专题训练3-2圆心角定理、圆周角定理与垂径定理的综合应用-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（浙教版）

专题训练2：圆心角定理、圆周角定理、垂径定理的综合应用 1．（2023秋•上城区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，∠D＝32°，则∠AOC等于（　　） A．158° B．58° C．64° D．116° 2．（2022秋•仙桃校级期末）如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，连接OB，BD，已知⊙O的半径为2，AB＝2，则的度数为（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 3．（2023秋•江干区校级期中）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（　　） A．30° B．26° C．25° D．20° 4．（2024•宁海县校级自主招生）如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为（　　） A．125° B．120° C．130° D．115° 5．（2024•翠屏区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C是弧BE的中点．过点C作CD⊥AB于点G，交⊙O于点D，若BE＝8，BG＝2，则⊙O的半径长是（　　） A．5 B．6.5 C．7.5 D．8 6．（2023秋•上城区期中）如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（　　） A．x+y＝90 B．2x+y＝90 C．2x+y＝180 D．x＝y 7．（2024•宁波模拟）如图，在圆O中，OA⊥BC，∠ADC＝30°，则的度数为（　　） A．30° B．60° C．120° D．240° 8．（2023秋•沭阳县月考）如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧的中点，若∠EOD＝32°，则∠CDA的度数是（　　） A．37° B．74° C．53° D．63° 9．（2023•越城区模拟）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝140°，则∠BOC的度数为（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 10．（2023秋•东阳市期末）如图，⊙O中，直径AB为8cm，弦CD经过OA的中点P，则PC2+PD2的最小值为（　　） A．12cm2 B．24cm2 C．36cm2 D．40cm2 11．（2023秋•安吉县月考）如图，在四边形ABCD中，以AB为直径的⊙O恰好经过点C，AC，DO交于点E，已知AC平分∠BAD，∠ADC＝90°，CD：BC＝2：，则CE：AE的值为（　　） A． B．4：5 C． D．5：8 12．（2024春•上城区校级期中）如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连结OD、BC，设∠AOD＝α，∠B＝β，则∠AED＝（　　） A．α+β B． C．180﹣α﹣β D． 13．（2022秋•淳安县期中）一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆心角的度数是 　 　． 14．（2023秋•西湖区校级期中）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 　 　． 15．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，AB，CD是⊙O的直径，，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是 　 　． 16．（2023秋•上城区校级期中）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D，E，且．若半圆的直径为13，BC＝10，则BD的长为 　 　． 17．（2023•婺城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点D是弧BC的中点，DE⊥AB于点E，交BC于点F，已知AC＝2，⊙O的半径为2，则BF的长为 　 　． 18．（2024•海曙区校级自主招生）如图，AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，∠DPB＝60°，D是的中点，则＝　 　． 19．（2023•宁波模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在圆上，连接AD，CD，且＝，∠CAB＝25°，P为上一动点，在运动过程中，DP与AC相交于点M，当△CDM为等腰三角形时，∠PDC的度数为 　 　． 20．（2023秋•海曙区期中）如图．∠AOB＝90°C，D是的三等分点，连结AB分别交OC，OD于点E，F． （1）求出∠AEC的度数： （2）求证：AE＝BF＝CD． 21．（2023秋•定海区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E． （1）求证：点E是BC的中点； （2）若∠C＝70°，求∠BOD的度数． 22．（2023秋•海曙区校级期中）如图，在锐角△ABC中，AC是最短边．