),lg （x＋3）)；(2)y＝log2(16－4x)； (3)y＝log(3x－1)(2x＋3)． 解　(1)要使函数有意义，需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4≥0，,x＋3＞0，,x＋3≠1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤－2或x≥2，,x＞－3，,x≠－2，)) 即－3<x<－2，或x≥2. 故所求函数的定义域为{x|－3＜x＜－2，或x≥2}． (2)要使函数有意义，需16－4x>0， 得4x<16＝42， 由指数函数的单调性得x<2. 所以所求函数的定义域为{x|x＜2}． (3)要使函数有意义， 需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3＞0，,3x－1＞0，,3x－1≠1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞－\f(3,2)，,x＞\f(1,3)，,x≠\f(2,3)，))所以x＞eq \f(1,3)，且x≠eq \f(2,3). 故所求函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＞\f(1,3)，且x≠\f(2,3))))). 【例题25】某化工厂生产一种溶液，若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,4)，设过滤y次后杂质含量为x. (1)求y关于x的函数解析式； (2)要使产品达到市场要求，杂质含量不超过0.1%，则至少应过滤多少次？(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)? 解：(1)由题意得， x＝0.02eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4))) eq \s\up12(y)，即50x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up12(y). 则y＝logeq \s\do9(\f(3,4))(50x)． (2)令x＝0.001， 则y＝logeq \s\do9(\f(3,4))0.05＝logeq \s\do9(\f(3,4)) eq \f(1,20)＝－eq \f(lg 20,lg \f(3,4))＝eq \f(1＋lg 2,2lg 2－lg 3)≈eq \f(1＋0.3010,2×0.3010－0.4771)≈10.42. 所以要使产品达到市场要求，至少应过滤11次．　 【例题27】比较下列各组值的大小： (1)log5eq \f(3,4)，log5eq \f(4,3)； (2)logeq \s\do9(\f(1,3))2，logeq \s\do9(\f(1,5))2； (3)log23，log54. 解　(1)解法一(单调性法)：因为对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，且eq \f(3,4)＜eq \f(4,3)， 所以log5eq \f(3,4)＜log5eq \f(4,3). 解法二(中间值法)：因为log5eq \f(3,4)＜0，log5eq \f(4,3)＞0，所以log5eq \f(3,4)＜log5eq \f(4,3). (2)解法一(单调性法)：由于logeq \s\do9(\f(1,3))2＝eq \f(1,log2\f(1,3))， logeq \s\do9(\f(1,5))2＝eq \f(1,log2\f(1,5))， 又对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且1>eq \f(1,3)＞eq \f(1,5)，所以0＞log2eq \f(1,3)＞log2eq \f(1,5)， 所以eq \f(1,log2\f(1,3))＜eq \f(1,log2\f(1,5))，所以logeq \s\do9(\f(1,3))2＜logeq \s\do9(\f(1,5))2. 解法二(图象法)：如图，在同一直角坐标系中分别画出y＝logeq \s\do9(\f(1,3))x及y＝logeq \s\do9(\f(1,5))x的图象，由图易知logeq \s\do9(\f(1,3))2＜logeq \s\do9(\f(1,5))2. (3)取中间值1， 因为log23＞log22＝1＝log55＞log54， 所以log23＞log54. 【例题29】求下列函数的值域： (1)y＝log2(x2＋4)； (2)y＝logeq \s\do9(\f(1,2))(3＋2x－x2)． (2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4. 因为u>0， 所以0<u≤4. 又y＝logeq \s\do9(\f(1,2))u在(0，4]上为减函数， 所以logeq \s\do9(\f(1,2))u≥logeq \s\do9(\f(1,2))4＝－2， 所以y＝logeq \s\do9(\f(1,2))(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)． 1．已知集合A＝{x|32x－1≥1}，B＝{x|6x2－x－2<0}，则A∪B＝(　　) A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) 解析　集合A＝{x|32x－1≥1}＝eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，B＝{x|6x2－x－2<0}＝{x|(3x－2)(2x＋1)<0}＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(2,3)))，所以A∪B＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).