专题03 数据的集中趋势和离散程度+等可能条件下的概率（9个考点清单+12种题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

专题03 数据的集中趋势和离散程度+等可能条件下的概率（考点清单，9个考点清单+12种题型解读） 【清单01 表示数据集中趋势的代表】 平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。 中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。 众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。 平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。 【清单02 表示数据离散程度的代表】 极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。 极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。 【清单03 方差】 在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即S2=来描述这组数据的离散程度，并把S2叫做这组数据的方差。 一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大；一组数据的方差越小，说明这组数据的离散程度越小。 【清单04 标准差】 方差的算术平方根，即用S=来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。 【清单05 方差与平均数的性质】 若x1，x2，…xn的方差是S2，平均数是，则有： 1 x1+b， x2+b…xn+b的方差为S2，平均数是+b； ② ax1， ax2，…axn的方差为a2s2，平均数是a； ③ ax1+b， ax2+b，…axn+b的方差为a2s2，平均数是a+b。 【清单06 等可能性】 一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性. 【清单07 等可能条件下的概率】 1.等可能条件下的概率 一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么事件A发生的概率P（A）=（其中m是指事件A发生可能出现的结果数，n是指所有等可能出现的结果数）。 2.等可能条件下的概率的求法 一般地，等可能性条件下的概率计算方法和步骤是： （1）列出所有可能的结果，并判定每个结果发生的可能性都相等； （2）确定所有可能发生的结果的个数n和其中出现所求事件的结果个数m； （3）计算所求事件发生的可能性：P（所求事件）=。 【清单08 用列举法计算概率】 常用的列举法有两种：列表法和画树状图法。 1.列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。 2.树状图 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图。 【清单09 几何概率】 公式：P（A）=（其中m是指事件A所占的面积，n是指总面积） 【考点题型一 求一组数据的平均数】 【例1】一组数据： 5， 7， 4， 3， 1的平均数是 （   ） A．4 B．3 C．5 D．6 【变式1-1】甲、乙、丙、丁四人参加某次电脑技能比赛．甲、乙两人的平均成绩为a分，他们两人的平均成绩比丙的成绩低9分，比丁的成绩高3分，那么他们四人的平均成绩为（    ）分． A． B． C． D． 【变式1-2】某同学使用计算器求10个数的平均数时，错误地将其中一个数据12输入为22，那么由此求出的平均数比实际平均数多 ． 【变式1-3】西藏百万农奴解放纪念日，学校举行歌咏比赛，五位评委给六年级一班打分如下：9.5分，9.4分，9.6分，8.9分，9.3分．去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算平均分，该班最终得分是 分． 【变式1-4】一个电梯的最大载质量是，现有平均体重为的人和平均体重为的人，他们能否一起搭乘这个电梯？他们的平均体重是多少千克？（结果精确到） 【考点题型二 求加权平均数】 【例2】某公司招聘员工一名，某应聘者进行了三项素质测试，其中创新能力为分，综合知识为分，语言表达为分，如果将这三项成绩按：：计入总成绩，则他的总成绩为（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 【变式2-1】为坚持“五育”并举，全面发展素质教育，某校规定学生的学期体育总成绩满分为，其中平时运动情况占，期中测试成绩占，期末测试成绩占小明的三项成绩百分制依次为，则小明这学期的体育成绩总分是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】在一次演讲比赛中，甲的演讲内容分、演讲能力分、演讲效果分，若按照演讲内容占，演讲能力占，演讲效果占，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为 ． 【变式2-3】某校对各班级的教室卫生情况的考查包括以下几项：黑板、门窗、桌椅、地面；一天八年级4个班级的各项卫生成绩分别如下 黑板 门窗 桌椅 地面 （1）班 95 95 90 80 （2）班 90 95 85 90 （3）班 85 90 90 90 （4）班 92 94 86 91 学校规定黑板、门窗、桌椅、地面这四项得分依次按、、、的比例计算各班的卫生成绩，则成绩最高的班级是 班． 【变式2-4】2024年4月24日是第九个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“极目楚天，共襄星汉”．为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，校团委以此为契机，组织了“中国梦•航天情”系列活动．下面是八年级甲，乙两个班各项目的成绩（单位：分）： 参赛班级 知识竞赛 演讲比赛 版面创作 甲 85 91 88 乙 90 84 87 (1)如果各项成绩同等重要，计算甲、乙两班的平均成绩，从他们的成绩看，甲、乙两班谁的成绩更好？ (2)如果学校按照知识竞赛占，演讲比赛占，版面创作占，确定最后成绩，请通过计算说明甲、乙两班谁的最后成绩更好？ 【考点题型三 利用（加权）平均数做决策】 【例3】某学校考查各个班级的教室卫生状况时包括以下三项：地面、黑板，门窗，其中“地面”最重要，“黑板”次之，“门窗”要求最低，根据这个要求，对地面、黑板、门窗三项考察比较合适的比例设计分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3-1】某公司计划招聘一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四位应试者进行了面试和笔试，他们的成绒（百分制）如表：公司决定将面试与笔试成绩按的比例计算个人总分，总分最高者将被录用，则公司将录用（    ） 应试者 甲 乙 丙 丁 面试 80 85 90 83 笔试 86 80 83 90 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式3-2】为了从甲、乙两位选手中选择一位代表学校参加所在区的汉字听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面进行了测试，他们各自的成绩(百分制)如下表： 选手 表达能力 阅读理解 综合素质 汉字听写 甲 85 78 85 73 乙 73 80 82 83 如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别占20%、10%、30%和40%计算两位选手的平均成绩，从他们的这一成绩看，成绩较好的选手是 ． 【变式3-3】某公司招聘人才，对应聘者分别进行了阅读能力、思维能力和表达能力三项测试，其中甲、乙两人的测试成绩（百分制）如下表：（单位：分），将阅读能力、思维能力和表达能力三项测试得分按1：3：1的比确定每人的最后成绩，被录用的是 ． 应聘者 阅读能力 思维能力 表达能力 甲 85 90 80 乙 95 80 95 【变式3-4】某单位预从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示： 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 76 81 90 面试 93 70 68 根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票如图所示，每得一票记作1分，（没有弃权票，每位职工只能推荐1人） (1)请算出三人的民主评议得分； (2)如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用； (3)根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，那么谁将被录用（若出现并列则依次比较笔试，面试，民主评议分）？ 【考点题型四 求中位数和众数】 【例4】在樱桃采摘园，五位游客各采摘了一篮樱桃，质量分别为（单位：千克）：5，2，3，4，5，则这组数据的众数与中位数分别为 （    ） A．5，3 B．5，4 C．4，5 D．5，5 【变式4-1】《义务教育课程标准（年版）》首次把学生学会烹饪纳入劳动教育课程，并作出明确规定某班有七名同学已经学会烹饪的菜品种数依次为：，，，，，，，则这组数据的众数、中位数和平均数分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式4-2】在一次引体向上测试中，某小组8名男生的成绩分别为：13，9，a，11，7，11，8，9，若这组数据的唯一众数为11，则这组数据的中位数为 ． 【变式4-3】某高校建设的中华优秀传统文化传承基地围绕民族民间音乐、民族民间美术、民族民间舞蹈、戏剧、戏曲、曲艺、传统手工技艺等传统文化项目，李教授了解班上7名学生最喜欢的传统文化项目的个数分别如下：3，5，4，7，5，6，5，则这组数据的众数和中位数分别是 和 ． 【变式4-4】某班名学生米跑的测试成绩（满分分）条形统计图如图所示，得分和分成绩的人数被污渍遮盖．设得分的学生有人，得分的学生有人． (1)当这名学生米跑测试成绩的平均成绩为分时，求 ①，的值； ②此时这名学生成绩的中位数； (2)若名学生米跑测试成绩的众数有两个，求的值． 【考点题型五 利用中位数和众数做决策】 【例5】据中国汽车工业协会统计分析，近年来中国新能源汽车产业发展迅猛，因其节能环保，经济实用，市场占有率持续提升．