第二十七章 反比例函数的压轴训练（单元复习 5大压轴）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（冀教版）

第二十七章 反比例函数的压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　反比例函数与三角形的综合问题 1 压轴题型二　反比例函数与平行四边形的综合问题 11 压轴题型三　反比例函数与矩形的综合问题 18 压轴题型四　反比例函数与菱形的综合问题 36 压轴题型五　反比例函数与正方形的综合问题 46 02 压轴题型 压轴题型一　反比例函数与三角形的综合问题 例题：（23-24九年级上·广东佛山·期末）阅读材料：有一边是另一边的倍的三角形叫做卓越三角形，这两边中较长边称为卓越边，这两边的夹角叫做卓越角．    (1)在中，，若为卓越角，为卓越边，则的度数为________； (2)如图①，卓越中，，是卓越角，为卓越边，若，求的长； (3)如图②，卓越中，为卓越边，为卓越角，且，点、均在函数的图象上，点在点的上方，点的纵坐标为．当是直角三角形时，求的值． 巩固训练 1．（2023·陕西西安·三模）如图，点在双曲线上，点C在双曲线上，点A在x轴的正半轴上，且是以为斜边的等腰直角三角形．    (1)填空：______； (2)求点A的坐标； (3)若点D是x轴上一点，且以点D、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点D的坐标． 2．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，为的顶点，，点C在x轴上．将沿x轴水平向右平移a个单位得到，A，B两点的对应点，恰好落在反比例函数的图象上．    (1)求a和k的值； (2)作直线l平行于且与，分别交于M，N，若与四边形的面积比为，求直线l的函数表达式； (3)在（2）问的条件下，是否存在x轴上的点P和直线l上的点Q，使得以，四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由． 压轴题型二　反比例函数与平行四边形的综合问题 例题：（2024·安徽淮北·三模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在x轴的正半轴上，点在其对角线上，反比例函数的图像经过C、D两点．已知平行四边形的面积是8． (1)求k的值； (2)求线段所在直线的解析式． 巩固训练 1．（22-23八年级下·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B在x轴的正半轴上，四边形为平行四边形，所在直线的解析式为，反比例函数在第一象限内的图象经过点A，与交于点F，已知，点F为的中点．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积． 2．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）如图，在中，顶点的坐标是．轴，一次函数与反比例函数的图象都经过、两点． (1)求的值； (2)求平行四边形的面积； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 3．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，点、分别在反比例函数和的图象上，四边形ABCO为平行四边形．    (1)m＝______；n＝______；点C的坐标为______． (2)求面积． (3)将平行四边形沿y轴向上平移，使点C落在反比例函数的图象上的D点，则图中两平行四边形重叠的阴影部分的面积为______． 压轴题型三　反比例函数与矩形的综合问题 例题：（2024·河南商丘·一模）如图，已知四边形是矩形，O为坐标原点，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数的图象交边于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，过点B的直线交反比例函数的图象于点E，交y轴于点F，若，求矩形的面积． 巩固训练 1．（2024·湖北十堰·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，点A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为，直线分别交，于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点P在x轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标． 2．（2024·贵州贵阳·模拟预测）定义：如图，在平面直角坐标系中，点P 是第一象限内任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B．若矩形的周长与面积的数值相等，则称点 P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）判断：点______ “美好点”， ______ “美好点”；（选填“是”或“不是”） 【深入探究】 （2）我们从函数的角度研究“美好点”，已知点是“美好点”．求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； 【拓展延伸】 （3）对于任意一个“美好点”，代数式是否为定值?如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 3．（2024·四川泸州·三模）矩形中，，，分别以、所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)当点F运动到边的中点时，求点E的坐标； (2)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，求此时反比例函数的解析式． 4．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上．      (1)求的长度； (2)若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点； ①求该反比例函数解析式； ②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？ 5．（23-24九年级下·广东汕头·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在坐标轴上，且，，反比例函数（）的图象与、分别交于点、，连结．    (1)如图2，连结、，当的面积为3时，① ；② ； (2)如图3，将沿翻折，当点的对称点恰好落在边上时，求的值． 6．（23-24九年级上·湖南张家界·期末）如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，点的坐标为，是边上的一个动点（不与重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点，连接． (1)如图1，若点是的中点，求点的坐标； (2)如图2，若直线与轴，轴分别交于点，连接，求证：； (3)如图3，将沿折叠，点关于的对称点为点，当点不落在矩形外部时，求的取值范围． 7.（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）已知，矩形的A，B顶点分别在x轴，y轴上，反比例函数与矩形的，分别交于，，的面积为． (1)判断并证明直线与的关系． (2)求k的值． (3)若E，F分别为直线和反比例函数上的动点，M为中点，求的最小值． 压轴题型四　反比例函数与菱形的综合问题 例题：（23-24九年级下·河南周口·阶段练习）如图，菱形的边在y轴正半轴上，点B的坐标为．反比例函数的图象经过菱形对角线的交点D，设直线的解析式为．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求菱形的边长； (3)请结合图象直接写出不等式的解集． 巩固训练 1．（2024·河南开封·一模）如图，的顶点坐标分别为，，，反比例函数的图象经过点C． (1)求k的值． (2)点D在反比例函数的图象上，且于点E，，请说明四边形是菱形． (3)是否存在除点D外可与A，B，C三点共同组成菱形的点P？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，点在轴正半轴上，反比例函数的图象经过顶点． (1)若，，求反比例函数的解析式． (2)若菱形的面积为20，直接写出反比例函数的解析式． 3．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数点的图象相交于、两点，点在轴正半轴上，点，连接、、、、，四边形为菱形．    (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时的取值范围； (4)设点是直线上一动点，是否存在点，使，若存在，请直接写出满足条件点的坐标，若不存在，请说明理由． 4．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，B两点． (1)______，______，点B坐标为______； (2)直接写出不等式的解集______； (3)已知轴，以，为边作菱形．求菱形的面积． 压轴题型五　反比例函数与正方形的综合问题 例题：（23-24九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，四边形为正方形，点A的坐标为，点B的坐标为，反比例函数的图象经过点C，一次函数的图象经过点C和点A． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)写出的解集； (3)点P是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积的，求P点坐标． 巩固训练 1．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，四边形为正方形．点A的坐标为，点B的坐标为，反比例函数的图象经过点C，一次函数的图象经过点A，C． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)点P是反比例函数图象上的一点，的面积恰好等于正方形的面积，求点P的坐标； (3)当时，根据图象直接写出x的取值范围． 2．（23-24九年级上·四川成都·期末）正方形的边长为4，交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示． (1)如图1，双曲线过点E，求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)如图2，将正方形向右平移个单位长度，是经过点E的双曲线与交于点P，当为等腰三角形时，求m的值． 3．（23-24九年级上·山东济宁·期末）正方形的边长为4，交于点．在点处建立平面直角坐标系如图所示． (1)如图1，双曲线过点，完成填空：点的坐标是______．点的坐标是______，双曲线的解析式是______． (2)如图2，将正方形向右平移个单位长度，使过点的双曲线与交于点．当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 反比例函数的压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　反比例函数与三角形的综合问题 1 压轴题型二　反比例函数与平行四边形的综合问题 11 压轴题型三　反比例函数与矩形的综合问题 18 压轴题型四　反比例函数与菱形的综合问题 36 压轴题型五　反比例函数与正方形的综合问题 46 02 压轴题型 压轴题型一　反比例函数与三角形的综合问题 例题：（23-24九年级上·广东佛山·期末）阅读材料：有一边是另一边的倍的三角形叫做卓越三角形，这两边中较长边称为卓越边，这两边的夹角叫做卓越角．    (1)在中，，若为卓越角，为卓越边，则的度数为________； (2)如图①，卓越中，，是卓越角，为卓越边，若，求的长； (3)如图②，卓越中，为卓越边，为卓越角，且，点、均在函数的图象上，点在点的上方，点的纵坐标为．