故选D. 2.(2024·山东枣庄高三模拟)已知指数函数y＝ax的图象如图所示，则y＝ax2＋x的图象顶点横坐标的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) 解析　由图可知，a∈(0，1)，而y＝ax2＋x＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2a))) eq \s\up12(2)－eq \f(1,4a)(a≠0)，其顶点横坐标为x＝－eq \f(1,2a)，所以－eq \f(1,2a)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))).故选A. 4．若logaeq \f(2,3)＜1，则a的取值范围为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))∪(1，＋∞) 解析：若a＞1，则由logaeq \f(2,3)＜1，得logaeq \f(2,3)＜logaa，得a＞eq \f(2,3)，∴a＞1；若0＜a＜1，则由logaeq \f(2,3)＜1，得logaeq \f(2,3)＜logaa，∴0＜a＜eq \f(2,3).综上，a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))∪(1，＋∞)．　 5．lg 4＋2lg 5＋log28＋8eq \s\up7(\f(2,3))＝(　　) A．8 B．9 C．10 D．1 解析　因为lg 4＋2lg 5＝lg 4＋lg 52＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，log28＝log223＝3，8eq \s\up7(\f(2,3))＝(23)eq \s\up7(\f(2,3))＝22＝4，所以lg 4＋2lg 5＋log28＋8eq \s\up7(\f(2,3))＝2＋3＋4＝9.故选B. 6．(2023·广东三校高三联考(二))若函数f(x)＝x3ln (eq \r(x2＋2a)－x)为偶函数，则a＝(　　) A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．1 D．2 解析　易得，函数f(x)的定义域为R，因为函数f(x)＝x3ln (eq \r(x2＋2a)－x)为偶函数，且y＝x3为奇函数，故g(x)＝ln (eq \r(x2＋2a)－x)为奇函数，故g(－x)＋g(x)＝0，即ln [eq \r((－x)2＋2a)＋x]＋ln (eq \r(x2＋2a)－x)＝0，即ln (x2＋2a－x2)＝0，即2a＝1，解得a＝eq \f(1,2).故选B. 7．当eq \r(2－x)有意义时，化简eq \r(x2－4x＋4)－eq \r(x2－6x＋9)的结果是(　　) A．2x－5 B．－2x－1 C．－1 D．5－2x 解析：因为eq \r(2－x)有意义，所以2－x≥0，即x≤2，eq \r(x2－4x＋4)－eq \r(x2－6x＋9)＝eq \r(（x－2）2)－eq \r(（x－3）2)＝|x－2|－|x－3|＝2－x－(3－x)＝2－x－3＋x＝－1.故选C. 8．当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，则a的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(1，2] D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) 解析　设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需在区间(1，2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象的下方即可．当0＜a＜1时，显然不成立．当a＞1时，如图所示，要使在区间(1，2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，所以loga2≥1，解得1＜a≤2. 9．(2024·河南开封高中高一上月考)若b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝(　　) A．5eq \s\up13(_) eq \s\up11(\f(3n,m)) B．5eq \s\up13(_) eq \s\up11(\f(m,3n)) C．5eq \s\up6(\f(3n,m)) D．5eq \s\up6(\f(m,3n)) 解析：因为b－3n＝5m，则(b－3n)eq \s\up13(_) eq \s\up11(\f(1,3n))＝(5m)eq \s\up13(_) eq \s\up11(\f(1,3n))，即b＝5eq \s\up13(_) eq \s\up11(\f(m,3n)).故选B. 10．(2024·新疆鸿德实验学校高一上第二次月考)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x<0，,3x，x>0，))则f(f(－1))＝(　　) A．2 B.eq \r(3) C．0 D.eq \f(1,2) 解析：f(－1)＝2－1＝eq \f(1,2)，f(f(－1))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝3eq \s\up6(\f(1,2))＝eq \r(3).故选B. 解析：∵y＝3－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x)，∴B正确． 