某品牌汽车的店年月的第二周从周一到周日7天的新能源车的销量（辆）分别为：，，，，，，．根据统计的数据，准备制定下周平均每天的销售目标，如果想确定一个较高的日销售目标，你认为较合适的参考数据是这组数据的（    ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．最大数据 【变式5-1】一家鞋店在一段时间内销售了某种男鞋200双，各种尺码鞋的销售量如表所示： 尺码/厘米 23 23.5 24 24.5 25 25.5 销售量/双 5 10 22 39 56 43 一般来讲鞋店老板比较关心哪种尺码的鞋最畅销，也就是关心卖出的鞋的尺码组成的一组数据（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【变式5-2】位学生分别购买如下尺码的鞋子：，，，，，，，，，单位：这组数据的平均数、中位数、众数三个指标中鞋店老板最不喜欢的是 ，最喜欢的是 ． 【变式5-3】某服装店为调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据每月销售目标完成情况发放奖金．该店统计了每位营业员前半年的月均销售额，并算出所得数据的平均数、众数、中位数，分别为22，18，20（单位：万元）若想让一半左右的营业员都能达到月销售目标，则月销售额定为 万元较为合适． 【变式5-4】为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析． 数据收集：下表为20名员工当月的销售额（单位：万元） 5.9 9.9 6.0 5.2 8.2 6.2 7.6 9.4 8.2 7.8 5.1 7.5 6.1 6.3 6.7 7.9 8.2 8.5 9.2 9.8 数据整理： 销售额/万元 频数 3 5 a 4 4 数据分析： 平均数 众数 中位数 7.485 b 7.7 问题解决： (1)______，______； (2)若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有 名员工获得奖励； (3)经理在对数据进行分析以后，最终对一半的员工给予奖励，员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是7.5万元，比平均数7.485万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释． 【考点题型六 求方差】 【例6】某店铺连续5天销售衬衣的件数分别为10，11，13，15，11．关于这组数据，以下结论错误的是（    ） A．众数是11 B．平均数是12 C．方差是3.2 D．中位数是13 【变式6-1】已知一组数据：、、、、的平均数是1，则这组数据的方差是（　　） A．1 B．2 C．3 D．10 【变式6-2】五个互不相等的正偶数，，，，的平均数和中位数都是，且六个数，，，，，的众数是6，平均数还是，则这五个互不相等的正偶数，，，，的方差为 . 【变式6-3】小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：，根据算式信息，这组数据的平均数是 ． 【变式6-4】为了让同学们了解自己的体育水平，八年级班的体育老师对全班名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为分，班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下： 八年级班体育模拟测试成绩分析表 平均数 方差 中位数 众数 男生 2 8 7 女生 7.92 1.99 8 根据以上信息，解答下列问题： (1)这个班共有男生 人，共有女生 人； (2)补全八年级班体育模拟测试成绩分析表； (3)你认为在这次体育测试中，班的男生队，女生队哪个表现更突出一些？并写出你的看法的理由． 【考点题型七 利用方差做决策】 【例7】甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击沫试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 S2 1.6 0.8 3 0.8 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式7-1】某校为选拔八年级学生参加“初中生数学素养大赛”，该校数学组根据四名同学平时成绩制作了下表，将选派一名成绩好且发挥稳定的同学参加该比赛，你认为最应该选（    ） 甲 乙 丙 丁 平均数 134 135 135 134 方差 12.1 10.2 10.8 11.3 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式7-2】为了解A，B两种型号的铁观音茶叶的亩产情况，工作人员对某茶叶园进行调查，通过收集数据并整理分析发现，A，B两种铁观音平均亩产干茶都是，A种铁观音的亩产量的方差为7.4，B种铁观音的亩产量的方差为15.8．若要比较A，B两种铁观音的亩产量的稳定性，则亩产量稳定性较好的铁观音型号是 ． 【变式7-3】甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次，射击成绩的平均数都是环，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是 ． 【变式7-4】全面推行学校课后延时服务，某中学为了解家长对课后延时服务的满意度，在七、八年级中各随机抽取10名学生家长进行问卷调查，获得了每位学生家长对课后延时服务的评分数据． 调查主题：七、八年级家长对课后延时服务评分调查报告 【设计调查方式】 在七、八年级中各随机抽取了10名学生家长对课后延时服务的评分（满分10分）． 【收集、整理、描述数据】 家长对课后延时服务的评分统计图（满分10分）： 数据分析： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 8 1.2 八年级 8 7 1.8 请根据以上调查报告，解答下列问题： (1)上述表格中：______，______，______； (2)在七、八两个年级中，如果某个年级评分的10个数据的波动越小，则认为家长的评价越一致．据此推断：七、八两个年级中，______年级家长的评价更一致（填“七”或“八”）； (3)综合上表中的统计量，现要给评分突出的年级老师颁奖，你认为应该给哪个年级的老师颁奖？请说明理由．（写出一条理由即可） 【考点题型八 等可能性】 【例8】某种型号的变速自行车的主动轴上有三个齿轮，齿数分别是，，；后轴上有四个齿轮，齿数分别是，，，，则这种变速车共有多少档不同的车速（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】一个不透明的盒子中有3个红球和2个自球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（   ） A．摸到红球是必然事件 B．摸到黑球是随机事件 C．摸到红球比摸到白球的可能性大 D．摸到白球比摸到红球的可能性大 【变式8-2】已知一个三位数中至少有一位数为1，且相邻两个数字差的绝对值不超过1，则这样的三位数个数为 ． 【变式8-3】如图，一只小虫沿着图示的六边形构成的格子从长桥畔爬行到古樟旁，标记有箭头的边只能按箭头方向爬行，且小虫爬行同一条边最多一次，则共有 种不同的爬行路径． 【变式8-4】在一个不透明的口袋中装着大小、外形等一模一样的个红球、个蓝球和个白球，它们已经在口袋中被搅匀了．请判断以下事情是不确定事件、不可能事件，还是必然事件． 从口袋中任意取出一个球，是一个白球； 从口袋中一次任取个球，全是蓝球； 从口袋中一次任意取出个球，恰好红蓝白三种颜色的球都齐了． 【考点题型九 根据概率公式计算概率】 【例9】一个不透明的袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外无其他差别，充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则的值为（ ）． A． B． C． D． 【变式9-1】用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】在一个不透明的袋子里装有3个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外其余都相同．若每次摇匀后，从中随机摸出一球，记下颜色后放回袋中，大量重复上述实验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋子中白球有 个． 【变式9-3】从，，，，0，2，π这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为 【变式9-4】在一个不透明的袋中只装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外都相同． (1)任意摸出一球，摸到黄球是______事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”） (2)从袋中任意摸出一个球，摸到黑球的概率是多少？ (3)现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概率是，请求出后来放入袋中的黑球的个数． 【考点题型十 几何概率】 【例10】如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，在正方形内随机取点，则此点来自阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式10-2】大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 ． 【变式10-3】如图是由7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在空白部分的概率是 ． 【变式10-4】如图，可以自由转动的圆形转盘被它的两条直径分成了四个扇形区域，其中标有数字“0”的扇形的圆心角为．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向的扇形内的数字即为转出的数字，此时称为转动转盘一次（当指针指向两个扇形的交线时，不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． (1)转动转盘一次，则转出的数字是的概率为______； (2)转动转盘两次，用画树状图法或列表法求两次转出的数字之和为偶数的概率． 