9.9 二项分布与超几何分布(Word练习)-【创新教程】2025年高考数学艺考生文化课总复习（新教材）

第9节　二项分布与超几何分布 1．(2024·邯郸市模拟)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于(　　) A.　　 B.　　　 C.　　 D. 解析：D　[P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－＝.故选D.] 2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　) A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 解析：A　[3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.] 3．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，则p＝(　　) A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 解析：B　[X～B(10，p)，所以10p(1－p)＝2.4，且Cp4(1－p)6<Cp6(1－p)4. 即，∴p＝0.6.] 4．(多选题)(2024·威海三模)下列说法正确的是(　　) A．已知随机变量ξ服从二项分布：ξ～B，设η＝2ξ＋1，则η的方差D(η)＝3 B．数据1,3,5,7,9,11,13的第60百分位数为7 C．若样本数据x1，x2，…，xn的平均数为3，则3x1＋1,3x2＋1，…，3xn＋1的平均数为10 D．用简单随机抽样的方法从51个样本中抽取2个样本，则每个样本被抽到的概率都是 解析：ACD　[对于A，易知D(ξ)＝4××＝，而η＝2ξ＋1，所以D(η)＝22×D(ξ)＝3.A正确；对于B，共有7个数据，而7×60%＝4.2，故第60百分位数为9，B错误；对于C，若样本数据x1，x2，…，xn的平均数为2，则3x1＋1,3x2＋1，…，3xn＋1的平均数为3×3＋1＝10，C正确；对于D，由古典概型可知：从51个体中抽取2个个体，每个个体被抽到的概率都是，D正确．] 5．(2024·广州市模拟)设事件A在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：C　[假设事件A在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验成功的概率为p，由题意得，事件A发生的次数X～B(3，p)，则有1－(1－p)3＝，得p＝，则事件A恰好发生一次的概率为C××2＝.故选C.] 6．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝____________. 解析：因为X～B(2，p)，所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C(1－p)2＝，解得p＝. 又Y～B(3，p)， 所以P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C(1－p)3＝. 答案： 7．(2024·济宁市三模)某学校门口现有2辆共享电动单车，8辆共享自行车．现从中一次性随机租用3辆，则恰好有2辆共享自行车被租用的概率为________． 解析：恰好有2辆共享自行车被租用的概率为P＝＝＝. 答案： 8.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为____________． 解析：记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A的对立事件为B，若小球落入B袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P(B)＝3＋3＝，从而P(A)＝1－P(B)＝1－＝. 答案： 9．(2024·石家庄市二模)为激发学生学习研究问题的积极性，某数学老师在所教的甲、乙两个实验班开展问题求解比赛．比赛分轮次进行，每轮比赛甲、乙两个实验班各派5人组成一个小组代表本班参赛，比赛规定：在规定的时间内求解同一个问题，若甲、乙两个实验班小组一个小组求解正确，另一个小组求解不正确，则求解正确的小组所在的实验班得10分，求解不正确的小组所在的实验班得－10分；若甲、乙两个实验班小组都求解正确或都不正确，则甲、乙两个实验班均得0分．根据平时两个班成绩的差异性，甲、乙两实验班的小组求解问题的正确率分别为和，且两个班的小组求解是否正确互不影响．一轮比赛中甲实验班的得分记为X. (1)求X的分布列与数学期望； (2)若一共进行了5轮比赛，求甲实验班至少有4轮不输给乙实验班的概率． 解：(1)依题意，X的所有可能取值为－10,0,10. P(X＝－10)＝×＝， P(X＝0)＝×＋＝， P(X＝10)＝×＝， 所以X的分布列为 X －10 0 10 P 所以E(X)＝(－10)×＋0×＋10×＝1. (2)在一轮比赛中记甲实验班不输给乙实验班为事件A， 则P(A)＝＋＝， 所以5轮比赛，甲实验班至少有4轮不输给乙实验班的概率为P＝C4×＋C5＝＋＝. 10．(2024·长沙市二模)2024年7月26日至8月11日将在法国巴黎举行夏季奥运会．为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运会知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛． (1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛，已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为X，求X的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)M大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励，奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元，假定每次抽奖中奖的概率均为p，且每次是否中奖相互独立． (ⅰ)记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为f(p)，求f(p)的极大值； (ⅱ)M大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1 120元，试求此时p的取值范围． 解：(1)X的可能取值为0,1,2， 则P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 记事件A：小王已经答对一题，事件B：小王未进入决赛， 则小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率P(B|A)＝＝＝. (2)(ⅰ)f(p)＝Cp(1－p)2＝3p3－6p2＋3p， 则f′(p)＝3(3p－1)(p－1)， 令f′(p)＝0，解得p＝或p＝1(舍)， 当p∈时，f′(p)＞0，当p∈时，f′(p)＜0，所以f(p)在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以当p＝时，f(p)有极大值，且f(p)的极大值为f＝. (ⅱ)由题可设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量Y，则Y的可能取值为60,120,180,360， P(Y＝60)＝(1－p)3， P(Y＝120)＝Cp(1－p)2， P(Y＝180)＝Cp2(1－p)， P(Y＝360)＝p3， 所以E(Y)＝60(1－p)3＋120Cp(1－p)2＋180Cp2(1－p)＋360p3＝60(2p3＋3p＋1)， 所以9E(Y)≥1 120， 即540(2p3＋3p＋1)≥1 120， 整理得2p3＋3p－≥0， 经观察可知p＝是方程2p3＋3p－＝0的根， 故2p3＋3p－＝2＋＋＝. 因为2p2＋p＋＞0恒成立， 所以由2p3＋3p－≥0，得p≥， 又p＜，所以p的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$