以AC为直径的⊙O，交BC于D，过O作OE∥BC，交⊙O于E，连接AD、AE、CE． （1）求证：∠ACE＝∠DCE； （2）若∠B＝45°，∠BAE＝15°，求∠EAO的度数； （3）若AC＝1，，求CF的长． 23．（2024•鹿城区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，AC绕点C旋转某个度数，使点A与上的点E重合． （1）求证：∠2＝2∠1． （2）当时，求CG：GE的值． 24．（2023秋•西湖区校级期中）根据素材解决问题． 设计货船通过圆形拱桥的方案 素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，查阅资料知道桥拱半径为10m，测得水面宽AB＝16m. 素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得 EF＝3m，EH＝12m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式 问题解决 任务1 确定拱顶离水面的距离CD（C，D分别是弧AB和弦AB的中点） 求CD的长. 任务2 拟定设计方案 根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 25．（2024•浙江）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC． （1）若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数． （2）求证：①EF∥BC； ②EF＝BD． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练2：圆心角定理、圆周角定理与垂径定理的综合应用 1．（2023秋•上城区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，∠D＝32°，则∠AOC等于（　　） A．158° B．58° C．64° D．116° 【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由补角的定义即可得出结论． 【解答】解：∵∠D＝32°， ∴∠BOC＝2∠D＝64°， ∴∠AOC＝180°﹣64°＝116°． 故选：D． 2．（2022秋•仙桃校级期末）如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，连接OB，BD，已知⊙O的半径为2，AB＝2，则的度数为（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 【分析】在直角三角形OEB中利用锐角三角函数求得∠EOB的度数度数即可． 【解答】解：∵直径CD垂直弦AB于点E，AB＝2， ∴EB＝AB＝， ∵⊙O的半径为2， ∴sin∠EOB＝＝， ∴∠EOB＝60°， ∴的度数为60°． 故选：B． 3．（2023秋•江干区校级期中）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（　　） A．30° B．26° C．25° D．20° 【分析】根据圆周角定理可求解∠AOC的度数，连接OC，再利用圆周角定理结合垂直的定义可求解∠BOC的度数即可． 【解答】解：连接OC， ∵∠ABC＝19°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝38， ∵半径OA，OB互相垂直， ∴∠AOB＝90°， ∴∠BOC＝90°﹣38＝52， ∴， 故选：B． 4．（2024•宁海县校级自主招生）如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为（　　） A．125° B．120° C．130° D．115° 【分析】过点O作OE⊥AB于E，OD⊥BC于D，OF⊥AC于F，根据心角、弧、弦的关系定理得到OD＝OE＝OF，根据角平分线的判定定理、三角形内角和定理计算，得到答案． 【解答】解：过点O作OE⊥AB于E，OD⊥BC于D，OF⊥AC于F， ∵∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°， 由题意得，HG＝PQ＝MN， ∴OD＝OE＝OF， ∵OE⊥AB，OD⊥BC，OF⊥AC， ∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝50°， ∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°， 故选：C． 5．（2024•翠屏区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C是弧BE的中点．过点C作CD⊥AB于点G，交⊙O于点D，若BE＝8，BG＝2，则⊙O的半径长是（　　） A．5 B．6.5 C．7.5 D．8 【分析】连接OD，如图，设⊙O的半径为r，根据垂径定理得＝，CG＝DG，则＝，所以CD＝BE＝8，则DG＝CD＝4，利用勾股定理得到42+（r﹣2）2＝r2，然后解方程即可． 【解答】解：连接OD，如图，设⊙O的半径为r， ∵CD⊥AB， ∴＝，CG＝DG， ∵点C是弧BE的中点， ∴＝， ∴＝， ∴CD＝BE＝8， ∴DG＝CD＝4， 在Rt△ODG中，∵OG＝r﹣2，OD＝r， ∴42+（r﹣2）2＝r2，解得r＝5， 即⊙O的半径为5． 故选：A． 6．（2023秋•上城区期中）如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（　　） A．