专题02 空间线、面中角度与距离问题（6种题型专项训练）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第三册）

专题02 空间线、面中角度与距离问题（6种题型专项训练） 1、 异面直线成的角（共7小题） 1．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）如图，在正方体中，点E，F，G，H分别是棱，，，的中点，则异面直线EF与GH所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，若，则异面直线，所成角为 ． 3．（22-23高二上·上海普陀·期中）设异面直线a、b所成的角为，经过空间一点O有且只有两条直线与异面直线a、b成等角，则的取值范围为 ． 4．（23-24高二上·上海奉贤·期中）若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，、分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，求的长.    6．（20-21高二下·上海宝山·期中）、、、分别是空间四边形边、、、的中点，异面直线与所成角大小为，则 . 7．（21-22高三下·上海浦东新·期中）如图，等腰，，点是的中点，绕所在的边逆时针旋转一周. (1)求旋转一周所得旋转体的体积和表面积； (2)设，求异面直线与所成角的大小. 2、 线面角（共12题） 8．（2024·辽宁沈阳·二模）正方体中，为正方形内一点（不含边界），记为正方形的中心，直线与平面所成角分别为，．若，则点在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 9．（23-24高二上·上海普陀·期中）在四棱锥中，已知平面，底面四边形是正方形，，直线与平面所成角的正切值是，则 ． 10．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）设直线与平面所成角为，给出下列命题：（1）平面上有且仅有一条直线与直线所成角为;（2）平面上不存在直线，使之与所成角小于;（3）设，平面上恰有两条直线与所成角均为;（4）若直线，则直线与所成角大小为;其中真命题的序号为 . 11．如下图所示，矩形中，，，沿将折起，使得点C在平面上的射影落在上，则直线与平面所成的角为 ．    12．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，平面平面，，，．平面内一点满足，记直线与平面所成角为，求的最大值． 13．（23-24高二上·上海青浦·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，E是的中点，求与平面所成角的大小    14（22-23高一下·上海奉贤·阶段练习）四边形ABCD是边长为1的正方形，AC与BD交于O点，PA⊥平面ABCD，且满足．    (1)求证：AB和PC是异面直线； (2)求直线PC和平面ABCD所成角． 15．（2023·上海虹口·三模）已知圆锥的顶点为S，底面圆心为O，半径为2，母线SA､SB的长为，且M为线段AB的中点．    (1)证明：平面SOM平面SAB； (2)求直线SM与平面SOA所成角的大小． 16．（21-22高二上·上海杨浦·期中）已知长方体中，分别是和的中点. (1)画出直线与平面的公共点.（保留辅助线，无需说明理由） (2)若，与平面所成的角大小为，求异面直线与所成角的大小（精确到）. 17．（20-21高一下·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，点Q是PC的中点． (1)求证：平面BDQ； (2)在线段AB上是否存在点F，使直线PF与平面PAD所成的角为30°？若存在，求出AF的长，若不存在，请说明理由？ 18．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，底面ABCD为菱形，点P是平面ABCD外一点，且平面ABCD，E、F分别是为PD，PC的中点． (1)求证：平面PAB； (2)若，，，求直线BE与平面ABCD所成角的大小． 19．（23-24高一下·上海·期末）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：是直角三角形； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值. (3)若，且异面直线与所成角为，求的长；（结果精确到0.1） 3、 二面角（共7题） 20．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）如图所示，在空间四边形中，是中点，且，若二面角的大小为，则点到点的距离为 . 21．（2024·上海嘉定·模拟预测）如图，在正四棱锥中，，E、F分别为PB、PD的中点，平面与棱PC的交点为G. (1)求平面与平面所成锐二面角的大小； (2)若，求的值. 22．（24-25高三上·上海·开学考试）如图，已知正方体的棱长为. (1)求直线和平面所成角的大小； (2)求二面角的大小. 23．（23-24高二上·上海浦东新·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，点M为线段PB中点，，． (1)证明：平面MAC； (2)求二面角的大小． 24．（2024·上海奉贤·三模）如图，四棱锥的底面是梯形，，，，平面，． (1)求证：平面 (2)若二面角的大小为，求与平面所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示） 25．