13．(2024·安徽六安舒城县晓天中学高一上质检)若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up12(2a＋1)<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up12(8－2a)，则实数a的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，＋∞)) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,4))) 解析：函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up12(x)在R上为减函数，所以2a＋1>8－2a，所以a>eq \f(7,4).故选A. 解析：函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则函数y＝x(x－a)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2))) eq \s\up12(2)－eq \f(a2,4)在区间(0，1)上单调递减，因此eq \f(a,2)≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．故选D. 15．已知f(2x＋1)＝eq \f(x,3)，则f(4)＝(　　) A.eq \f(1,3)log25 B.eq \f(1,3)log23 C.eq \f(2,3) D.eq \f(4,3) 解析：令2x＋1＝4，得x＝log23，所以f(4)＝eq \f(1,3)log23.故选B. 16．2log6eq \r(2)＋3log6eq \r(3,3)＝(　　) A．log6eq \f(2,3) B．2 C．0 D．1 16．(2024·广东广州六中高一上月考)设lg 3＝a，lg 5＝b，则log212的值为(　　) A.eq \f(2b－a＋2,1－b) B.eq \f(2b－a＋2,b－1) C.eq \f(a－2b＋2,1－b) D.eq \f(a－2b＋2,1＋b) 解析：根据换底公式和对数运算性质得log212＝eq \f(lg 12,lg 2)＝eq \f(lg 3＋2lg 2,lg 2)＝eq \f(lg 3＋2lg \f(10,5),lg \f(10,5))＝eq \f(lg 3＋2－2lg 5,1－lg 5)＝eq \f(a－2b＋2,1－b).故选C.　 17．函数y＝eq \f(1,log2（x－2）)的定义域为(　　) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(2，3)∪(3，＋∞) D．(2，4)∪(4，＋∞) 解析：要使原函数有意义，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2>0，,log2（x－2）≠0，))解得2<x<3或x>3，所以原函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)．故选C.　 18．(2024·山东聊城一中高一上月考)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋1))＝lg x，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝lg eq \f(2,x＋1) B．f(x)＝lg eq \f(2,x－1) C．f(x)＝lg eq \f(1,2x－1) D．f(x)＝lg eq \f(1,2x＋1) 解析：令eq \f(2,x)＋1＝t(t>1)，则x＝eq \f(2,t－1)，所以f(t)＝lg eq \f(2,t－1)(t>1)，所以f(x)＝lg eq \f(2,x－1)(x>1)．故选B.　 20．(多选)(2024·河北辛集中学高一上质检)已知a>0，若0≤r≤8，r∈N，则将式子(eq \r(a))8－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(4,a)))) eq \s\up12(r)化为关于a的整数指数幂的可能结果为(　　) A．a4 B．a2 C．a D．a－2 解析：(eq \r(a))8－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(4,a))))eq \s\up12(r)＝＝，要使4－eq \f(3r,4)∈Z，则r为4的倍数．又r∈N，且0≤r≤8，因此r＝0，4，8.故所有可能的化简结果为a4，a，a－2.故选ACD. 21．(多选)已知a＋a－1＝3，则下列结论中正确的是(　　) A．a2＋a－2＝7 B．a3＋a－3＝16 C．aeq \s\up6(\f(1,2))＋a－eq \s\up6(\f(1,2))＝±eq \r(5) D．aeq \s\up6(\f(3,2))＋a－eq \s\up6(\f(3,2))＝2eq \r(5) 解析：∵a＋a－1＝3，∴a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝32－2＝7，故A正确；a3＋a－3＝(a＋a－1)·(a2＋a－2－1)＝3×(7－1)＝18，故B不正确；∵(aeq \s\up6(\f(1,2))＋a－eq \s\up6(\f(1,2)))2＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，a>0，解得aeq \s\up6(\f(1,2))＋a－eq \s\up6(\f(1,2))＝eq \r(5)，故C不正确；∵aeq \s\up6(\f(3,2))＋a－eq \s\up6(\f(3,2))＝(aeq \s\up6(\f(1,2)))3＋(a－eq \s\up6(\f(1,2)))3＝(aeq \s\up6(\f(1,2))＋a－eq \s\up6(\f(1,2)))(a＋a－1－1)＝eq \r(5)×(3－1)＝2eq \r(5)，故D正确．