【考点题型十一 列表法或树状图法求概率】 【例11】中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】如图，电路中有3个开关a，b，c，已知电路及其他元件都能正常工作，现任意闭合两个开关，能使得小灯泡发光的概率为 ． 【变式11-3】“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C （秋分）、D （立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀，先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票，则小李两次抽取的邮票中至少有一张是D （立秋）的概率为 . 【变式11-4】我市某中学在参加“争创卫生城市”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班(用A，B，C，D表示)，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题： (1)杨老师采用的调查方式是   ( 填“全面调查”或“抽样调查”)； (2)请补全条形统计图，并估计全校共征集作品的件数； (3)如果全校征集的作品中有3件获得特等奖，其中有2名作者是男生，1 名作者是女生，现要在获得特等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或画树状图的方法，求恰好选取的两名学生是一男一女的概率． 【考点题型十二 统计概率大题】 【例12】某校举办了一次趣味数学竞赛，满分10分．在初赛中，甲乙两组学生成绩如下（单位：分）：甲组：．乙组：． 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 8 9 乙组 8 8 (1)______，______，______； (2)小明同学说：“这次竞赛我得了8分，在我们小组属中游略偏上！”，小明可能是______组的学生（填“甲”或“乙”）； (3)如果你是该校数学竞赛的教练员，你会选择哪一组同学代表学校参加复赛？并说明理由． 【变式12-1】为提高我市中学生的思维创新能力，市教育局举办了思维创新数学竞赛，竞赛设定满分100分，学生得分均为整数．在八年级初赛中，甲、乙两校各随机抽取40名学生，并对其成绩x（单位：分）进行整理、描述和分析．其部分信息如下． a．甲校学生成绩的扇形统计图（A组：，B组：，C组：，D组：，E组：）． b．甲校学生成绩在这一组的成绩是（单位：分）：72，73，73，75，75，77，78，78． c．甲、乙两校抽取学生成绩的平均数、中位数（单位：分）如下表： 学校 平均数 中位数 甲 n 乙 (1)填空： _______， _______； (2)在抽取的同学中，参加竞赛的甲校同学，成绩高于平均分的人数有p人，参加竞赛的乙校同学，成绩高于平均分的人数有q人，则p_______q（填“”或“”）； (3)通过以上数据分析，你认为哪个学校学生的“思维创新能力”更强？请说明理由，并给出一条合理化的建议． 【变式12-2】为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，采用取整数的计分方式，满分10分．绘制如下统计图表． 竞赛成绩统计表 众数 中位数 方差 八年级 7 8 1.88 九年级 a b 1.56 请根据图表中的信息，回答下列问题： (1)八年级的平均成绩是8分；九年级的平均成绩是________分； (2)表中的__________，__________； (3)若规定成绩为10分获一等奖，成绩为9分获二等奖，成绩为8分获三等奖，通过计算说明哪个年级的获奖率高？ 【变式12-3】随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，人们的出行方式越来越多，出行越来越便捷． 为保障旅客快捷、安全的出入车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口．某车站有三个出入闸口， 分别记为A，B，C． (1)一名乘客通过该站闸口时，选择B闸口通过的概率是 ； (2)当两名乘客通过该站闸口时，请用画树状图或列表法求这两名乘客选择不同闸口通过的概率． 【变式12-4】在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字0、1、2，它们除数字外都相同． (1)随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的概率为 ； (2)小明先从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的横坐标，将此球放回、搅匀，再从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的纵坐标．请用树状图或表格列出点A所有可能的坐标，并求出点A在坐标轴上的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 数据的集中趋势和离散程度+等可能条件下的概率（考点清单，9个考点清单+12种题型解读） 【清单01 表示数据集中趋势的代表】 平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。 中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。 众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。 平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。 【清单02 表示数据离散程度的代表】 极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。 极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。 【清单03 方差】 在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即S2=来描述这组数据的离散程度，并把S2叫做这组数据的方差。 一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大；一组数据的方差越小，说明这组数据的离散程度越小。 【清单04 标准差】 方差的算术平方根，即用S=来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。 【清单05 方差与平均数的性质】 若x1，x2，…xn的方差是S2，平均数是，则有： 1 x1+b， x2+b…xn+b的方差为S2，平均数是+b； ② ax1， ax2，…axn的方差为a2s2，平均数是a； ③ ax1+b， ax2+b，…axn+b的方差为a2s2，平均数是a+b。 【清单06 等可能性】 一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性. 【清单07 等可能条件下的概率】 1.等可能条件下的概率 一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么事件A发生的概率P（A）=（其中m是指事件A发生可能出现的结果数，n是指所有等可能出现的结果数）。 2.等可能条件下的概率的求法 一般地，等可能性条件下的概率计算方法和步骤是： （1）列出所有可能的结果，并判定每个结果发生的可能性都相等； （2）确定所有可能发生的结果的个数n和其中出现所求事件的结果个数m； （3）计算所求事件发生的可能性：P（所求事件）=。 【清单08 用列举法计算概率】 常用的列举法有两种：列表法和画树状图法。 1.列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。 2.树状图 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图。 【清单09 几何概率】 公式：P（A）=（其中m是指事件A所占的面积，n是指总面积） 【考点题型一 求一组数据的平均数】 【例1】一组数据： 5， 7， 4， 3， 1的平均数是 （   ） A．4 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查平均数，根据平均数的计算方法，进行求解即可． 【详解】解：； 故选A． 【变式1-1】甲、乙、丙、丁四人参加某次电脑技能比赛．甲、乙两人的平均成绩为a分，他们两人的平均成绩比丙的成绩低9分，比丁的成绩高3分，那么他们四人的平均成绩为（    ）分． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，求平均数． 先求出丙和丁的成绩，再根据平均数的定义，即可解答． 【详解】解：根据题意可得：丙的成绩为分，丁的成绩为分， ∴他们四人的平均成绩为分， 故选：D． 【变式1-2】某同学使用计算器求10个数的平均数时，错误地将其中一个数据12输入为22，那么由此求出的平均数比实际平均数多 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了求平均数，根据题意可知输入的结果比原本的结果多了10，那么这10个数平均多了1，即平均数比实际平均数多1． 【详解】解：把12错输入了22，那么这是个数的总和多了，则平均数多了， 故答案为：1． 【变式1-3】西藏百万农奴解放纪念日，学校举行歌咏比赛，五位评委给六年级一班打分如下：9.5分，9.4分，9.6分，8.9分，9.3分．去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算平均分，该班最终得分是 分． 【答案】9.5 【分析】本题考查的是平均数的求法，熟记公式是解决本题的关键．解答本题运用求平均数公式：即可求解． 【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分后，剩下的数据为：9.4，9.5，9.6， 故剩下的数据的平均数为：（分）， 去掉一个最高分和一个最低分后的平均分是9.5分， 故答案为：9.5． 【变式1-4】一个电梯的最大载质量是，现有平均体重为的人和平均体重为的人，他们能否一起搭乘这个电梯？他们的平均体重是多少千克？（结果精确到） 【答案】不能；平均体重为千克 【分析】本题考查了平均数的应用和平均数的求法，关键是根据平均数的计算公式列出算式求解．求得人的总体重后，与最大载重量比较后，即可得出能否一起安全地搭乘这架电梯，总体重除以即为平均体重． 