（24-25高二上·上海·开学考试）如图，正方体的棱长为1，，求： (1)与所成角的度数； (2)与平面所成角的正切值： (3)的度数． 26．（23-24高一下·江苏南通·期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，是的中点． (1)证明：； (2)若，直线与直线所成角的余弦值为． （ⅰ）求直线与平面所成角； （ⅱ）求二面角的余弦值． 4、 点到线的距离（共2题） 27．二面角为，，且点到的距离为4，则点到棱的距离为 ． 28．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知是底面边长为1的正四棱柱，为与的交点．    (1)设与底面所成角的大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：； (2)已知与平面所成角为，求正四棱柱的高； (3)若，在侧面上存在点，满足点到线段的距离与到线段的距离相等，求的最小值． 5、 直线到平面的距离（共3题） 29．（24-25高三上·甘肃兰州·开学考试）已知在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，，若，点M为的中点，点N为的四等分点（靠近点P）．    (1)求证：平面平面； (2)求点P到平面的距离． 30．（23-24高一下·山东威海·期末）如图，在平行四边形中，，沿其对角线将折起至，使所在平面与平面垂直.    (1)证明：平面平面； (2)若为上一点，∥平面，，求直线到平面的距离. 31．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，且. (1)求直三棱柱的表面积与体积； (2)求证： 平面，并求出到平面的距离. 六、平面到平面的距离（共5题） 32．如图，已知正方体的棱长为，求：    (1)点到直线的距离； (2)点到平面的距离； (3)到平面的距离； (4)平面到平面的距离． 33．（20-21高一下·福建厦门·期末）如图（1）平行六面体容器盛有高度为的水，， .固定容器底而一边于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过，，，四点，则的值为（    ） A． B． C． D． 34．（2023·河南·二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面 平面； (2)求平面与平面间的距离. 35．直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．      (1)求证：平面 平面； (2)求平面与平面的距离． 36．（21-22高一下·广东揭阳·期末）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 空间线、面中角度与距离问题（6种题型专项训练） 1、 异面直线成的角（共7小题） 1．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）如图，在正方体中，点E，F，G，H分别是棱，，，的中点，则异面直线EF与GH所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分别取的中点，连接， 由正方体的性质知：， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以异面直线EF与GH所成的角（或其补角）即为与所成的角（或其补角）， 即为，设正方体的棱长为， ，， 所以， 所以异面直线EF与GH所成的角为. 故选：C. 2．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，若，则异面直线，所成角为 ． 【答案】 【解析】在四面体中，取的中点，连接， 由M、N分别为，的中点，得， 则是异面直线AC与BD所成的角或其补角， 显然，而，有， 于是， 所以异面直线AC与BD所成的角是. 故答案为： 3．（22-23高二上·上海普陀·期中）设异面直线a、b所成的角为，经过空间一点O有且只有两条直线与异面直线a、b成等角，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】过作，则所成的角即异面直线所成角， 确定一个平面，过作， 过作直线和直线分别平分形成的两个对顶角， 当过的直线在平面内旋转时，与所成的角为，且； 当过的直线在平面内旋转时，与所成的角为，且； 结合对称性可知：若经过空间一点O有且只有两条直线与异面直线a、b成等角， 则的取值范围为. 故答案为： 4．（23-24高二上·上海奉贤·期中）若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】在空间取一点，经过点分别作， 设直线确定平面，当直线满足它的射影在所成角的平分线上时， 与所成的角等于与所成的角， 因为直线，所成的角为，得所成锐角等于， 所以当射影在所成锐角的平分线上时， 与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 当的射影在所成钝角的平分线上时， 与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有4条. 故选：D. 5．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，、分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，求的长.    【答案】或 【解析】如图，过点作垂直于上底面于点，则是母线，连接， 垂直于上下底面，，，    则四边形是平行四边形，， 与所成的角就是或其补角． 当时，是等边三角形，， 在中，； 当时，在中，， 在中，． 