第十五章 二次根式（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（冀教版）

第十五章 二次根式单元重点综合测试 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题每题3分，7~16小题每题2分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．下列各式中为二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，据此逐项判断即可求解，掌握二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：是二次根式，该选项符合题意； 、，式子无意义，该选项不合题意； 、是三次根式，该选项不合题意； 、，式子无意义，该选项不合题意； 故选：． 2．若二次根式有意义，则的值不可能是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，通过“二次根式的被开方数不小于0”列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：有意义 ∴ ∴ ∴可以为，，，不可能是 故选：D ． 3．下列二次根式中，可以与合并的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式、二次根式的加减运算 【分析】本题考查的是同类二次根式，掌握二次根式的性质、同类二次根式的概念是解题的关键．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，无法合并，故本选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，无法合并，故本选项不符合题意； C、，与不是同类二次根式，无法合并，故本选项不符合题意； D、，与是同类二次根式，能合并，故本选项符合题意； 故选：D 4．化简的结果为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 故选C． 5．估计的值应该在（   ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的乘法、二次根式的加减运算、不等式的性质 【分析】本题考查了二次根式的运算，无理数的估算，不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先计算得到结果为，再估算结果的大小即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，原选项计算错误； B、，原选项计算错误； C、，原选项计算正确； D、，原选项计算错误； 故选C． 7．若与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为（    ） A．7 B．9 C．2 D．1 【答案】D 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式，利用二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的被开方数相同即为同类二次根式求解即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，且 ∴， ∴， 故选：D． 8．下列各式①；②；③；④；⑤；其中一定是最简二次根式的有（   ） A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】此题考查最简二次根式，根据最简二次根式条件进行判断即可，熟记最简二次根式满足的条件即可正确解题． 【详解】解：①， 故①不符合题意； ②，故②不符合题意； ③，故③不符合题意； ④是最简二次根式，故④符合题意； ⑤是最简二次根式，故⑤符合题意； ∴最简二次根式的有两个， 故选：C． 9．化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．由已知可得，根据二次根式的性质化简． 【详解】解：∵有意义， ∴且， ， 故选：B． 10．若，则的结果是（ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、代数式求值等知识点，掌握二次根式的被开方数大于等于零成为解题的关键. 先根据二次根式的性质列方程组求得x的值，进而求得y的值，最后代入代数式计算即可. 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴，即， ∴. 故选A. 11．已知，，则的值为（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，先求出，，再根据完全平方公式的变形得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故选：A． 12．一组数据按一定规律排列：，，，，，，…，则这组数据的第项是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质等知识点，从数据中总结出一般规律是解题的关键． 由题干中数据总结规律即可． 【详解】解：第个数据为， 第个数据为， 第个数据为， 第个数据为， 第个数据为， 第个数据为， 则第个数据为， 故选：． 13．已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． 根据已知条件中的新定义，列出算式，进行二次根式的加减法即可； 【详解】解：∵， ∴ 故选：A 14．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（    ） A．7 B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简、实数与数轴 【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的性质．由数轴上a的位置确定a的取值范围，再进一步求出和的取值范围，然后化简求值． 【详解】解：由数轴可得， ∴，， ∴ ， 故选：A． 15．我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则属于 （    ） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 【答案】B 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】此题考查完全平方公式和二次根式的性质，先根据完全平方公式和二次根式的性质进行计算，再得出选项即可． 【详解】解：， ∴属于型无理数， 故选B． 16．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式应用，将和，代入关系式，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴； 故选C． 二、填空题（本大题共3个小题，共10分；17小题2分，18~19小题各4分，每空2分，答案写在答题卡上） 17．若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查分式和二次根式和分式有意义的条件；根据分式和二次根式的定有意义的条件列出不等式，即可得到答案． 【详解】解：代数式有意义的的取值范围是， 解得：， 故答案为：． 18．化简： （其中）， ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的性质的应用以及分母有理化，熟练掌握性质是解题的关键． 运用二次根式的性质和分母有理化化简即可． 【详解】解：∵， ∴； ； 故答案为：；． 19．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如： ，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索： ，则请你仿照小明的方法解决下列问题：若，则 a= ， b= ． 【答案】 2 1 【知识点】利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了二次根数的性质和化简，利用完全平方公式得到，从而得到的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：2，1． 三、解答题（本大题共7个小题，20~22小题各9分，23~24小题各10分，25小题12分，26小题13分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式性质和二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据完全平方公式和二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 21．已知 (1)填空： ________， ________； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查整式的混合运算，二次根式的混合运算， （1）根据已知条件，代入计算，结合二次根式的混合运算法则，乘法公式即可求解； （2）运用完全平方公式的变形，再把（1）中结果代入计算即可求解． 【详解】（1）解：， ∴，， 故答案为：； （2）解：， 由（1）可知， ∴原式． 22．已知满足． (1)求 的值； (2)试问以为边长能否构成三角形？若能构成，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 【答案】(1)，，． (2)能构成三角形，周长为 【知识点】三角形三边关系的应用、二次根式的加减运算、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根），熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质可求出的值； （2）根据，，，可得，即可根据三角形三边关系，得出以为边长能构成三角形，再把三角形三边相加即可求得周长． 