九年级数学期中模拟卷（广州专用，人教版九上第21～23章）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期期中模拟考试

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版第 21 章一元二次方程+第 22 章二次函数+第 23 章旋转。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共 30 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的） 1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2．已知二次函数    2y x 1 2 的图像上有三点  11A y， ，  22B y， ，  32C y ， ，则 1y ， 2y ， 3y 的大小 关系为（ ） A． 1 2 3y y y  B． 2 1 3y y y  C． 3 1 2y y y  D． 3 2 1y y y  【答案】B 【详解】解：二次函数    2y x 1 2 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 1 0a   ，开口向上，对称轴为直线 1x   ， 当 1x   时， y 随 x的增大而减小，当 1x   时， y 随 x的增大而增大， 1 2 ， 2 1y y  ，  1 1 2   ，  1 2 1    ，2 1 ， 1 3y y  ， 2 1 3y y y   ， 故选：B． 3．方程  14 0x x   的根是（ ） A． 0x  B． 14x  C． 1 0x  ， 2 14x  D． 1 0x  ， 2 14x   【答案】C 【详解】解：∵  14 0x x   ， 0x  或 14 0x   ， ∴ 1 0x  ， 2 14x  故选 C． 4．如图，在三角形 ABC 中， 90C  ， 35B  ，将三角形 ABC 绕点A 按顺时针方向旋转到三角形 1 1AB C 的位置，使得点 1C A B、 、 在一条直线上，那么旋转角等于（ ） A．145 B．125 C．70 D．55 【答案】B 【详解】解：∵ 90C  ， 35B  ， ∴ 180 55BAC C B     ， 由旋转的性质可知， 1 1 55B AC BAC   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ∴ 1 1 1180 125CAC B AC    ． 故选：B． 5．根据下列表格的对应值：可确定方程 2 12 15 0x x   的一个根 x 的范围是（） x 1 1.1 1.2 1.3 2 12 15x x  2 0.59 0.84 2.29 A．1 1.1x  B．1.1 1.2x  C．1.2 1.3x  D． 1.3x  【答案】B 【详解】解：当 1.1x  时， 2 12 15 0x x   ， 当 1.2x  时， 2 12 15 0x x   ， 所以方程 2 12 15 0x x   的一个根 x 的范围是1.1 1.2x  ； 故选：B. 6．春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为 3 亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票 房9.63亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为 x，则根据题意，下列方程 正确的是（ ） A．   61 . 33 9x  B．  2 61 . 33 9x  C．    23 1 3 1 9.63x x   D．    23 3 1 3 1 9.63x x     【答案】D 【详解】解：设平均每天票房的增长率为 x，则第二天的票房为  3 1 x 亿元，第三天的票房为  23 1 x 亿 元， 由题意得，    23 3 1 3 1 9.63x x     ， 故选：D． 7．对于二次函数  25 3y x  的图象，下列说法不正确的是（ ） A．开口向上 B．对称轴是直线 3x   C．顶点坐标为  3,0 D．当 3x   时，y 随 x 的增大而增大 【答案】D 【详解】解：因为二次函数的表达式为 25( 3)y x  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 所以抛物线的开口向上，故 A 说法正确； 又抛物线的对称轴是直线 3x   ，故 B 说法正确； 因为抛物线的顶点坐标为  3,0 ，故 C 说法正确； 因为抛物线对称轴为直线 3x   ，且开口向上， 所以当 3x   时，y 随 x 的增大而减小．故 D 说法不正确； 故选：D． 8．如图，在 ABC 中， =110BAC ，将 ABC 绕点A 逆时针旋转100得到 ADE ，点 B 的对应点为点D， 若点 B ，C ，D恰好在同一条直线上，则 E 的度数为（ ） A．25 B．33 C．30 D．40 【答案】C 【详解】解：∵ 将 ABC 绕点A 逆时针旋转100得到 ADE ， ∴ 100BAD  ， AB AD ， C E  ， ∴ 40B ADB   ， ∵ =110BAC ， ∴ 180 110 40 30C      ， ∴ 30C E   ， 故选：C ． 9．如图，若二次函数  2 0y ax bx c a    的图象的对称轴为直线 1x  ，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A， 点  1 0B  ， ，则下列结论：① 0abc  ；②二次函数的最大值为 a b c  ；③ <0a b c  ；④ 2 4 0b ac  ； ⑤当 0y  时， 1 3x   ；⑥3 0a c  ；其中正确的结论有（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 【答案】A 【详解】解：∵ 二次函数对称轴在 y 轴右侧，与 y 轴交在正半轴， ∴ 0ab  ， 0c  ， 0abc  ． ∴ 故①不正确； ∵ 二次函数  2 0y ax bx c a    图象的对称轴为直线 1x  ， ∴ 顶点坐标为  1 a b c ， ，且开口向下，二次函数的最大值为a b c  ， 故②正确； ∵ 抛物线过  1 0B  ， ， ∴ 1x   时， 0y  ，即 0a b c   ， 故③不正确； ∵ 抛物线与 x 轴有两个交点， ∴ 2 4 0b ac  ， 故④不正确； ∵ 对称轴为直线 1x  ，  1 0B  ， ， ∴  3 0A ， ， 由图象可知， 1 3x   时， 0y  ， 故⑤正确； ∵ 1 2 b x a    ，即 2b a  ， 而 1x   时， 0y  ，即 0a b c   ， ∴ 2 0a a c   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ∴ 3 0c a  ． 故⑥正确． 故选：A． 10．如图，已知菱形OABC 的顶点    0,0 , 2,2O B ，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45，则第 20 秒时， 菱形的对角线交点D的坐标为（ ） A．  1, 1 B．  1, 1  C．  2,0 D．  0, 2 【答案】B 【详解】解：菱形OABC 的顶点 (0,0), (2,2)O B ， BO 与 x轴的夹角为45, ∵ 菱形的对角线互相垂直平分， 点D是线段OB 的中点， 点D的坐标是 (1,1), ∵ 菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45 ,360 45 8,     ∴ 每旋转 8 秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置 (1,1), ∵ 20 8 2 4,   ∴ 第 20 秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了 2 周回到原来位置后，又旋转了 4 秒，即又旋转了4 45 180   ， ∴ 点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称， 第 20 秒时，菱形的对角线交点D的坐标为 ( 1, 1)  ． 故选：B 第二部分（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 11．抛物线 2( 1) 2y x   的顶点坐标是 ． 【答案】  1,2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【详解】解：因为 2( 1) 2y x   是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为  1,2 ． 故答案为  1,2 ． 12．点 (2, 3) 关于原点成中心对称的点坐标是 ． 【答案】 ( 2,3) 【详解】解：由题意得：点  2, 3 关于原点成中心对称的点坐标是  2,3 ， 故答案为：  2,3 13．已知关于 x的一元二次方程 2 3 2 0x x   两个根为 1 2x x、 ，则 1 2x x  ． 