专题07 等腰三角形-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（山东专用）

专题07 等腰三角形 利用等腰三角形的性质求长度、角度 1．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，、分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，将分成两个角，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·山东滨州·期中）等腰三角形的一个内角是，它的另外两个角的度数是（   ） A．和或和 B．和或和 C．和或 和 D．和或 和 4．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E． (1)若，求的度数； (2)若，的长为5，求的周长． 5．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D． 连接． (1)若的周长为19，的周长为7，求的长； (2)若，，求的度数． 6．（23-24八年级上·山东聊城·期中）如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 利用等腰三角形的性质证明 7．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，平分，与相交于点，，交延长线于，且垂足为，是边的中点，连接与相交于点，则下列结论①；②；③；④；⑤正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，平分 ，点是延长线一点，点是上一点，，连接并延长交于点，求证：． 9．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上．求证：． 10．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，中，，点是上一点，，连接，是的角平分线，交于点，交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：． 11．（23-24八年级上·山东威海·期中）已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，．求证：． 12．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，于D，点E为上一点，且，，垂足为F，连接． (1)求证：； (2)点G为上一点，连接，若，求证：． 13．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，四边形中，，平分，，求证：． 确定等腰三角形的个数 14．（23-24八年级上·山东淄博·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，以为腰作等腰三角形，且点在坐标轴上，则满足条件的点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 15．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）处．    A．6 B．7 C．8 D．3 16．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如图，已知中，，，在直线取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 17．（23-24八年级上·山东济宁·期中）点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 18．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）已知、，点C在x轴上，若是等腰三角形，则满足这样条件的C有 个． 等腰三角形的判定 19．（23-24八年级上·山东日照·期中）在中，已知，，分别是，，的对边，则下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（      ） A．，， B． C．， D． 20．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，平分，且，求证：为等腰三角形． 21．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，在 和 中，，，求证：是等腰三角形． 22．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，在和中，，，与相交于点O． (1)求证：； (2)是 三角形． 23．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，已知在中，，是角平分线，过点B作的垂线与的延长线相交于点E，求证：是等腰三角形． 24．（23-24八年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，与的平分线相交于点，延长交于点，过点作交于，作交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 利用等边三角形的性质求长度、角度 25．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图，已知是等边三角形，且边长为3，点、分别在边、上，将沿所在的直线折叠，若点落在点处，、分别交边于点、．则阴影部分图形的周长等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 26．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      27．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 28．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为 ． 29．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，是等边三角形，点在边上，以为边作等边．连接，．求证：． 30．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点． (1)求证：； (2)求的度数． 31．（23-24八年级上·山东淄博·期中）如图，E、F分别是等边三角形的边，上的点，且，、交于点P．      (1)求证：； (2)求的度数． 等边三角形的性质与全等三角形的结合 32．（23-24八年级上·山东泰安·期中）动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（ ） A．2 B． C． D． 33．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，在中，，分别以、为边作等边三角形和等边三角形，连接、、．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，、均为等边三角形，连接、交于点，与交于点，则的度数为 ． 35．（23-24八年级上·山东聊城·期中）如图，在等边三角形中，D是边上的动点，以为一边，向上作等边三角形，连接． (1)求证：； (2)若与交于点O，当时，求的长． 36．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，在等边中，点D，E分别在边上，且．求证：． 37．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：是等边三角形． 38．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）已知：等边中，，，垂足分别为点，与交于．求证：． 等边三角形的判定 39．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结，若，试判断的形状，并说明理由． 40．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，点在边上，点在边上，且，将沿折叠，点的对应点为点．若点落在边上，求证：是等边三角形． 41．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，平分，请判断的形状并说明理由． 42．（23-24八年级上·山东滨州·期中）图，已知，于点G，于点F，且． (1)求证：； (2)吗？请说明理由； (3)若，是什么三角形？ 43．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，． (1)在中，______，______； (2)求证：是等边三角形． 44．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，已知，，，点在线段上，点在线段上，设，． (1)如果，，那么是等边三角形？请说明理由； (2)若，试求与之间的关系． 含30度角的直角三角形的性质 45．