【详解】解：（千克）， 千克千克， 所以他们不能一起搭乘这个电梯， 他们的平均体重为（千克）， 答：他们不能一起搭乘这个电梯，他们的平均体重为千克． 【考点题型二 求加权平均数】 【例2】某公司招聘员工一名，某应聘者进行了三项素质测试，其中创新能力为分，综合知识为分，语言表达为分，如果将这三项成绩按：：计入总成绩，则他的总成绩为（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】A 【分析】此题考查了加权平均数， 根据加权平均数，则该应聘者的总成绩创新能力所占的比值综合知识所占的比值语言表达所占的比值，即可求得答案． 【详解】解：根据题意有：（分）， ∴则他的总成绩为：分， 故选：A． 【变式2-1】为坚持“五育”并举，全面发展素质教育，某校规定学生的学期体育总成绩满分为，其中平时运动情况占，期中测试成绩占，期末测试成绩占小明的三项成绩百分制依次为，则小明这学期的体育成绩总分是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据加权平均数的计算方法，求出小明这学期的体育总评成绩为多少即可．此题主要考查了加权平均数的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是：平时成绩占，期中考试成绩占，期末考试成绩占． 【详解】解： （分）， 小明这学期的体育成绩总分是90分． 故选：A． 【变式2-2】在一次演讲比赛中，甲的演讲内容分、演讲能力分、演讲效果分，若按照演讲内容占，演讲能力占，演讲效果占，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为 ． 【答案】 【分析】本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．根据加权平均数的计算方法进行计算即可． 【详解】解：该选手的综合成绩为：， 故答案为：． 【变式2-3】某校对各班级的教室卫生情况的考查包括以下几项：黑板、门窗、桌椅、地面；一天八年级4个班级的各项卫生成绩分别如下 黑板 门窗 桌椅 地面 （1）班 95 95 90 80 （2）班 90 95 85 90 （3）班 85 90 90 90 （4）班 92 94 86 91 学校规定黑板、门窗、桌椅、地面这四项得分依次按、、、的比例计算各班的卫生成绩，则成绩最高的班级是 班． 【答案】（4） 【分析】此题考查了加权平均数，关键是掌握加权平均数的计算公式． 按加权平均数的计算公式，列出算式，求出三个班的成绩，再进行比较即可． 【详解】解：（1）班的成绩是：， （2）班的成绩是：， （3）班的成绩是： （4）班的成绩是：， ∵ ∴成绩最高的班级是（4）班． 故答案为：（4）． 【变式2-4】2024年4月24日是第九个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“极目楚天，共襄星汉”．为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，校团委以此为契机，组织了“中国梦•航天情”系列活动．下面是八年级甲，乙两个班各项目的成绩（单位：分）： 参赛班级 知识竞赛 演讲比赛 版面创作 甲 85 91 88 乙 90 84 87 (1)如果各项成绩同等重要，计算甲、乙两班的平均成绩，从他们的成绩看，甲、乙两班谁的成绩更好？ (2)如果学校按照知识竞赛占，演讲比赛占，版面创作占，确定最后成绩，请通过计算说明甲、乙两班谁的最后成绩更好？ 【答案】(1)甲班成绩更好，见解析 (2)乙班成绩更好，见解析 【分析】本题主要考查了代数平均数和加权平均数的计算，熟练掌握平均数的计算公式，是解题的关键． （1）根据代数平均数的计算公式分别求出甲、乙的平均成绩，然后进行比较即可； （2）根据加权平均数的计算公式分别求出甲、乙的平均成绩，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：甲、乙两班的平均成绩分别是： （分）， （分）， ∵ ∴甲班成绩更好； （2）解：甲、乙两班的最后成绩分别是： （分）， （分）， ∵ ∴乙班成绩更好． 【考点题型三 利用（加权）平均数做决策】 【例3】某学校考查各个班级的教室卫生状况时包括以下三项：地面、黑板，门窗，其中“地面”最重要，“黑板”次之，“门窗”要求最低，根据这个要求，对地面、黑板、门窗三项考察比较合适的比例设计分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据题意可知：“地面”最重要，“黑板”次之，“门窗”要求最低，再观察各个选项，可得答案． 【详解】解：“地面”最重要，“黑板”次之，“门窗”要求最低， 对地面、黑板、门窗三项考察比较合适的比例设计分别为，，， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了加权平均数，解答本题的关键是明确权的意义. 【变式3-1】某公司计划招聘一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四位应试者进行了面试和笔试，他们的成绒（百分制）如表：公司决定将面试与笔试成绩按的比例计算个人总分，总分最高者将被录用，则公司将录用（    ） 应试者 甲 乙 丙 丁 面试 80 85 90 83 笔试 86 80 83 90 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】计算出甲、乙、丙、丁四位应试者面试与笔试成绩的加权平均数，即可得到答案． 【详解】解：甲的总分为：，乙的总分为：， 丙的总分为：，丁的总分为：， 可知总分最高的是丙， 故选：C 【点睛】此题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． 【变式3-2】为了从甲、乙两位选手中选择一位代表学校参加所在区的汉字听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面进行了测试，他们各自的成绩(百分制)如下表： 选手 表达能力 阅读理解 综合素质 汉字听写 甲 85 78 85 73 乙 73 80 82 83 如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别占20%、10%、30%和40%计算两位选手的平均成绩，从他们的这一成绩看，成绩较好的选手是 ． 【答案】乙 【分析】先分别求出两选手的加权平均成绩，然后比较即可解答． 【详解】解：=85×0.2+78×0.1+85×0.3+73×0.4=79.5 =73×0.2+80×0.1+82×0.3+83×0.4=80.4 ∵＞ ∴应选派乙． 故答案为乙． 【点睛】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数的求法以及运用加权平均数决策是解答本题的关键． 【变式3-3】某公司招聘人才，对应聘者分别进行了阅读能力、思维能力和表达能力三项测试，其中甲、乙两人的测试成绩（百分制）如下表：（单位：分），将阅读能力、思维能力和表达能力三项测试得分按1：3：1的比确定每人的最后成绩，被录用的是 ． 应聘者 阅读能力 思维能力 表达能力 甲 85 90 80 乙 95 80 95 【答案】甲 【分析】分别求出三个人的加权成绩，然后进行比较即可． 【详解】解：由题意得：甲的成绩分； 乙的成绩分 ， ∴乙的成绩＜甲的成绩， ∴被录取的是甲， 故答案为：甲． 【点睛】本题主要考查了加权平均数，解题的关键在于能够熟练掌握加权平均数的求法． 【变式3-4】某单位预从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示： 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 76 81 90 面试 93 70 68 根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票如图所示，每得一票记作1分，（没有弃权票，每位职工只能推荐1人） (1)请算出三人的民主评议得分； (2)如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用； (3)根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，那么谁将被录用（若出现并列则依次比较笔试，面试，民主评议分）？ 【答案】(1)甲分，乙分，丙分； (2)乙 (3)丙 【分析】本题考查的是加权平均数的求法，要注意各部分的权重与相应的数据的关系，根据公式列出算式是解题的关键． （1）根据扇形统计图得出每部分所占的百分比，求出甲、乙、丙民主评议的得分， （2）根据平均数的计算公式求出各自的平均数，然后进行比较，即可得出答案； （3）利用加权平均数的计算公式列式计算求出三人的得分，然后即可判断录用的候选人． 【详解】（1）解：甲的民主评议得分为：（分）， 乙的民主评议得分为：（分）， 丙的民主评议得分为：（分）， （2）解：甲的平均成绩是：（分）， 乙的平均成绩是：（分）， 丙的平均成绩是：（分）， 根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么乙被录用； （3）解：将笔试、面试、民主评议三项测试得分按的比例， 则甲得分：（分）， 乙得分：（分）， 丙得分：（分）， ∵， 则丙将被录用． 【考点题型四 求中位数和众数】 【例4】在樱桃采摘园，五位游客各采摘了一篮樱桃，质量分别为（单位：千克）：5，2，3，4，5，则这组数据的众数与中位数分别为 （    ） A．5，3 B．5，4 C．4，5 D．5，5 【答案】B 【分析】本题主要考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据；一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数． 先把数据按大小排列，再根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】解：在数据5，2，3，4，5中5出现2次、次数最多，故众数为5； 将该组数据按从小到大的顺序排列为2，3，4，5，5．中间的的这个数为4， 故这组数据的中位数是4． 故选：B． 【变式4-1】《义务教育课程标准（年版）》首次把学生学会烹饪纳入劳动教育课程，并作出明确规定某班有七名同学已经学会烹饪的菜品种数依次为：，，，，，，，则这组数据的众数、中位数和平均数分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题主要考查众数、中位数和平均数，一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数，中位数是指将一组数据按照由小到大或由大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数．