综上，或. 6．（20-21高二下·上海宝山·期中）、、、分别是空间四边形边、、、的中点，异面直线与所成角大小为，则 . 【答案】或 【解析】连接、， 因为、分别为、的中点，则，同理可知，， 所以，直线与所成角为或其补角， 又因为与所成角为，若为锐角，则；若为钝角，则. 综上所述，或. 故答案为：或. 7．（21-22高三下·上海浦东新·期中）如图，等腰，，点是的中点，绕所在的边逆时针旋转一周. (1)求旋转一周所得旋转体的体积和表面积； (2)设，求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）解：在等腰直角中，所以， 又点是的中点，所以，所以， 所以旋转一周所得旋转体的体积； 表面积. （2）解：如图取的中点，连接、， 因为点是的中点，所以，， 所以为异面直线与所成的角或其补角， 因为，所以， 在中由余弦定理， 即， 解得，所以， 即异面直线与所成角为. 2、 线面角（共12题） 8．（2024·辽宁沈阳·二模）正方体中，为正方形内一点（不含边界），记为正方形的中心，直线与平面所成角分别为，．若，则点在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【解析】直线与平面所成角大小分别为， 等价于直线与直线成角大小分别为， 由，可知P在线段上，又，则与所成角更小， 则点P在线段上. 故选：B. 9．（23-24高二上·上海普陀·期中）在四棱锥中，已知平面，底面四边形是正方形，，直线与平面所成角的正切值是，则 ． 【答案】 【解析】四棱锥中， 平面， 平面，，， 底面四边形是正方形，则， 平面，，平面， 则直线与平面所成角为，   中，，， 中，. 故答案为： 10．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）设直线与平面所成角为，给出下列命题：（1）平面上有且仅有一条直线与直线所成角为;（2）平面上不存在直线，使之与所成角小于;（3）设，平面上恰有两条直线与所成角均为;（4）若直线，则直线与所成角大小为;其中真命题的序号为 . 【答案】（2）（4） 【解析】对于（1），直线l在平面上的投影记为m，则，平面内与m平行的直线都与直线l所成角为，故平面上有无数条直线与直线l所成角为，故（1）错误； 对于（2），如下图：为直线l与平面所成角，， 设AD是平面内任意一条直线，， 结合线面角的范围可得，故（2）正确； 对于（3），若平面上有一条直线与l所成角均为，则此平面内与该直线平行的直线都与l所成角均为，因此（3）错误； 对于（4），如下图： 若直线，则直线l与n所成角大小为，故（4）正确， 故答案为：（2）（4）. 11．如下图所示，矩形中，，，沿将折起，使得点C在平面上的射影落在上，则直线与平面所成的角为 ．    【答案】45° 【解析】 解法一：如图2，作于E，由题意，平面，∴， 作于O，连接，则平面， ∴，从而在图1中，C、O、E三点共线， 在图1中，，，， ∴，而，∴，那么在图2中也有， 从而，故，即直线与平面所成的角为45°． 解法二：如图2，作于E，由题意，平面， 故即为与平面所成的角， 由三余弦公式，， ∴，故， 从而，∴直线与平面所成的角为45°．    12．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，平面平面，，，．平面内一点满足，记直线与平面所成角为，求的最大值． 【答案】 【解析】如图①所示，过作的延长线，垂足为， 连接、，取的中点，连接， 过点作，垂足为． ∵平面平面，且平面平面，平面OAB，， ∴，平面， ∴在平面上的射影就是直线， 故就是直线与平面所成角， 即． ∵，∴， 又∵，， ∴平面，则． ∴点的轨迹是平面内以线段为直径的圆（点除外）． ∵，且， ∴，设，则， 从而， ∴，如图②所示， 当且仅当，即是圆的切线时， 角有最大值，有最大值， 的最大值为． 13．（23-24高二上·上海青浦·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，E是的中点，求与平面所成角的大小    【答案】 【解析】设F为的中点，连接，    由于E是的中点，故, 又平面，故平面，平面， 故,则即为与平面所成角， 又，则, 底面是矩形，故，则, 所以, 而与平面所成角范围为， 故，即与平面所成角为. 14（22-23高一下·上海奉贤·阶段练习）四边形ABCD是边长为1的正方形，AC与BD交于O点，PA⊥平面ABCD，且满足．    (1)求证：AB和PC是异面直线； (2)求直线PC和平面ABCD所成角． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）因为平面， ，所以平面， 由异面直线的判定定理可证得AB和PC是异面直线； （2）设， 因为PA⊥平面ABCD，所以直线PC和平面ABCD所成角为， 因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥， 在中，，. 故直线PC和平面ABCD所成角为. 15．（2023·上海虹口·三模）已知圆锥的顶点为S，底面圆心为O，半径为2，母线SA､SB的长为，且M为线段AB的中点．    (1)证明：平面SOM平面SAB； (2)求直线SM与平面SOA所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）因为为中点，所以， 因为平面，平面， 所以，且，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2）   设的中点为，连接，则， 因为，所以， 因为底面，所以,平面，平面，, 所以平面， 所以即是直线与平面所成角． 因为圆锥的底面半径为2，母线长为，所以高， 得． 因为， 所以， 所以． 16．