第二十七章 反比例函数中K值的模型训练（单元复习 5大模型）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（冀教版）

第二十七章 反比例函数中K值的模型训练 01 模型总结 目录 模型一　反比例函数中利用k值求三角形的面积 1 模型二　反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 6 模型三　反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 9 模型四　反比例函数中利用k值求矩形的面积 13 模型五　反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 19 02 模型题型 模型一　反比例函数中利用k值求三角形的面积 例题：（2024·重庆·模拟预测）如图，已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点A，过A点作轴，垂足为B．若的面积为4，则 ． 巩固训练 1．（2024·广东东莞·一模）如图，点M为反比例函数的图象上一点，过点M作轴于点N，连接，已知的面积为1.9，则k的值为（　　） A． B．1.9 C． D．3.8 2．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴于点A，点B是的中点，连结，则的面积为（    ） A．6 B．12 C．3 D．4 3．（2024上·陕西西安·九年级统考期末）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，点在轴正半轴上，若的面积为，则的值为 ． 4．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知点是反比例函数的图象上一点，轴，交另一个反比例函数的图象于点，为轴上一点，若，则的值为 ． 5．（2023·重庆九龙坡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，连接，过点作轴于点，反比例函数的图像分别与、交于点、，连接，若为的中点，且四边形的面积为，则的值为 ．    模型二　反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 例题：（2023春·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）如图，反比例函数的图象经过正的顶点P，则的面积为 ．    巩固训练 1．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为 ．    2．（2023秋·贵州铜仁·九年级统考期末）如图，点在反比例函数第一象限内的图象上，点在轴的正半轴上．若是等边三角形，则的面积为 ． 模型三　反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使点B、C均在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为 ． 巩固训练 1．（2023·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点C、D在y轴上, A、B两点分别在反比例函数与的图象上，若的面积为5，则k的值为 ． 2．（2024·四川南充·一模）如图，点A，C在双曲线上，点B，D在双曲线上，轴，且四边形是平行四边形，则的面积为 ． 3．（2024·四川达州·模拟预测）如图，的顶点A、C在反比例函数的图象上，顶点B，D在反比例函数的图象上，轴，对角线、的交点恰好是坐标原点O．若，则的值为 ． 模型四　反比例函数中利用k值求矩形的面积 例题：（23-24九年级上·北京门头沟·期末）如图，已知点P是反比例函数上的一点，则矩形的面积为 ． 巩固训练 1．（2023·云南红河·一模）如图，、是反比例函数（）的图象上两点，点、、、分别在坐标轴上，若正方形的面积为6，则矩形的面积为 ． 2．（2024·山东聊城·一模）如图，矩形的一边在x轴上，顶点A，B分别落在双曲线，上，边交双曲线于点E，连接，则的面积为 ． 3．（2024·湖北·模拟预测）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形的面积是，则k的值是 ． 4．（23-24九年级下·重庆合川·阶段练习）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴正半轴上，反比例函数的图象与该矩形的边，分别交于点，，直线与轴交于点，若的面积为，则矩形的面积为 ． 5．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，动点M在反比例函数的图象上，过点M分别作轴，轴，垂足分别为P，Q，直线分别交，于点C，D． （1）矩形的面积为 ． （2）的值为 ． 模型五　反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 例题：（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，设点作反比例函数的图象上，轴于点，交反比例函数的图象于点A，轴于点，交反比例函数的图象于点，则四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如图，矩形的顶点A，B分别为反比例函数与的图象上，点C，D在x轴上，，分别交y轴于点E，F，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C．6 D．4 2．（23-24九年级上·河南·阶段练习）如图，两个反比例函数和（其中）在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，下列说法正确的是（   ） ①与的面积相等； ②四边形的面积始终等于矩形面积的一半，且为； ③与始终相等； ④当点A是的中点时，点一定是的中点 A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 3．（23-24九年级上·江西鹰潭·期末）如图，点A，B分别在反比例函数和图象上，分别过A，B两点向x轴、y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为12，则 ． 4．