第二十七章 反比例函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（冀教版）

第二十七章 反比例函数单元重点综合测试 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题每题3分，7~16小题每题2分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 2．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 3．已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．8 4．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则（   ） A． B． C． D． 5．已知反比例函数，下列结论正确的是（    ） A．图象必经过点 B．图象在第一、三象限内 C．随的增大而增大 D．若，则 6．已知反比例函数 ，当 时， 的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7．如图，反比例函数在第一象限，的面积是，则反比例函数中，是（   ） A． B． C．3 D． 8．若点，，都在反比侧函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．函数与在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 11．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D．或 12．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时， D．当时，I的取值范围是 13．如图是反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ）    A．常数 B．在每个象限内，随的增大而增大 C．若，在图象上，则 D．若在图象上，则也在图象上 14．如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点A在直线上运动．以A为顶点在第一象限内作矩形，使各边所在直线与坐标轴平行，且．若函数（）的图象同时经过矩形顶点B、D，则k的值为（   ） A． B． C． D．4 15．如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数y＝的图象上，轴于点，轴于点，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 16．宽度均为的矩形依次排列在轴上，第一个矩形的两边分别与轴、轴重合，第二个矩形的长是第一个矩形的二分之一，第三个矩形的长是第一个矩形的三分之一，第四个矩形的长是第一个矩形的四分之一，以此类推．若第个矩形的面积为，则经过每个矩形右上角顶点的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共3个小题，共10分；17小题2分，18~19小题各4分，每空2分，答案写在答题卡上） 17．直角坐标系内，如果函数的图象经过点，那么 ． 18．邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表： 每包的本数/本 10 20 40 包数/包 60 30 15 用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为 ，y与x成 比例关系． 19．如图，反比例函数的图象与矩形在第一家限相交于题图点，，，连接．记的面积分别为． （1）比较大小： （填“”、“”、“”）； （2）若，则的面积为 ． 三、解答题（本大题共7个小题，20~22小题各9分，23~24小题各10分，25小题12分，26小题13分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．已知反比例函数常数，． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 21．如图，一次函数的图象交反比例函数图象于，两点． (1)求m，n的值； (2)点E是轴上一点，且，求点的坐标； 22．已知点，在反比例函数的图象上，且横坐标分别为，，过点向轴作垂线段，过点向轴作垂线段，两条垂线段交于点，过点，分别作轴于，轴于． (1)若，，求点的坐标； (2)若，当点在直线上时，求的值． 23．如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过上的点D与交于点E，连接，若E是的中点． (1)求点D的坐标； (2)点F是边上一点，若和相似，求点F的坐标． 24．图中有一面墙（可利用的最大长度为），现打算用栅栏沿墙围成一个面积为的长方形花圃．设花圃与墙平行的一边栅栏长，与墙垂直的一边栅栏长为． (1)求关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围； (2)若栅栏总长度为122米，求的长； (3)若想使花圃是与墙垂直的一边的7.5倍，则花圃需要栅栏多少米？ 25．已知：如图，直线与函数的图像交于A，B两点，且与x，y轴分别交于C，D两点． (1)若直线与直线平行，且面积为2，求m的值； (2)若的面积是的面积的倍，过A作轴于E，过B作轴于F，与交于H点． ①求的值； ②求k与m之间的函数关系式． (3)若点P坐标为，在（2）的条件下，是否存在k，m，使得为直角三角形，且，若存在，求出k，m的值；若不存在，请说明理由． 26．如图1，已知点，，且a、b满足，的边与y轴交于点E，且E为中点，双曲线经过C、D两点．且． (1)求m和k的值； (2)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求出满足要求的所有点Q的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的度数为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 反比例函数单元重点综合测试 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题每题3分，7~16小题每题2分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等于即可判断该点在函数图象上，据此求解即可，掌握反比例函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数的图象一定经过的点是， 故选：． 2．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟知一般地，形如，其中是常数的函数叫做反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义解答即可． 【详解】解：A、不符合的形式，不是反比例函数，不符合题意； B、不符合的形式，不是反比例函数，不符合题意； C、不符合的形式，不是反比例函数，不符合题意； D、可化为，符合的形式，是反比例函数，符合题意， 故选：D． 