当是直角三角形时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】反比例函数与几何综合、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连接点C和中点D，根据题意得出，设，则，则，通过证明为等边三角形，得出，即可求解； （2）过点B作于点H，易得，根据题意得出，求出，最后根据即可解答； （3）根据题意得出，然后进行分类讨论：①当时，过点B作轴于点N，过点C作于点M，通过证明，设，则，得出，，即可解答；②当时， 过点B和点C作x轴的垂线，垂足分别为点F和点E，通过证明，设，则，则，设，则，得出，，即可解答． 【详解】（1）解：连接点C和中点D， ∵为卓越角，为卓越边， ∴， 设，则， 根据勾股定理可得：， ∵，点D为中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：；    （2）解：过点B作于点H， ∵，， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴， 解得：， ∵是卓越角，为卓越边， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴；    （3）解：∵卓越中，为卓越边，为卓越角， ∴， ①当时， 过点B作轴于点N，过点C作于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，点的纵坐标为， ∴，， ∴， ∴， 把，代入得： ， 解得：（舍去）， ∴；    ②当时， 过点B和点C作x轴的垂线，垂足分别为点F和点E， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理可得：， ∴， 设，则， ∵，点的纵坐标为， ∴，， ∴， ∴， 把，代入得： ， 解得：（舍去），    综上：． 【点睛】本题主要考查了新定义，反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理，正确理解题目所给“卓越三角形”的定义是解题的关键． 巩固训练 1．（2023·陕西西安·三模）如图，点在双曲线上，点C在双曲线上，点A在x轴的正半轴上，且是以为斜边的等腰直角三角形．    (1)填空：______； (2)求点A的坐标； (3)若点D是x轴上一点，且以点D、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1)9 (2)点A的坐标是 (3)D点坐标为或或或 【分析】（1）把B点代入双曲线，可求得k的值； （2）过C作轴，过B作轴，可证明，结合B点坐标则可求得C点坐标，从而可求得的长，可求得A点坐标； （3）设，由C点坐标，则可分别表示出和，分、和三种情况，分别得到关于x的方程，可求得D点坐标． 【详解】（1）点在双曲线上， ， 故答案为：9； （2）分别过点B、C作轴于N，轴于M，如图，    则， 三角形是等腰直角三角形， ，， ，， ． ， ， 设，， 在上， ，即． 在和中， ， ， ，， ，即， ， ， ， ， 即点A的坐标是； （3）设，则， 由（2）可知， ，， 为等腰三角形， 有、和三种情况， 当时，则，解得舍去或， 此时D点坐标为； 当时，则，解得或， 此时D点坐标为或； 当时，则，解得， 此时D点坐标为； 综上可知D点坐标为或或或． 【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意函数图象上点的坐标满足函数解析式，在（2）中构造三角形全等求得C点坐标是解题的关键，在（3）中设出D点坐标，表示出和的长，得到关于D点坐标的方程是解题的关键，注意分三种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 2．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，为的顶点，，点C在x轴上．将沿x轴水平向右平移a个单位得到，A，B两点的对应点，恰好落在反比例函数的图象上．    (1)求a和k的值； (2)作直线l平行于且与，分别交于M，N，若与四边形的面积比为，求直线l的函数表达式； (3)在（2）问的条件下，是否存在x轴上的点P和直线l上的点Q，使得以，四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点P、Q的坐标分别为或、或、 【分析】（1）由题意得，点的坐标分别为：，则，即可求解； （2）证明均为等腰直角三角形，得到点，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当或是对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：∵将沿x轴水平向右平移a个单位得到，点，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵点，正好落在第一象限反比例函数的图象上． ∴， 解得：，． （2）由（1）知点的坐标分别为：、， 设的解析式为， 把代入得， ， 解得，， ∴的解析式为，即直线所在的直线为二四象限的角平分线， ∵，则直线和x轴正半轴的夹角为， ∵， 故设直线l的表达式为：， ∵直线，与四边形的面积比为， 则， 过点作y轴的平行线交直线l于点T，连接，    则均为等腰直角三角形， ∵， 则， 设，则, 则， 解得：， 则， 则点， 将点M的坐标代入直线l的表达式得：； （3）解：设点P、Q的坐标分别为：，， 当为对角线时，由中点坐标公式得： ， 解得：， 则点P、Q的坐标分别为：； 当或是对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 则点P、Q的坐标分别为：、或、； 所以，点P、Q的坐标分别为或、或、 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质等，分类求解是解题的关键． 压轴题型二　反比例函数与平行四边形的综合问题 例题：（2024·安徽淮北·三模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在x轴的正半轴上，点在其对角线上，反比例函数的图像经过C、D两点．已知平行四边形的面积是8． (1)求k的值； (2)求线段所在直线的解析式． 【答案】(1)； (2)线段所在直线的解析式为：． 