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴、轴上，点的坐标为，双曲线分别与边交于点，则阴影部分的面积是 ． 5．（23-24九年级上·四川雅安·期末）如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为3，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 反比例函数中K值的模型训练 01 模型总结 目录 模型一　反比例函数中利用k值求三角形的面积 1 模型二　反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 6 模型三　反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 9 模型四　反比例函数中利用k值求矩形的面积 13 模型五　反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 19 02 模型题型 模型一　反比例函数中利用k值求三角形的面积 例题：（2024·重庆·模拟预测）如图，已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点A，过A点作轴，垂足为B．若的面积为4，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数（k为常数，）的图象经过点A，轴， ∴， ∵反比例函数的图象进过第二象限， ∴， 故答案为：． 巩固训练 1．（2024·广东东莞·一模）如图，点M为反比例函数的图象上一点，过点M作轴于点N，连接，已知的面积为1.9，则k的值为（　　） A． B．1.9 C． D．3.8 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于．据此即可求解． 【详解】解：∵，的面积为1.9， ∴． ∵反比例函数图象在二四象限， ∴． 故选：C． 2．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴于点A，点B是的中点，连结，则的面积为（    ） A．6 B．12 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，根据反比例函数k值的几何意义，先求出的面积，再利用中线均分面积即可得到结果． 【详解】解：∵点P在反比例函数的图象上，轴于点A， ∴， ∵点B是的中点， ∴． 故选：C． 3．（2024上·陕西西安·九年级统考期末）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，点在轴正半轴上，若的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象，理解反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键．连接，根据轴，得和关于边上的高相等，即，然后再根据反比例函数比例系数的几何意义得，由此可得的值． 【详解】解：连接，如图所示： 轴， 和关于边上的高相等， ， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， ， 反比例函数的图象在第二象限， ． 故答案为： 4．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知点是反比例函数的图象上一点，轴，交另一个反比例函数的图象于点，为轴上一点，若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数k的几何意义是解决问题的关键． 延长交y轴于点D，连接，根据，列出关于k的方程求解即可． 【详解】解：延长交y轴于点D，连接， ∵轴，点是反比例函数的图象上一点，点B在图象上， ∴， ∴， 解得：（舍去） 故答案为：2． 5．（2023·重庆九龙坡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，连接，过点作轴于点，反比例函数的图像分别与、交于点、，连接，若为的中点，且四边形的面积为，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象和的几何意义，解一元一次方程，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 过点作轴于点，连接，根据反比例函数的图象和的几何意义可得，求出，列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接，    为的中点， ， 反比例函数在第一象限， ， 点、都在反比例函数的图象上， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 模型二　反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 例题：（2023春·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）如图，反比例函数的图象经过正的顶点P，则的面积为 ．    【答案】 【分析】过点作，设，则，，由为正三角形可得，，求解即可． 【详解】解：过点作，如下图：    设，则，， ∵为正三角形，， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的性质和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的有关性质． 巩固训练 1．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为 ．    【答案】4 【分析】过A作于H，依据可得的面积为2，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过A作于H，    ∵点A在反比例函数第二象限内的图象上， ∵的面积为， ∵， ∴的面积为． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义：反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 2．（2023秋·贵州铜仁·九年级统考期末）如图，点在反比例函数第一象限内的图象上，点在轴的正半轴上．