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，D是上一点，连接，若，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 46．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，在中，，，点是的中点；过点作交于点，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 47．（23-24八年级上·山东泰安·期中）中，，P在线段上，于E，于D，若它一腰上的高与另一腰所成的锐角等于，则的值为（      ） A． B． C． D． 48．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，线段，线段绕点旋转，交于点，则的最大值为 ． 49．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，点N在等边的边上，，射线，垂足为B，P是射线上一动点，M是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 50．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，是高，，若，则 ． 51．（23-24八年级上·山东威海·期中）已知，如图，在中，，，，交于点，，求的面积． 1．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（23-24八年级上·山东青岛·期中）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：，是的中点，平分，如图，则下列说法正确的有（   ） （1）平分，（2），（3），（4），（5） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如图，点A，B，C在同一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交、于点M，P，交于点Q，连接，，下面结论：①；②；③为等边三角形；④平分；⑤；其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24八年级上·山东淄博·期中）如图，点在线段上，，，，且，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）已知中，如果存在过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这个三角形为“等直三角形”． 如图1，为“等直三角形”．在图2中，为“等直三角形”，，则的度数为 ． 7．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，分别以的边为直角边，向外作等腰直角和等腰直角，连接，交于点F，连接．下面有四个结论：；平分平分；其中正确的是 （只填写序号） 8．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法正确的有 ． ；；若，则；． 9．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 10．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，若B、D、F在上，C、E在上，且，，，则 ． 11．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 12．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点． (1)求证：点在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 13．（23-24八年级上·山东临沂·期中）在四边形中，C是边的中点． (1)如图1，若平分，，则线段满足数量关系是 ； (2)如图2，平分，平分，若，则线段，，，之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图3，，，，若，则线段长度的最大值是 ． 14．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，分别垂直平分和，交于，两点，与相交于点． (1)若，则的度数为 ； (2)若，则的度数为 ；（用含的代数式表示） (3)连接、、，的周长为，的周长为，求的长． 15．（23-24八年级上·山东济宁·期中）已知：如图1，在和中，，，． (1)请证明； (2)如图2，连接和与分别交于点M和N，，求的度数． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 等腰三角形 利用等腰三角形的性质求长度、角度 1．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，、分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，是的中线，且， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 故选：B． 2．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，将分成两个角，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，， 解得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形的外角的性质、直角三角形两锐角互余，解本题的关键在熟练掌握线段垂直平分线的性质． 3．（23-24八年级上·山东滨州·期中）等腰三角形的一个内角是，它的另外两个角的度数是（   ） A．和或和 B．和或和 C．和或 和 D．和或 和 【答案】B 【详解】解：①当的角是顶角时，则两个底角为； ②当的角是底角时，则顶角为． 故它的其余两个角的度数为或，． 故选：B． 4．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E． (1)若，求的度数； (2)若，的长为5，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，， ， 垂直平分， ， ， ； （2）解：垂直平分， ， ， ，， 周长为． 5．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D． 连接． (1)若的周长为19，的周长为7，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为19，的周长为7， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵ ∴ ∴． 6．（23-24八年级上·山东聊城·期中）如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， ∵的周长为， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 利用等腰三角形的性质证明 7．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，平分，与相交于点，，交延长线于，且垂足为，是边的中点，连接与相交于点，则下列结论①；②；③；④；⑤正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确， 连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④正确； 作于M． ∵平分，， ∴， ∵，且， ∴，故⑤错误， ∴正确的有3个； 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键． 8．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，平分 ，点是延长线一点，点是上一点，，连接并延长交于点，求证：． 【答案】见解析 【详解】解：∵，平分 ， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． ∴， ∴． 10．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，中，，点是上一点，，连接，是的角平分线，交于点，交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：在中，， ， ， ，是的角平分线， ，， ，， ； （2）证明：在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形． 11．（23-24八年级上·山东威海·期中）已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：如图所示，过点A作于F， ∵（已知）， ∴， 又∵（已知）， ∴， ∴，即（等式的性质）． 12．