专题03 与球有关的外接、内切问题（3种题型专项训练）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第三册）

专题03 与球有关的外接、内切问题（3种题型专项训练） 一、与球有关的外接问题（共23题） 1．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，则该四棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·上海·）如图，在等腰梯形ABCD中，，，E为AB的中点，将与分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·上海虹口·期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．若，则此半正多面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知平面四边形中，，将沿对角线折起，使得二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知正三棱柱的底面边长为6，三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的表面积为 . 6．在三棱锥中，平面，，，三棱锥外接球的表面积为，则二面角正切值的最小值为 . 7．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知在四面体V-ABC中，，，，则该四面体外接球的表面积为 ． 8．若两个正方体的外接球的表面积之和为，则这两个正方体的表面积之和为 ． 9．（22-23高二上·上海徐汇·期中）已知的三边长为4、4、3，它的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点.若点P到的三个顶点的距离相等，则三棱锥的体积为 . 10．如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，，若，，则三棱锥的外接球表面积为 . 11．在三棱锥中，，若该三棱锥的所有顶点均在球的表面上，则球的表面积为 . 12．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知长方体的8个顶点都在球的表面上，若，则球的表面积为 . 13．（22-23高三上·上海黄浦·开学考试）在三棱锥中，，且两两互相垂直，则三棱锥的外接球的体积为 ． 14．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P—ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P—ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 ． 15．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知一个正四面体的棱长为4，则其外接球与以其一个顶点为球心，2为半径的球面所形成的交线的长度为 ． 16．三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，平面平面BCD，，，，则球O的体积为 . 17．在四棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的表面积为 . 18．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”，现有阳马（如图），平面，，，点，分别在，上，当空间四边形的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为 .    19．已知三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，且，，，．求球O的半径． 20．在边长为的菱形中，，现将沿折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 . 21.如图，在直三棱柱中，侧面ABCD的面积为为直角，，则三棱柱的外接球的半径取最小值时，四棱锥的体积为 . 22.如图，在中，，，为中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，则三棱锥外接球的表面积为 ． 23．（22-23高二上·上海闵行·期末）我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示，在长方体中，已知，. (1)求证：四棱锥是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积； (2)求该“阳马”的外接球的表面积. 2、 与球有关的内切问题（共12题） 24．（22-23高三上·上海杨浦·期中）如图所示，图中多面体是由两个底面相同的正四棱锥所拼接而成，且这六个顶点在同一个球面上．若二面角的正切值为1，则二面角的正切值为（    ） A．1 B． C．2 D． 25．如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（    ）    A． B． C． D． 26．（2023·上海杨浦·二模）如图，一个由四根细铁杆、、、组成的支架（、、、按照逆时针排布），若，一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心到点的距离是（    ） A． B． C．2 D． 27．（23-24高二上·上海·阶段练习）记一个正方体的表面积为，正方体的内切球的表面积为，则 . 28．（21-22高二上·上海青浦·期末）古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球．该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为 ． 