【答案】3 【详解】解：一元二次方程 2 3 2 0x x   两个根为 1 2x x、 ， 则： 1 2 3 3 1 b x x a        ． 故答案为：3． 14．如图，在 ABC 中， 90C  ， 10cmAB  ， 8cmBC  ，点 P 从点 A 沿 AC 向点 C 以1cm/s的速度运动， 同时点 Q 从点 C 沿CB 向点 B 以2cm/s的速度运到（点 Q 运动到点 B 停止），在运动过程中，四边形PABQ 的 面积最小值为 2cm ． 【答案】15 【详解】解：在Rt ABC△ 中， 90C  ， 10cmAB  ， 8cmBC  ， 2 2 6cmAC AB BC    ， 设运动时间为  s 0 4t t  ，则  6 cmPC t  ， 2 cmCQ t ， ABC CPQPABQS S S   四边形 1 1 2 2 AC BC PC CQ    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8   1 1 6 8 6 2 2 2 t t      2 6 24t t    23 15t   当 3t  时，四边形PABQ 的面积取最小值，最小值为 215cm ． 故答案为：15． 15．如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC 与BD相交于点 O，已知 25ACB  ，则 AOB 的大小是 ． 【答案】50 【详解】解：由矩形 ABCD中，对角线 AC ，BD相交于点 O， 25ACB  ，得 90ABC  ， ∴ 90 65BAO ACB    ． 由OA OB ，得 ABO 是等腰三角形， ∴ 180 65 65 50AOB      ， 故答案为：50． 16．在平面直角坐标系 xOy 中，开口向下的抛物线 2y ax bx c   的一部分图象如图所示，它与 x 轴交于 A （1，0），与 y 轴交于点 B （0，3），可以判断 a 的取值范围是 . 【答案】﹣3＜a＜0/ 0 3a   【详解】解：根据图象得：a＜0，b＜0， ∵ 抛物线与 x 轴交于 A（1，0），与 y 轴交于点 B （0，3）， ∴ 0 3 a b c c      ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 ∴ a+b＝﹣3， ∵ b＜0， ∴ ﹣3＜a＜0． 故答案为：﹣3＜a＜0． 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 86 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题 4 分）解方程： 2 6 8x x   【详解】解：∵ 2 6 8x x   ， 2 6 8 0x x    ，......(1 分)    2 4 0x x    ，......(2 分) ∴ 1 22 4x x ， ．......(4 分) 18．（本题 4 分）如图，将 ABO （顶点都在网格的格点上）分别按下列要求画图： (1)向上平移 3 个单位； (2)绕点 O 顺时针旋转90； 【详解】（1）如图， DEF 即为所求，......(2 分) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 （2）如图所示， GHO△ 即为所求，......(4 分) 19．（本题 6 分）如图，抛物线 2y x bx c    经过坐标原点，并与 x 轴交于点 A（2，0）． （1）求此抛物线的解析式： （2）设抛物线的顶点为 B， 求∆OAB 的面积 S． 【详解】解：（1）∵ 抛物线 y＝−x2＋bx＋c 经过坐标原点和点 A（2，0）， ∴ 0 0 4 2 c b c       ，......(1 分) ∴ 2 0 b c    ，......(2 分) ∴ 抛物线的解析式为：y＝−x2＋2x；......(3 分) （2）∵ y＝−x2＋2x， ∴ y＝−（x−1）2＋1． ∴ B（1，1）．......(4 分) ∴ S△AOB＝ 1 2 ×2×1＝1．......(5 分) 答：△ OAB 的面积为 1．......(6 分) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 20．（本题 6 分）已知关于 x 的一元二次方程  2 1 2 2 0x k x k     ． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程有一个根大于 0 且小于 1，求 k 的取值范围． 【详解】（1）证明：由题意得，    21 4 2 2k k        ......(1 分) 2 2 1 8 8k k k     2 6 9k k    23k  ， ∵  23 0k   ，......(2 分) ∴ 0  ， ∴ 此方程总有两个实数根；......(3 分) （2）解：∵  2 1 2 2 0x k x k     ， ∴    1 2 0x k x    ，......(4 分) 解得 2x  或 1x k  ， ∵ 此方程有一个根大于 0 且小于 1， ∴ 0 1 1k   ，......(5 分) ∴ 1 2k  ．......(6 分) 21．（本题 8 分）如图，矩形 ABCD绕 B 点旋转，使C 点落到 AD上的E 处， AB AE ，连接 AF ， AG． (1)求证： AF AG ； (2)求 GAF 的度数． 【详解】（1）证明： AB AE ， ABE AEB   ，......(1 分) 矩形 ABCD绕 B 点旋转， 90 ,GBE FEB BG EF      ，......(2 分) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 ABG AEF  ， ∴ ABG ≌ AEF△  SAS ，......(3 分) ∴ AG AF ；......(4 分) （2）解：∵ AB AE ， 90BAE  ， ∴ 45ABE AEF   ， ∴ 45ABG AEF   ，......(5 分) ∵ 矩形 ABCD绕 B 点旋转， ∴ ,AB BG AE EF  ，......(6 分) ∴ 1 (180 45 ) 67.5 2 BAG EAF       ，......(7 分) ∴ 360 360 90 67.5 67.5 135GAF BAE BAG EAF           ．......(8 分) 22．（本题 10 分）如图，在Rt ABC△ 中， 90B  ， 6cm, 10cmAB BC  ，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 移动，速度为1cm/s；点 Q 从点 B 开始沿BC 边向点 C 移动，速度为2cm/s，点 P、Q 分别从点 A、B 同时 出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设运动时间为 t 秒. (1)几秒时， PQ的长度为4 2cm ？ (2)几秒时， PBQ 的面积为 28cm ？ (3)当  0 5t t  为何值时，四边形 APQC 的面积最小？并求这个最小值． 【详解】（1）解：设运动时间为 t 秒时， PQ的长度为4 2cm ， 依题意得： cm, 2 cmAP t BQ t  ， 0 5t  ，......(1 分)  6 cmPB t   ， 90B  ， 2 2 2PB BQ PQ   ，      22 26 2 4 2t t    ，......(2 分) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 解得： 2t  或 2 5 ． ∴ 2 秒或 2 5 秒时， PQ的长度为4 2cm ；......(3 分) （2）解：设运动时间为 t 秒时， PBQ 的面积为 28cm ， 依题意得： cm, 2 cm,0 5AP t BQ t t    ，  6 cmPB t   ，......(4 分) ∵ PBQ 的面积为 28cm ，  1 6 2 8 2 t t     ．......(6 分) 解得： 2t  或 4． ∴ 2 秒或 4 秒时， PBQ 的面积为 28cm ；......(6 分) （3）解：四边形 APQC 的面积 ABC PBQS S   ，......(7 分) 1 1 2 2 AB BC BQ PB    ......(8 分)  1 16 10 6 2 2 2 t t      2 6 30t t    23 21t   ，......(9 分) ∵ 1 0 ， ∴ 当 3t  时，四边形 APQC 的面积最小，最小值为 21．......(10 分) 23．（本题 10 分）深圳某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为 2400 元．在该产品的试销期间， 为促销，企业决定：商家一次购买这种新型产品不超过 10 件时，每件按 3000 元销售；若一次购买该种产 品超过 10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低 10 元，但销售单价均不低于 2600 元； 且商家一次性购买该产品不能超过 60 件． (1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为 2600 元？ (2)设商家一次购买这种产品 x 件，该企业所获的利润为 y 元．在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业 可获得最大利润？最大利润是多少？ 【详解】（1）设商家一次购买该产品 x 件时，销售单价恰好为 2600 元．......(1 分)  3000 10 10 2600x   ，......(3 分) 解得： 50x  ；......(4 分) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 （2）当0 10x  时，  3000 2400 600y x x   ，......(5 分) 此时，当 10x  时， 600 10 6000y   最大 （元）．......(6 分) 当10 50x  时，    223000 10 10 2400 10 700 10 35 12250y x x x x x             ，......(7 分) 此时，当 35x  时， 12250y 最大 （元）．......(8 分) 当50 60x  时，  2600 2400 200y x x   ，......(9 分) 此时，当 60x  时， 20 60 12000y   最大 （元）． 综上所述，当商家购买 35 件时，企业可获得最大利润，最大利润是 12250 元．......(10 分) 24．（本题 12 分）已知： ABC 是等腰直角三角形，动点 P 在斜边 AB 所在的直线上，以PC 为直角边作等 腰直角三角形PCQ，其中 90PCQ  ，探究并解决下列问题： (1)如图①，若点 P 在线段 AB 上，且 3, 2AC PA  ，则： ①线段 AB ____________，PB  ____________； ②猜想： 2 2 2, ,PA PB PQ 三者之间的数量关系为______________；（提示：连接BQ） (2)如图②，若点 P 在 AB 的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你给出证明过程； (3)若动点 P 在线段 AB 上，满足 : 1: 3PA PB  ，求 :PC AC 的值． 【详解】（1）解： ∵① 三角形 ABC 是等腰直角三角形， 3AC  ， ∴ 2 2 2 23 3 3 2AB AC BC     ，......(1 分) ∵ 2PA  ， ∴ 3 2 2 2 2PB AB PA     ，......(2 分) ② 2 2 2PA PB PQ  ， 证明：如图 1，过 C 作CD AB 于点 D，则 ADC△ 是等腰直角三角形， ACB△ 为等腰直角三角形，CD AB ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 ∴ CD AD DB  ， ∵    2 22 2 22PA AD PD CD PD CD CD PD PD        ，    2 22 2 22PB BD PD CD PD CD CD PD PD        ， ∴  2 2 2 2 2 22 2 2PA PB CD PD CD PD     ， 在Rt PCD 中，由勾股定理可得 2 2 2PC CD PD  ， ∴ 2 2 22PA PB PC  ， ∵ CPQ 为等腰直角三角形，且 90PCQ  ， ∴ 2 22PC PQ ， ∴ 2 2 2PA PB PQ  ；......(4 分) （2）证明：如图 2，过 C 作CD AB 于点 D， ∵ ACB△ 为等腰直角三角形，CD AB ， ∴ CD AD DB  ，......(5 分) ∵    2 22 2 22PA AD PD CD PD CD CD PD PD        ，    2 22 2 22PB PD BD PD CD CD CD PD PD        ， ∴  2 2 2 2 2 22 2 2PA PB CD PD CD PD     ，......(6 分) 在Rt PCD 中，由勾股定理可得 2 2 2PC CD PD  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 ∴ 2 2 22PA PB PC  ，......(7 分) ∵ CPQ 为等腰直角三角形，且 90PCQ  ， ∴ 2 22PC PQ ， ∴ 2 2 2PA PB PQ  ；......(8 分) （3）过点 C 作CD AB 于点 D，如图 3，当点 P 在线段 AB 上时， ∵ 1 3 PA PB  ， ∴ 1 1 1 4 2 2 PA AB CD AD PD    ，......(9 分) 在Rt CPD△ 中，由勾股定理可得 2 2 2 2 1 5 2 2 PC CD PD CD CD CD         ， 在Rt ACD 中，由勾股定理可得 2 2 2 2 2AC AD CD CD CD CD     ......(10 分) ∴ 5 102 42 CDPC AC CD   ；......(11 分) 综上， PC AC 的值为 10 4 ．......(12 分) 25．（本题 12 分）已知抛物线 2 3y ax bx   经过点 ( 1,0) (3,0)A B 、 ，与 y 轴交于点 C，连接BC ． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线BC 上方抛物线上取一点 P，过点 P 作PQ x 轴交BC 边于点 Q，求 PQ的最大值； (3)在直线BC 上方抛物线上取一点 D，连接 ,OD CD ．OD交 BC 于点 F，当 : 3 : 2COF CDFS S △ △ 时，求点 D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 的坐标． 【详解】（1）抛物线 2 3y ax bx   经过点 ( 1,0) (3,0)A B 、 ， 3 0 9 3 3 0 a b a b        ......(1 分) 解得 1 2 a b     ......(2 分) 抛物线的解析式为： 2 2 3y x x    ......(3 分) （2）抛物线的解析式为： 2 2 3y x x    令 0x  ，则 3y   0,3C ......(4 分)  (3,0)B 设直线BC 的解析式为 y kx b  则 3 3 0 b k b     解得 1 3 k b     直线 BC 的解析式为： 3y x   ......(5 分) 过点 P 作 PQ⊥ x 轴交 BC 于点 Q，设 P 点坐标为  2, 2 3x x x   ， 则 Q 点坐标为  , 3x x  ，......(6 分) 则    2 2 3 3PQ x x x       ......(7 分) 2 3x x   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 2 3 9 2 4 x        ......(8 分) ∴ PQ 的最大值是 9 4 ． （3）∵ ∆COF 与∆CDF 共高，面积比转化为底边比， OF：DF=S△COF：S△CDF＝3：2 过点 D 作 BC 的平行线交 x 轴于 G，交 y 轴于 E， 根据平行线分线段成比例， OF：FD=OC：CE=3：2......(9 分) ∵ OC=3， ∴ OE=5， ∴ E（0，5）......(10 分) ∴ 直线 EG 解析式为：y= -x+5......(11 分) 联立方程，得： 2 2 3 5x x x      解得： 1 1x  ， 2 2x  则点 D 的坐标为（1，4）或（2，3）；......(12 分) 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B C B B D D C A B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13．3 14．15 15． 16．﹣3＜a＜0/ 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 解答题标记步骤分 17．（本题4分） 【详解】解：∵， ，......(1分) ，......(2分) ∴．......(4分) 18．（本题4分） 【详解】（1）如图，即为所求，......(2分) （2）如图所示，即为所求，......(4分) 19．（本题6分） 【详解】解：（1）∵抛物线y＝−x2＋bx＋c经过坐标原点和点A（2，0）， ∴，......(1分) ∴，......(2分) ∴抛物线的解析式为：y＝−x2＋2x；......(3分) （2）∵y＝−x2＋2x， ∴y＝−（x−1）2＋1． ∴B（1，1）．......(4分) ∴S△AOB＝×2×1＝1．......(5分) 答：△OAB的面积为1．......(6分) 20．（本题6分） 【详解】（1）证明：由题意得， ......(1分) ， ∵，......(2分) ∴， ∴此方程总有两个实数根；......(3分) （2）解：∵， ∴，......(4分) 解得或， ∵此方程有一个根大于0且小于1， ∴，......(5分) ∴．......(6分) 21．（本题8分） 【详解】（1）证明：， ，......(1分) 矩形绕点旋转， ，......(2分) ， ∴ ≌，......(3分) ∴ ；......(4分) （2）解：∵ ，， ∴ ， ∴，......