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】题目主要考查反比例函数及特殊四边形的性质，全等三角形的判定和性质，结合图形，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）直接将点D代入解析式即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，根据矩形的判定和性质及全等三角形的判定得出，设，则，利用相似三角形的判定和性质得出，然后结合题意得出方程求解确定，再由待定系数法即可确定函数解析式． 【详解】（1）点在双曲线上， ； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，四边形为矩形， ∴，， ∵平行四边形， ∴， ∴， 设，则， ∵ ， ， ∵， ∴，代入得： 解得， 平行四边形的面积是8， ∴，即， 解得， 点， 设直线的解析式为：，代入得：， 解得：， 线段所在直线的解析式为：． 巩固训练 1．（22-23八年级下·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B在x轴的正半轴上，四边形为平行四边形，所在直线的解析式为，反比例函数在第一象限内的图象经过点A，与交于点F，已知，点F为的中点．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)36 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】(1) 过点A作轴于点H，利用解析式，结合勾股定理确定点A的坐标，后解答即可． (2)根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）过点A作轴于点H，如图．    ∵点A在直线上， 设． ∵点A在第一象限， ∴，，． ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：． （2）∵点A坐标为： ∴的中点M的坐标为 ∵点F为的中点， ∴平行x轴 设， ∴， 解得， ∴ 如图1，作轴，轴，垂足为点H、G，则 ∴， ∴ ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，反比例函数解析式的确定，平行线的判定与坐标的关系，熟练掌握反比例函数的性质，勾股定理是解题的关键． 2．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）如图，在中，顶点的坐标是．轴，一次函数与反比例函数的图象都经过、两点． (1)求的值； (2)求平行四边形的面积； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、利用平行四边形的性质求解、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题是反比例函数的综合题，求反比例函数解析式，主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，平行四边形的性质等知识，求出点B的坐标是解题的关键． （1）根据点D的纵坐标为1，可得点D的坐标，代入反比例函数解析式即可，把代入一次函数， （2）由（1）可得点B的坐标，从而得出E的坐标及的长，再由题意，求出，即可得出答案； （3）由图像可知一次函数位于反比例函数上侧时，进而得出答案． 【详解】（1）解：点的坐标是．轴， 点D的纵坐标为1． 一次函数图象经过D点， 令，解得． ， 将点代入反比例函数得：， ， 由题意，把代入一次函数，得： ， ； （2）由（1）可知． 四边形平行四边形， 的坐标是． 由（1）A的坐标是，， ． 平行四边形的面积等于． （3），， 由图像可知，一次函数位于反比例函数上侧时， 或． 3．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，点、分别在反比例函数和的图象上，四边形ABCO为平行四边形．    (1)m＝______；n＝______；点C的坐标为______． (2)求面积． (3)将平行四边形沿y轴向上平移，使点C落在反比例函数的图象上的D点，则图中两平行四边形重叠的阴影部分的面积为______． 【答案】(1)2，5， (2)3 (3) 【分析】（1）把、分别在反比例函数和代入即可； （2）根据平行四边形的面积公式计算即可； （3）求出E点坐标利用三角面积公式计算即可； 【详解】（1）把代入得 ， 把代入得 ∵、 ∴ ∴ ∴ 故答案为：2，5， （2）面积= （3）C往上平移后为D，设 ∵D是的图象上的点 ∴，即 ∴平行四边形沿y轴向上平移了个单位， 设的解析式为，代入 得，即的解析式为 如图：   当时，，则点 A到的距离、 ∴重叠的阴影部分的面积为= 故答案为 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，直线与双曲线的交点的求法. 压轴题型三　反比例函数与矩形的综合问题 例题：（2024·河南商丘·一模）如图，已知四边形是矩形，O为坐标原点，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数的图象交边于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，过点B的直线交反比例函数的图象于点E，交y轴于点F，若，求矩形的面积． 【答案】(1)； (2)矩形的面积为． 【分析】本题考查的是反比例函数与几何的综合，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，图形面积的计算． （1）利用待定系数法即可求解； （2）用表示出点和点的坐标，再求得的中点，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴点A，B的横坐标都是4， ∵直线过点B， ∴， ∴， 令，， ∴， ∵，即点E是的中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过点E， ∴， 解得． ∴， ∴矩形的面积为． 巩固训练 1．