3．已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．8 【答案】A 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查了反比例函数图象上的特征，根据点在反比例函数的图象上，代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：A． 4．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查反比例函数图象与性质求参数范围，当时，反比例函数的图象在第二、四象限，得到求解即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：若反比例函数的图象分布在第二、四象限， 则， 解得， 故选：A． 5．已知反比例函数，下列结论正确的是（    ） A．图象必经过点 B．图象在第一、三象限内 C．随的增大而增大 D．若，则 【答案】A 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，注意“在每一个象限”这几个字． 根据反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．凡是反比例函数图象上的点，横纵坐标之积进行分析即可． 【详解】解：A、因为，所以该反比例函数图象必经过点，选项正确，故本选项符合题意； B、反比例函数中的，则该函数图象位于第二、四象限，选项错误，故本选项不符合题意； C、反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大，故选项错误，不符合题意； D、当时，y的取值范围是，故选项错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 6．已知反比例函数 ，当 时， 的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键，即在中，当时，在每个象限内，y随x的增大而增大．利用反比例函数的增减性即可求得答案． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴当时，y随x的增大而增大， 当时，， ∴当时，， 故选：A． 7．如图，反比例函数在第一象限，的面积是，则反比例函数中，是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数中与几何图形面积的计算，根据题意，，由此即可求解． 【详解】解：根据反比例函数图象与几何图形的面积的关系可得，，且反比例函数图象在第一象限，即， ∴， 解得，， 故选：C ． 8．若点，，都在反比侧函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的特征．分别把A、B、C各点坐标代入反比例函数，求出的值，再根据比较大小，即可得到答案． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴，故D正确． 故选：D． 9．已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，过点作轴，过点作轴，根据值的几何意义，得到，，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值，即可． 【详解】解：过点作轴，过点作轴，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点与点分别在反比例函数与的图像上， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 10．函数与在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一次函数的图象、判断（画）反比例函数图象、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】直线与y轴交于点，可否定A，D选项； 再根据k的取值符号是否一致（时，直线与双曲线都经过第一、三象限；时，直线与双曲线都经过第二、四象限）可以否定C， 故选：B． 11．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出正比例函数，反比例函数，画出函数图象，结合函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为， ∴，， ∴正比例函数，反比例函数， 画出函数图象如图所示：    由图象可得：不等式的解集为或， 故选：B． 12．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时， D．当时，I的取值范围是 【答案】D 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，根据题意设I与R的函数关系式是，将代入关系式，求出反比例函数关系式再根据各选项的条件求出结论，即可判断是否正确，进而得到答案． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意， 当时，， ∵， ∴I随R增大而减小， ∴当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故A、C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 13．如图是反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ）    A．常数 B．在每个象限内，随的增大而增大 C．若，在图象上，则 D．若在图象上，则也在图象上 【答案】C 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、已知双曲线分布的象限，求参数范围、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是结合反比例函数的性质以及函数图象逐一分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉掌握反比例函数图象的有关知识是关键．结合函数图象逐一分析四个选项的对错，由此即可得出结论． 【详解】解：A、∵反比例函数y=的图象在第一三象限， ∴， ∴A错误，故本选项不符合题意； B、根据函数图象可得出：在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴B错误，故本选项不符合题意； C、根据函数图象可得出：在第三象限内，，在第一象限内，， ∵，， ∴， ∴C正确，故本选项符合题意； D、由反比例函数的对称性可知： 若在图象上，则在图象上， ∴D错误，故本选项不符合题意． 故选：C． 14．如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点A在直线上运动．以A为顶点在第一象限内作矩形，使各边所在直线与坐标轴平行，且．