根据众数、中位数、平均数的定义解答即可． 【详解】解：这个数据中出现次数最多的数据是， 这组数据的众数是， 把这组数据按从小到大顺序排为：，，，，，，，位于中间的数据为， 这组数据的中位数为， ， 这组数据的平均数为． 故选：A． 【变式4-2】在一次引体向上测试中，某小组8名男生的成绩分别为：13，9，a，11，7，11，8，9，若这组数据的唯一众数为11，则这组数据的中位数为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查众数和中位数，先根据众数的定义得出，再根据中位数的定义求解即可．解题的关键是掌握众数和中位数的定义． 【详解】解：∵数据13，9，，11，7，11，8，9的唯一众数为11， ∴， 则这组数据为：7，8，9，9，11，11，11，13， 所以这组数据的中位数为， 故答案为：10． 【变式4-3】某高校建设的中华优秀传统文化传承基地围绕民族民间音乐、民族民间美术、民族民间舞蹈、戏剧、戏曲、曲艺、传统手工技艺等传统文化项目，李教授了解班上7名学生最喜欢的传统文化项目的个数分别如下：3，5，4，7，5，6，5，则这组数据的众数和中位数分别是 和 ． 【答案】 5 5 【分析】本题考查了中位数与众数的概念，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 【详解】解：数据3，5，4，7，5，6，5中出现的次数最多的是5，因而众数是5 7个数据从小到大排列后为3，4，5，5，5， 6，7，处于中间位置的是第4位，是5，因而中位数是5． 故答案为：5，5． 【变式4-4】某班名学生米跑的测试成绩（满分分）条形统计图如图所示，得分和分成绩的人数被污渍遮盖．设得分的学生有人，得分的学生有人． (1)当这名学生米跑测试成绩的平均成绩为分时，求 ①，的值； ②此时这名学生成绩的中位数； (2)若名学生米跑测试成绩的众数有两个，求的值． 【答案】(1)①；②分 (2)或 【分析】本题考查了中位数和众数及解二元一次方程组，根据中位数和众数的定义求解即可得出答案，熟练掌握中位数和众数的定义是解此题的关键． （1）①根据统计图得出，根据平均数列出关于，的二元一次方程组，解方程组求出，的值即可； ②根据中位数的定义求解即可； （2）根据分的学生有人，结合众数的定义，即可得答案． 【详解】（1）解：①∵得分的学生有人，得分的学生有人，名学生米跑测试成绩的平均成绩为分， ∴，， ∴， 解得：． ②把这名学生的成绩从小到大排列，第和个数据为：分、分， ∴此时这名学生成绩的中位数为（分） （2）解：∵名学生米跑测试成绩的众数有两个，分的学生有人，得分和得分的学生共有人， ∴当时，，此时众数为分和分， 当时，，此时众数为分和分， 故的值为或． 【考点题型五 利用中位数和众数做决策】 【例5】据中国汽车工业协会统计分析，近年来中国新能源汽车产业发展迅猛，因其节能环保，经济实用，市场占有率持续提升．某品牌汽车的店年月的第二周从周一到周日7天的新能源车的销量（辆）分别为：，，，，，，．根据统计的数据，准备制定下周平均每天的销售目标，如果想确定一个较高的日销售目标，你认为较合适的参考数据是这组数据的（    ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．最大数据 【答案】D 【分析】本题考查数据的收集与描述，解题的关键是利用平均数，中位数，众数作决策，即可． 【详解】将该组数据从小到大排列：，，，，，，，中位数为：； 该组数据的众数为：； 该组数据的平均数为：； 该组数据的最大数据为：； ∴， ∴当确定一个较高的日销售目标时，应参考数据是这组数据的最大数据， 故选：D． 【变式5-1】一家鞋店在一段时间内销售了某种男鞋200双，各种尺码鞋的销售量如表所示： 尺码/厘米 23 23.5 24 24.5 25 25.5 销售量/双 5 10 22 39 56 43 一般来讲鞋店老板比较关心哪种尺码的鞋最畅销，也就是关心卖出的鞋的尺码组成的一组数据（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【答案】C 【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义分析判断即可，得出鞋店老板最关心的数据． 【详解】解：∵众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量， ∴鞋店老板最关心的是众数． 故选C． 【变式5-2】位学生分别购买如下尺码的鞋子：，，，，，，，，，单位：这组数据的平均数、中位数、众数三个指标中鞋店老板最不喜欢的是 ，最喜欢的是 ． 【答案】 平均数 众数 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．根据平均数、中位数、众数的意义分析判断． 【详解】解：平均数体现平均水平；众数体现数据的最集中的一点，故鞋店老板最不喜欢的是平均数，最喜欢的是众数． 故填平均数；众数． 【变式5-3】某服装店为调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据每月销售目标完成情况发放奖金．该店统计了每位营业员前半年的月均销售额，并算出所得数据的平均数、众数、中位数，分别为22，18，20（单位：万元）若想让一半左右的营业员都能达到月销售目标，则月销售额定为 万元较为合适． 【答案】20 【分析】本题考查了众数、中位数和平均数，反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．根据中位数的意义进行解答，即可得出答案． 【详解】解：想让一半左右的营业员都能达到销售目标，则月销售额定为20万合适． 因为中位数为20，即大于20与小于20的人数一样多， 所以月销售额定为20万，有一半左右的营业员能达到销售目标； 故答案为：20． 【变式5-4】为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析． 数据收集：下表为20名员工当月的销售额（单位：万元） 5.9 9.9 6.0 5.2 8.2 6.2 7.6 9.4 8.2 7.8 5.1 7.5 6.1 6.3 6.7 7.9 8.2 8.5 9.2 9.8 数据整理： 销售额/万元 频数 3 5 a 4 4 数据分析： 平均数 众数 中位数 7.485 b 7.7 问题解决： (1)______，______； (2)若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有 名员工获得奖励； (3)经理在对数据进行分析以后，最终对一半的员工给予奖励，员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是7.5万元，比平均数7.485万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释． 【答案】(1)4，8.2 (2)12 (3)见解析 【分析】本题考查频数分布表，中位数，利用中位数做决策等，解题的关键是掌握中位数的求法及意义． （1）根据所给数据及众数的定义求解； （2）根据频数分布表求解； （3）利用中位数进行决策． 【详解】（1）解：， ∵个数据中，出现了次，是出现次数最多的， ∴众数； （2）解：月销售额不低于万元的有：（人）， 则有12名员工获得奖励； （3）解：名员工的销售额的中位数为万元， 名员工的销售额有一半的人，即人超过万元， 公司对一半的员工进行了奖励，说明销售额在万元及以上的人才能获得，而员工甲的销售额是万元，低于万元， 员工甲不能拿到奖励． 【考点题型六 求方差】 【例6】某店铺连续5天销售衬衣的件数分别为10，11，13，15，11．关于这组数据，以下结论错误的是（    ） A．众数是11 B．平均数是12 C．方差是3.2 D．中位数是13 【答案】D 【分析】根据众数、平均数、方差、中位数的计算方法分别求出结果再进行判断即可．本题考查中位数、众数、平均数、方差，掌握中位数、众数、平均数、方差的计算方法是解决问题的关键． 【详解】解：A、11出现了2次，出现的次数最多，则众数是11，故本选项不符合题意； B、平均数是，故本选项不符合题意； C、方差是：，故本选项不符合题意； D、把这些数从小到大排列为：10，11，11，13，15，中位数是11，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式6-1】已知一组数据：、、、、的平均数是1，则这组数据的方差是（　　） A．1 B．2 C．3 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握方差和平均数的定义． 先根据平均数的定义求出的值，再依据方差的定义求解即可得出答案． 【详解】解：由题意知， 解得， 则这组数据为， 所以其方差为， 故选：B． 【变式6-2】五个互不相等的正偶数，，，，的平均数和中位数都是，且六个数，，，，，的众数是6，平均数还是，则这五个互不相等的正偶数，，，，的方差为 . 【答案】8 【分析】本题考查数据的数字特征及应用，熟练掌握平均数与方差的计算方法是解题的关键，根据题意得到，再根据，，，，是五个互不相等的正偶数，且，，，，，的众数是6，可得到，进而推算出，，，，对应的五个互不相等的正偶数所对应的数，利用方差的计算公式即可得到答案． 【详解】解：∵，，，，的平均数是， ∴, ∵，，，，，的平均数还是， ∴, ∴, ∵，，，，是五个互不相等的正偶数，且，，，，，的众数是6， ∴, ∴，，，，对应的五个互不相等的正偶数分别是：2、4、6、8、10， ∴，，，，的方差为：． 故答案为：8． 【变式6-3】小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：，根据算式信息，这组数据的平均数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了方差，平均数．由，可知这组数据为7、7、8、8、8、9，然后根据平均数的定义求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴这组数据为7、7、8、8、8、9， ∴这组数据的平均数为， 故答案为：． 