(5分) ∵ 矩形绕点旋转， ∴ ，......(6分) ∴ ，......(7分) ∴ ．......(8分) 22．（本题10分） 【详解】（1）解：设运动时间为t秒时，的长度为， 依题意得：， ，......(1分) ， ， ， ，......(2分) 解得：或． ∴2秒或秒时，的长度为；......(3分) （2）解：设运动时间为t秒时，的面积为， 依题意得：， ，......(4分) ∵的面积为， ．......(6分) 解得：或4． ∴2秒或4秒时，的面积为；......(6分) （3）解：四边形的面积，......(7分) ......(8分) ，......(9分) ∵， ∴当时，四边形的面积最小，最小值为21．......(10分) 23．（本题10分） 【详解】（1）设商家一次购买该产品x件时，销售单价恰好为2600元．......(1分) ，......(3分) 解得：；......(4分) （2）当时，，......(5分) 此时，当时，（元）．......(6分) 当时， ，......(7分) 此时，当时，（元）．......(8分) 当时，，......(9分) 此时，当时，（元）． 综上所述，当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12250元．......(10分) 24．（本题12分） 【详解】（1）解：①∵三角形ABC是等腰直角三角形，， ∴，......(1分) ∵， ∴，......(2分) ②， 证明：如图1，过C作于点D，则是等腰直角三角形，为等腰直角三角形，，      ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∴；......(4分) （2）证明：如图2，过C作于点D，        ∵为等腰直角三角形，， ∴，......(5分) ∵， ， ∴，......(6分) 在中，由勾股定理可得， ∴，......(7分) ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∴；......(8分) （3）过点C作于点D，如图3，当点P在线段上时，      ∵， ∴，......(9分) 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得......(10分) ∴；......(11分) 综上，的值为．......(12分) 25．（本题12分） 【详解】（1）抛物线经过点， ......(1分) 解得......(2分) 抛物线的解析式为：......(3分) （2）抛物线的解析式为： 令，则 ......(4分) 设直线的解析式为 则 解得 直线BC的解析式为：......(5分) 过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，设P点坐标为， 则Q点坐标为，......(6分) 则......(7分) ......(8分) ∴PQ的最大值是． （3）∵∆COF与∆CDF共高，面积比转化为底边比， OF：DF=S△COF：S△CDF＝3：2 过点D作BC的平行线交x轴于G，交y轴于E， 根据平行线分线段成比例， OF：FD=OC：CE=3：2......(9分) ∵OC=3， ∴OE=5， ∴E（0，5）......(10分) ∴直线EG解析式为：y= -x+5......(11分) 联立方程，得： 解得：， 则点D的坐标为（1，4）或（2，3）；......(12分) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版第21章一元二次方程+第22章二次函数+第23章旋转。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2．已知二次函数的图像上有三点，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：二次函数， ，开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ， ， ，，， ， ， 故选：B． 3．方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【详解】解：∵， 或， ∴， 故选C． 4．如图，在三角形中，，，将三角形绕点按顺时针方向旋转到三角形的位置，使得点在一条直线上，那么旋转角等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴． 故选：B． 5．根据下列表格的对应值：可确定方程的一个根x的范围是（） x 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的一个根x的范围是； 故选：B. 6．春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为 x，则根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设平均每天票房的增长率为 x，则第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元， 由题意得，， 故选：D． 7．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【详解】解：因为二次函数的表达式为， 所以抛物线的开口向上，故A说法正确； 又抛物线的对称轴是直线，故B说法正确； 因为抛物线的顶点坐标为，故C说法正确； 因为抛物线对称轴为直线，且开口向上， 所以当时，y随x的增大而减小．故D说法不正确； 故选：D． 8．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，若点，，恰好在同一条直线上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 9．如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A，点，则下列结论：①；②二次函数的最大值为；③；④；⑤当时，；⑥；其中正确的结论有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【详解】解：∵二次函数对称轴在y轴右侧，与y轴交在正半轴， ∴，，． ∴故①不正确； ∵二次函数图象的对称轴为直线， ∴顶点坐标为，且开口向下，二次函数的最大值为， 故②正确； ∵抛物线过， ∴时，，即， 故③不正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 故④不正确； ∵对称轴为直线，， ∴， 由图象可知，时，， 故⑤正确； ∵，即， 而时，，即， ∴， ∴． 故⑥正确． 故选：A． 10．如图，已知菱形的顶点，若菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第20秒时，菱形的对角线交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：菱形的顶点， 与轴的夹角为 ∵菱形的对角线互相垂直平分， 点是线段的中点， 点的坐标是 ∵菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转 ∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置 ∵ ∴第20秒时是把菱形绕点逆时针旋转了2周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了， ∴点的对应点落在第三象限，且对应点与点关于原点成中心对称， 第20秒时，菱形的对角线交点的坐标为． 故选：B 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【详解】解：因为是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为． 故答案为． 12．点关于原点成中心对称的点坐标是 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：点关于原点成中心对称的点坐标是， 故答案为： 13．已知关于的一元二次方程两个根为，则 ． 【答案】3 【详解】解：一元二次方程两个根为， 则：． 故答案为：3． 14．如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在中，，，， ， 设运动时间为，则，， 当时，四边形的面积取最小值，最小值为． 故答案为：15． 15．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，已知，则的大小是 ． 【答案】 【详解】解：由矩形中，对角线，相交于点O，，得， ∴． 由，得是等腰三角形， ∴， 故答案为：． 16．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线的一部分图象如图所示，它与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3），可以判断a的取值范围是 . 【答案】﹣3＜a＜0/ 【详解】解：根据图象得：a＜0，b＜0， ∵抛物线与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3）， ∴， ∴a+b＝﹣3， ∵b＜0， ∴﹣3＜a＜0． 