若函数（）的图象同时经过矩形顶点B、D，则k的值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质求线段长、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合，矩形的性质，先设，结合矩形的性质可得，，再结合反比例函数的性质可得答案． 【详解】解：∵第一象限内的点A在直线上运动． 设， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴，， ∵函数（）的图象同时经过矩形顶点B、D， ∴， 解得：， ∴， ∴； 故选：C 15．如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数y＝的图象上，轴于点，轴于点，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数的性质，比例系数的几何意义，连接，由反比例函数的性质可知，，由，即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， 由反比例函数的性质可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由两式解得， 则， 故选：． 16．宽度均为的矩形依次排列在轴上，第一个矩形的两边分别与轴、轴重合，第二个矩形的长是第一个矩形的二分之一，第三个矩形的长是第一个矩形的三分之一，第四个矩形的长是第一个矩形的四分之一，以此类推．若第个矩形的面积为，则经过每个矩形右上角顶点的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求反比例函数解析式、坐标与图形 【分析】本题主要考查了反比例函数解析式、坐标与图形的知识点，确定经过每个矩形右上角顶点的坐标为成为解题的关键． 先根据坐标与图形以及矩形的面积得到顶点的坐标为，然后根据反比例函数的特征即可解答． 【详解】解：由题意可知：第个矩形的宽为， ∵第个矩形的面积为， ∴第个矩形的高1， ∴经过每个矩形右上角顶点的坐标为， 根据题意可知：点所在的图像在双曲线上，即所在解析式为反比例函数解析式， ∴C选项的解析式符合题意． 故选C． 二、填空题（本大题共3个小题，共10分；17小题2分，18~19小题各4分，每空2分，答案写在答题卡上） 17．直角坐标系内，如果函数的图象经过点，那么 ． 【答案】/ 【知识点】求反比例函数解析式、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了三角函数的值，求反比例函数解析式，得到，代入函数解析式即可解答，熟练计算三角函数的值shi2解题的关键． 【详解】解：， ， 代入函数可得， 解得， 故答案为：． 18．邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表： 每包的本数/本 10 20 40 包数/包 60 30 15 用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为 ，y与x成 比例关系． 【答案】 反 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查由表格求反比例函数的解析式，解题的关键是掌握反比例函数的定义． 总本数=每包的本数×包数，总本数一定，即乘积一定，那么每包的本数和包数成反比例． 【详解】解：由表格可知：， ， y与x成反比例关系． 故答案为：，反． 19．如图，反比例函数的图象与矩形在第一家限相交于题图点，，，连接．记的面积分别为． （1）比较大小： （填“”、“”、“”）； （2）若，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． （1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为进行解答即可； （2）根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积进行解答即可． 【详解】（1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为， 故答案为： （2） ， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积． 故答案为： 三、解答题（本大题共7个小题，20~22小题各9分，23~24小题各10分，25小题12分，26小题13分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．已知反比例函数常数，． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1)； (2)点不在这个函数的图象上，理由见解析． 【知识点】求反比例函数解析式、由反比例函数值求自变量 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）求出当时，的值，再比较即可得出答案； 本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足其解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴； （2）当时， ∴这个解析式为， 当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 21．如图，一次函数的图象交反比例函数图象于，两点． (1)求m，n的值； (2)点E是轴上一点，且，求点的坐标； 【答案】(1)， (2)或． 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与-次函数的交点问题：也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察函数图象的能力． （1）把点代入中，求得n的值，即可求得反比例函数的解析式，进而把代入求得的解析式，即可求得m的值； （2）根据待定系数法即可求得直线的表达式，即可求得直线与y轴的交点，根据求得的面积，设E点的坐标为，根据得到关于的方程，解方程求得，从而求得E点的坐标． 【详解】（1）解：把点，代入中，得：， 反比例函数的解析式为， 将点代入得 ； （2）如图，设直线与y轴的交点为D， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得， 直线的表达式为， 当时，， D点的坐标为， ， 设E点的坐标为， ∵， ， 解得：， E点的坐标为或． 22．已知点，在反比例函数的图象上，且横坐标分别为，，过点向轴作垂线段，过点向轴作垂线段，两条垂线段交于点，过点，分别作轴于，轴于． (1)若，，求点的坐标； (2)若，当点在直线上时，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数，待定系数法求直线的解析式，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点解题的关键． （1）把，代入，得到、两点坐标，进而得到点坐标； （2）先表示出、两点的坐标，得到，，，再利用待定系数的法求得直线DE的解析式，最后把点坐标代入并结合即可得到答案． 【详解】（1）解：时， 时， 过点向轴作垂线段，过点向轴作垂线段，两条垂线段交于点 （2）解：如图 点，在反比例函数的图象上，且横坐标分别为， ， ，， 设直线的解析式为 则，解得 直线的解析式为 点在直线上 化简得． 