【变式6-4】为了让同学们了解自己的体育水平，八年级班的体育老师对全班名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为分，班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下： 八年级班体育模拟测试成绩分析表 平均数 方差 中位数 众数 男生 2 8 7 女生 7.92 1.99 8 根据以上信息，解答下列问题： (1)这个班共有男生 人，共有女生 人； (2)补全八年级班体育模拟测试成绩分析表； (3)你认为在这次体育测试中，班的男生队，女生队哪个表现更突出一些？并写出你的看法的理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查统计调查的应用，解题的关键是熟知直方图与平均数、众数的性质． （1）根据直方图即可求出男生人数，再用总人数减去男生人数即可得到女生人数． （2）根据平均数与众数的定义即可求解； （3）利用众数的意义即可判断． 【详解】（1）解∶这个班共有男生有人， 女生有人． 故答案为∶20，25； （2）解∶ 解：男生的平均分为 ，女生的众数为， 补全表格如下： 平均分 方差 中位数 众数 男生 女生 （3）解：从众数看，女生队的众数高于男生队的众数，所以女生队表现更突出（答案不唯一）． 【考点题型七 利用方差做决策】 【例7】甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击沫试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 S2 1.6 0.8 3 0.8 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题重点考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可． 【详解】解：选择一名成绩好的运动员，从平均数最大的运动员中选取， 由表可知，甲，丙，丁的平均值最大，都是9， ∴从甲，丙，丁中选取， ∵甲的方差是1.6，丙的方差是3，丁的方差是0.8， ∴， ∴发挥最稳定的运动员是丁， ∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丁． 故选：D． 【变式7-1】某校为选拔八年级学生参加“初中生数学素养大赛”，该校数学组根据四名同学平时成绩制作了下表，将选派一名成绩好且发挥稳定的同学参加该比赛，你认为最应该选（    ） 甲 乙 丙 丁 平均数 134 135 135 134 方差 12.1 10.2 10.8 11.3 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查利用平均数和方差做决策，根据平均数越大，方差越小，成绩越好，发挥越稳定，进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，乙的平均数最大，且方差最小， 故乙的成绩好且发挥稳定， 故选B． 【变式7-2】为了解A，B两种型号的铁观音茶叶的亩产情况，工作人员对某茶叶园进行调查，通过收集数据并整理分析发现，A，B两种铁观音平均亩产干茶都是，A种铁观音的亩产量的方差为7.4，B种铁观音的亩产量的方差为15.8．若要比较A，B两种铁观音的亩产量的稳定性，则亩产量稳定性较好的铁观音型号是 ． 【答案】A种铁观音 【分析】本题主要考查方差，根据方差的意义求解即可，解题的关键是掌握方差的意义． 【详解】解：∵A种铁观音的亩产量的方差为7.4，B种铁观音的亩产量的方差为15.8， ∴， ∴亩产量稳定性较好的铁观音型号是A种铁观音， 故答案为：A种铁观音． 【变式7-3】甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次，射击成绩的平均数都是环，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是 ． 【答案】甲 【分析】本题考查方差的知识，解题的关键是掌握方差做决策，方差越大，偏离平均数越大，波动越大，即数据越不稳定；反之，方差越小，数据比较集中，偏离平均数越小，波动越小，即数据越稳定，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴射击成绩最稳定的是甲， 故答案为：甲． 【变式7-4】全面推行学校课后延时服务，某中学为了解家长对课后延时服务的满意度，在七、八年级中各随机抽取10名学生家长进行问卷调查，获得了每位学生家长对课后延时服务的评分数据． 调查主题：七、八年级家长对课后延时服务评分调查报告 【设计调查方式】 在七、八年级中各随机抽取了10名学生家长对课后延时服务的评分（满分10分）． 【收集、整理、描述数据】 家长对课后延时服务的评分统计图（满分10分）： 数据分析： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 8 1.2 八年级 8 7 1.8 请根据以上调查报告，解答下列问题： (1)上述表格中：______，______，______； (2)在七、八两个年级中，如果某个年级评分的10个数据的波动越小，则认为家长的评价越一致．据此推断：七、八两个年级中，______年级家长的评价更一致（填“七”或“八”）； (3)综合上表中的统计量，现要给评分突出的年级老师颁奖，你认为应该给哪个年级的老师颁奖？请说明理由．（写出一条理由即可） 【答案】(1)8，7.5，8 (2)七 (3)应该给七年级的老师颁奖，理由见解析 【分析】本题考查折线统计图、平均数、中位数、众数、方差，理解题意，会求相关统计量是解答的关键． （1）根据平均数、众数、中位数的求法，结合图中数据求解即可； （2）根据方差越小，数据波动越小求解即可； （3）根据表格中所给两个年级的平均数、中位数、众数、方差比较，即可得出结论． 【详解】（1）解：七年级的平均数（分）， 其中数据8出现了4次，出现次数最多，故众数， 将八年级的数据从小到大排序，第5个和第6个数据分别为7和8， ∴中位数； （2）解：∵， ∴七年级年级评分的10个数据的波动小，即七年级家长的评价更一致； （3）解：综合上表中的统计量，两个年级的平均数相同，但七年级的中位数、众数都比八年级高，并且方差比八年级要小，说明七年级家长对课后延时服务较为满意，评价更一致，因此，应该给七年级的老师颁奖． 【考点题型八 等可能性】 【例8】某种型号的变速自行车的主动轴上有三个齿轮，齿数分别是，，；后轴上有四个齿轮，齿数分别是，，，，则这种变速车共有多少档不同的车速（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求得齿轮数的比值，比值等于1，则车速相等，进而即可求解． 【详解】解：∵主动轴上有三个齿轮，齿数分别是48，36，24； ∴主动轴上可以有3个变速， ∵后轴上有四个齿轮，齿数分别是36，24，16，12， ∴后轴上可以有4个变速， ∵变速比为2，1.5，1，3的有两组， 又∵前后齿轮数之比如果一致，则速度会相等， ∴共有3×4-4=8种变速， 故选：B． 【点睛】本题考查了列举法求可能性，解决本题的关键是找到两次实验中每次可能出现的结果次数． 【变式8-1】一个不透明的盒子中有3个红球和2个自球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（   ） A．摸到红球是必然事件 B．摸到黑球是随机事件 C．摸到红球比摸到白球的可能性大 D．摸到白球比摸到红球的可能性大 【答案】C 【分析】根据随机事件的定义可对A、B进行判断；利用概率公式求出摸到红球的概率和摸到白球的概率，然后通过比较两概率的大小可对C、D进行判断． 【详解】解：从中任意摸出一个球，摸到红球和摸到白球都是随机事件； 摸到红球的概率为，摸到白球的概率为，所以摸到红球比摸到白球的可能性大． 故选：C． 【点睛】本题考查了可能性的大小：通过比较两个事件的概率的大小判断两个事件发生的可能性的大小．也考查了随机事件的定义． 【变式8-2】已知一个三位数中至少有一位数为1，且相邻两个数字差的绝对值不超过1，则这样的三位数个数为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了列举法，分百位数字、十位数字、个位数字为1，分别列举出所有可能即可． 【详解】解∶①当百位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字为0时，个位数字可能为0，1； 当十位数字为1时，个位数字可能为0，1，2； 当十位数字为2时，个位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123； ②当十位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1，百位数字不能为0， ∴百位数字可能为1，2，个位数字为0，1，2， ∴三位数可能为110，111，112，210，211，212； ③当个位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字为0时，百位数字可能为1； 当十位数字为1时，百位数字可能为1，2； 当十位数字为2时，百位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为101，111，211，121，221，321， ∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123，210，211，212，221，321，共13个， 故答案为：13． 【变式8-3】如图，一只小虫沿着图示的六边形构成的格子从长桥畔爬行到古樟旁，标记有箭头的边只能按箭头方向爬行，且小虫爬行同一条边最多一次，则共有 种不同的爬行路径． 【答案】64 【分析】根据题意，将路线分为5个步骤，分析每一步有几种走法，即可进行解答． 【详解】解：由图可知：第一步有2种走法，第二步有2种走法，第三步有4种走法，第四步有2种走法，第五步有2种走法； 共有：（种）， 故答案为：64． 【点睛】本题主要考查了学生的数据分析能力，解题的关键是正确理解题意，用列举法分析出每一步有几种走法． 【变式8-4】在一个不透明的口袋中装着大小、外形等一模一样的个红球、个蓝球和个白球，它们已经在口袋中被搅匀了．请判断以下事情是不确定事件、不可能事件，还是必然事件． 从口袋中任意取出一个球，是一个白球； 从口袋中一次任取个球，全是蓝球； 从口袋中一次任意取出个球，恰好红蓝白三种颜色的球都齐了． 【答案】不确定事件；不可能事件；必然事件 【分析】（1）从口袋中任意取出一个球，可能是红球、篮球或白球，即可判断； （2）口袋中只有三个蓝球，则从口袋中一次任取个球，不可能全是蓝球，即可判断； （3）由于口袋中有个红球、个蓝球和个白球，任意一种或两种颜色的球的总数都小于9，所以从口袋中一次任意取出个球，必然是三个颜色都有，即可做出判断． 