专题01 空间点、线、面中的证明题（4种题型专项训练）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第三册）

专题01 空间点、线、面中的证明题（4种题型专项训练） 一、共线、共面证明（共5小题） 1.如图，在四面体中作截面，若，的延长线交于点，，的延长线交于点，，的延长线交于点则下列四个选项中正确的个数是（    ） （1），，三点共线； （2），，，四点共面； （3）. A． B． C． D． 2．如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.    (1)证明：四点共面； (2)设，证明：A，O，D三点共线. 3．如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：    (1)，，，四点共面； (2)与的交点在直线上． 4．（23-24高二上·上海·阶段练习）如图，已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)证明：和是异面直线． 5．如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 二、平行垂直定理的判定（共2题） 6．（设有直线，，和平面，，下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，，则 7.已知两个平面、，在下列条件下，可以判定平面与平面平行的是（    ）． A．、都垂直于一个平面γ B．平面内有无数条直线与平面平行 C．l、m是内两条直线，且∥，∥ D．l、m是两条异面直线，且∥，∥ ，∥，∥ 三、平行的证明（共16小题） 8．如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），E，F分别是PD，AC的中点. (1)证明：平面. (2)若平面平面，证明：. 9．如图，已知三棱柱中，与交于点为边上一点，为中点，且平面.求证：    (1)； (2)平面平面. 10．如图，在棱长为1的正方体中，E、F及G分别为棱、和的中点.    (1)求证：平面DEG； (2)试在棱上取一点M，使平面DEG. 11．如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正弦值． 12．如图，在三棱锥中，底面分别是的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面． 13．如图，在直四棱柱中，四边形为等腰梯形，，，，点E是线段的中点. (1)求证：平面平面； (2)求证：平面. 14．如图所示：在长方体中，，，E、F分别是面，中心，G，H分别是，的中点. (1)证明：面面； (2)证明：面. 15．如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： (1)若为的中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 16．如图，在正方体中， (1)求证：平面； (2)求直线所成的角的大小； (3)求证：平面. 17．如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面． (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 18．如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点M、N、Q分别是、、的中点.求证：平面平面. 19．（23-24高二上·上海金山·期中）如图，在正三棱柱中，已知，分别是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面，并求点到平面的距离． 20．如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由. 21．如图，在六面体中，，四边形是平行四边形，． (1)证明：平面平面． (2)若G是棱的中点，证明：． 22．如图，在正方体中，求证： (1)平面平面． (2)平面平面． 23．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点. (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 4、 垂直的证明（共10小题） 24．（23-24高二上·上海青浦·期中）已知，正三棱柱中，，延长至，使    (1)求证： (2)求二面角的大小 25．（23-24高一下·上海·期末）如图，在四棱锥中，已知底面，底面是正方形，． (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面所成的角的大小． 26．如图，已知是的直径，点C是上的动点.设过动点C的直线AC垂直于所在的平面，且分别是边的中点.求证：平面. 27．如图，已知是矩形，平面. (1)求证：； (2)若，求证：四边形是正方形. 28．（24-25高三上·上海浦东新·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，交于点为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 29．在如图所示的四棱锥中，已知平面，，，，，为的中点.    (1)求证：平面 (2)求证：平面平面 30．如图，在直四棱柱中，底面是菱形，，，分别为棱，的中点，是棱上的一点，，是棱上的一点，． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面． 31．如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为正方形，为的中点，为上一点，为上一点，且平面平面.    (1)求证：为线段中点； (2)求证：平面平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求；若不存在，说明理由. 32．（21-22高二上·上海黄浦·阶段练习）如图，已知、分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平面，且，，是线段上一动点. （1）求证：平面； （2）若平面，试求的值； （3）当是中点时，求二面角的余弦值. 33．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，分别为棱中点. (1)求证：平面平面； (2)若平面⊥平面，求证：； (3)若平面⊥平面，且，求直线与平面所成角. 、 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间点、线、面中的证明题（4种题型专项训练） 一、共线、共面证明（共5小题） 1.如图，在四面体中作截面，若，的延长线交于点，，的延长线交于点，，的延长线交于点则下列四个选项中正确的个数是（    ） （1），，三点共线； （2），，，四点共面； （3）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，直线平面， ，直线平面， 所以是平面与平面的一个公共点， 所以在平面与平面的交线上， 同理可证，也在平面与平面的交线上， 所以三点共线，所以（1）正确； 平面，所以（2）错误； 由于，所以（3）错误. 