9.3 二项式定理(Word练习)-【创新教程】2025年高考数学艺考生文化课总复习（新教材）

第3节　二项式定理 1．在(x－2)8的展开式中，x7的系数为(　　) A．16　　　　　　　 B．－16 C．24 D．－24 解析：B　[(x－2)8的展开式的通项为Tr＋1＝C·x8－r·(－2)r，令8－r＝7，得r＝1. ∴在(x－2)8的展开式中，x7的系数为－2×C＝－16.故选B.] 2．设6的展开式中x3的系数为A，二项式系数为B，则＝(　　) A．4 B．－4 C．26 D．－26 解析：A　[Tk＋1＝Cx6－xk＝C(－2)2，令6－＝3，即k＝2，所以T3＝ C(－2)2x3＝60x3，所以x3的系数为A＝60，二项式系数为B＝C＝15，所以＝＝4.] 3．(2024·北京质检)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A．40 B．41 C．－40 D．－41 解析：B　[当x＝1时，1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0①；当x＝－1时，81＝a4－a3＋a2－a1＋a0②；①＋②得原式＝41.] 4．(多选题)二项式(2x－1)7的展开式的各项中，二项式系数最大的项是(　　) A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 解析：CD　[本题考查二项式系数的性质．因为二项式(2x－1)7展开式的各项的二项式系数为C(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，易知当k＝3或k＝4时，C最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第4项和第5项．故选CD.] 5．(多选题)(2024·济宁二模)若(2x－3)12＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a11(x－1)11＋a12(x－1)12，则(　　) A．a9＝5120 B．a0－a1＋a2＋…－a9＋a10－a11＋a12＝312 C．a1＋a2＋…＋a12＝－2 D.＋＋…＋＋＋＝－1 解析：BD　[(2x－3)12＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a11(x－1)11＋a12(x－1)12，令x－1＝t，则(2t－1)12＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a11t11＋a12t12，对于A，a9t9＝C(2t)9·(－1)3＝－112 640t9，∴a9＝－112 640，故A错误；对于B，令t＝－1，得a0－a1＋a2＋…－a9＋a10－a11＋a12＝312，故B正确；对于C，令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12＝1，令t＝0，则a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a12＝1－1＝0，故C错误；对于D，令t＝，得a0＋＋＋…＋＋＋＝0，所以＋＋…＋＋＋＝－a0＝－1，故D正确．故选BD.] 6．(2024·重庆二模)6的展开式中常数项为________． 解析：根据二项式的展开式：Tn＋1＝C·(－1)r·(2) (r＝0,1,2,3,4,5,6)；当r＝4时，常数项为60. 答案：60 7．(2024·重庆市调研)6的展开式中，常数项为________．(用数字作答) 解析：6的展开式的通项Tr＋1＝C(3x)6－rr＝，r＝0,1,2，…，6，令6－r＝0，得r＝4，所以其展开式中的常数项为32×(－1)4×C＝135. 答案：135 8．(2024·全国甲卷(理))10的展开式中，各项系数中的最大值为____________． 解析：10的展开式的通项为Tk＋1＝C10－k·xk，设第k＋1项的系数最大，则 解得≤k≤，因为k∈Z，所以k＝8 所以展开式中第9项的系数最大，为C2＝5. 答案：5 9．已知n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含的项． 解：由题意知，第五项系数为C·(－2)4， 第三项的系数为C·(－2)2，则有＝，化简得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)． (1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1. (2)通项公式Tr＋1＝C()8－rr ＝C(－2)r.令－2r＝，得r＝1，故展开式中含的项为T2＝. 10．已知fn(x)＝(1＋x)n. (1)若f2 018(x)＝a0＋a1x＋…＋a2 018x2 018，求a1＋a3＋…＋a2 015＋a2 017的值； (2)若g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)， 求g(x)中含x6项的系数． 解：(1)因为fn(x)＝(1＋x)n， 所以f2 018(x)＝(1＋x)2 018， 又f2 018(x)＝a0＋a1x＋…＋a2 018x2 018， 所以f2 018(1)＝a0＋a1＋…＋a2 018＝22 018，① f2 018(－1)＝a0－a1＋…＋a2 017＋a2 018＝0，② ①－②得2(a1＋a3＋…＋a2 015＋a2 017)＝22 018， 所以a1＋a3＋…＋a2 015＋a2 017＝22 017. (2)因为g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，所以g(x)＝(1＋x)6＋2(1＋x)7＋3(1＋x)8.g(x)中含x6项的系数为C＋2C＋3C＝99. 学科网（北京）股份有限公司 $$