（21-22高二上·上海杨浦·期中）已知长方体中，分别是和的中点. (1)画出直线与平面的公共点.（保留辅助线，无需说明理由） (2)若，与平面所成的角大小为，求异面直线与所成角的大小（精确到）. 【答案】(1)作图见解析 (2)26.57° 【解析】（1） （2）连接，则，又平面，所以 所以是异面直线与所成角. 连接，平面，为与平面所成的角，故 在中，，所以， 在中，， ， 由余弦定理得. 17．（20-21高一下·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，点Q是PC的中点． (1)求证：平面BDQ； (2)在线段AB上是否存在点F，使直线PF与平面PAD所成的角为30°？若存在，求出AF的长，若不存在，请说明理由？ 【答案】(1)证明见解析 (2)当时存在,；当时不存在. 【解析】（1）连接AC，交BD于O，如图所示， 因为底面ABCD是矩形， 所以O为AC中点， 又点Q是PC的中点 ∴ 又平面BDQ，平面BDQ ∴平面BDQ （2）∵平面ABCD，平面ABCD     ∴ 又，，平面PAD，平面PAD ∴平面PAD ∴直线PF与平面PAD所成的角即为 ∴ 所以，当时，在线段AB上存在点F满足题意，此时； 当时，在线段AB上不存在点F，使直线PF与平面PAD所成的角为30°. 18．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，底面ABCD为菱形，点P是平面ABCD外一点，且平面ABCD，E、F分别是为PD，PC的中点． (1)求证：平面PAB； (2)若，，，求直线BE与平面ABCD所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）因为E、F分别是为的中点， 所以，又因为， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）连接， 因为ABCD为菱形，，， 所以三角形为等边三角形， 故， 又，所以， 因为平面， 所以就是直线与平面所成角， 在直角三角形中， ， 所以， 即直线与平面所成角的大小为． 19．（23-24高一下·上海·期末）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：是直角三角形； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值. (3)若，且异面直线与所成角为，求的长；（结果精确到0.1） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)0.8或1.8 【解析】（1）是的直径，是圆周上不同于的一动点，所以， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，即是直角三角形； （2）过A作于H，连接，如图所示， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以是直线与平面所成的角， 在中，由等面积法得， 而，所以， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为. （3） 设为中点，连接，又为的中点，则有， 异面直线与所成角为，则有或， 若，则，，， 当时，中，由余弦定理， 得， 中，； 当时，中，由余弦定理， 得， 中，， 所以的长为0.8或1.8 3、 二面角（共7题） 20．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）如图所示，在空间四边形中，是中点，且，若二面角的大小为，则点到点的距离为 . 【答案】 【解析】如图所示，连接， 因为且为的中点，所以， 所以为二面角的平面角，可得， 在中，因为，且， 可得， 所以. 故答案为：. 21．（2024·上海嘉定·模拟预测）如图，在正四棱锥中，，E、F分别为PB、PD的中点，平面与棱PC的交点为G. (1)求平面与平面所成锐二面角的大小； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）连接AC，BD，相交于点O，因为四边形ABCD是正方形， 所以O是正方形的中心，连接PO，因为四棱锥是正四棱锥，则底面ABCD， 连接EF，与OP相交于点Q，因为E、F分别为PB、PD的中点， 则Q为OP，EF的中点，EF是三角形PBD的中位线，所以， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，平面， 设平面AEGF与平面ABCD相交于直线l，故，连接QA， 则因为，所以，又因为， 因为，所以，， 故即为平面AEGF与平面ABCD所成锐二面角，其中，，所以， 即平面AEGF与平面ABCD所成锐二面角的大小为； （2）延长AQ，因为平面平面，则由两平面相交的性质可得AQ一定过点G， 过点G作交AC于点M，因为底面ABCD，所以底面ABCD， 设，则，由（1）知， 所以，即，解得，故，所以， 所以. 22．（24-25高三上·上海·开学考试）如图，已知正方体的棱长为. (1)求直线和平面所成角的大小； (2)求二面角的大小. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）平面直线和平面所成角为， ， 则直线和平面所成角的大小为. （2）平面平面 平面， 平面, 则二面角的平面角为, . 23．（23-24高二上·上海浦东新·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，点M为线段PB中点，，． (1)证明：平面MAC； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）连接交于，连接，则为中点. 因为分别为中点， 所以. 