故选：B. 2．如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.    (1)证明：四点共面； (2)设，证明：A，O，D三点共线. 【答案】(1)证明见祥解 (2)证明见祥解 【解析】（1）证明：如图，连接.    在正方体中，，所以， 又，且， 所以四边形是平行四边形，所以， ，所以四点共面； （2）证明：由，，又平面，平面， 同理平面ABCD，又平面平面， ，即A，O，D三点共线. 3．如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：    (1)，，，四点共面； (2)与的交点在直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）：：：，， ，分别为，的中点，，， ，，，四点共面． （2）、不是、的中点， ，且， 与必相交，设交点为， 平面，平面， 平面，且平面， 平面平面，， 与的交点在直线上． 4．（23-24高二上·上海·阶段练习）如图，已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)证明：和是异面直线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）证明：因为已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点． 所以线段是的中位线，所以且， 同理可得且，所以且， 所以四边形为平行四边形． （2）证明：（反证法）假设和不是异面直线，则和平行或相交， 所以和可以确定一个平面，所以，，，， 这与是空间四边形矛盾，故和是异面直线． 5．如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1） 连接、，， 由，分别为，中点，则， 又，，则， ， 、、、四点共面. （2） 由，， 易知， 又，分别为，中点，即， ， 结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线、不平行， 设它们交点为，平面，同理平面， 又平面平面，因此， 即、必相交且交点在直线上． 二、平行垂直定理的判定（共2题） 6．（设有直线，，和平面，，下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，，则 【答案】D 【解析】对A：平行于同一个平面的两条直线的位置关系可以相交，异面，平行，故A错； 对B：分别与两个平行平面平行的直线的位置关系可以相交，异面，平行，故B错； 对C：两个平面互相垂直，其中一个平面的任一直线和另一平面的位置关系可以相交，平行，故C错； 对D：两个平面互相垂直，其中一个平面的垂线与另一个平面平行或在另一平面内，又明确知道直线不在另一平面内，所以直线和另一平面平行，故D正确. 故选：D 7.已知两个平面、，在下列条件下，可以判定平面与平面平行的是（    ）． A．、都垂直于一个平面γ B．平面内有无数条直线与平面平行 C．l、m是内两条直线，且∥，∥ D．l、m是两条异面直线，且∥，∥ ，∥，∥ 【答案】D 【解析】对于A，如在正方体中，平面和平面都与平面ABCD垂直，但这两个平面不平行，所以A错误， 对于B，如在正方体中，平面和平面，平面中所有平行于交线的直线都与平面平行，但这两个平面不平行，所以B错误， 对于C，如在正方体中，平面和平面，分别为的中点，则在平面内，且都与平面平行，但这两个平面不平行，所以C错误. 对于D，因为l、m是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面时，一定在内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确． 故选：D 三、平行的证明（共16小题） 8．如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），E，F分别是PD，AC的中点. (1)证明：平面. (2)若平面平面，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）连接, 因为底面是正方形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以是的中位线， 所以， 因为平面，平面， 所以平面 （2） 分别是的中点， ， 平面，平面， 平面， 若平面平面， 又平面， 所以. 9．如图，已知三棱柱中，与交于点为边上一点，为中点，且平面.求证：    (1)； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析. (2)证明见解析. 【解析】（1）由题意，因为平面， 且平面 又因为平面平面， 所以由线面平行的性质得. （2）由（1）可知， 又因为点为的中点， 所以为的中点，即， 因为为的中点，即， 又因为, 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以, 又因为平面,平面， 所以平面， 又平面，，平面,平面， 所以平面平面. 10．如图，在棱长为1的正方体中，E、F及G分别为棱、和的中点.    (1)求证：平面DEG； (2)试在棱上取一点M，使平面DEG. 【答案】(1)证明见解析 (2)当M是CD的中点时，可使平面DEG 【解析】（1）在正方体中，E，F，G分别为棱和的中点， ，且， 四边形是平行四边形，， 平面平面DEG， 平面DEG. （2）当M是CD的中点时，可使平面DEG，理由如下： 因为正方体中，面， 面，， 又由（1）证同理可得，， 因为，， 所以，，则， 又，所以， 所以，则， 又平面DEG，平面DEG. 11．如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正弦值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【解析】（1）连接交于， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点， 因此有，而平面，平面， 所以平面； （2）由（1）可知：， 因此异面直线与所成角为（或其补角）， 因为是正方形，所以， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，因此有， 在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线， 因此有， 由余弦定理可知：， 因此. 12．如图，在三棱锥中，底面分别是的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）因为分别为的中点， 则， 所以 因为平面平面 所以平面. （2）因为底面，且平面， 所以， 因为， 且平面，平面， 所以平面． 13．如图，在直四棱柱中，四边形为等腰梯形，，，，点E是线段的中点. (1)求证：平面平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）证明：（1）因为，点E是线段的中点， 所以，所以， 又，所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. 