故答案为：﹣3＜a＜0． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题4分）解方程： 【详解】解：∵， ，......(1分) ，......(2分) ∴．......(4分) 18．（本题4分）如图，将（顶点都在网格的格点上）分别按下列要求画图： (1)向上平移3个单位； (2)绕点O顺时针旋转； 【详解】（1）如图，即为所求，......(2分) （2）如图所示，即为所求，......(4分) 19．（本题6分）如图，抛物线经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）． （1）求此抛物线的解析式： （2）设抛物线的顶点为B， 求∆OAB的面积S． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝−x2＋bx＋c经过坐标原点和点A（2，0）， ∴，......(1分) ∴，......(2分) ∴抛物线的解析式为：y＝−x2＋2x；......(3分) （2）∵y＝−x2＋2x， ∴y＝−（x−1）2＋1． ∴B（1，1）．......(4分) ∴S△AOB＝×2×1＝1．......(5分) 答：△OAB的面积为1．......(6分) 20．（本题6分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围． 【详解】（1）证明：由题意得， ......(1分) ， ∵，......(2分) ∴， ∴此方程总有两个实数根；......(3分) （2）解：∵， ∴，......(4分) 解得或， ∵此方程有一个根大于0且小于1， ∴，......(5分) ∴．......(6分) 21．（本题8分）如图，矩形绕点旋转，使点落到上的处，，连接，． (1)求证：； (2)求的度数． 【详解】（1）证明：， ，......(1分) 矩形绕点旋转， ，......(2分) ， ∴ ≌，......(3分) ∴ ；......(4分) （2）解：∵ ，， ∴ ， ∴，......(5分) ∵ 矩形绕点旋转， ∴ ，......(6分) ∴ ，......(7分) ∴ ．......(8分) 22．（本题10分）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒. (1)几秒时，的长度为？ (2)几秒时，的面积为？ (3)当为何值时，四边形的面积最小？并求这个最小值． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒时，的长度为， 依题意得：， ，......(1分) ， ， ， ，......(2分) 解得：或． ∴2秒或秒时，的长度为；......(3分) （2）解：设运动时间为t秒时，的面积为， 依题意得：， ，......(4分) ∵的面积为， ．......(6分) 解得：或4． ∴2秒或4秒时，的面积为；......(6分) （3）解：四边形的面积，......(7分) ......(8分) ，......(9分) ∵， ∴当时，四边形的面积最小，最小值为21．......(10分) 23．（本题10分）深圳某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元．在该产品的试销期间，为促销，企业决定：商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件． (1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？ (2)设商家一次购买这种产品x件，该企业所获的利润为y元．在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业可获得最大利润？最大利润是多少？ 【详解】（1）设商家一次购买该产品x件时，销售单价恰好为2600元．......(1分) ，......(3分) 解得：；......(4分) （2）当时，，......(5分) 此时，当时，（元）．......(6分) 当时， ，......(7分) 此时，当时，（元）．......(8分) 当时，，......(9分) 此时，当时，（元）． 综上所述，当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12250元．......(10分) 24．（本题12分）已知：是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，探究并解决下列问题：    (1)如图①，若点在线段上，且，则： ①线段____________，____________； ②猜想：三者之间的数量关系为______________；（提示：连接） (2)如图②，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你给出证明过程； (3)若动点在线段上，满足，求的值． 【详解】（1）解：①∵三角形ABC是等腰直角三角形，， ∴，......(1分) ∵， ∴，......(2分) ②， 证明：如图1，过C作于点D，则是等腰直角三角形，为等腰直角三角形，，      ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∴；......(4分) （2）证明：如图2，过C作于点D，        ∵为等腰直角三角形，， ∴，......(5分) ∵， ， ∴，......(6分) 在中，由勾股定理可得， ∴，......(7分) ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∴；......(8分) （3）过点C作于点D，如图3，当点P在线段上时，      ∵， ∴，......(9分) 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得......(10分) ∴；......(11分) 综上，的值为．......(12分) 25．（本题12分）已知抛物线经过点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方抛物线上取一点P，过点P作轴交边于点Q，求的最大值； (3)在直线上方抛物线上取一点D，连接．交于点F，当时，求点D的坐标． 【详解】（1）抛物线经过点， ......(1分) 解得......(2分) 抛物线的解析式为：......(3分) （2）抛物线的解析式为： 令，则 ......(4分) 设直线的解析式为 则 解得 直线BC的解析式为：......(5分) 过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，设P点坐标为， 则Q点坐标为，......(6分) 则......(7分) ......(8分) ∴PQ的最大值是． （3）∵∆COF与∆CDF共高，面积比转化为底边比， OF：DF=S△COF：S△CDF＝3：2 过点D作BC的平行线交x轴于G，交y轴于E， 根据平行线分线段成比例， OF：FD=OC：CE=3：2......(9分) ∵OC=3， ∴OE=5， ∴E（0，5）......(10分) ∴直线EG解析式为：y= -x+5......(11分) 联立方程，得： 解得：， 则点D的坐标为（1，4）或（2，3）；......(12分) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期期中模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（4分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（4分） 19．（6分） 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级上学期期中模拟卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 三、解答题（共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（4 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（4 分） 19．（6 分） 20．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10 分） 23．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版第21章一元二次方程+第22章二次函数+第23章旋转。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图像上有三点，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 4．如图，在三角形中，，，将三角形绕点按顺时针方向旋转到三角形的位置，使得点在一条直线上，那么旋转角等于（　　） A． B． C． D． 5．根据下列表格的对应值：可确定方程的一个根x的范围是（） x 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 A． B． C． D． 