因为平面平面， 所以平面. （2）取中点，连接， 由，则， 取中点，连接， 可得. 因为平面平面，平面平面 . 所以平面， 因此平面平面，所以. 过作交于，连接， 可得平面，所以， 所以就是所求二面角的平面角，如图所示， ，由底面为正方形，则四边形为梯形， 则， 在直角中，可得， 则二面角的大小为. 24．（2024·上海奉贤·三模）如图，四棱锥的底面是梯形，，，，平面，． (1)求证：平面 (2)若二面角的大小为，求与平面所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示） 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解析】（1）在四棱锥中，连接，由平面，平面， 得，而，平面， 所以平面. （2）在梯形中，由，，得，又， 则，由（1）知，平面，平面，得， 则，是与平面所成的角，是二面角的平面角， 即，在中，，于是， 因此，所以与平面所成角的大小为. 25．（24-25高二上·上海·开学考试）如图，正方体的棱长为1，，求： (1)与所成角的度数； (2)与平面所成角的正切值： (3)的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）连接，则由正方体性质得且为的中点， 所以且， 所以，故， 又由正方体性质可知且， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以是与所成角，故与所成角的度数为. （2）如图，在平面内作交于点，连接， 由正方体性质可知平面平面， 又平面平面，所以平面， 所以为中点，为在平面上的射影， 所以为与平面所成的角， 由题意，在中，， ， 所以，所以与平面所成角的正切值为. （3）由（1）知，又由正方体性质可知平面， 而平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以的度数为. 26．（23-24高一下·江苏南通·期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，是的中点． (1)证明：； (2)若，直线与直线所成角的余弦值为． （ⅰ）求直线与平面所成角； （ⅱ）求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析. (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】（1）取的中点，连接，由平面，，得平面， 而平面，则，由为的中点，得， 则四边形是平行四边形，因此， 所以. （2）（ⅰ）由为的中点，，则，而， 平面，于是平面，平面， 则，由，得直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，为， 在中，，而， 解得，则，由平面，得直线与平面所成角为， 显然，则， 所以直线与平面所成角为. （ⅱ）过作于，由（ⅰ）可得，为等腰三角形， ，，由三角形面积法得， 由勾股定理得，过作交于，与延长线交于点， 在直角梯形中，，则， ，显然∽，则， 于是，，为线段的中点， 显然是二面角的平面角，在正中，， 由平面，平面，则，平面， 于是平面，而平面，则，， 所以二面角的余弦值. 4、 点到线的距离（共2题） 27．二面角为，，且点到的距离为4，则点到棱的距离为 ． 【答案】 【解析】作平面，垂足为，做于点，连接， 因为平面，所以， 又因为，平面， 所以平面，平面，所以， 所以，因为， 所以，即点P到棱l的距离为. 故答案为：.    28．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知是底面边长为1的正四棱柱，为与的交点．    (1)设与底面所成角的大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：； (2)已知与平面所成角为，求正四棱柱的高； (3)若，在侧面上存在点，满足点到线段的距离与到线段的距离相等，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【解析】（1）设正四棱柱的高为， 因为底面，所以，于是有， 因为，所以直线与所成角等于或其补角，    由勾股定理可知，，在等腰三角形中，底边上的高为， 所以， 所以. （2）因为为正方形对角线与的交点，是以为底边的等腰三角形， 所以，， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 因为平面平面，所以点在平面的投影在上，    所以与平面所成角即为，所以，， 又由 可知与相似， 所以，即，解得，即正四棱柱的高为. （3）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，    设，因为平面，平面，所以， 由题意可知， 所以有， 当时，有最大值，此时，而也达到最小值， 所以有最大值，因此有最小值，最小值为. 5、 直线到平面的距离（共3题） 29．（24-25高三上·甘肃兰州·开学考试）已知在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，，若，点M为的中点，点N为的四等分点（靠近点P）．    (1)求证：平面平面； (2)求点P到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【解析】（1）在四棱锥中，平面平面， 则，又， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，点M为中点，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）由（1）知平面，又平面，则， 因为，点M为的中点， 所以， 因为点N为的四等分点（靠近点P）． 