若是等边三角形，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】过点A作轴于C，根据等边三角形的性质得到，再根据反比例函数系数k的几何意义得到即可求解． 【详解】解：过点A作轴于C， ∵点在反比例函数第一象限内的图象上，是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、等边三角形的性质，熟知反比例函数系数k的几何意义是解答的关键． 模型三　反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使点B、C均在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为 ． 【答案】6 【分析】作于，根据四边形为平行四边形得轴，则可判断四边形为矩形，所以，根据反比例函数的几何意义得到，据此即可得到答案． 【详解】解：过点A作于，如图， 四边形为平行四边形， 轴， 四边形为矩形， ， ∵， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是掌握从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 巩固训练 1．（2023·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点C、D在y轴上, A、B两点分别在反比例函数与的图象上，若的面积为5，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，连接，如图，利用平行四边形的性质得垂直x轴，则利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到和，所以，然后根据平行四边形的面积公式可得到的面积，即可求出k的值． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴垂直x轴， ∴，， ∴， ∵的面积． ∴， 解得或2， ∵． ∴ 故答案为： 2．（2024·四川南充·一模）如图，点A，C在双曲线上，点B，D在双曲线上，轴，且四边形是平行四边形，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了已知比例系数求特殊图形的面积，由平行于y轴的直线上的点横坐标相等，设出点的坐标，再根据平行四边形面积公式求解即可． 【详解】解：设，， 轴，四边形是平行四边形， 轴，， ， ，， ， ， 边上的高， 的面积， 故答案为：8． 3．（2024·四川达州·模拟预测）如图，的顶点A、C在反比例函数的图象上，顶点B，D在反比例函数的图象上，轴，对角线、的交点恰好是坐标原点O．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何综合题，涉及平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，设，先证明，由全等三角形的性质得到，继而解得，，过点作的延长线的垂线，得到，再解得，最后由整理解题即可．掌握相关图形的性质是解题关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ 设， 轴，则轴，轴， ，， 是平行四边形的对角线，且对角线的交点为，即， ， ∴， ， ， 同理得， ， 过点作的延长线的垂线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 模型四　反比例函数中利用k值求矩形的面积 例题：（23-24九年级上·北京门头沟·期末）如图，已知点P是反比例函数上的一点，则矩形的面积为 ． 【答案】3 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为．熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解： ∵点P是反比例函数图象上的一点， ∴矩形． 故答案为：3． 巩固训练 1．（2023·云南红河·一模）如图，、是反比例函数（）的图象上两点，点、、、分别在坐标轴上，若正方形的面积为6，则矩形的面积为 ． 【答案】6 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题主要考查反比例函数中比例系数的几何意义和函数图象的对称性，难易程度适中，是中考较常见的考查点．根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的四边形的面积的关系即，进行解答即可． 【详解】解：， ． 故答案为：6． 2．（2024·山东聊城·一模）如图，矩形的一边在x轴上，顶点A，B分别落在双曲线，上，边交双曲线于点E，连接，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，解题关键是正确的用点B的坐标表示出其他点的坐标，从而表示出三角形的面积．由双曲线的解析式设出点B的坐标，然后表示出点A和点E的坐标，用矩形的面积减去梯形的面积即可． 【详解】解：如图所示：过点B作轴于点F， ∵点B在上， ∴设点B的坐标为， ∴点A的纵坐标为，点E的横坐标为a， ∵点A在上， ∴点A的横坐标为， ∵A，B分别落在双曲线y＝、上， ∴矩形的面积为1，矩形的面积为4， ∴矩形的面积为3， ∴ ． 故答案为：． 3．（2024·湖北·模拟预测）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形的面积是，则k的值是 ． 【答案】或 【知识点】根据矩形的性质求面积、根据矩形的性质求线段长、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，熟练掌握反比例函数系数K的几何意义是解题的关键． 设，在中，令得，进而得出，，，根据矩形ABCD的面积是得到，即可得到答案． 【详解】解：设，在中，令得， 令得， ，， ∵矩形， ∴，， ， 设矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别为，，，，如图， ∴，，， ， ， ，． 故答案为：2或． 4．