（2024·湖北十堰·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，点A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为，直线分别交，于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点P在x轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，矩形的性质等知识点的应用，主要考查学生应用性质进行计算的能力，题目比较好，难度适中． （1）求出，将代入求出，得出的坐标，把的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案； （2）求出四边形的面积，求出的值，即可求出的坐标． 【详解】（1），四边形是矩形， ， 将代入得：， ， 把的坐标代入得：， 反比例函数的解析式是； （2）把代入得：，即， ， 由题意得：， ， 点的坐标是或． 2．（2024·贵州贵阳·模拟预测）定义：如图，在平面直角坐标系中，点P 是第一象限内任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B．若矩形的周长与面积的数值相等，则称点 P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）判断：点______ “美好点”， ______ “美好点”；（选填“是”或“不是”） 【深入探究】 （2）我们从函数的角度研究“美好点”，已知点是“美好点”．求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； 【拓展延伸】 （3）对于任意一个“美好点”，代数式是否为定值?如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】（1）不是，是；（2）；（3）是定值， 【知识点】函数解析式、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，审清题意并理解“美好点”的含义是解题的关键． （1）验证矩形的周长与面积的数值是否相等，即验证横纵坐标的绝对值之和是否等于横纵坐标的绝对值的乘积； （2）根据点是第一象限内的“美好点”，利用“美好点”的定义即可求出y关于x的函数表达式； （3）将（2）中的关系式代入得出定值，从而得解． 【详解】解：（1）∵， ∴点不是“美好点”， ∵， ∴点不是“美好点”， 故答案为：不是，是 （2）∵点是“美好点”． ∴， ∴， 化简得：， ∵第一象限内的点的横坐标为正， ∴， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为：； （3）对于任意一个“美好点”，代数式为定值． ∵， ∴， ∴对于任意一个“美好点”，代数式为定值．定值为． 3．（2024·四川泸州·三模）矩形中，，，分别以、所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)当点F运动到边的中点时，求点E的坐标； (2)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，求此时反比例函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，点在函数的图象上，则的利用是解本题的关键． （1）首先确定点C坐标，再根据中点的定义求出点E坐标即可； （2）先作出辅助线判断出，再确定出点E，F坐标进而，，求出，最后用勾股定理建立方程求出k即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，，， ∴，，， ∵，即点F是的中点， ∴， 又∵反比例函数的图象过点F， ∴， ∵点E在上，且点E的纵坐标与点C相同，即点E的纵坐标为3， 当时，， 解得， ∴． （2）解：如图， 设将沿折叠后，点C恰好落在上的G点处， ∴，，， ∴， 过点E作于M，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时，，当时，， ∴点，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 在中，， 即：， ∴， ∴反比例函数表达式为． 4．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上．      (1)求的长度； (2)若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点； ①求该反比例函数解析式； ②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？ 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）由四边形是矩形，所以，，，由折叠可知，，，所以； （2）①由折叠可知，，在中，由勾股定理可得，，所以，解之可得，将点代入反比例函数解析式可得，； ②由待定系数法可得，，令，解得或，则；由折叠可知，，如图，延长至点，使得，则，连接交于点，点即为所求；利用待定系数法可得，，及直线的解析式，令，解得，则，时，的周长最小． 【详解】（1）解：，， ，， 四边形是矩形， ，，， ，， 关于折叠得到， ，， ； （2）①，， ， 由折叠可知，， 在中，， ， ， ， 关于的反比例函数图象经过点， ， 该反比例函数解析式为； ②设直线的解析式为：， ，， ， 解得， ， 令，解得或， ； ； 由折叠可知，， 如图，延长至点，使得，则， 连接交于点，点即为所求；    设直线的解析式为：， ，解得， ， 同理可得直线的解析式为：， 令，解得， ， ， 即时，的周长最小． 【点睛】本题属于反比例函数与一次函数交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，矩形的性质，勾股定理，折叠问题，轴对称求最值问题等相关知识，熟练掌握待定系数法是解题关键． 5．（23-24九年级下·广东汕头·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在坐标轴上，且，，反比例函数（）的图象与、分别交于点、，连结．    (1)如图2，连结、，当的面积为3时，① ；② ； (2)如图3，将沿翻折，当点的对称点恰好落在边上时，求的值． 【答案】(1)①  ② (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①根据三角形的面积公式和反比例函数的几何意义解答即可； ②根据解析式代入得出点和的坐标，进而利用三角形面积公式解答即可； （2）过点作轴于点，根据反比例函数的性质和折叠的性质以及相似三角形的判定和性质得出，进而解答即可. 【详解】（1）解：①的面积为， 即 ， ， 故答案为:； ②在矩形中, ， ∴反比例函数的解析式是：， ， 即点的纵坐标是， 令， 解得：， 同理，当时, ， ， ， ， ∴， 故答案为：； （2）过点作轴于点，则，   即点的纵坐标是， 令， 得: ， ， 同理可得，当 时, ， ， ， 由折叠的性质可知：，，， ， 轴， ， ， ，， ， 即 ， ， 轴, 是直角三角形， ， ， 解得：， 即的值为 ． 【点睛】此题是反比例函数的综合题，考查反比例函数的性质、折叠的性质和三角形的面积公式，关键是根据待定系数法得出解析式解答． 6．（23-24九年级上·湖南张家界·期末）如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，点的坐标为，是边上的一个动点（不与重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点，连接． (1)如图1，若点是的中点，求点的坐标； (2)如图2，若直线与轴，轴分别交于点，连接，求证：； (3)如图3，将沿折叠，点关于的对称点为点，当点不落在矩形外部时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由是的中点，求出，进而求解； （2）证明，即可求解； （3）当点在轴上时，的值最小；若点与点重合，则的值最大；若点与点重合，则，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，四边形是拒形， 轴，轴， ，是的中点， ， 双曲线经过点 ， ， ， 当时，， 点的坐标为． （2）证明：点、点都在双曲线上， ，、， 则，， 则，同理可得：， ，， ， ； （3）解：如图3，连接、交于点，交于点， ，， 随的增大而增大， 当点在轴上时，的值最小；若点与点重合，则的值最大， 垂直平分，， ， ，且 ， 解得：， 则点，， 则． 若点与点重合，则， 的取值范围是． 【点睛】本题考查了反比例函数综合运用，涉及到三角形相似、最值的确定等，确定的临界点是（3）中解题的关键． 7.（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）已知，矩形的A，B顶点分别在x轴，y轴上，反比例函数与矩形的，分别交于，，的面积为． (1)判断并证明直线与的关系． (2)求k的值． (3)若E，F分别为直线和反比例函数上的动点，M为中点，求的最小值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)6 (3) 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】（1）可表示出，，从而得出，，进而表示出和，进而得出，进而证得，从而，从而得出； （2）作于，可推出，从而，进一步得出结果； （3）取点，，则直线与直线关于O对称，连接，并延长交于H，连接，则，可得出当最小时，最小，作直线，交y轴与，且使与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，连接，作，则的最小值是的长，可设直线的解析式为：，由整理得，，从而得出，求得的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1， ，理由如下： ，矩形的A，B顶点分别在轴，y轴上，反比例函数与矩形的，分别交于D，C， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2， 作于G， ， ， ， ， ，（舍去）， ； （3）解：如图3， 取点，， 则直线与直线关于O对称， 连接，并延长交于，连接， 则， M是的中点， ， 当最小时，最小， 作直线，交y轴与Q，且使与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，连接，作， 当重合，重合， 则的最小值是的长， 直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 由整理得，， ， ，（舍去）， ， ，直线为， ∴，， ∴， ∴， 当最小时，最小，的最小值是的长， ． 【点睛】本题考查了求反比例函数和一次函数的解析式，函数图象的交点与方程（组）之间的关系，三角形中位线的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形的中位线． 压轴题型四　反比例函数与菱形的综合问题 例题：（23-24九年级下·河南周口·阶段练习）如图，菱形的边在y轴正半轴上，点B的坐标为．反比例函数的图象经过菱形对角线的交点D，设直线的解析式为．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求菱形的边长； (3)请结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数结合，反比例函数与几何图形结合，根据图像求不等式的解集，待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键． （1）根据点B的坐标，以及菱形的性质可求得点D的坐标，进而求得反比例函数的解析式； （2）过点B作轴于点E，在中利用勾股定理解题即可； （3）求出直线解析式，联立直线解析式与抛物线解析式求得交点坐标，进而结合函数图象求得不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵菱形的对角线交于点D， ∴ ∵点B的坐标为， ∴点D的坐标为， 又∵反比例函数经过点D， ∴， ∴； （2）解：过点B作轴于点E， 设，则，，    在中，，即， 解得：， ∴菱形的边长为； （3）∵点B的坐标为，， ∴点C的坐标为， 代入得：，解得：， ∴， 令，则， 解得：， 结合图象，不等式的解集为或． 