29．（23-24高二上·上海·期末）如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，则这个球的半径为 .    30．已知正四面体的棱长为2，若球O与正四面体的每一条棱都相切，点P为球面上的动点，且点P在正四面体面ACD的外部（含正四面体面ACD表面）运动，则的取值范围为 ． 31．（23-24高三上·上海浦东新·开学考试）陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印信（如图1），它的形状可视为一个26面体，由18个正方形和8个正三角形围成（如图2），已知该多面体的各条棱长均为1，且各个顶点在同一球面上．则此球的半径 ．      32．（21-22高二下·上海杨浦·期中）已知正方体的棱长为1，其内切球（即该球与正方体的六个面均有且仅有一个公共点）上有两个动点M、N，点P为正方体表面上一动点，当线段MN长度最大时，的取值范围是 ． 33．（21-22高二上·上海普陀·期末）如图，SD是球O的直径，A、B、C是球O表面上的三个不同的点，，当三棱锥的底面是边长为3的正三角形时，则球O的半径为 . 34．（2023·上海徐汇·一模）已知一个棱长为的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则实数的最大值为 ． 35已知用通过圆锥的轴的平面去截一个圆锥，得到的截面是面积为的正三角形．求此圆锥内接球的半径． 3、 综合问题（共5题） 36．（2023·上海嘉定·二模）已知一个棱长为的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为，与该正方体每条棱都相切的球半径为，过该正方体所有顶点的球半径为，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高二上·上海·假期作业）如图所示，有一个很漂亮的中心球状建筑引起了小明的注意，为了测量球的半径，小明设计了一个方案：构造正三棱柱侧面均与球相切如图所示，底面边长约为30米，估计此时球的完整表面积为 平方米.        38．已知三棱锥中，，则三棱锥外接球半径与内切球半径之比为 ． 39．（2023·上海徐汇·二模）如图：棱长为2的正方体的内切球为球O，E、F分别是棱AB和棱的中点，G在棱BC上移动，则下列命题正确的个数是（    ） ①存在点G，使OD垂直于平面；②对于任意点G，OA平行于平面EFG；③直线被球О截得的弦长为；④过直线EF的平面截球О所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为. A．0 B．1 C．2 D．3 40．（22-23高二下·上海浦东新·阶段练习）已知点M为正方体内切球球面上的动点，点N为线段且，若该内切球的体积为，则动点M的轨迹的长度为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 与球有关的外接、内切问题（3种题型专项训练） 一、与球有关的外接问题（共23题） 1．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，则该四棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据几何体结构特征，将几何体补形为长方体， 显然四棱锥的外接球即为长方体的外接球， 所以外接球球心在中点处， 又，故外接球半径， 所以. 故选：D. 2．（25-26高二上·上海·）如图，在等腰梯形ABCD中，，，E为AB的中点，将与分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为在等腰梯形ABCD中，，，E为AB的中点， 所以都为等边三角形，且边长均为1， 所以三棱锥为正四面体，且棱长为1， 所以点在底面的投影为等边的中心，设为，则 ， 在中，，所以， 正三棱锥外接球的球心必在上，设球心为， 则，设外接球的半径为，则 ， 则在中，，则 ，解得， 所以三棱锥的外接球的体积为 . 故选：C 3．（23-24高三上·上海虹口·期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．若，则此半正多面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，在正方体中，分别取正方体、正方形的中心、，连接， ∵分别为的中点，则， ∴正方体的边长为， 故，可得， 根据对称性可知：点到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为，半径， 故该半正多面体外接球的表面积为. 故选：D 4．已知平面四边形中，，将沿对角线折起，使得二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，取的中点，的中点，连接，， 设点为三棱锥的外接球的球心，过点作平面， 连接，，设，球的半径为， ，， 为中点，，， 又平面， 二面角的平面角为， ，，， ， ， ， ， 解得， ， 三棱锥的外接球的表面积为． 故选：C． 5．已知正三棱柱的底面边长为6，三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】由正三棱柱的底面边长为6，得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径，如图，    又由三棱柱的高为，则球心到圆O的圆心O的距离， 因此球半径R满足：，即有， 所以外接球的表面积 故答案为： 6．在三棱锥中，平面，，，三棱锥外接球的表面积为，则二面角正切值的最小值为 . 【答案】/ 【解析】依题意，设的外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为， 则，则（负值舍去）， 因为平面，，所以，即，则（负值舍去）， 因为，所以为的外接圆的直径，即， 过作交于，连接，如图，    设，则由，得， 故，得，当且仅当时，等号成立， 故由三角形面积相等得， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 则，即二面角正切值的最小值为. 