（23-24九年级下·重庆合川·阶段练习）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴正半轴上，反比例函数的图象与该矩形的边，分别交于点，，直线与轴交于点，若的面积为，则矩形的面积为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】 本题考查反比例函数k的几何意义，设点，，表示出，从而得到，根据矩形得到，即可得到，结合性质及面积列式求解即可得到答案； 【详解】解：设点，，则，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴或（不符合题意舍去）， ∴矩形的面积为， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，动点M在反比例函数的图象上，过点M分别作轴，轴，垂足分别为P，Q，直线分别交，于点C，D． （1）矩形的面积为 ． （2）的值为 ． 【答案】 9 18 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，涉及等腰三角形的判定和性质和两点之间的距离， 设点M的坐标，可得点Q和点P坐标，即可求得面积； 根据一次函数的解析式解得点A和点B的坐标，利用等腰直角三角形的性质可得点D和点C的坐标，结合两点之间距离即可求得答案． 【详解】解：（1）设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为． ； 故答案为：9； （2）由题意，可得点，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 点的坐标为． 同理，可得点的坐标为， ，， ，即． 故答案为：18． 模型五　反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 例题：（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，设点作反比例函数的图象上，轴于点，交反比例函数的图象于点A，轴于点，交反比例函数的图象于点，则四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，，，即可得四边形的面积． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，交反比例函数的图象于点A，轴于点，交反比例函数的图象于点， ∴， ， ， ∴四边形的面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数中k的几何意义． 巩固训练 1．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如图，矩形的顶点A，B分别为反比例函数与的图象上，点C，D在x轴上，，分别交y轴于点E，F，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C．6 D．4 【答案】A 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象上点的坐标特征，矩形的性质，设点的坐标为，，根据题意，利用函数关系式表示出线段，，，的长，再根据平行线分线段成比例的性质得，的长，利用梯形的面积公式，即可得答案． 【详解】设点的坐标为，， 则，， 点的纵坐标为， 点的横坐标为， ， ∵， ， ，， 阴影部分的面积为． 故选：A． 2．（23-24九年级上·河南·阶段练习）如图，两个反比例函数和（其中）在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，下列说法正确的是（   ） ①与的面积相等； ②四边形的面积始终等于矩形面积的一半，且为； ③与始终相等； ④当点A是的中点时，点一定是的中点 A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】根据反比例函数系数所表示的意义，对①②③④分别进行判断． 【详解】解：设A点坐标为，则P点坐标为，B点坐标为， ①A、为上的两点，则，正确； ②四边形的面积，只有时，即，四边形的面积始终等于矩形面积的一半才能成立，故选项错误； ③只有当的横纵坐标相等时，，错误； ④当点A是的中点时，即，即， 此时点坐标为，即，， 故当点A是的中点时，点一定是的中点，正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点． 3．（23-24九年级上·江西鹰潭·期末）如图，点A，B分别在反比例函数和图象上，分别过A，B两点向x轴、y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为12，则 ． 【答案】 【分析】 本题考查了已知比例系数求特殊图形的面积，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：如图所示：    由题意得：四边形均为矩形， 且 ∵阴影部分的面积， ∴ 故答案为： 4．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴、轴上，点的坐标为，双曲线分别与边交于点，则阴影部分的面积是 ． 【答案】7 【知识点】坐标与图形、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是正确理解的几何意义，本题属于中等题型．先 出，再求出阴影部分的面积． 【详解】解：矩形中，， 点A与点P的横坐标相同，点B与点P的纵坐标相同， 将代入得：，将代入得：， ， ， ． 故答案为：7． 5．（23-24九年级上·四川雅安·期末）如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为3，则 ． 【答案】6 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查反比例函数中的几何意义的应用，读懂题意，数形结合，将所求代数式准确用的几何意义对应的图形面积表示出来是解决问题的关键． 根据反比例函数中的几何意义：反比例函数图象上点向坐标轴作垂线，与原点构成的直角三角形面积等于，数形结合可以得到，根据图象均在第一象限可知，再由四边形的面积为3，得到，即可得到答案． 【详解】解：矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点， 由反比例函数中的几何意义知，， 矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点， 由反比例函数中的几何意义知，， 四边形的面积为3， 由图可知，， 即，解得， ， 故答案为：6． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$