6．春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为 x，则根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 7．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 8．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，若点，，恰好在同一条直线上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A，点，则下列结论：①；②二次函数的最大值为；③；④；⑤当时，；⑥；其中正确的结论有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 10．如图，已知菱形的顶点，若菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第20秒时，菱形的对角线交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．抛物线的顶点坐标是 ． 12．点关于原点成中心对称的点坐标是 ． 13．已知关于的一元二次方程两个根为，则 ． 14．如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 ． 15．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，已知，则的大小是 ． 16．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线的一部分图象如图所示，它与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3），可以判断a的取值范围是 . 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题4分）解方程： 18．（本题4分）如图，将（顶点都在网格的格点上）分别按下列要求画图： (1)向上平移3个单位； (2)绕点O顺时针旋转； 19．（本题6分）如图，抛物线经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）． （1）求此抛物线的解析式： （2）设抛物线的顶点为B， 求∆OAB的面积S． 20．（本题6分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围． 21．（本题8分）如图，矩形绕点旋转，使点落到上的处，，连接，． (1)求证：； (2)求的度数． 22．（本题10分）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒. (1)几秒时，的长度为？ (2)几秒时，的面积为？ (3)当为何值时，四边形的面积最小？并求这个最小值． 23．（本题10分）深圳某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元．在该产品的试销期间，为促销，企业决定：商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件． (1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？ (2)设商家一次购买这种产品x件，该企业所获的利润为y元．在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业可获得最大利润？最大利润是多少？ 24．（本题12分）已知：是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，探究并解决下列问题：    (1)如图①，若点在线段上，且，则： ①线段____________，____________； ②猜想：三者之间的数量关系为______________；（提示：连接） (2)如图②，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你给出证明过程； (3)若动点在线段上，满足，求的值． 25．（本题12分）已知抛物线经过点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方抛物线上取一点P，过点P作轴交边于点Q，求的最大值； (3)在直线上方抛物线上取一点D，连接．交于点F，当时，求点D的坐标． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版第21章一元二次方程+第22章二次函数+第23章旋转。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图像上有三点，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 4．如图，在三角形中，，，将三角形绕点按顺时针方向旋转到三角形的位置，使得点在一条直线上，那么旋转角等于（　　） A． B． C． D． 5．根据下列表格的对应值：可确定方程的一个根x的范围是（） x 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 A． B． C． D． 6．春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为 x，则根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 7．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 8．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，若点，，恰好在同一条直线上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A，点，则下列结论：①；②二次函数的最大值为；③；④；⑤当时，；⑥；其中正确的结论有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 10．如图，已知菱形的顶点，若菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第20秒时，菱形的对角线交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．抛物线的顶点坐标是 ． 12．点关于原点成中心对称的点坐标是 ． 13．已知关于的一元二次方程两个根为，则 ． 14．如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 ． 15．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，已知，则的大小是 ． 16．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线的一部分图象如图所示，它与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3），可以判断a的取值范围是 . 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题4分）解方程： 18．（本题4分）如图，将（顶点都在网格的格点上）分别按下列要求画图： (1)向上平移3个单位； (2)绕点O顺时针旋转； 19．（本题6分）如图，抛物线经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）． （1）求此抛物线的解析式： （2）设抛物线的顶点为B， 求∆OAB的面积S． 20．（本题6分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围． 21．（本题8分）如图，矩形绕点旋转，使点落到上的处，，连接，． (1)求证：； (2)求的度数． 22．（本题10分）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒. (1)几秒时，的长度为？ (2)几秒时，的面积为？ (3)当为何值时，四边形的面积最小？并求这个最小值． 23．（本题10分）深圳某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元．在该产品的试销期间，为促销，企业决定：商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件． (1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？ (2)设商家一次购买这种产品x件，该企业所获的利润为y元．在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业可获得最大利润？最大利润是多少？ 24．