同理，，平面，平面， 所以平面. 又，，平面．所以平面平面. （2）如图，作，垂足为F. 因为，所以， 又因为，所以，所以 由勾股定理得， 所以，所以， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面. 因为平面平面，所以平面. 14．如图所示：在长方体中，，，E、F分别是面，中心，G，H分别是，的中点. (1)证明：面面； (2)证明：面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）连接，，则F，E分别为，的中点， 则，又面，面， 所以面， ，又面，面， 所以面， 又，，面， 所以面面. . （2）连接，，G，F分别是AD，AC的中点， ，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又面，面， 所以面. . 15．如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： (1)若为的中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【解析】（1） 如图，连接交于点，连接，，，则为的中点， 当为的中点时，， 又平面，平面，所以平面； （2）在侧棱上存在点，使得平面，满足， 理由如下：取的中点，由，得， 过作的平行线交于，连接，，中，有， 又平面，平面，所以平面， 由，得， 又，又平面，平面， 所以平面，又，，平面， 所以平面平面，而平面， 所以平面， 即在侧棱上存在点，使得平面，满足． 16．如图，在正方体中， (1)求证：平面； (2)求直线所成的角的大小； (3)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【解析】（1）因为在正方体中，可知， 而平面，平面，所以平面. （2）如图，连接，，在正方体中，可知，， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以（或其补角）是直线与直线所成角，又，所以 ，所以直线与直线所成角为. （3）因为在正方体中，可知平面，且平面，所以， 又因为、是正方形的对角线，因此， 又，且，平面， 所以平面. 2 由，，结合（2）知：， ∴，，则，， 由二面角的余弦值知： . 17．如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面． (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，为中点，证明见解析. 【解析】（1）. 依题意，，平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. （2）取中点，连接，在中， 在中，，则，即四边形为平行四边形， 因此，平面，平面， 所以平面. （3）当为中点时，平面平面 证明如下： 取的中点为，连接， 在中，，平面，平面， 则平面，同理可证，平面， 又平面，， 所以平面平面. 18．如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点M、N、Q分别是、、的中点.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【解析】因为底面为平行四边形，为的中点， 所以为的中点， 因为M、Q分别是、的中点.， 所以 ， ， 因为平面，平面， 所以 平面， 平面， 因为平面， 所以平面 平面. 19．（23-24高二上·上海金山·期中）如图，在正三棱柱中，已知，分别是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面，并求点到平面的距离． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【解析】（1）连接，因为正三棱柱中，分别是的中点， 所以，，故四边形为平行四边形， 故， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，，所以四边形为平行四边形， 故，， 又，，所以，， 故四边形为平行四边形， 故， 因为平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面； （2）因为为等边三角形，为的中点，故⊥， 又三棱柱为直三棱柱，故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 故⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面， 过点作⊥于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以⊥平面， 故点到平面的距离为的长， 因为，是的中点， 所以， 由勾股定理得， 故， 点到平面的距离为. 20．如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)上的中点即满足平面平面，理由见解析 【解析】（1）证明：连接交于，连接． 因为为正方体，底面为正方形， 对角线、交于点，所以为的中点， 又因为为的中点，在中，是的中位线， 则， 又平面，平面， 所以平面； （2）上的中点即满足平面平面． 因为为的中点，为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 由（1）知平面， 又因为，平面， 所以平面平面． 21．如图，在六面体中，，四边形是平行四边形，． (1)证明：平面平面． (2)若G是棱的中点，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解析】（1）由，得，而平面，平面平面，则平面， 由，平面，平面，得平面， 又平面，所以平面平面. （2）延长与的延长线分别交于点， 由，，得，由，G是棱的中点，得， 因此点重合，记为，显然平面平面，平面平面， 由（1）知，平面平面，所以. 22．如图，在正方体中，求证： (1)平面平面． (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）证明：是正方体， ，且， 四边形是平行四边形． ， 又平面，平面， 平面， 同理：平面，且，平面， 平面平面. （2）证明：是正方体， 平面，又平面， ， 又，，平面， 平面，且平面， 平面平面． 23．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点. (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【解析】（1）证明：连交于O，因为底面为平行四边形， 所以O为的中点，而E为的中点， 所以， 又平面，平面； 所以平面； （2）在棱上存在点G，且，使得平面， 证明：上取点，且，因为F为上的点，且， 所以在中，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又在中，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面， 所以平面平面. 