故选AD. 解析：因为log(x－2)(x2－7x＋13)＝0，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－7x＋13＝1，,x－2>0，,x－2≠1，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－7x＋12＝0，,x>2，,x≠3，))解得x＝4. 23．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x－1|)，则f(x)的单调递增区间是___________． 解析：f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(|x－1|)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x－1)，x≥1，,2x－1，x<1，))∴f(x)在(－∞，1)上单调递增，即f(x)的单调递增区间为(－∞，1)． 24．(2024·湖北黄冈中学高三模拟)设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，3a＋b＝18，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最大值为________． 解析　因为ax＝by＝3，所以x＝loga3，y＝logb3.又loga3·log3a＝eq \f(lg 3,lg a)·eq \f(lg a,lg 3)＝1，logb3·log3b＝eq \f(lg 3,lg b)·eq \f(lg b,lg 3)＝1，所以eq \f(1,x)＝log3a，eq \f(1,y)＝log3b.因为a>1，b>1，根据基本不等式，有3ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a＋b,2))) eq \s\up12(2)＝81，当且仅当3a＝b，即a＝3，b＝9时，等号成立，所以ab≤27，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝log3a＋log3b＝log3(ab)≤log327＝3.所以eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最大值为3. 25．已知函数y＝f(x)与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)的图象关于直线y＝x对称，则f(x2－2x－3)的单调递增区间为___________． 解析：由题意可知f(x)＝logeq \s\do9(\f(1,2))x，∴f(x2－2x－3)＝logeq \s\do9(\f(1,2))(x2－2x－3)．令y＝logeq \s\do9(\f(1,2))t，t＝x2－2x－3，而外层函数y＝logeq \s\do9(\f(1,2))t，t＞0是减函数，要求函数f(x2－2x－3)的单调递增区间，只需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x－3＞0，,x≤1，))解得x＜－1，∴函数f(x2－2x－3)的单调递增区间是(－∞，－1)．　 26．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)83＝512；(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(b)＝0.45； (3)log5125＝3；(4)lg a＝－1.5. 解：(1)log8512＝3. (2)logeq \s\do9(\f(1,2))0.45＝b. (3)53＝125. (4)10－1.5＝a. 解析：设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m(1＋x)4＝eq \r(m（m＋8a）)，因为yeq \o\al(2,1)－yeq \o\al(2,2)＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高． 28.已知函数f(x)＝loga(2－ax)． (1)当x∈[0，1]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围； (2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为增函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由． 解　(1)因为a>0且a≠1，设t(x)＝2－ax， 则t(x)＝2－ax为减函数，当x∈[0，1]时，t(x)的最小值为2－a， 当x∈[0，1]时，f(x)恒有意义， 即当x∈[0，1]时，2－ax>0恒成立， 所以2－a>0，所以a<2. 又a>0且a≠1，所以实数a的取值范围为(0，1)∪(1，2)． (2)t(x)＝2－ax，因为a>0，所以函数t(x)为减函数． 因为f(x)在区间[1，2]上为增函数， 所以y＝logat为减函数， 所以0<a<1. 当x∈[1，2]时，f(x)的最大值为 f(2)＝loga(2－2a)＝1， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,loga(2－2a)＝1，,))即a＝eq \f(2,3). 故存在a＝eq \f(2,3)，使得函数f(x)在区间[1，2]上为增函数，并且最大值为1. $$