x+y＝90 B．2x+y＝90 C．2x+y＝180 D．x＝y 【分析】连接BC，根据圆周角定理求出∠B，根据平行线的性质，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：连接BC， 由圆周角定理得，∠BAC＝∠BOC＝x°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B＝90°﹣x°， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠D＝180°﹣∠B＝90°+x°， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC＝x°， ∵AD∥OC， ∴∠DAC＝∠OCA＝x°， ∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠D，即y＝180°﹣x°﹣（90°+x°）＝90°﹣x°， ∴x+y＝90， 故选：A． 7．（2024•宁波模拟）如图，在圆O中，OA⊥BC，∠ADC＝30°，则的度数为（　　） A．30° B．60° C．120° D．240° 【分析】由圆周角定理可得∠AOC＝2∠ADC＝60°，由等腰三角形三线合一可得∠AOB＝∠AOC＝60°，即可求解． 【解答】解：连接OB、OC， ∵∠ADC＝30°， ∴∠AOC＝2∠ADC＝60°， ∵OB＝OC，OA⊥BC， ∴∠AOB＝∠AOC＝60°， ∴∠BOC＝120°， 即的度数为120°， 故选：C． 8．（2023秋•沭阳县月考）如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧的中点，若∠EOD＝32°，则∠CDA的度数是（　　） A．37° B．74° C．53° D．63° 【分析】首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得∠DOA＝74°，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接OA， ∵A是劣弧的中点， 即弧DA＝弧FA， ∴∠DOA＝∠FOA， ∵∠EOD＝32°， ∴， ∵OD＝OA， ∴， 即∠CDA＝53°． 故选：C． 9．（2023•越城区模拟）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝140°，则∠BOC的度数为（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC＝50°，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC，进而可以得到答案． 【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴∠ADO＝90°，∠AEO＝90°， ∵∠DOE＝140°， ∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝80°， 故选：B． 10．（2023秋•东阳市期末）如图，⊙O中，直径AB为8cm，弦CD经过OA的中点P，则PC2+PD2的最小值为（　　） A．12cm2 B．24cm2 C．36cm2 D．40cm2 【分析】过O点作OE⊥CD于E，如图，根据垂径定理得到CE＝DE，则DP＝CE﹣PE，PC＝CE+PE，所以PC2+PD2＝2CE2+2PE2，利用勾股定理得到PC2+PD2＝40﹣4OE2，当OE取最大值2时，PC2+PD2的最小值为24cm2． 【解答】解：过O点作OE⊥CD于E，如图，则CE＝DE， ∵P点为OA的中点，AB＝8， ∴OP＝2，OC＝4， ∵DP＝DE﹣PE＝CE﹣PE，PC＝CE+PE， ∴PC2+PD2＝（CE+PE）2+（CE﹣PE）2 ＝2CE2+2PE2 ＝2（OC2﹣OE2）+2（OP2﹣OE2） ＝2OC2+2OP2﹣4OE2 ＝2×42+2×22﹣4OE2 ＝40﹣4OE2， 当OE最大时，PC2+PD2有最小值， ∴当OE取最大值2时，PC2+PD2的最小值为40﹣4×22＝24（cm2）． 故选：B． 11．（2023秋•安吉县月考）如图，在四边形ABCD中，以AB为直径的⊙O恰好经过点C，AC，DO交于点E，已知AC平分∠BAD，∠ADC＝90°，CD：BC＝2：，则CE：AE的值为（　　） A． B．4：5 C． D．5：8 【分析】过C点作CH⊥AB于H，连接OC，如图，根据角平分线的性质得到CD＝BC，设CD＝2x，CB＝2x，BC＝x，利用勾股定理计算出BH＝x，再根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则可判断△BCH∽△BAC，利用相似比得到AB＝5x，则利用勾股定理可计算出AC＝2x，AD＝4x，接着证明AD∥OC，然后利用平行线分线段成比例求解． 【解答】解：过C点作CH⊥AB于H，连接OC，如图， ∵AC平分∠BAD，CD⊥AD，CH⊥AB， ∴CD＝CH， ∵CD：BC＝2：， ∴设CD＝2x，CH＝2x，BC＝x， 在Rt△BCH中，BH＝＝x， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CBA＝∠HBC，∠CHB＝∠ACB， ∴△BCH∽△BAC， ∴BC：BA＝BH：BC，即x：AB＝x：x， 解得AB＝5x， 在Rt△ABC中，AC＝＝2x， 在Rt△ACD中，AD＝＝＝4x， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵∠DAC＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴AD∥OC， ∴＝＝＝． 