精品解析：广东省珠海市斗门区金砖四校2024-2025学年高一上学期第一次月考（10月）数学试题

2024-2025学年第一学期高一年级第一次月考（数学） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】易得阴影部分表示的集合为，再根据补集和交集的定义即可得解. 【详解】由题意得， 阴影部分表示的集合为． 故选：C. 2. 下列命题中，存在量词命题的个数是（ ） ①实数的绝对值是非负数； ②正方形的四条边相等； ③存在整数n，使n能被11整除. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题与存在量词命题的概念，即可得答案. 【详解】①可改写为，任意实数的绝对值是非负数，故为全称量词命题； ②可改写为：任意正方形的四条边相等，故为全称量词命题； ③是存在量词命题. 故选：A 3. 已知集合，，则A∩B中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】采用列举法列举出中元素的即可. 【详解】由题意，，故中元素的个数为3. 故选：B 【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 4. 设a，b是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分性和必要性知识解决即可． 详解】若，则不能判断正负，则推不出. 若，即，即也推不出． 故”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D. 5. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出中元素的即可. 【详解】由题意，中的元素满足，且， 由，得， 所以满足的有， 故中元素的个数为4. 故选：C. 【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】因为，所以，将分离常数既可以用基本不等式求最值. 【详解】因为，所以， 由均值不等式可得， 当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为3， 故选：A 【点睛】本题主要考查了基本不等式求和的最小值，属于基础题. 7 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】理解含义后运算 【详解】由题意得，是所有奇数的集合，是所有被4除余的整数集 故， 故选：C 8. 已知，则的最小值是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式求出代数式的最小值，然后在不等式两边同时除以可得出答案． 【详解】因为 ， 又，所以， 当且仅当时取，故选B． 【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，在利用基本不等式求最值时，要注意配凑“定值”的条件，注意“一正、二定、三相等”基本思想的应用． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列各组中表示不同集合的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案. 【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故； 选项B中，与表示不同的点，故； 选项C中，，，故； 选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故. 故选：ABD 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】AB 【解析】 【分析】A项：利用不等式知识即可判断； B，C项：根据充分条件与必要条件知识即可判断； D项：根据交并集知识即可判断. 【详解】对于A项：由“”可以推出，但反之不可以，故A项正确. 对于B项：由“”推不出“”，但反之可以，故B项正确. 对于C项：由“”可以推出“”，但反之不可以，故C项错误. 对于D项：由题意知：是(A∩B)∪C的子集，所以“”可以推出“，但反之不可以，故D项错误. 故选:AB. 11. 设，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A选项；求出的取值范围，可得出的取值范围，可判断B选项；利用二次函数的最值可判断C选项；求得，将与相乘，展开后利用基本不等式可判断D选项. 【详解】对于A选项，由基本不等式可得，可得， 当且仅当时，等号成立，A对； 对于B选项，由可得，解得， 所以，，B错； 对于C选项，由可得，则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，C对； 对于D选项，， 因为， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D对. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 高一（1）班共有学生50人，班级设置了数学和物理两个理科兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有30人，参加物理兴趣小组的有26人，同时参加两个兴趣小组的有15人，则两个兴趣小组都没有参加的学生有____人． 【答案】9 【解析】 【分析】根据集合交集定义，结合文氏图进行求解即可. 【详解】记高一（1）班的学生组成全集U，参加数学和物理兴趣小组的学生分别组成集合A和B，用文氏图表示它们之间的关系如图所示，可得数学、物理两个兴趣小组都没有参加的学生有9人． 故答案为：9 13. 已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用集合法，将是的必要不充分条件转化为两集合间真包含关系，列出关于的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】因为，，且是的必要不充分条件， 所以是的真子集，且不是空集. 所以且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为:. 【点睛】解决根据充分条件和必要条件条件求参数取值范围的问题：一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的包含、相等关系，列出关于参数的不等式(组)求解. 14. 已知，则的最小值为____________ 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】由于，所以， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R. （1）求A∪B，； （2）若A∩C≠∅，求a的取值范围. 【答案】（1）A∪B＝{x|1<x≤8}，{x|1<x<2} （2）{a|a<8} 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并补的定义，即可求解； （2）利用运算结果，结合数轴，即可求解. 【小问1详解】 A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}＝{x|1<x≤8}. ∵＝{x|x<2或x>8}， ∴∩B＝{x|1<x<2}. 【小问2详解】 ∵A∩C，作图易知，只要a在8的左边即可， ∴a<8. ∴a的取值范围为{a|a<8}. 