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1．函数的定义域和值域 (1)求函数定义域的类型和相应方法 ①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围； ②若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集；反之，已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈[a，b])的值域． (2)常见函数的值域 ①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R； ②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：当a＞0时，值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))，当a<0时，值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))； ③反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}． 2．函数的奇偶性、周期性 (1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)． (2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期． 3．关于函数周期性、对称性的结论 (1)函数的周期性 ①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期； ②设f(x)是R上的偶函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期； ③设f(x)是R上的奇函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，4a是它的一个周期． (2)函数图象的对称性 ①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)， 即f(x)＝f(2a－x)， 则f(x)的图象关于直线x＝a对称； ②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)， 即f(x)＝－f(2a－x)， 则f(x)的图象关于点(a,0)对称； ③若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)， 则函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称． 4．函数的单调性 函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质． ①单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]， 那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔eq \f(fx1－fx2,x1－x2)＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． ②若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f(g(x))的单调性． 5．函数图象的基本变换 (1)平移变换 y＝f(x)eq \o(――→,\s\up17(h＞0，右移),\s\do15(h<0，左移))y＝f(x－h)， y＝f(x)eq \o(――→,\s\up17(k＞0，上移),\s\do15(k<0，下移))y＝f(x)＋k. (2)伸缩变换 y＝f(x)eq \o(――→,\s\up17(0<ω<1，伸),\s\do15(ω＞1，缩))y＝f(ωx)， y＝f(x)eq \o(――→,\s\up17(0<A<1，缩),\s\do15(A＞1，伸))y＝Af(x)． (3)对称变换 y＝f(x)eq \o(――→,\s\up17(x轴))y＝－f(x)， y＝f(x)eq \o(――→,\s\up17(y轴))y＝f(－x)， y＝f(x)eq \o(――→,\s\up17(原点))y＝－f(－x)． 6．准确记忆指数函数与对数函数的基本性质 (1)定点：y＝ax(a＞0，且a≠1)恒过(0,1)点； y＝logax(a＞0，且a≠1)恒过(1,0)点． (2)单调性：当a＞1时，y＝ax在R上单调递增；y＝logax在(0，＋∞)上单调递增； 当0<a<1时，y＝ax在R上单调递减；y＝logax在(0，＋∞)上单调递减． 7．函数与方程 (1)零点定义：x0为函数f(x)的零点⇔f(x0)＝0⇔(x0,0)为f(x)的图象与x轴的交点． (2)确定函数零点的三种常用方法 ①解方程判定法：解方程f(x)＝0； ②零点定理法：根据连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)<0，判断函数在区间(a，b)内存在零点． ③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解． [易错提醒] 1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则． 2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围． 3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替． 4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响． 5．准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y＝ax(a＞0，a≠1)的单调性容易忽视字母a的取值讨论，忽视ax＞0；对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)容易忽视真数与底数的限制条件． 6．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化． 　　　 导数 1．导数的几何意义 (1)f′(x0)的几何意义；曲线y＝f(x)在点x＝x0的导数就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． (2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上． 2．利用导数研究函数的单调性 求可导函数单调区间的一般步骤：①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)＞0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)＜0的解集确定函数f(x)的单调减区间． 3．利用导数研究函数的极值与最值 (1)求函数的极值的一般步骤：①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化； 若左正右负，则x0为极大值点； 若左负右正，则x0为极小值点； 若不变号，则x0不是极值点． (2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 4．与不等式有关的恒成立与存在性问题 (1)f(x)＞g(x)对一切x∈I恒成立⇔I是f(x)＞g(x)的解集的子集⇔[f(x)－g(x)]min＞0(x∈I)． (2)存在x0∈I使f(x)＞g(x)成立⇔I与f(x)＞g(x)的解集的交集不是空集⇔[f(x)－g(x)]max＞0(x∈I)． (3)对∀x1，x2∈D使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min. (4)对∀x1∈D1，∃x2∈D2使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min，f(x)定义域为D1，g(x)定义域为D2. 5．证明不等式问题 不等式的证明可转化为利用导数研究函数的单调性、极值和最值，再由单调性或最值来证明不等式，其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键． [易错提醒] 1．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”是不同的．前者只有一条，后者则可能有多条． 2．利用导数研究函数的单调性，首先确定函数的定义域． 3．已知单调性求参数时，应明确f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上是增函数的充分条件．当f(x)在(a，b)上是增函数时，应有f′(x)≥0恒成立(其中满足f′(x)＝0的x只有有限个)，否则答案不全面． 4．可导函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件． 　　　 三角函数与平面向量 1．“牢记”四组公式 (1)同角三角函数关系式 ①平方关系：sin2α＋cos2α＝1； ②商数关系：tan α＝eq \f(sin α,cos α). (2)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β). (3)二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)； cos2α＝eq \f(1＋cos 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cos 2α,2). (4)辅助角公式 asin α＋bcos α＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tan φ＝\f(b,a))). 2．三种三角函数的性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 单调性 在eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，)) eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)上单调递增；在eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，)) eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减 在eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，)) eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上单调递增 对称性 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z) 对称中心：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋kπ，0))(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z) 对称中心：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z) 3.三角函数的图象变换 4．正弦定理及其变形 eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R). a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 5．余弦定理及其推论、变形 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C. 推论：cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cos B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)， cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab). 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝ 2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C. 6．