故选：D． 12．（2024春•上城区校级期中）如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连结OD、BC，设∠AOD＝α，∠B＝β，则∠AED＝（　　） A．α+β B． C．180﹣α﹣β D． 【分析】先求出∠BOD的度数，再根据圆周角定理求出∠BCD的度数，再根据三角形内角和定理求出∠BEC的度数，最后根据对顶角相等即可得出∠AED的度数． 【解答】解：∵∠AOD＝α， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣α， 由圆周角定理得，∠BCD＝， 在△BCE中，∠BEC＝180°﹣∠BCD﹣∠B＝180°﹣＝， ∴∠AED＝∠BEC＝， 故选：B． 13．（2022秋•淳安县期中）一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆心角的度数是 　60°　． 【分析】先根据弦把圆分成1：5的两部分，求出所对圆心角的度数即可． 【解答】解：∵一条弦把圆分成1：5两部分， ∴这条弦所对的圆心角的度数为360°×＝60°． 故答案为：60°． 14．（2023秋•西湖区校级期中）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 　4　． 【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理的推论得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF＝BC＝DF，从而求得BC＝DF，利用勾股定理即可求得AC． 【解答】解：如图，连接OD，交AC于F， ∵D是的中点， ∴OD⊥AC，AF＝CF， ∴∠DFE＝90°， ∵OA＝OB，AF＝CF， ∴OF＝BC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， 在△EFD和△ECB中， ， ∴△EFD≌△ECB（AAS）， ∴DF＝BC， ∴OF＝DF， ∵OD＝3， ∴OF＝1， ∴BC＝2， ∴AC＝＝＝4． 故答案为：4． 15．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，AB，CD是⊙O的直径，，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是 　64°　． 【分析】根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等，可推出∠BOD＝∠AOE＝32°，再根据对顶角相等，可推出∠AOC＝∠BOD＝32°，最后用∠COE＝∠COA+∠AOE即可求解． 【解答】解：∵，∠AOE＝32°， ∴∠BOD＝∠AOE＝32°， ∵∠AOC＝∠BOD＝32°， ∴∠COE＝∠COA+∠AOE＝32°+32°＝64°． 故答案为：64°． 16．（2023秋•上城区校级期中）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D，E，且．若半圆的直径为13，BC＝10，则BD的长为 　　． 【分析】先连结AE，根据ASA判定△AEB≌△AEC，再根据全等三角形的性质得出AB＝AC，再根据等腰三角形的性质以及勾股定理，求得AE和BE的长，再根据面积法即可求得BD的长． 【解答】解：连结AE， ∵AB是直径， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°， ∵， ∴∠BAE＝∠CAE， 又AE＝AE， ∴△AEB≌△AEC（ASA）， ∴AB＝AC， 即△ABC为等腰三角形，AE⊥BC， ∴， 在Rt△ABE中，AB＝13，BE＝5， ∴，AB＝AC＝13， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（2023•婺城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点D是弧BC的中点，DE⊥AB于点E，交BC于点F，已知AC＝2，⊙O的半径为2，则BF的长为 　　． 【分析】连接BD、OD，先由圆周角定理得∠DBC＝∠BDF，得DF＝BF，由圆周角定理得∠ACB＝90°，勾股定理得BC＝2，则DE＝BC＝，再由勾股定理求出OE＝1，则BE＝OB﹣OE＝1，设DF＝BF＝a，则EF＝﹣a，然后在Rt△BEF中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：延长DE交圆O于点G，连接BD、OD，如图所示： ∵点D是弧BC的中点， ∴＝， 又∵DE⊥AB， ∴＝， ∴＝， ∴∠DBC＝∠BDF， ∴DF＝BF， ∵AB为⊙O的直径，⊙O的半径为2， ∴AB＝4， ∴∠ACB＝90°，OB＝OD＝2， ∴BC＝＝2， ∵AB为⊙O的直径，DE⊥AB， ∴DE＝GE，＝， ∵D是的中点， ∴＝＝， ∴＝， ∴BC＝DG＝2DE； 即：DE＝BC＝， ∵DE⊥AB， ∴OE＝＝1， ∴BE＝OB﹣OE＝1， 设DF＝BF＝a，则EF＝﹣a， 在Rt△BEF中，由勾股定理得：12+（﹣a）2＝a2， 解得：a＝， ∴BF＝DF＝． 故答案为：． 18．（2024•海曙区校级自主招生）如图，AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，∠DPB＝60°，D是的中点，则＝　　． 