16. 设全集，集合，集合. （1）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围； （2）若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由充分条件的定义可得，进而建立不等式组，解之即可求解； （2）由题意可得，易知当时符合题意；当时，根据集合的包含关系建立不等式组，解之即可求解. 【小问1详解】 ∵是充分条件，∴， 又∵，， ∴，∴， ∴， ∴实数的取值范围为； 【小问2详解】 ∵命题“，则”是真命题，∴. ①当时，∴，∴，∴，符合题意； ②当时，∵，，且B是A的子集， ∴，∴，a无解； 综上所述：实数a的取值范围. 17. 不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题： （1）已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式 （2）甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是p1，第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方案更经济，请说明理由. 【答案】（1），证明见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意列出不等式，然后用作差法证明即可； （2）根据题意表示出来每种方案的平均价格，然后用作差法比较大小，即可判断哪种方案经济. 【小问1详解】 该不等式为 证明：因为，所以，于是. 【小问2详解】 若按第一种方案采购，每次购买量为，则两次购买的平均价格为， 若按第二种方案采购，每次用的钱数是，则两次购买的平均价格为， 又 ， 所以当时，两种方案一样； 当时，第二种方案比较经济. 18. （1）已知 ，求证：. （2）已知，求代数式和的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）， 【解析】 【分析】(1)根据题意，将原式变形化为完全平方式的形式，即可得证； （2）根据题意，结合不等式的性质及运算即可得到结果. 【详解】（1） （当且仅当等号成立） （2） ∴． 由，得①． 由，得②． 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等． 例如，，求证：． 证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式（，），当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：，，，即，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题： （1）已知，求的值． （2）若，解关于的方程． （3）若正数，满足，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意把代入式中化简计算即可得解； （2）将代入方程后化简计算即可得解； （3）由已知条件可得，利用基本不等式求出的最小值即可得的最小值． 【小问1详解】 由题意得； 【小问2详解】 由， 故原方程可化为：， 即：， ，即，解得：； 【小问3详解】 由，则有 ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 有最小值，此时有最大值， 从而有最小值，即有最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期高一年级第一次月考（数学） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，存在量词命题的个数是（ ） ①实数的绝对值是非负数； ②正方形的四条边相等； ③存整数n，使n能被11整除. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 3. 已知集合，，则A∩B中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 设a，b是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 6 6. 已知，则的最小值为（ ） A 3 B. 2 C. 4 D. 1 7. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的最小值是 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列各组中表示不同集合的是（ ） A. ， B ， C. ， D. ， 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”必要不充分条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“”的必要不充分条件 11. 设，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 高一（1）班共有学生50人，班级设置了数学和物理两个理科兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有30人，参加物理兴趣小组的有26人，同时参加两个兴趣小组的有15人，则两个兴趣小组都没有参加的学生有____人． 13. 已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________． 14. 已知，则的最小值为____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R. （1）求A∪B，； （2）若A∩C≠∅，求a的取值范围. 16. 设全集，集合，集合. （1）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围； （2）若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围. 17. 不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题： （1）已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式 （2）甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是p1，第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方案更经济，请说明理由. 18. （1）已知 ，求证：. （2）已知，求代数式和的取值范围． 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等． 例如，，求证：． 证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式（，），当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：，，，即，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题： （1）已知，求的值． （2）若，解关于的方程． （3）若正数，满足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$