（本题12分）已知：是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，探究并解决下列问题：    (1)如图①，若点在线段上，且，则： ①线段____________，____________； ②猜想：三者之间的数量关系为______________；（提示：连接） (2)如图②，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你给出证明过程； (3)若动点在线段上，满足，求的值． 25．（本题12分）已知抛物线经过点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方抛物线上取一点P，过点P作轴交边于点Q，求的最大值； (3)在直线上方抛物线上取一点D，连接．交于点F，当时，求点D的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版第21章一元二次方程+第22章二次函数+第23章旋转。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共 30 分） 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．已知二次函数    2y x 1 2的图像上有三点  11A y， ，  22B y， ，  32C y ， ，则 1y ， 2y ， 3y 的大小 关系为（ ） A． 1 2 3y y y  B． 2 1 3y y y  C． 3 1 2y y y  D． 3 2 1y y y  3．方程  14 0x x   的根是（ ） A． 0x  B． 14x  C． 1 0x  ， 2 14x  D． 1 0x  ， 2 14x   4．如图，在三角形 ABC中， 90C  ， 35B  ，将三角形 ABC绕点A 按顺时针方向旋转到三角形 1 1ABC 的位置，使得点 1C A B、 、 在一条直线上，那么旋转角等于（ ） A．145 B．125 C．70 D．55 5．根据下列表格的对应值：可确定方程 2 12 15 0x x   的一个根 x的范围是（） x 1 1.1 1.2 1.3 2 12 15x x  2 0.59 0.84 2.29 A．1 1.1x  B．1.1 1.2x  C．1.2 1.3x  D． 1.3x  6．春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为 3 亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计 票房9.63亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为 x，则根据题意，下列方 程正确的是（ ） A．   61 . 33 9x  B．  2 61 . 33 9x  C．    23 1 3 1 9.63x x   D．    23 3 1 3 1 9.63x x     7．对于二次函数  25 3y x  的图象，下列说法不正确的是（ ） A．开口向上 B．对称轴是直线 3x   C．顶点坐标为  3,0 D．当 3x   时，y随 x的增大而增大 8．如图，在 ABC 中， =110BAC ，将 ABC 绕点A 逆时针旋转100得到 ADE ，点 B的对应点为点D， 若点 B，C，D恰好在同一条直线上，则 E 的度数为（ ） A．25 B．33 C．30 D．40 9．如图，若二次函数  2 0y ax bx c a    的图象的对称轴为直线 1x  ，与 y轴交于点 C，与 x轴交于点 A，点  1 0B  ， ，则下列结论：① 0abc  ；②二次函数的最大值为a b c  ；③ <0a b c  ；④ 2 4 0b ac  ； ⑤当 0y  时， 1 3x   ；⑥3 0a c  ；其中正确的结论有（ ） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 10．如图，已知菱形OABC的顶点    0,0 , 2,2O B ，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45，则第 20 秒 时，菱形的对角线交点D的坐标为（ ） A．  1, 1 B．  1, 1  C．  2,0 D．  0, 2 第二部分（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 11．抛物线 2( 1) 2y x   的顶点坐标是 ． 12．点 (2, 3) 关于原点成中心对称的点坐标是 ． 13．已知关于 x的一元二次方程 2 3 2 0x x   两个根为 1 2x x、 ，则 1 2x x  ． 14．如图，在 ABC 中， 90C  ， 10cmAB  ， 8cmBC  ，点 P从点 A沿 AC向点 C以1cm/s的速度运 动，同时点Q从点C沿CB向点 B以2cm/s的速度运到（点Q运动到点 B停止），在运动过程中，四边形PABQ 的面积最小值为 2cm ． 15．如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC与BD相交于点 O，已知 25ACB  ，则 AOB 的大小是 ． 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 16．在平面直角坐标系 xOy中，开口向下的抛物线 2y ax bx c   的一部分图象如图所示，它与 x轴交于 A （1，0），与 y轴交于点 B （0，3），可以判断 a的取值范围是 . 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题 4 分）解方程： 2 6 8x x   18．（本题 4 分）如图，将 ABO （顶点都在网格的格点上）分别按下列要求画图： (1)向上平移 3 个单位； (2)绕点 O顺时针旋转90； 19．（本题 6 分）如图，抛物线 2y x bx c    经过坐标原点，并与 x 轴交于点 A（2，0）． （1）求此抛物线的解析式： （2）设抛物线的顶点为 B， 求∆OAB 的面积 S． 20．（本题 6 分）已知关于 x的一元二次方程  2 1 2 2 0x k x k     ． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程有一个根大于 0 且小于 1，求 k的取值范围． 21．（本题8分）如图，矩形 ABCD绕 B点旋转，使C点落到 AD上的E处，AB AE ， 连接 AF ， AG． (1)求证： AF AG ； (2)求 GAF 的度数． 22．（本题 10 分）如图，在Rt ABC△ 中， 90B  ， 6cm, 10cmAB BC  ，点 P从点 A开始沿 AB边向点 B移动，速度为1cm/s；点 Q从点 B开始沿BC边向点 C移动，速度为2cm/s，点 P、Q分别从点 A、B同时 出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设运动时间为 t秒. (1)几秒时， PQ的长度为4 2cm ？ (2)几秒时， PBQ 的面积为 28cm ？ (3)当  0 5t t  为何值时，四边形 APQC 的面积最小？并求这个最小值． 23．（本题 10 分）深圳某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为 2400 元．在该产品的试销期 间，为促销，企业决定：商家一次购买这种新型产品不超过 10 件时，每件按 3000 元销售；若一次购买该 种产品超过 10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低 10 元，但销售单价均不低于 2600 元；且商家一次性购买该产品不能超过 60 件． (1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为 2600 元？ (2)设商家一次购买这种产品 x件，该企业所获的利润为 y元．在企业规定范围内，商家购买多少件时，企 业可获得最大利润？最大利润是多少？ 24．（本题 12 分）已知： ABC 是等腰直角三角形，动点 P在斜边 AB所在的直线上，以PC为直角边作等 腰直角三角形PCQ，其中 90PCQ  ，探究并解决下列问题： (1)如图①，若点 P在线段 AB上，且 3, 2AC PA  ，则： ①线段 AB ____________，PB  ____________； ②猜想： 2 2 2, ,PA PB PQ 三者之间的数量关系为______________；（提示：连接BQ） (2)如图②，若点 P在 AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你给出证明过程； (3)若动点 P在线段 AB上，满足 : 1: 3PA PB  ，求 :PC AC的值． 25．（本题 12 分）已知抛物线 2 3y ax bx   经过点 ( 1,0) (3,0)A B 、 ，与 y轴交于点 C，连接BC． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线BC上方抛物线上取一点 P，过点 P作PQ x 轴交BC边于点 Q，求 PQ的最大值； (3)在直线BC上方抛物线上取一点 D，连接 ,OD CD．OD交 BC于点 F，当 : 3 : 2COF CDFS S △ △ 时，求点 D 的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版第 21 章一元二次方程+第 22 章二次函数+第 23 章旋转。