把代入，整理，得 解得 23．如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过上的点D与交于点E，连接，若E是的中点． (1)求点D的坐标； (2)点F是边上一点，若和相似，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【知识点】利用相似求坐标、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合问题，矩形的性质，求反比例函数解析，相似三角形的性质等知识，掌握这些性质与分类讨论的思想是解题的关键． （1）先求出点E的坐标，求出反比例函数解析式，再求出当时，y的值，即可得出点D的坐标． （2）和相似可以分两种情况进行求解，①当若时，得求出，得出F点的坐标，②当时，可得求出，得出F点坐标． 【详解】（1）解：四边形是矩形 为的中点，点B的坐标为 点E的坐标为 点E在反比例函数上 ∴反比例函数的解析式为：， ∴当时，则 ∴点D的坐标为 （2）由（1）可得 为的中点 ①若时， 则 即： 点F的坐标为 ②若时， 则 即： 点F与点O重合 点F的坐标为 综上所述，点F的坐标为或 24．图中有一面墙（可利用的最大长度为），现打算用栅栏沿墙围成一个面积为的长方形花圃．设花圃与墙平行的一边栅栏长，与墙垂直的一边栅栏长为． (1)求关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围； (2)若栅栏总长度为122米，求的长； (3)若想使花圃是与墙垂直的一边的7.5倍，则花圃需要栅栏多少米？ 【答案】(1) (2) (3)花圃至少需要围栏米． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解分式方程、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解一元二次方程和分式方程，根据矩形的面积公式得出y与x的函数关系式是关键，注意结合实际取自变量的取值范围． （1）根据长方形面积公式列式求解即可； （2）根据栅栏总长度为122米列方程求解即可； （3）根据题意得到，然后代入求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵设花圃与墙平行的一边长，与墙垂直的一边长为，面积为， ∴ ∴ ∵可利用的最大长度为 ∴ ∴关于的函数表达式为； （2）解：∵栅栏总长度为122米 ∴ 整理得， 解得或120（舍去） 经检验，符合题意 ∴； （3）解：∵使花圃长是宽的倍 ∴ ∴代入得， ∴ ∴或（舍去） ∴ ∴ ∴花圃至少需要栅栏米． 25．已知：如图，直线与函数的图像交于A，B两点，且与x，y轴分别交于C，D两点． (1)若直线与直线平行，且面积为2，求m的值； (2)若的面积是的面积的倍，过A作轴于E，过B作轴于F，与交于H点． ①求的值； ②求k与m之间的函数关系式． (3)若点P坐标为，在（2）的条件下，是否存在k，m，使得为直角三角形，且，若存在，求出k，m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②m与k的关系式为（） (3)存在，，或， 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】（1）利用两直线平行得到，从而得到点，设点，根据的面积求出a的值，从而得到点A的坐标，根据待定系数法即可求出m的值； （2）①设，（其中，），由得到，根据三角形的面积公式可推出，而，即可求解； ②由得到，进而有，联立与得，根据根与系数的关系得到，，代入后得到，从而； （3）过点B作轴于点N，，可证明，根据相似三角形的性质得到，即，变形得到，利用得到，进而，由（2）有，，代入后得到，求解即可得到m，k的值，从而可解答． 【详解】（1）解：∵直线与直线平行， ∴， 对于直线，令，则， ∴， ∴， 设， ∵，即， ∴， ∴， ∵点在函数的图像上， ∴； （2）解： ①设，（其中，） ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ②对于直线，令，则， ∴， ∴， 由①有， ∴，即， 联立与得， ∴，， ∴，即， ∴m与k的关系式为（）． （3）解：存在k，m，使得为直角三角形，且． 过点B作轴于点N， 若，则 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即， 由（2）有，， ∴，解得，， 当时，； 当时，； ∴存在k，m，使得为直角三角形，且． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，涉及待定系数法，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的判定及性质，三角形的面积等，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的坐标特征和一次函数图像上点的坐标特征；会求反比例函数与一次函数的交点坐标，灵活运用根与系数的关系；会利用相似比计算线段的长． 26．如图1，已知点，，且a、b满足，的边与y轴交于点E，且E为中点，双曲线经过C、D两点．且． (1)求m和k的值； (2)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求出满足要求的所有点Q的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的度数为______． 【答案】(1), (2)点Q的坐标为：，， (3) 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题考查反比例函数与特殊四边形存在性问题，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及平行四边形和正方形的性质是解题的关键． （1）根据得到的值，进而得到的坐标， 再由点E为AD中点，，通过中点坐标公式得到的值，得到点坐标，将点代入即可得到k的值； （2）根据题意若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，可分①当为对角线时， ②当为对角线时，③当为对角线时三种情况讨论，即可得到所有点Q的坐标； （3）过点作于，作于，连接，根据正方形的性质易证得，进而得到是等腰直角三角形，故可得的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵E为中点，， ∴根据中点坐标公式可得：， 解得：， ∴， ∵在双曲线上， ∴． （2）解：若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形， ①当为对角线时， 根据中点坐标公式可得：，， 则有，， 解得：，， ∴，， ∴，， ②当为对角线时，同理可得，， ③当为对角线时，同理可得，； 综上所述：点Q的坐标为：，，． （3）解：过点作于，作于，连接，如图 ： ∵为正方形的对角线， ∴， ∴， ∵M是的中点，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$