因为平面， 所以平面. 4、 垂直的证明（共10小题） 24．（23-24高二上·上海青浦·期中）已知，正三棱柱中，，延长至，使    (1)求证： (2)求二面角的大小 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）由题意知正三棱柱中，平面，平面， 故； 又，且为正三角形，故, 故，由于平面， 故平面，而平面， 故； （2）设AD的中点为E，连接，    由于，即B为CD的中点，故， 而，故； 又平面，平面，故， 平面，故平面， 而平面，故 ，平面,平面, 故即为二面角的平面角，结合题意可知该角为锐角， 在中，， 故, 故，即二面角的大小为. 25．（23-24高一下·上海·期末）如图，在四棱锥中，已知底面，底面是正方形，． (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解析】（1）在四棱锥中，由平面，平面，得， 由正方形，得，而平面， 所以直线平面. （2）令，连接， 由（1）知，直线平面，则是直线与平面所成的角， 显然，而平面，即有，则， 所以直线与平面所成的角的大小. 26．如图，已知是的直径，点C是上的动点.设过动点C的直线AC垂直于所在的平面，且分别是边的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【解析】因为BD为圆的直径，所以， 因为过动点C的直线AC垂直于所在的平面，即平面， 又平面，所以， 又因为平面，所以平面， 因为分别是边的中点，所以， 所以平面. 27．如图，已知是矩形，平面. (1)求证：； (2)若，求证：四边形是正方形. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）四边形ABCD是矩形，， 平面ABCD，平面ABCD，， 又平面， 平面平面， ，即； （2）连接， 平面平面ABCD，， 又平面， 平面平面，， 又四边形ABCD是矩形，四边形ABCD是正方形. 28．（24-25高三上·上海浦东新·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，交于点为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）因为三棱柱为直三棱柱， 所以平面， 又平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面. （2）由（1）知两两垂直，如图建立空间直角坐标系. 由已知， 则，，，，. 设，所以， 因为，所以，即， 所以平面的一个法向量为. 又， 设直线与平面所成角的大小为， 则 所以直线与平面所成角的大小为. 29．在如图所示的四棱锥中，已知平面，，，，，为的中点.    (1)求证：平面 (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）取的中点，连接， 由于，为中点，则且． ∵且， ∴且， ∴四边形MECB是平行四边形， ∴.又平面PAB，平面， ∴平面．    （2）∵平面，平面， ∴， 又, 故， ∴． ∵，平面, ∴平面，又平面， ∴平面平面． 30．如图，在直四棱柱中，底面是菱形，，，分别为棱，的中点，是棱上的一点，，是棱上的一点，． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）分别取，的中点，，连接ME，，，，如图所示． 因为M是AB的中点，E是CD的中点，易得四边形是平行四边形，所以． 因为G是棱上的一点，，H是棱AB上的一点，， 所以，，所以四边形是平行四边形，所以， 所以，又平面，平面，所以平面．           因为N是的中点，E是CD的中点，易得四边形是平行四边形，所以． 又G是棱上的一点，，所以G是的中点，又F是的中点， 所以，所以，又平面，平面，所以平面，           又，平面，所以平面平面； （2）连接，因为底面是菱形，，所以是等边三角形， 又E是CD的中点，所以，           因为直四棱柱，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以， 又，平面，所以平面，           又平面，所以平面平面．           31．如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为正方形，为的中点，为上一点，为上一点，且平面平面.    (1)求证：为线段中点； (2)求证：平面平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明详见解析 (2)证明详见解析 (3)存在，且 【解析】（1）依题意平面平面， 由于平面平面，平面平面， 所以，由于正方形中，是的中点， 所以是线段的中点. （2）由于平面平面，且交线为， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以平面平面. （3）存在，当N为SC中点时，平面平面，证明如下： 连接EC，DM交于点O，连接SE．    因为，并且，所以四边形EMCD为平行四边形，所以． 又因为N为SC中点，所以． 因为平面平面ABCD，平面平面， 又平面SAD，由已知， 所以平面ABCD，所以平面ABCD． 又因为平面DMN，所以平面平面ABCD． 所以存在点N，使得平面平面ABCD，． 32．（21-22高二上·上海黄浦·阶段练习）如图，已知、分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平面，且，，是线段上一动点. （1）求证：平面； （2）若平面，试求的值； （3）当是中点时，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. 【解析】（1）连接，由、分别是、的中点，则， 由为正方形，则，故， ∵面，面， ∴，，则平面； （2）若是的四等分点靠近的位置，连接， 由题设及（1），易知：是的四等分点靠近的位置， ∴在△中，即，又面，面， ∴平面，符合题设. 故面时，. （3）连接，由（1）结论易知：二面角、的平面角分别为，则二面角为， 33．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，分别为棱中点. (1)求证：平面平面； (2)若平面⊥平面，求证：； (3)若平面⊥平面，且，求直线与平面所成角. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 (3) 【解析】（1）因为分别为棱中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，，分别为棱中点， 所以四边形为平行四边形， 故， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，平面， 所以平面 平面； （2）因为平面⊥平面，两平面交线为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以； （3）由（2）可知，平面， 故直线与平面所成角为或其补角， 又平面，所以， 因为，，且，所以， 故，故 故直线与平面所成角为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$