【分析】根据对顶角的性质，求出∠APC，从而求出∠CAD，由圆心角、弧、弦的关系求出∠BAD，从而求出∠ABC，进而求出． 【解答】解：∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠DPB＝60°， ∴∠APC＝∠DPB＝60°， ∴∠CAD＝90°﹣∠APC＝30°， ∵D是的中点， ∴＝， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°， ∴∠BAC＝∠CAD+∠BAD＝60°， ∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝30°， ∴＝． 故答案为：． 19．（2023•宁波模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在圆上，连接AD，CD，且＝，∠CAB＝25°，P为上一动点，在运动过程中，DP与AC相交于点M，当△CDM为等腰三角形时，∠PDC的度数为 　40°或70°或100°　． 【分析】根据＝，∠CAB＝25°，得∠CAD＝∠CAB＝25°，由AB是⊙O的直径，得∠C＝40°，然后分三种情况讨论即可求出答案． 【解答】解：∵＝，∠CAB＝25°， ∴∠CAD＝∠CAB＝25°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝40°， 当△CDM为等腰三角形时， ①当MD＝MC时，∠PDC＝∠C＝40°， ②当CD＝CM时，∠PDC＝＝70°， ③当DM＝DC时，∠PDC＝180°﹣2×40°＝100°， 故答案为：40°或70°或100°． 20．（2023秋•海曙区期中）如图．∠AOB＝90°C，D是的三等分点，连结AB分别交OC，OD于点E，F． （1）求出∠AEC的度数： （2）求证：AE＝BF＝CD． 【分析】（1）利用三角形的外角的性质求解； （2）由于C、D是弧AB的三等分点，∠AOB＝90°，易得AC＝CD＝DB，∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°，再根据外角和定理，求得∠AEC，根据OA＝OC，得出∠AEC＝∠ACO，从而得出AE＝AC，同理可得出BF＝DB． 【解答】（1）解：连接AC，DB， ∵C，D是三等分点， ∴AC＝CD＝DB， 又∵∠AOB＝90°， ∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°， ∵OA＝OB，∠AOB＝90°， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°， ∴∠AEC＝∠AOC+∠OAB＝30°+45°＝75°； （2）证明：∵∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°，∠AEC＝75°， 又∵OA＝OC， ∴∠ACO＝（180°﹣∠AOC）＝（180°﹣30°）＝75°， ∴∠AEC＝∠ACO， ∴AE＝AC， 同理可得 BF＝DB， ∴AE＝BF＝CD． 21．（2023秋•定海区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E． （1）求证：点E是BC的中点； （2）若∠C＝70°，求∠BOD的度数． 【分析】（1）连接AE，由圆周角定理推出AE⊥BC，由等腰三角形的性质即可证明E是BC的中点； （2）由等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝70°，求出∠BAC＝40°，由圆周角定理推出∠BAC＝∠BOD，即可求出∠BOD＝80°． 【解答】（1）证明：连接AE， ∵AB是圆的直径， ∴AE⊥BC， ∵AB＝AC， ∴E是BC的中点； （2）解：∵AB＝AC ∴∠B＝∠C＝70° ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝40°， ∵∠BAC＝∠BOD， ∴∠BOD＝80°． 22．（2023秋•海曙区校级期中）如图，在锐角△ABC中，AC是最短边．以AC为直径的⊙O，交BC于D，过O作OE∥BC，交⊙O于E，连接AD、AE、CE． （1）求证：∠ACE＝∠DCE； （2）若∠B＝45°，∠BAE＝15°，求∠EAO的度数； （3）若AC＝1，，求CF的长． 【分析】（1）易证∠OEC＝∠OCE，∠OEC＝∠ECD，从而可知∠OCE＝∠ECD，即∠ACE＝∠DCE； （2）延长AE交BC于点G，易证∠AGC＝∠B+∠BAG＝60°，由于OE∥BC，所以∠AEO＝∠AGC＝60°，所以∠EAO＝∠AEO＝60°； （3）易证，由于，所以＝，由圆周角定理可知∠AEC＝∠FDC＝90°，从而可证明△CDF∽△CEA，利用三角形相似的性质即可求出答案． 【解答】（1）证明：∵OC＝OE， ∴∠OEC＝∠OCE， ∵OE∥BC， ∴∠OEC＝∠ECD， ∴∠OCE＝∠ECD， 即∠ACE＝∠DCE， （2）解：延长AE交BC于点G， ∵∠AGC是△ABG的外角， ∴∠AGC＝∠B+∠BAG＝60°， ∵OE∥BC， ∴∠AEO＝∠AGC＝60°， ∵OA＝OE， ∴∠EAO＝∠AEO＝60°； （3）解：∵O是AC中点 ∴， ∵， ∴＝， ∵AC是直径， ∴∠AEC＝∠FDC＝90°， ∵∠ACE＝∠FCD， ∴△CDF∽△CEA， ∴＝， ∴CF＝CA＝． 23．（2024•鹿城区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，AC绕点C旋转某个度数，使点A与上的点E重合． （1）求证：∠2＝2∠1． （2）当时，求CG：GE的值． 