故答案为：. 7．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知在四面体V-ABC中，，，，则该四面体外接球的表面积为 ． 【答案】/ 【解析】∵， ∴V在平面ABC的射影为的外心． 又，，所以的外接圆的半径； ,设四面体外接球的半径为R，． 解得． 所以外接球的表面积为． 故答案为：． 8．若两个正方体的外接球的表面积之和为，则这两个正方体的表面积之和为 ． 【答案】6 【解析】设两个正方体的边长分别为，因为正方体的体对角线即为外接球的直径， 所以这两个正方体的外接球的半径分别为， ， 解得这两个正方体的表面积之和为. 故答案为：6. 9．（22-23高二上·上海徐汇·期中）已知的三边长为4、4、3，它的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点.若点P到的三个顶点的距离相等，则三棱锥的体积为 . 【答案】4 【解析】依题意，不妨令，则，有， 因此的外接圆半径，即球O的半径为， 过点P作平面于点，如图，因，于是得，即点是外心，与点O重合， 又点P在三棱锥的外接球球面上，则点P是球O直径的一个端点，即有， ， 所以三棱锥的体积是. 故答案为：4 10．如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，，若，，则三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 【解析】∵平面，平面，∴，又，∴ 取中点分别为,连接, 由于,平面,所以平面, 因为底面为菱形，所以，，且，所以,即是三角形外接圆的圆心，因此球心在直线上， 又,所以,因此可得为球心， 又， ∴. 故答案为： 11．在三棱锥中，，若该三棱锥的所有顶点均在球的表面上，则球的表面积为 . 【答案】/ 【解析】因为，所以点在平面上的射影为的外心， 如下图，又，所以的外接圆的半径， 从而三棱锥的高为. 设该三棱锥外接球的半径为，则，即，解得， 故球的表面积为. 故答案为：. 12．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知长方体的8个顶点都在球的表面上，若，则球的表面积为 . 【答案】 【解析】如图，该长方体的外接球的直径为，设其半径为， 则， 得，所以该外接球的表面积为. 故答案为：      13．（22-23高三上·上海黄浦·开学考试）在三棱锥中，，且两两互相垂直，则三棱锥的外接球的体积为 ． 【答案】 【解析】因为，且两两互相垂直， 所以三棱锥可补形为立方体，三棱锥的外接球即为立方体的外接球， 则立方体的体对角线为其外接球的直径，设三棱锥的外接球的半径为， 则， 所以，则外接球体积为. 故答案为： 14．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P—ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P—ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 ． 【答案】 【解析】将三棱锥P—ABC放入一个长方体中，如图所示： 则三棱锥P—ABC的外接球即为该长方体的外接球，因为PA＝AB＝2，AC＝4，故，设外接球的半径为，则， 故外接球的表面积为. 故答案为：. 15．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知一个正四面体的棱长为4，则其外接球与以其一个顶点为球心，2为半径的球面所形成的交线的长度为 ． 【答案】 【解析】 如图，设正四面体的外接球半径为，外接球球心到底面的距离为，过点作于，连接, 则必过的中心， ， 则又，联立解得. 由题意，两球相交形成的图形为圆面， 如图，在中，，故， 所以交线所在圆的半径为，所以交线长度为． 故答案为： 16．三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，平面平面BCD，，，，则球O的体积为 . 【答案】 【解析】如图所示：    取BD的中点O，因为，则是直角三角形， 因为，所以是直角三角形， 所以和的外接圆的圆心都是O，又因为平面平面BCD，所以O为外接球的球心， 因为，，所以外接球的半径为， 所以外接球的体积为. 故答案为：. 17．在四棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】取中点，连接，与相交于点， 因为，所以， 又，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为菱形，，， 同理可得四边形为菱形，故，所以均为等边三角形， 所以， 因为，所以，由勾股定理得， 又，故，故， 又，平面，所以平面， 由于，故的外接圆圆心为， 故三棱锥外接球球心在平面的投影为， 过点作⊥于点，连接，，则， 设，则，，， 设，其中， 所以，解得， 故， 故三棱锥外接球的表面积为.    故答案为： 18．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”，现有阳马（如图），平面，，，点，分别在，上，当空间四边形的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为 .    【答案】 【解析】如图所示，把剪开，使得与矩形在同一个平面内. 延长到M，使得，则四点，E，F，M在同一条直线上时，取得最小值，即空间四边形的周长取得最小值. 在中，C是MD的中点，又，得，.    设的外心为，外接圆的半径为r，由得， ,则，即.    设三棱锥外接球的半径为R，球心为O，连接，则， 则. 所以三棱锥外接球的表面积等于. 故答案为：. 19．