巩固训练 1．（2024·河南开封·一模）如图，的顶点坐标分别为，，，反比例函数的图象经过点C． (1)求k的值． (2)点D在反比例函数的图象上，且于点E，，请说明四边形是菱形． (3)是否存在除点D外可与A，B，C三点共同组成菱形的点P？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，或 【分析】本题主要考查反比例函数的性质和菱形的判定和性质， 将点代入即可； 根据题意得轴，且轴，则有四边形是平行四边形，结合，那么四边形是矩形，由于，和即可判定； 根据点的坐标可求得，且点A和点C纵坐标相等，可设点，分以为对角线和以为对角线，列方程求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， ∴． （2）∵点A和点C的纵坐标都是， ∴轴． ∵， ∴轴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是菱形． （3）存在，点P的坐标为或． ∵，，， ∴，，， ∵点P与A，B，C三点共同组成菱形，点A和点C纵坐标相等， ∴可设点， 当菱形以为对角线，则，解得， 当菱形以为对角线，则，解得， 则，． 2．（2024·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，点在轴正半轴上，反比例函数的图象经过顶点． (1)若，，求反比例函数的解析式． (2)若菱形的面积为20，直接写出反比例函数的解析式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】 本题考查了菱形的性质，求反比例函数的解析式． （1）根据菱形的性质求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）设点的坐标为，利用菱形的性质得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：连接交于点， 由题意得，，， ∴， ∴点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过顶点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：连接交于点， 设点的坐标为， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵菱形的面积为20， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为． 3．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数点的图象相交于、两点，点在轴正半轴上，点，连接、、、、，四边形为菱形．    (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时的取值范围； (4)设点是直线上一动点，是否存在点，使，若存在，请直接写出满足条件点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为 (2)的面积为 (3)或 (4)点P的坐标为或 【分析】（1）由菱形的性质可知A、D关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函数解析式可求得和值； （2）联立一次函数与反比例函数的解析式即可求解； （3）根据图象求解即可； （4）根据菱形的性质可求得C点坐标，可求得菱形面积，设P点坐标为，根据条件可得到关于a的方程，可求得P点坐标． 【详解】（1）如图，连接，交x轴于点E，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入直线可得， 解得， 将代入反比例函数可得， 解得：； ∴一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为； （2）设与y轴相交于F， 当时，，即， 解，得 ，， ∴， ∴； （3）由图象可知，反比例函数值大于一次函数值时的取值范围为或； （4）∵， ∴， ∵， ∴， 设P点坐标为， 则， ∴， ∵， 当P在A的左侧时，， ∴， ∴， 当P在A的右侧时，， ∴， ∴， 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：菱形的性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点，坐标与图形性质，利用函数图象解不等式，利用了数形结合的思想，熟练掌握反比例函数性质是解本题的关键． 4．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，B两点． (1)______，______，点B坐标为______； (2)直接写出不等式的解集______； (3)已知轴，以，为边作菱形．求菱形的面积． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（1）先求出点A坐标，进而利用待定系数法求得k值，再根据两个函数的对称性质求得点B坐标； （2）根据图象，求得正比例函数图象位于反比例函数图象上方部分的点的横坐标取值范围即可； （3）先利用两点坐标距离公式求得，再根据坐标与图形性质，结合菱形性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入中，得， 解得， ∴， 将代入中，得， ∴， ∵反比例函数的图象与正比例函数的图象都关于原点对称， ∴点A、B关于原点对称，则， 故答案为：，，； （2）解：由图象可知，不等式的解集为或， 故答案为：或； （3）解：∵，， ∴, ∵轴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、菱形的性质、坐标与图形、两点坐标距离公式等知识，熟练掌握反比例函数与正比例函数的性质，运用数形结合思想求解是解答的关键． 压轴题型五　反比例函数与正方形的综合问题 例题：（23-24九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，四边形为正方形，点A的坐标为，点B的坐标为，反比例函数的图象经过点C，一次函数的图象经过点C和点A． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)写出的解集； (3)点P是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积的，求P点坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为；一次函数解析式为， (2)的解集是或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式，三角形的面积．运用数形结合思想以及方程思想是解题的关键． （1）先根据正方形的性质求出点C的坐标为，再将C点坐标代入反比例函数中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式；同理，将点A，C的坐标代入一次函数中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式； （2）解析式联立，求得M的坐标，然后根据图象即可求得； （3）设P点的坐标为，先由的面积恰好等于正方形的面积，列出关于x的方程，再将x的值代入反比例函数解析式，即可求出P点的坐标． 【详解】（1）解：正方形，，， ， ， 把代入得：， 反比例函数解析式为； 把，代入一次函数得： 解得， 一次函数解析式为， （2）解：联立， 解得：或 ， 由函数图象可得，的解集是：或； （3）解：设P点的坐标为， 解得：， 当时，； 当时，； 点的坐标为或 巩固训练 1．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，四边形为正方形．点A的坐标为，点B的坐标为，反比例函数的图象经过点C，一次函数的图象经过点A，C． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)点P是反比例函数图象上的一点，的面积恰好等于正方形的面积，求点P的坐标； (3)当时，根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）先根据正方形的性质求出点的坐标为，再将点坐标代入反比例函数中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式； 同理，将点的坐标代入中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式； （2）设点的坐标为，先由的面积恰好等于正方形的面积，列出关于的方程，解方程求出的值，再将的值代入即可求出点的坐标； （3）求得反比例函数和一次函数的交点坐标，根据图象即可求得． 【详解】（1）解：∵点的坐标为 点的坐标为， ， ∵四边形为正方形， ， ∴， 把代入中得：， ∴反比例函数解析式为：， 把代入 得： ，解得 ， ∴一次函数解析式为； （2）设， 的面积恰好等于正方形的面积， ， ， 解得或 ， 当时，， 当时，， ∴点坐标为或 ； （3）联立 ，解得： 或 ， 由函数图象可知当或 时，双曲线在直线的上方， ∴当 或 时, ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，运用方程思想是解题的关键． 2．（23-24九年级上·四川成都·期末）正方形的边长为4，交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示． (1)如图1，双曲线过点E，求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)如图2，将正方形向右平移个单位长度，是经过点E的双曲线与交于点P，当为等腰三角形时，求m的值． 【答案】(1)， (2)2或 【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数的性质，正方形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的性质和正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的边长可确定点的坐标，再利用正方形的性质得出点坐标，用待定系数法求出双曲线解析式即可； （2）根据点的坐标求出的长，再分三种情况讨论分别求出的值即可． 【详解】（1）正方形的边长为4，，交于点， ， 点是的中点， ， 将点坐标代入双曲线， 得， 解得， 双曲线的解析式为； （2）正方形边长为4， 由（1）知， ， ①当时， ，，，点、在反比例函数图象上， ， ； ②当时，点与点重合， ，，点、在反比例函数图象上， ， ； ③当时，点、不可能都在反比例函数图象上，故此情况不存在； 综上所述，满足条件的的值为2或． 3．（23-24九年级上·山东济宁·期末）正方形的边长为4，交于点．在点处建立平面直角坐标系如图所示． (1)如图1，双曲线过点，完成填空：点的坐标是______．点的坐标是______，双曲线的解析式是______． (2)如图2，将正方形向右平移个单位长度，使过点的双曲线与交于点．当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)满足条件的的值为2或 【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数的性质，正方形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的性质和正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的边长可确定点的坐标，再利用正方形的性质得出点坐标，用待定系数法求出双曲线解析式即可； （2）根据点的坐标求出的长，再分两种情况讨论分别求出的值即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为交于点， ∵点是的中点， 将点坐标代入双曲线， 得， 解得， ∴双曲线的解析式为； （2）∵正方形边长为4， 由（1）知， ①当时， ∵，点、在反比例函数图象上， ②当时，点与点重合， ∵，点、在反比例函数图象上， 综上所述，满足条件的的值为2或． 巩固训练 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$