【详解】（1）从口袋中任意取出一个球，可能是红球、蓝球或白球，所以这个事件是不确定事件； （2）口袋中只有三个蓝球，则从口袋中一次任取个球，不可能全是蓝球，所以这个事件是不可能事件； （3）由于口袋中有个红球、个蓝球和个白球，任意一种或两种颜色的球的总数都小于9，所以从口袋中一次任意取出个球，必然是三个颜色都有，因此这个事件是必然事件． 【点睛】本题考查了不确定事件、不可能事件、必然事件的概念，熟练掌握各种事件的概念是判断此类问题的依据． 【考点题型九 根据概率公式计算概率】 【例9】一个不透明的袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外无其他差别，充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则的值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率公式，解分式方程，根据概率公式即可求解，掌握概率公式的应用是解题的关键． 【详解】解：从袋中随机取出一个球是白球的概率为， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 故选：． 【变式9-1】用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法求概率，先列表得出所有的情况，再找到符合题意的情况，利用概率公式计算即可．注意0不能在最高位． 【详解】解：0不能在最高位，而且个位数字与十位数字不同，列表如下： 1 2 3 0 10 20 30 1 21 31 2 12 32 3 13 23 一共有可以组成9个数字，偶数有10、12、20、30、32， ∴是偶数的概率为， 故选：D． 【变式9-2】在一个不透明的袋子里装有3个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外其余都相同．若每次摇匀后，从中随机摸出一球，记下颜色后放回袋中，大量重复上述实验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋子中白球有 个． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程，频率估算概率，概率的计算，根据题意，设白球有个，则袋子中的球有个，根据摸到黑球的频率稳定在，列式求解即可． 【详解】解：根据题意，设白球有个，则袋子中的球有个， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程的分母不为， ∴是原分式方程的解， ∴袋子中白球有个， 故答案为： ． 【变式9-3】从，，，，0，2，π这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为 【答案】 【分析】本题主要考查了概率公式；概率的简单应用． 由题意得一共7个数，其中负整数有2个，根据概率公式，计算即可得出答案． 【详解】解：∵一共7个数，其中负整数有、，共2个， ∴恰好为负整数的概率为． 故答案为：． 【变式9-4】在一个不透明的袋中只装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外都相同． (1)任意摸出一球，摸到黄球是______事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”） (2)从袋中任意摸出一个球，摸到黑球的概率是多少？ (3)现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概率是，请求出后来放入袋中的黑球的个数． 【答案】(1)不可能 (2) (3)后来放入袋中的黑球个数为18个 【分析】本题考查了随机事件与不可能事件的定义、简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键． （1）根据随机事件和不可能事件的定义即可得； （2）利用黑球的数量除以袋子中球的总数量即可得； （3）设后来放入袋中的黑球个数为个，则袋子中黑球的个数为个，球的总数量为个，利用概率公式建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：因为一个不透明的袋中装有2个白球，3个黑球，5个红球，每个球除颜色外都相同， 所以从中任意摸出一个球，摸到黄球是不可能事件， 故答案为：不可能． （2）解：从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为， 答：从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为． （3）解：设后来放入袋中的黑球个数为个，则袋子中黑球的个数为个，球的总数量为个， 由题意得：， 解得， 经检验，是分式方程的解， 答：后来放入袋中的黑球个数为18个． 【考点题型十 几何概率】 【例10】如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出小正方形的面积，即可求出几何概率． 【详解】解：如图：连接，，设，则圆的直径为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴小正方形的面积为：， 则飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：C． 【变式10-1】如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，在正方形内随机取点，则此点来自阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率．本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积，难度不大． 【详解】解：如图，图中四个半圆都通过正方形的中心，用正方形的面积减去四空白的面积，剩下的就是阴影部分的面积，而正方形的面积减去两个半圆的面积就得两个空隙的面积， ∴所求阴影部分的面积为． ∵正方形的面积为， 故正方形内随机取点，则此点来自阴影部分的概率是， 故选：B． 【变式10-2】大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 ． 【答案】2.4 【分析】本题考查了利用频率估计概率，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可得点落入黑色部分的概率为0.6，根据边长为的正方形的面积为，进而可以估计黑色部分的总面积 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， ∴点落入黑色部分的概率为0.6， ∵边长为的正方形的面积为， 设黑色部分的面积为S， 则， 解得． ∴估计黑色部分的总面积约为． 故答案为：2.4． 【变式10-3】如图是由7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在空白部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率的定义，图案共有7个全等的正六边形组成，其中空白的正六边形有3个，根据概率公式即可求解． 【详解】解：由题意得，图案共有7个全等的正六边形组成，其中空白的正六边形有3个， ∴假设可以随机在图中取点，那么这个点取在空白部分的概率是． 故答案为： 【变式10-4】如图，可以自由转动的圆形转盘被它的两条直径分成了四个扇形区域，其中标有数字“0”的扇形的圆心角为．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向的扇形内的数字即为转出的数字，此时称为转动转盘一次（当指针指向两个扇形的交线时，不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． (1)转动转盘一次，则转出的数字是的概率为______； (2)转动转盘两次，用画树状图法或列表法求两次转出的数字之和为偶数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何概率，树状图法或列表法求解概率： （1）用所在区域的圆心角度数和除以360度即可得到答案； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两次转出的数字之和为偶数的结果数，最后根据概率计算公式求解即可. 【详解】（1）解：， ∴转动转盘一次，则转出的数字是的概率为； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有9中等可能性的结果数，其中两次转出的数字之和为偶数的结果数有5种， ∴两次转出的数字之和为偶数的概率为. 【考点题型十一 列表法或树状图法求概率】 【例11】中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率：先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找恰好选中《周髀算经》的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设分别用A、B、C、D表示《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的结果数有6种， ∴选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为， 故选：B. 【变式11-1】用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列表法或树状图法以及概率的计算方法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【详解】解：用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果如下： 共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有1种， 所以同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是， 故选：D． 【变式11-2】如图，电路中有3个开关a，b，c，已知电路及其他元件都能正常工作，现任意闭合两个开关，能使得小灯泡发光的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法与树状图法．画树状图，共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡能正常工作的结果有4种，再由概率公式求解即可．