已知三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，且，，，．求球O的半径． 【答案】 【解析】已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，且 因为，，，所以球心在过的中点与平面的直线上， 同理可得球心在过的中点与平面的直线上， 又三棱柱的6个顶点都在球O的球面上， 所以可得平面，所以三棱柱为直三棱柱， 又，所以可将三棱柱补成一个长方体， 此长方体的外接球即为三棱柱的外接球， 设外接球的半径为，则， 所以，所以球的半径为． 20．在边长为的菱形中，，现将沿折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】当三棱锥的体积最大值时，平面平面，如图， 取的中点为，连接，则. 设分别为，外接圆的圆心， 为三棱锥的外接球的球心， 则在上，在上，且, 且平面，平面. 平面平面，平面平面， 平面， 平面，，同理 四边形为平行四边形 平面，平面 ，即四边形为矩形. ， 所以外接球半径， 所以外接球的表面积为， 故答案为：. 21.如图，在直三棱柱中，侧面ABCD的面积为为直角，，则三棱柱的外接球的半径取最小值时，四棱锥的体积为 . 【答案】/ 【解析】由题意，直三棱柱的外接球的球心为矩形的中心， 且平面，侧面均为矩形， 设，因为侧面ABCD的面积为，所以， 因为为直角，， 所以，则， 所以直三棱柱的外接球的半径， 由，当且仅当，即时不等式取等号， 此时直三棱柱的外接球的半径取得最小值， 此时，又， 则四棱锥的体积为. 故答案为：. 22.如图，在中，，，为中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，则三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】在中，，为的中点， 则，. 又平面 平面，平面 平面 平面，， 所以平面，又， 取的中点，连接，则， 过作，则平面， 所以三棱锥的外接球球心必位于上，如图， 设球心为，半径为，则， 有，即，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 23．（22-23高二上·上海闵行·期末）我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示，在长方体中，已知，. (1)求证：四棱锥是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积； (2)求该“阳马”的外接球的表面积. 【答案】(1)证明见解析，4 (2) 【解析】（1）因为长方体中，平面，且是矩形， 所以四棱锥中，底面是矩形，且侧棱底面， 所以四棱锥是一个“阳马”， 体积； （2）长方体的外接球即为四棱锥的外接球， 因为，. 长方体的对角线长为， 则长方体的外接球的半径， 该“阳马”外接球的表面积为. 2、 与球有关的内切问题（共12题） 24．（22-23高三上·上海杨浦·期中）如图所示，图中多面体是由两个底面相同的正四棱锥所拼接而成，且这六个顶点在同一个球面上．若二面角的正切值为1，则二面角的正切值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】连接，则交于点，且平面，故多面体的外接球的球心在上，取的中点，连接， ∵，且为的中点，则， ∴二面角的平面角为，二面角的平面角为， 又∵二面角的正切值为，即， 不妨设，则， ∵，即，解得， 即外接球的半径为，则， ∴二面角的正切值. 故选：C. 25．如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得， 因为上下两个圆锥大小相同，所以组合体内切球的球心为，半径等于点到的距离，设半径为，则 ， 所以， 所以， 故选：D 26．（2023·上海杨浦·二模）如图，一个由四根细铁杆、、、组成的支架（、、、按照逆时针排布），若，一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心到点的距离是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】 如上图正四棱锥，为底面中心，为球心，为球体与的切点， 又，故各侧面均为等边三角形， 若侧面三角形边长为，则，，， 显然△ △，故，则. 故选：B. 27．（23-24高二上·上海·阶段练习）记一个正方体的表面积为，正方体的内切球的表面积为，则 . 【答案】 【解析】设正方体的棱长为，则， 正方体的内切球的半径为，则， . 故答案为：. 28．（21-22高二上·上海青浦·期末）古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球．该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为 ． 【答案】 【解析】设球的半径为，由题意得球的表面积为， 所以，所以圆柱的底面半径为2，高为4， 所以最多可以注入的水的体积为． 故答案为： 29．（23-24高二上·上海·期末）如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，则这个球的半径为 .    【答案】 【解析】如图，作出圆锥容器的轴截面，为正三角形，，，故. 设铁球的半径为，则，，在中，. 设放入球后，球与水共占体积为，则， 又，依题意有，故，解得.    故答案为： 30．