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共 30 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的） 1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．已知二次函数    2y x 1 2的图像上有三点  11A y， ，  22B y， ，  32C y ， ，则 1y ， 2y ， 3y 的大小 关系为（ ） A． 1 2 3y y y  B． 2 1 3y y y  C． 3 1 2y y y  D． 3 2 1y y y  3．方程  14 0x x   的根是（ ） A． 0x  B． 14x  C． 1 0x  ， 2 14x  D． 1 0x  ， 2 14x   4．如图，在三角形 ABC中， 90C  ， 35B  ，将三角形 ABC绕点A 按顺时针方向旋转到三角形 1 1ABC 的位置，使得点 1C A B、 、 在一条直线上，那么旋转角等于（ ） A．145 B．125 C．70 D．55 5．根据下列表格的对应值：可确定方程 2 12 15 0x x   的一个根 x的范围是（） x 1 1.1 1.2 1.3 2 12 15x x  2 0.59 0.84 2.29 A．1 1.1x  B．1.1 1.2x  C．1.2 1.3x  D． 1.3x  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 6．春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为 3 亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票 房9.63亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为 x，则根据题意，下列方程 正确的是（ ） A．   61 . 33 9x  B．  2 61 . 33 9x  C．    23 1 3 1 9.63x x   D．    23 3 1 3 1 9.63x x     7．对于二次函数  25 3y x  的图象，下列说法不正确的是（ ） A．开口向上 B．对称轴是直线 3x   C．顶点坐标为  3,0 D．当 3x   时，y随 x的增大而增大 8．如图，在 ABC 中， =110BAC ，将 ABC 绕点A 逆时针旋转100得到 ADE ，点 B的对应点为点D， 若点 B，C，D恰好在同一条直线上，则 E 的度数为（ ） A．25 B．33 C．30 D．40 9．如图，若二次函数  2 0y ax bx c a    的图象的对称轴为直线 1x  ，与 y轴交于点 C，与 x轴交于点 A， 点  1 0B  ， ，则下列结论：① 0abc  ；②二次函数的最大值为 a b c  ；③ <0a b c  ；④ 2 4 0b ac  ； ⑤当 0y  时， 1 3x   ；⑥3 0a c  ；其中正确的结论有（ ） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 10．如图，已知菱形OABC的顶点    0,0 , 2,2O B ，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45，则第 20 秒时， 菱形的对角线交点D的坐标为（ ） A．  1, 1 B．  1, 1  C．  2,0 D．  0, 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 第二部分（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 11．抛物线 2( 1) 2y x   的顶点坐标是 ． 12．点 (2, 3) 关于原点成中心对称的点坐标是 ． 13．已知关于 x的一元二次方程 2 3 2 0x x   两个根为 1 2x x、 ，则 1 2x x  ． 14．如图，在 ABC 中， 90C  ， 10cmAB  ， 8cmBC  ，点 P从点 A沿 AC向点 C以1cm/s的速度运动， 同时点 Q从点 C沿CB向点 B以2cm/s的速度运到（点 Q运动到点 B停止），在运动过程中，四边形PABQ的 面积最小值为 2cm ． 15．如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC与BD相交于点 O，已知 25ACB  ，则 AOB 的大小是 ． 16．在平面直角坐标系 xOy中，开口向下的抛物线 2y ax bx c   的一部分图象如图所示，它与 x轴交于 A （1，0），与 y轴交于点 B （0，3），可以判断 a的取值范围是 . 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题 4 分）解方程： 2 6 8x x   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 18．（本题 4 分）如图，将 ABO （顶点都在网格的格点上）分别按下列要求画图： (1)向上平移 3 个单位； (2)绕点 O顺时针旋转90； 19．（本题 6 分）如图，抛物线 2y x bx c    经过坐标原点，并与 x 轴交于点 A（2，0）． （1）求此抛物线的解析式： （2）设抛物线的顶点为 B， 求∆OAB 的面积 S． 20．（本题 6 分）已知关于 x的一元二次方程  2 1 2 2 0x k x k     ． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程有一个根大于 0 且小于 1，求 k的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 21．（本题 8 分）如图，矩形 ABCD绕 B点旋转，使C点落到 AD上的E处， AB AE ，连接 AF ， AG． (1)求证： AF AG ； (2)求 GAF 的度数． 22．（本题 10 分）如图，在Rt ABC△ 中， 90B  ， 6cm, 10cmAB BC  ，点 P从点 A开始沿 AB边向点 B移动，速度为1cm/s；点 Q从点 B开始沿BC边向点 C移动，速度为2cm/s，点 P、Q分别从点 A、B同时 出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设运动时间为 t秒. (1)几秒时， PQ的长度为4 2cm ？ (2)几秒时， PBQ 的面积为 28cm ？ (3)当  0 5t t  为何值时，四边形 APQC 的面积最小？并求这个最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 23．（本题 10 分）深圳某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为 2400 元．在该产品的试销期间， 为促销，企业决定：商家一次购买这种新型产品不超过 10 件时，每件按 3000 元销售；若一次购买该种产 品超过 10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低 10 元，但销售单价均不低于 2600 元； 且商家一次性购买该产品不能超过 60 件． (1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为 2600 元？ (2)设商家一次购买这种产品 x件，该企业所获的利润为 y元．在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业 可获得最大利润？最大利润是多少？ 24．（本题 12 分）已知： ABC 是等腰直角三角形，动点 P在斜边 AB所在的直线上，以PC为直角边作等 腰直角三角形PCQ，其中 90PCQ  ，探究并解决下列问题： (1)如图①，若点 P在线段 AB上，且 3, 2AC PA  ，则： ①线段 AB ____________，PB  ____________； ②猜想： 2 2 2, ,PA PB PQ 三者之间的数量关系为______________；（提示：连接BQ） (2)如图②，若点 P在 AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你给出证明过程； (3)若动点 P在线段 AB上，满足 : 1: 3PA PB  ，求 :PC AC的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 25．（本题 12 分）已知抛物线 2 3y ax bx   经过点 ( 1,0) (3,0)A B 、 ，与 y轴交于点 C，连接BC． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线BC上方抛物线上取一点 P，过点 P作PQ x 轴交BC边于点 Q，求 PQ的最大值； (3)在直线BC上方抛物线上取一点 D，连接 ,OD CD．OD交 BC于点 F，当 : 3 : 2COF CDFS S △ △ 时，求点 D 的坐标．