所以， 因为，所以 所以由余弦定理得 ， 所以，所以，因为平面，所以， 设点P到平面的距离为h， 所以三棱锥的体积． 所以． 30．（23-24高一下·山东威海·期末）如图，在平行四边形中，，沿其对角线将折起至，使所在平面与平面垂直.    (1)证明：平面平面； (2)若为上一点，∥平面，，求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）证法一：因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，                                              因为平行四边形，所以∥， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 证法二：因为，所以，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平行四边形，所以∥， 所以，即， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）因为∥平面，所以到平面的距离等于点到平面的距离. 连接交于点，连接， 因为∥平面，平面，平面平面， 所以∥， 因为为中点，所以为的中点， 因为，，所以， 在中，，，所以，且， 所以为等边三角形，所以， 因为，平面， 所以平面， 所以的长即为点到平面的距离，因为， 所以到平面的距离为.    31．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，且. (1)求直三棱柱的表面积与体积； (2)求证： 平面，并求出到平面的距离. 【答案】(1)表面积为，体积为 (2)证明见解析， 【解析】（1）因为， 所以， 则直三棱柱的表面积为 ， 其体积为. （2）证明：因为 平面平面， 所以 平面. 过点作，垂足为. 由题意得，又， 所以平面， 又平面，则， 所以，又, 平面,平面, 所以平面， 在Rt中， , 所以到平面的距离为. 六、平面到平面的距离（共5题） 32．如图，已知正方体的棱长为，求：    (1)点到直线的距离； (2)点到平面的距离； (3)到平面的距离； (4)平面到平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解析】（1）由正方体性质可得，平面，平面， 所以，垂足为， 所以点到直线的距离为，又 所以点到直线的距离为；    （2）由正方体性质可得平面，垂足为， 所以点到平面的距离为，又， 所以点到平面的距离为， （3）由正方体性质可得，平面平面， 又平面，所以平面， 所以到平面的距离等于点到平面的距离， 又平面，垂足为， 所以点到平面的距离为，又， 故到平面的距离为， （4）由正方体性质可得平面平面， 所以平面到平面的距离等于点到平面的距离， 因为平面，垂足为， 所以点到平面的距离为，又， 所以平面到平面距离为. 33．（20-21高一下·福建厦门·期末）如图（1）平行六面体容器盛有高度为的水，， .固定容器底而一边于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过，，，四点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图：作于点，作于点， 因为，则， ， 又因为，所以为等边三角形，则， 取的中点，连接，，则，， ， 因为，所以面， 则， ， 由余弦定理可得：， 所以， 作于点，因为面，面， 所以，因为，所以面， 所以点到面的距离为， 故平面到平面的距离为， 由题意可知：所盛水的体积为平行六面体容器的一半， 所以， 故选：B. 34．（2023·河南·二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面 平面； (2)求平面与平面间的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）在正六棱柱中， 因为底面为正六边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，所以平面平面. （2）平面与平面间的距离等价于点到平面的距离，设为. 连接，则四面体的体积. 因为， ，， 所以，从而， 所以， 所以，即平面与平面间的距离为.    35．直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．      (1)求证：平面 平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）法一:证明：连接分别为的中点， 分别是的中点， ，平面，平面， 平面，平行且等于， 是平行四边形，， 平面，平面，平面， ，平面平面； 法二: 如图所示，建立空间直角坐标系，    则， ， ， ，，， 平面，平面，平面， 平面，平面，平面， 又，平面平面， （2）法一:平面与平面的距离到平面的距离． 中，，，， 由等体积可得，． 法二: 设平面的一个法向量为， 则，则可取， ， 平面与平面的距离为 36．（21-22高一下·广东揭阳·期末）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面平面， 又，平面平面，平面， 平面， 又平面， ， ， 在和中，， ，即， 又，平面 平面． （2）解：由题意知， 在中，， 又，， 平面，平面， 平面， 、分别为、的中点， ，又， ， 平面，平面， 平面， 平面，平面，， 平面平面． 平面，平面平面， 平面， 为平行平面与之间的距离， ， 即平面与之间的距离为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$