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，于D，点E为上一点，且，，垂足为F，连接． (1)求证：； (2)点G为上一点，连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：取的中点，连接，则：， ∵，， ∴，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即：， ∴， ∵，且都在上， ∴点重合， ∴， ∴． 13．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，四边形中，，平分，，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：如图，取中点，连接， ，点E是的中点， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 确定等腰三角形的个数 14．（23-24八年级上·山东淄博·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，以为腰作等腰三角形，且点在坐标轴上，则满足条件的点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：如图，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴于点、，交轴于点、， 以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴于点、，交轴于点、，    故另一个顶点有、、、、、，共个， 故选：． 15．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）处．    A．6 B．7 C．8 D．3 【答案】A 【详解】如图，第1个点在上，作线段的垂直平分线，交于点P，则有； 第2个点是以A为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点P； 第3个点是以A为圆心，以长为半径截取，在上边与延长线上交于点P； 第4个点是以B为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点P； 第5个点是以B为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点P； 第6个点是以A为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点P； 故符合条件的点P有6个点． 故选：A．    16．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如图，已知中，，，在直线取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：分三种情况①，②，③： 如图，①以点A为圆心，长为半径交直线于点和， ②以点B为圆心，长为半径交直线于点A和， ③线段垂直平分线与直线的交点记为点， 符合条件的点P共有4个， 故选：C． 17．（23-24八年级上·山东济宁·期中）点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【详解】解：如图，点为所作， 故答案为：A． 18．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）已知、，点C在x轴上，若是等腰三角形，则满足这样条件的C有 个． 【答案】4 【详解】解：以B为圆心，以为半径画弧，交x轴于，两点，此时； 以A为圆心，以为半径画弧，交x轴于点，此时； 作的垂直平分线交x轴于，此时， 满足这样条件的C有: （个）， 故答案为：4． 等腰三角形的判定 19．（23-24八年级上·山东日照·期中）在中，已知，，分别是，，的对边，则下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（      ） A．，， B． C．， D． 【答案】B 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴是等腰三角形； B、∵ ∴， ∴不是等腰三角形； C、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； D、∵， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 故选：B． 20．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，平分，且，求证：为等腰三角形． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，． ∴． ∴为等腰三角形． 21．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，在 和 中，，，求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【详解】证明：在和中，， ， ∴； ∴，即， ∴，即是等腰三角形． 22．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，在和中，，，与相交于点O． (1)求证：； (2)是 三角形． 【答案】(1)见解析 (2)等腰 【详解】（1）证明：∵， ∴在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故答案为：等腰． 23．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，已知在中，，是角平分线，过点B作的垂线与的延长线相交于点E，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【详解】∵在中，， 又∵， ∴， ∵中，， 又∵是的平分线，即， ∴， ∴， ∴是等腰三角形 24．（23-24八年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，与的平分线相交于点，延长交于点，过点作交于，作交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）在上取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 利用等边三角形的性质求长度、角度 25．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图，已知是等边三角形，且边长为3，点、分别在边、上，将沿所在的直线折叠，若点落在点处，、分别交边于点、．则阴影部分图形的周长等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】解：利用折叠的性质可得：，． ∴阴影部分图形的周长 ， ∵是边长为3的等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分图形的周长等于9， 故选：D． 26．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      【答案】10 【详解】如图所示． 连接， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：10．    27．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 【答案】 【详解】过P作交于点F． ∵是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． 又∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 28．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为 ． 【答案】3 【详解】解：∵是等边三角形，，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 29．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，是等边三角形，点在边上，以为边作等边．连接，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵ 和均为等边三角形， ∴ ，，， ∴， ∴． 30．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：在等边三角形中，，， 在和中， ， ； （2）解：， ， ． ， ． 31．（23-24八年级上·山东淄博·期中）如图，E、F分别是等边三角形的边，上的点，且，、交于点P．      (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：∵ 是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴， ∴ 在中，， 即． 等边三角形的性质与全等三角形的结合 32．（23-24八年级上·山东泰安·期中）动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，分别连接，，作，交的延长线于， 和是等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， 点为中点， ， ， ， ，，，四点共圆， 当取最大值时，则等于直径， 为直径， ， 四边形为矩形， ， ， 点在上， 于， ，两点重合，此时为中点，， ． ， ． 