树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡能正常工作的结果有4种， 使得小灯泡能正常工作的概率为， 故答案为：． 【变式11-3】“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C （秋分）、D （立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀，先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票，则小李两次抽取的邮票中至少有一张是D （立秋）的概率为 . 【答案】 【分析】本题考查了求两次事件的概率，属于常考题型，正确理解题意、画出相应的树状图或列出表格是解题的关键．先画出树状图得出所有可能的结果，然后找出两次抽取的邮票中至少有一张是D的结果数，再根据概率公式解答． 【详解】解：画出树状图可得所有可能的结果： ∵共有16种等可能的结果，两次抽取的邮票中至少有一张是D的结果有7种， ∴两次抽取的邮票中至少有一张是D （立秋）的概率为， 故答案为：． 【变式11-4】我市某中学在参加“争创卫生城市”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班(用A，B，C，D表示)，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题： (1)杨老师采用的调查方式是   ( 填“全面调查”或“抽样调查”)； (2)请补全条形统计图，并估计全校共征集作品的件数； (3)如果全校征集的作品中有3件获得特等奖，其中有2名作者是男生，1 名作者是女生，现要在获得特等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或画树状图的方法，求恰好选取的两名学生是一男一女的概率． 【答案】(1)抽样调查 (2)补全的条形统计图见解析；件 (3) 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，涉及抽样调查，用样本估计总体，列举法求概率等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查； （2）由B班的作品数量除以所占的百分比即可求出所调查的4个班征集到的作品总数，将作品总数减去其他三个班的作品数量即可得到班作品数量，即可补全条形统计图．的件数为：（件；继而可补全条形统计图；求出所抽取的4个班级作品数量的平均数，乘以全级30个班级，可估计全校共征集作品的数量． （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名学生是一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查． 故答案为：抽样调查． （2）解：所调查的4个班征集到的作品数为：（件， 班有（件， 补全条形图如图所示， 所抽取的4个班级作品数量的平均数为（件）， ∴估计全校共征集作品数量为（件）； （3）解：画树状图为： 共有6种等可能的结果，恰好选取的两名学生是一男一女的有4种情况， 恰好选取的两名学生是一男一女的概率为． 【考点题型十二 统计概率大题】 【例12】某校举办了一次趣味数学竞赛，满分10分．在初赛中，甲乙两组学生成绩如下（单位：分）：甲组：．乙组：． 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 8 9 乙组 8 8 (1)______，______，______； (2)小明同学说：“这次竞赛我得了8分，在我们小组属中游略偏上！”，小明可能是______组的学生（填“甲”或“乙”）； (3)如果你是该校数学竞赛的教练员，你会选择哪一组同学代表学校参加复赛？并说明理由． 【答案】(1)8.5，8，； (2)乙 (3)乙组，理由见解析 【分析】本题考查中位数、众数、方差，理解中位数、方差的意义是解答的关键． （1）根据中位数、众数、方差的求解方法求解即可； （2）根据中位数的意义解答即可； （3）根据方差越小，数据越稳定进行决策即可． 【详解】（1）解：将甲组成绩从小到大排列，第3个数据是8，第4个数据是9， ∴中位数， 又∵甲组成绩的平均数是8， ∴方差， ∵乙组成绩中的8出现次数最多， ∴众数， 故答案为：8.5，8，； （2）解：∵小明成绩是8分，小于甲组成绩的中位数8.5，等于乙组成绩的中位数8， ∴小明在乙组属中游略偏上，即小明可能是乙组的学生， 故答案为：乙； （3）解：会选择乙组同学代表学校参加复赛， 理由：两组成绩的平均数相同，虽然甲组成绩的中位数和众数都高于乙组，但乙组成绩的方差小于甲组成绩的方差，说明乙组学生成绩相对稳定，所以选择乙组同学代表学校参加复赛（答案不唯一，合理即可）． 【变式12-1】为提高我市中学生的思维创新能力，市教育局举办了思维创新数学竞赛，竞赛设定满分100分，学生得分均为整数．在八年级初赛中，甲、乙两校各随机抽取40名学生，并对其成绩x（单位：分）进行整理、描述和分析．其部分信息如下． a．甲校学生成绩的扇形统计图（A组：，B组：，C组：，D组：，E组：）． b．甲校学生成绩在这一组的成绩是（单位：分）：72，73，73，75，75，77，78，78． c．甲、乙两校抽取学生成绩的平均数、中位数（单位：分）如下表： 学校 平均数 中位数 甲 n 乙 (1)填空： _______， _______； (2)在抽取的同学中，参加竞赛的甲校同学，成绩高于平均分的人数有p人，参加竞赛的乙校同学，成绩高于平均分的人数有q人，则p_______q（填“”或“”）； (3)通过以上数据分析，你认为哪个学校学生的“思维创新能力”更强？请说明理由，并给出一条合理化的建议． 【答案】(1)；74 (2) (3)乙学校学生的“思维创新能力”更强；理由见解析（写出一条，合理即可） 【分析】本题考查中位数、平均数以及扇形统计图，掌握平均数、中位数的计算方法是正确解答的前提． （1）根据中位数的定义和百分比之和为1求解即可； （2）根据题意求出，即可求解； （3）根据中位数、平均数即可解答． 【详解】（1）解：甲班组人数所占的百分比为， ， ， 甲校学生成绩排在第20，21位的是73，75， 所以甲校学生成绩的中位数； （2）解：，理由如下： 抽取的甲校的学生中，成绩的平均分为， ． 乙校的学生中，成绩的平均分为，中位数为，且， ． ； （3）解：乙校学生的“思维创新能力”更强， 理由如下：在抽取的竞赛学生的成绩中，乙校学生成绩的平均数和中位数均比甲校大． 建议：加强学生思维训练，鼓励学生进行创造性的活动；多引导学生自主学习，激发学生的学习兴趣和挑战欲望（写出一条，合理即可）． 【变式12-2】为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，采用取整数的计分方式，满分10分．绘制如下统计图表． 竞赛成绩统计表 众数 中位数 方差 八年级 7 8 1.88 九年级 a b 1.56 请根据图表中的信息，回答下列问题： (1)八年级的平均成绩是8分；九年级的平均成绩是________分； (2)表中的__________，__________； (3)若规定成绩为10分获一等奖，成绩为9分获二等奖，成绩为8分获三等奖，通过计算说明哪个年级的获奖率高？ 【答案】(1)8 (2)， (3)九年级的获奖率比八年级的获奖率高，计算见解析 【分析】本题考查的是从折线统计图与统计表中获取信息，中位数，众数，方差的含义，优秀率的计算，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键． （1）根据平均数公式列式计算即可； （2）由众数与中位数的含义可得答案； （3）分别用各年级获奖学生人数除以总人数得到获奖率，再比较即可． 【详解】（1）解；九年级的平均成绩是（分）； （2）解：由折线图可得：九年级50个数据出现次数最多的是8分， ∴， 八年级的50个数据排在第25个，第26个数据都为8分， ∴； 故答案为：8，8 （3）解：八年级的获奖率为：， 九年级的获奖率为：， ∴九年级的获奖率比八年级的获奖率高． 【变式12-3】随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，人们的出行方式越来越多，出行越来越便捷． 为保障旅客快捷、安全的出入车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口．某车站有三个出入闸口， 分别记为A，B，C． (1)一名乘客通过该站闸口时，选择B闸口通过的概率是 ； (2)当两名乘客通过该站闸口时，请用画树状图或列表法求这两名乘客选择不同闸口通过的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意先画出树状图得出所有等情况数和两名乘客选择不同闸口通过的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：∵有A，B，C三个闸口， ∴一名乘客通过此地铁闸口时，选择B闸口通过的概率为， 故答案为：； （2）解：根据题意画图如下： 共有9种等可能情况，其中两名乘客选择不同闸口通过的有6种， ． 【变式12-4】在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字0、1、2，它们除数字外都相同． (1)随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的概率为 ； (2)小明先从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的横坐标，将此球放回、搅匀，再从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的纵坐标．请用树状图或表格列出点A所有可能的坐标，并求出点A在坐标轴上的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率，用树状图或表格求概率，熟悉掌握树状图或表格法列出所有可能性是解题的关键． （1）根据摸出的可能性运算求解即可； （2）运用列表法列出所有可能性，运算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中摸出的球为标有数字的结果有种， ∴摸出的球为标有数字的概率为； （2） 列表如下： 0 1 2 0 1 2 由表格可知，共有种等可能的结果． 其中点在坐标轴上的结果有：，，，，，共种， ∴点在坐标轴上的概率为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司41 学科网（北京）股份有限公司 $$