【分析】（1）连接OC，OE，依题意得CA＝CE，OA＝OE＝OC，由此可依据“SSS”判定△CAO和△CEO全等，则∠OCA＝∠OCE，进而得∠2＝2∠OCA，根据OA＝OC得∠OCA＝∠1，据此可得出结论； （2）连接BC，设∠1＝α，则∠2＝2α，证明弧BD＝弧BC＝弧DE，则∠1＝∠BAD＝∠DCB＝∠DCE＝α，∠ACB＝4α＝90°，由此得α＝22.5°，进而得∠DAC＝∠2＝45°，则△GAC为等腰直角三角形，AC＝AE＝，进而得GE＝CE﹣CG＝，据此可得CG：GE的值． 【解答】（1）证明：连接OC，OE，如图1所示： ∵弦CE是由弦CA绕点C旋转得到的， ∴CA＝CE， ∵AB是⊙O的直径， ∴OA＝OE＝OC， 在△CAO和△CEO中， ， ∴△CAO≌△CEO（SSS）， ∴∠OCA＝∠OCE， ∴∠2＝2∠OCA， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠1， ∴∠2＝2∠1； （2）解：连接BC，如图2所示： 设∠1＝α， 由（1）的结论得：∠2＝2α ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴弧BD＝弧BC，∠ACB＝90°， ∵弧BD＝弧DE， ∴弧BD＝弧BC＝弧DE， ∴∠1＝∠BAD＝∠DCB＝∠DCE＝α， ∴∠ACB＝∠2+∠DCB+∠DCE＝4α＝90°， ∴α＝22.5°， ∴∠2＝2α＝45°，∠BAD＝α＝22.5°， ∴∠DAC＝∠1+∠BAD＝2α＝45°， ∴∠DAC＝∠2＝45°， ∴△GAC为等腰直角三角形，即AG＝CG， 由勾股定理得：AC＝， ∴CE＝CA＝， ∴GE＝CE﹣CG＝＝， ∴CG：GE＝CG：＝． 24．（2023秋•西湖区校级期中）根据素材解决问题． 设计货船通过圆形拱桥的方案 素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，查阅资料知道桥拱半径为10m，测得水面宽AB＝16m. 素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得 EF＝3m，EH＝12m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式 素材2 问题解决 任务1 确定拱顶离水面的距离CD（C，D分别是弧AB和弦AB的中点） 求CD的长. 任务2 拟定设计方案 根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 【分析】任务1，设 圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，由勾股定理，垂径定理，列出关于线段CD的方程，即可解决问题； 任务2，由勾股定理得到货船不能通过圆形桥拱，通过计算，即可得到需要增加的货物的吨数． 【解答】解：任务1，设 圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，如图， ∵桥拱的半径为r10m，则OD＝（10﹣CD）m， ∵OC⊥AB， ∴m， ∵OD2+AD2＝OA2， ∴（10﹣CD）2+82＝102， ∴CD＝4， ∴圆形拱桥CD的长为4m． 任务2，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加吨的货物才能通过．理由： 当EH是⊙O的弦时，EH与OC的交点为M，连接OE，OH，如图， ∵四边形EFGH为矩形， ∴EH∥FG， ∵OC⊥AB， ∴OM⊥EH． ∴EM＝EH＝6， ∴OM＝＝＝8， ∵OD＝OC﹣CD＝10﹣4＝6m， ∴DM＝8﹣6＜3， ∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱， ∴船在水面部分可以下降的高度y＝3﹣2＝1m ∵y＝， ∴x2＝100×1＝100， ∴x＝10（舍去负值）， ∴至少要增加10吨的货物才能通过． 25．（2024•浙江）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC． （1）若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数． （2）求证：①EF∥BC； ②EF＝BD． 【分析】（1）根据圆周角定理进行计算即可； （2）①利用圆内接四边形的外角等于它的内对角以及平行线的判定方法即可得出结论； ②根据全等三角形的性质，圆周角定理进行解答即可． 【解答】（1）解：∵CD为直径， ∴∠CAD＝90°， ∵∠AFE＝∠ADC＝60°， ∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠ABD＝∠ACD＝30°； （2）证明：①如图，延长AB， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠CBM＝∠ADC， 又∵∠AFE＝∠ADC， ∴∠AFE＝∠CBM， ∴EF∥BC； ②过点D作DG∥BC交⊙O于点G，连接AG，CG， ∵DG∥BC， ∴＝， ∴BD＝CG， ∵四边形ACGD是圆内接四边形， ∴∠GDE＝∠ACG， ∵EF∥DG ∴∠DEF＝∠GDE， ∴∠DEF＝∠ACG， ∵∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC， ∴∠AFE＝∠AGC， ∵AE＝AC， ∴△AEF≌△ACG（AAS）， ∴EF＝CG， ∴EF＝BD． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$