【详解】（1）解：由题意得：，，， 解得：，，． （2）解：∵，，． ∴， ∵，， ∴， ∴以为边长能构成三角形， ∴此时三角形的周长为． 23．某市为做好2024年城市园林绿化工作，进一步改善城市生态环境，美化城市居住环境，提升人民群众获得感、幸福感，对市内绿地进行改建．如图，该市某公园有一块长方形绿地，为，为，绿地内有一块长方形花坛（即图中阴影部分），长为，宽为． (1)求长方形的周长； (2)图中的空白部分另作他用，需要40元的定期维护费，求定期维护的总费用． 【答案】(1)长方形的周长是 (2)定期维护的总费用为2360元 【知识点】二次根式的应用、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式性质，二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据长方形周长公式，列出算式，进行计算即可； （2）求出空白部分的面积，然后乘以40，求出结果即可． 【详解】（1）解：长方形的周长为： ， 答：长方形的周长是； （2）定期维护的总费用为： （元）． 答：定期维护的总费用为2360元． 24．若一个含根号的式子可以写成的平方（其中a，b，m，n都是整数，x为正整数），即，则称为完美根式．是的完美平方根、例如：因为，所以是的完美平方根． (1)已知是的完美平方根，求a的值； (2)已知是一个根式的完美平方根，求这个根式． 【答案】(1)； (2)这个根式为为． 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了新定义“完美根式”与“完美平方根”，正确理解新定义是解题关键． （1）根据完美平方根的定义，即可获得答案； （2）设这个根式为，根据完美根式的定义，可求得的值． 【详解】（1）解：∵是的完美平方根， ∴， ∴； （2）解：设这个根式为， 则是的完美平方根， ∴， ∴这个根式为为． 25．阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：， ． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式为______，的有理化因式为______均写出一个即可 (2)将下列各式分母有理化要求写出变形过程： ①； ②． (3)请计算下列式子要求写出计算过程． 计算：的结果． 【答案】(1)， (2)①；② (3) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】根据算术平方根的定义以及平方差公式进行计算即可； 分子、分母分别乘以即可； 分子、分母分别乘以即可； 根据分母有理化的方法将原式化为，再进行计算即可． 本题考查分母有理化，平方差公式以及二次根式的混合运算，掌握平方差公式的结构特征，二次根式混合运算的方法以及分母有理化因式的定义是正确解答的关键． 【详解】（1）解：， 的有理化因式可以为， ， 的有理化因式可以为， 故答案为：，； （2）①原式 ； 原式 ； （3）， ， 同理，， 原式 ． 26．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方，如 善于思考的小明进行了如下探索： 设（其中a，b，m，n均为正整数），则有，， 这样，小明找到了把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决问题： (1)当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______； (2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： ； (3)若且a，m，n 均为正整数，求a 的值． 【答案】(1)， (2)12，6，3，1（答案不唯一） (3)7或13 【知识点】二次根式的混合运算、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式等知识． （1）根据上面的例子，将，按完全平方展开，可得出答案； （2）由（1）可写出一组答案，不唯一； （3）将展开得出，由题意得，，再由a、m、n均为正整数，可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； 故答案为：，． （2）设， ∵， ∴，， 取，，则，， 故答案为： 12，6，3，1． （3）， ， ，， 、、均为正整数， ，，或，，； 的值为7或13． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 二次根式单元重点综合测试 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题每题3分，7~16小题每题2分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．下列各式中为二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．若二次根式有意义，则的值不可能是（   ） A． B． C．3 D．4 3．下列二次根式中，可以与合并的是 （   ） A． B． C． D． 4．化简的结果为（    ）． A． B． C． D． 5．估计的值应该在（   ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 6．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．若与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为（    ） A．7 B．9 C．2 D．1 8．下列各式①；②；③；④；⑤；其中一定是最简二次根式的有（   ） A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个 9．化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 10．若，则的结果是（ ）. A． B． C． D． 11．已知，，则的值为（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 12．一组数据按一定规律排列：，，，，，，…，则这组数据的第项是（     ） A． B． C． D． 13．已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 14．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（    ） A．7 B． C． D．无法确定 15．我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则属于 （    ） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 16．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共3个小题，共10分；17小题2分，18~19小题各4分，每空2分，答案写在答题卡上） 17．若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 18．化简： （其中）， ． 19．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如： ，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索： ，则请你仿照小明的方法解决下列问题：若，则 a= ， b= ． 三、解答题（本大题共7个小题，20~22小题各9分，23~24小题各10分，25小题12分，26小题13分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．计算： (1) (2) 21．已知 (1)填空： ________， ________； (2)求的值． 22．已知满足． (1)求 的值； (2)试问以为边长能否构成三角形？若能构成，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 23．某市为做好2024年城市园林绿化工作，进一步改善城市生态环境，美化城市居住环境，提升人民群众获得感、幸福感，对市内绿地进行改建．如图，该市某公园有一块长方形绿地，为，为，绿地内有一块长方形花坛（即图中阴影部分），长为，宽为． (1)求长方形的周长； (2)图中的空白部分另作他用，需要40元的定期维护费，求定期维护的总费用． 24．若一个含根号的式子可以写成的平方（其中a，b，m，n都是整数，x为正整数），即，则称为完美根式．是的完美平方根、例如：因为，所以是的完美平方根． (1)已知是的完美平方根，求a的值； (2)已知是一个根式的完美平方根，求这个根式． 25．阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：， ． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式为______，的有理化因式为______均写出一个即可 (2)将下列各式分母有理化要求写出变形过程： ①； ②． (3)请计算下列式子要求写出计算过程． 计算：的结果． 26．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方，如 善于思考的小明进行了如下探索： 设（其中a，b，m，n均为正整数），则有，， 这样，小明找到了把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决问题： (1)当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______； (2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： ； (3)若且a，m，n 均为正整数，求a 的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$