故选：C． 33．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，在中，，分别以、为边作等边三角形和等边三角形，连接、、．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 34．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，、均为等边三角形，连接、交于点，与交于点，则的度数为 ． 【答案】/60度 【详解】解：∵均为等边三角形， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ∴，即， 故答案为：． 35．（23-24八年级上·山东聊城·期中）如图，在等边三角形中，D是边上的动点，以为一边，向上作等边三角形，连接． (1)求证：； (2)若与交于点O，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【详解】（1）证明：∵等边三角形，等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵等边三角形，等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴． 36．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，在等边中，点D，E分别在边上，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， 在与中， ∴， ∴． 37．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析； (2)的度数是；； (3)证明见解析． 【详解】（1）证明：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴ ， ∴， ∴的度数是； （3）证明：∵， ∴， 又∵点M、N分别是线段的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 38．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）已知：等边中，，，垂足分别为点，与交于．求证：． 【答案】见详解 【详解】证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴在中，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 等边三角形的判定 39．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结，若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】是等边三角形；理由见解析 【详解】解：是等边三角形，理由如下： 设交于点O， ∵是的垂直平分线， ∴，， 是的角平分线， ， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 40．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，点在边上，点在边上，且，将沿折叠，点的对应点为点．若点落在边上，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【详解】证明：，， ， 将沿折叠，点的对应点为点， ， ， ， 是等边三角形． 41．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，平分，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形 【详解】（1）证明： ∴ ∴ （2）是等边三角形 ∵平分， ∵ ∴是等边三角形 【点睛】此题考查了平行线的判定和性质、等边三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 42．（23-24八年级上·山东滨州·期中）图，已知，于点G，于点F，且． (1)求证：； (2)吗？请说明理由； (3)若，是什么三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)是等边三角形 【详解】（1）解：证明：∵，， ∴， 在和中，， ∴， （2）解：∵， ， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 43．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，． (1)在中，______，______； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)，2 (2)见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，2； （2）由（1）知：， ∴， ∴是等边三角形． 44．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，已知，，，点在线段上，点在线段上，设，． (1)如果，，那么是等边三角形？请说明理由； (2)若，试求与之间的关系． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 理由：，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）若时，则， 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 含30度角的直角三角形的性质 45．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，D是上一点，连接，若，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：B． 46．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，在中，，，点是的中点；过点作交于点，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】解：连接，如图：    在中，，， ， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ，， ， 在中，，， ． 故选：B． 47．（23-24八年级上·山东泰安·期中）中，，P在线段上，于E，于D，若它一腰上的高与另一腰所成的锐角等于，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当一腰上的高在外部时，如图，连接，    由题意知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当一腰上的高在内部时，如图，连接，    由题意知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，， 故选：B． 48．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，线段，线段绕点旋转，交于点，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴当最小时，最大； 而当时，最小，如图； ∵， ∴， ∴的最大值为； 故答案为：． 49．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，点N在等边的边上，，射线，垂足为B，P是射线上一动点，M是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【答案】10 【详解】解：作点N关于的对称点E，过E作于，交于，连接， ， ， ， 则当E、P、M三点共线，且和M重合时，的值最小， 在等边中，有，， ， 设， 则：， 解得：， ， 故答案为： 50．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，是高，，若，则 ． 【答案】1 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∵是高， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 51．（23-24八年级上·山东威海·期中）已知，如图，在中，，，，交于点，，求的面积． 【答案】 【详解】解：过点作，垂足为， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ， 在中，， ， 的面积 ． 1．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解：如图:根据等腰三角形的定义画出符合题意的等腰三角形如下： 以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个． 故选C． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期中）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：，是的中点，平分，如图，则下列说法正确的有（   ） （1）平分，（2），（3），（4），（5） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分，（等腰三角形的三线合一），则说法（1）和（4）正确； 又∵，，， ∴，则说法（3）正确； 假设， ∴， ∴， ∴， ∴，由已知条件不能得出这个结论， ∴假设不成立，即说法（2）错误； ∵， ∴， ∴，则说法（5）正确； 综上，说法正确的有4个， 故选：D． 3．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，连接，过作于点，于点， ∵平分， ∴， 由折叠性质可知，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如图，点A，B，C在同一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交、于点M，P，交于点Q，连接，，下面结论：①；②；③为等边三角形；④平分；⑤；其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：、为等边三角形， ，，， ∴， 即， 在和中， ， ，故①正确； ， ， ， ，故②正确； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ∵， 为等边三角形，故③正确； 过点B作于点F，作于点G， ， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴平分，故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴当时，，则， 题中没有条件，故无法证得，故⑤错误． 综上，结论正确的有①②③④，共4个． 故选：D 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定定理，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 5．（23-24八年级上·山东淄博·期中）如图，点在线段上，，，，且，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接、，    ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， 故选：A． 6．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）已知中，如果存在过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这个三角形为“等直三角形”． 如图1，为“等直三角形”．在图2中，为“等直三角形”，，则的度数为 ． 【答案】，，， 【详解】解：当，时，如图所示： 此时为等腰三角形，为直角三角形， ∵， 又∵， ∴； 当，时，如图， 此时为直角三角形，为等腰三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当，时，如图所示： 此时为等腰三角形，为直角三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴； 当，时，如图所示： 此时为直角三角形，为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上分析可知：的度数为：，，，． 故答案为：，，，． 7．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，分别以的边为直角边，向外作等腰直角和等腰直角，连接，交于点F，连接．下面有四个结论：；平分平分；其中正确的是 （只填写序号） 【答案】①②④ 【详解】解：∵分别以的边为直角边，向外作等腰直角和等腰直角， ，，， ∴， ， ， ，故①正确， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 故②正确， 过作于，于， ， ， 即， ， ， ， 即平分， 故④正确； ， 但不一定相等，无条件支持， ∴不一定全等， 则不一定相等， 故得不出， ∴不一定平分； 故③不正确， 故答案为：①②④． 8．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法正确的有 ． ；；若，则；． 【答案】 【详解】①在中， ， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，故正确； 当是的中线时，，而平分， 故错误； 如图，延长至，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 如图，作的平分线交于点G，由得， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，故正确； 综上：正确， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 【答案】4 【详解】解：是等边三角形， ， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：4． 10．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，若B、D、F在上，C、E在上，且，，，则 ． 【答案】/20度 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点． (1)求证：点在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）证明：如图所示， 连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上； （2）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，，， ∴， 设，， ∴，，， ， ∴，， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 13．（23-24八年级上·山东临沂·期中）在四边形中，C是边的中点． (1)如图1，若平分，，则线段满足数量关系是 ； (2)如图2，平分，平分，若，则线段，，，之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图3，，，，若，则线段长度的最大值是 ． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)18 【详解】（1）解：在上取一点F，使，连接．如图（1）， ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴； 故答案为：． （2）解：结论：． 证明：在上取一点F，使，连接，在上取点G，使，连接．如图（2）， ∵C是边的中点， ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． 同理可证：，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴是等边三角形． ∴， ∵， ∴． （3）解：将沿翻折得，将沿翻折得，连接，如图3， 由翻折可得，，，，，， ∵C是边的中点， ∴， ∴ ∵， 由（2）可得是等边三角形， ∴． ∵ 当A，F，G，E共线时，有最大值． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，余角的性质，两点之间线段最短，作恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 14．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，分别垂直平分和，交于，两点，与相交于点． (1)若，则的度数为 ； (2)若，则的度数为 ；（用含的代数式表示） (3)连接、、，的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）∵，分别垂直平分和， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，分别垂直平分和， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的内角和为 ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图， ∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵，分别垂直平分和， ∴，， ∴， ∴． 15．（23-24八年级上·山东济宁·期中）已知：如图1，在和中，，，． (1)请证明； (2)如图2，连接和与分别交于点M和N，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ， 在和中， ∵，， 又∵， ∴ ∴， ∵， ， ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$