已知正四面体的棱长为2，若球O与正四面体的每一条棱都相切，点P为球面上的动点，且点P在正四面体面ACD的外部（含正四面体面ACD表面）运动，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题意知正四面体的棱长为2，故可将该正四面体补成如图示正方体，    正方体棱长为，四面体的每条棱皆为正方体的面对角线， 由于球O与正四面体的每一条棱都相切，故球O为正方体的内切球， 球O的直径为正方体的棱长，则半径； 设G为AB的中点，则， 则 ， 由于点P在正四面体面ACD的外部（含正四面体面ACD表面）运动， 故点P位于DC的中点处时，最大，即为正方体内切球直径， 此时取到最大值； 在正四面体中，设E为DC中点，连接， 则，平面， 则平面，而平面， 故平面平面，则球O的球心O在平面内， 则的内切圆即为球O的一个小圆，设该圆与AE的交点为F， 则F点和AB都位于球O的同一个大圆所在的平面上，此时该大圆上劣弧所对弦长最短， 即P点位于F点时，最小； 设内切圆圆心为，则内切圆半径为， ，则， 中，，，故， 在中 ，则， 即的最小值为，故的最小值为， 故的取值范围为， 故答案为： 31．（23-24高三上·上海浦东新·开学考试）陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印信（如图1），它的形状可视为一个26面体，由18个正方形和8个正三角形围成（如图2），已知该多面体的各条棱长均为1，且各个顶点在同一球面上．则此球的半径 ．      【答案】 【解析】该多面体可以看做由一个棱长为的正方体截去8个如①的三棱柱，8个如②的四棱锥和12个如③的三棱柱构成，如图，    由对称性知，该多面体外接球球心为正方体中心，它的一个正方形面在正方体的上底面内，如图，    多面体外接球球心到截面的距离，正方形外接圆半径， 所以多面体外接球半径. 故答案为： 32．（21-22高二下·上海杨浦·期中）已知正方体的棱长为1，其内切球（即该球与正方体的六个面均有且仅有一个公共点）上有两个动点M、N，点P为正方体表面上一动点，当线段MN长度最大时，的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：设内切球的球心为， 当线段MN长度最大时，为球的直径， 不妨设分别是内切球在正方体左右侧面的切点，如图所示， 则， ， 当点位于正方体的顶点时，取得最大值， 当点位于切点时，取得最小值， 所以， 即的取值范围是. 故答案为：. 33．（21-22高二上·上海普陀·期末）如图，SD是球O的直径，A、B、C是球O表面上的三个不同的点，，当三棱锥的底面是边长为3的正三角形时，则球O的半径为 . 【答案】 【解析】因为，所以平面，三棱锥是正三棱锥，设为三角形外接圆的圆心，则在上，连接，，由得出，所以，在中，，即，解得，则球O的半径为. 故答案为： 34．（2023·上海徐汇·一模）已知一个棱长为的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则实数的最大值为 ． 【答案】2 【解析】圆锥的底面半径，母线长，则圆锥的高， 设圆锥的内切球半径， 由，可得， 即，解之得， 棱长为的正方体的体对角线长为，则其外接球半径为， 令，解之得. 则实数的最大值为2. 故答案为：2 35已知用通过圆锥的轴的平面去截一个圆锥，得到的截面是面积为的正三角形．求此圆锥内接球的半径． 【答案】 【解析】 如图，设圆锥的轴截面是正三角形， 则此圆锥的内接球的球心也是的内切圆的圆心， 设圆锥内接球与的三边的切点分别为 设此圆锥的内接球的半径为，则的高为， 的边长为， 又的面积为， ， . 故此圆锥内接球的半径为. 3、 综合问题（共5题） 36．（2023·上海嘉定·二模）已知一个棱长为的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为，与该正方体每条棱都相切的球半径为，过该正方体所有顶点的球半径为，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，所以， 所以，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误； 故选：C. 37．（24-25高二上·上海·假期作业）如图所示，有一个很漂亮的中心球状建筑引起了小明的注意，为了测量球的半径，小明设计了一个方案：构造正三棱柱侧面均与球相切如图所示，底面边长约为30米，估计此时球的完整表面积为 平方米.        【答案】 【解析】过球心作与正三棱柱底面平行的截面，如图， 则，，可得， 即球的半径，  所以球的表面积. 故答案为：. 38．已知三棱锥中，，则三棱锥外接球半径与内切球半径之比为 ． 【答案】 【解析】将三棱锥放置于长、宽、高分别是的长方体中（如图所示）， 则，解得， 而三棱锥外接球即为该长方体的外接球， 所以三棱锥外接球半径； 三棱锥的体积， 而三棱锥的表面积， 在中，由余弦定理得，， 所以，故； 设三棱锥内切球的半径为r， 则，所以． 故答案为：． 39．（2023·上海徐汇·二模）如图：棱长为2的正方体的内切球为球O，E、F分别是棱AB和棱的中点，G在棱BC上移动，则下列命题正确的个数是（    ） ①存在点G，使OD垂直于平面；②对于任意点G，OA平行于平面EFG；③直线被球О截得的弦长为；④过直线EF的平面截球О所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】当为中点时，， ， 平面，平面， 平面平面，平面，，同理，，平面, 所以平面，即平面，故①正确； 当与重合时，在平面上，在平面外，故②不正确； 如图，点是线段的中点，由对称性可知， 由勾股定理可知易知 ， 球心到距离为， 则被球截得的弦长为 故③正确； 当垂直于过的平面，此时截面圆的面积最小，此时圆的半径就是， 面积为，故④正确. 故选：D. 40．（22-23高二下·上海浦东新·阶段练习）已知点M为正方体内切球球面上的动点，点N为线段且，若该内切球的体积为，则动点M的轨迹的长度为 【答案】 【解析】如图，取中点，连接，，，正方体内切球球心为正方体的中心. 因为点N为线段的中点，可得，则，所以 所以， 又平面，平面，所以，同理， 因为，平面， 所以平面， 则点的轨迹为平面与球的截面圆周， 设正方体的棱长为，则，解得，正方体内切球半径为2,连接，，， 如下图，在对角面中， ， 到平面的距离即到平面的距离为， ， 又，， 设到平面的距离为，则，， 得到平面的距离为， 所以截面圆的半径， 则点的轨迹长度为， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$