平面向量 (1)平面向量的两个充要条件 若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ①a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. ②a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (2)平面向量的三个性质 ①若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(x2＋y2). ②若A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12). ③若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角， 则cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))). ④|a·b|≤|a|·|b|. (3)三点共线的判定 三个点A，B，C共线⇔eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))共线； 向量eq \o(PA,\s\up16(→))，eq \o(PB,\s\up16(→))，eq \o(PC,\s\up16(→))中三终点A，B，C共线⇔存在实数α，β使得eq \o(PA,\s\up16(→))＝αeq \o(PB,\s\up16(→))＋βeq \o(PC,\s\up16(→))，且α＋β＝1. [易错提醒] 1．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围． 2．求函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω＜0时，需把ω的符号化为正值后求解． 3．三角函数图象变换中，注意由y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin (ωx＋φ)时，平移量为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω)))，而不是φ. 4．在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解． 5．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b. 6．a·b＞0是两个向量a，b夹角为锐角的必要不充分条件． 　 数列 1．等差数列 (1)基本公式：通项公式、前n项和公式． (2)项的性质：m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，am＋an＝ap＋aq，当p＝q时，am＋an＝2ap. (3)基本方法：①基本量法；②定义法证明数列{an}为等差数列，其他证明方法均为定义法的延伸；③函数方法处理等差数列的前n项和问题． 2．等比数列 (1)基本公式：通项公式、前n项和公式(公比等于1和不等于1)． (2)项的性质：m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，aman＝apaq，当p＝q时，aman＝aeq \o\al(2,p). (3)基本方法：①基本量法；②定义法证明数列{an}为等比数列，其他证明方法均为定义法的延伸． 3．数列求和的常用方法 (1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和． (2)形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和． (3)通项公式形如an＝eq \f(c,an＋b1an＋b2)(其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法求和． (4)通项公式形如an＝(－1)n·n或an＝a·(－1)n(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论． [易错提醒] 1．已知数列的前n项和求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．事实上，当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1. 2．运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论． 3．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项． 4．裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等， 如eq \f(1,nn＋2)≠eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋2)，而是eq \f(1,nn＋2)＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))). 　　　 不等式 1．一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)． 解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小． 2．一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0.)) (2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＜0.)) 3．基本不等式 (1)eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a＝b时取等号． (2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”、“定”、“等”的条件． [易错提醒] 1．求解形如ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的一元二次不等式时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，应分a＞0，a＜0进行讨论．在填空题中不等式的解集一定要写成集合或区间的形式． 2．使用基本不等式eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)时应注意“一正、二定、三相等”的条件，在多次使用基本不等式求最值时，应注意取“等号”的条件是否一致． 　　　 立体几何 1．平行、垂直关系的转化示意图 (1) (2)两个结论 ①eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b， ②eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))⇒b⊥α. 2．用空间向量证明平行垂直 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)．则有： (1)线面平行 l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (2)线面垂直 l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2. (3)面面平行 α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3. (4)面面垂直 α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0. 3．用向量求空间角 (1)直线l1，l2的夹角θ有cos θ＝|cos〈l1，l2〉|(其中l1，l2分别是直线l1，l2的方向向量)． (2)直线l与平面α的夹角θ有sin θ＝|cos〈l，n〉|(其中l是直线l的方向向量，n是平面α的法向量)． (3)平面α，β的夹角θ有cos θ＝|cos〈n1，n2〉|，则α－l－β二面角的平面角为θ或π－θ(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量)． [易错提醒] 1．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件． 2．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系． 3．几种角的范围： 两条异面直线所成的角0°＜α≤90°； 直线与平面所成的角0°≤α≤90°； 二面角0°≤α≤180°； 两条相交直线所成的角(夹角)0°＜α≤90°； 直线的倾斜角0°≤α＜180°； 两个向量的夹角0°≤α≤180°； 锐角0°＜α＜90°. 4．空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视法向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错． 　　　 解析几何 1．直线：直线的倾斜角和斜率、直线方程的四种特殊形式、直线方程的一般形式、两直线平行关系和垂直关系的判断、点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式． 2．圆：圆的定义、标准方程和一般方程、一般的二元二次方程表示圆的充要条件、直线与圆的位置关系(相交、相切、相离，距离判断方法)、圆与圆的位置关系(距离判断方法)． 3．圆锥曲线定义、标准方程和性质 名称 椭圆 双曲线 拋物线 定义 |PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|) ||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|) |PF|＝|PM|定点F不在直线l上，PM⊥l于M 标准 方程 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0) eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0) y2＝2px(p＞0) 图形 几 何 性 质 轴 长轴长2a，短轴长2b 实轴长2a，虚轴长2b 离心 率 e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))(0＜e＜1) e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))(e＞1) e＝1 渐近 线 y＝±eq \f(b,a)x 4.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长 |P1P2|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]) 或|P1P2|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2]). 5．拋物线y2＝2px(p＞0)，过焦点的弦AB有如下结论： (1)xA·xB＝eq \f(p2,4)； (2)yA·yB＝－p2； (3)|AB|＝eq \f(2p,sin2α)(α是直线AB的倾斜角)； (4)|AB|＝xA＋xB＋p. [易错提醒] 1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错． 2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等． 3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0. 4．圆的标准方程中，易误把r2当成r；圆的一般方程中忽视方程表示圆的条件． 5．易误认为两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解． 6．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a＜|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支． 7．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解． 　　　 计数原理 1．排列数、组合数的公式及性质 公式 ①Aeq \o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,n－m！) ②Ceq \o\al(m,n)＝eq \f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq \f(n！,m！n－m！) 性质 ①0！＝1；Aeq \o\al(n,n)＝n! ②Ceq \o\al(m,n)＝Ceq \o\al(n－m,n)；Ceq \o\al(m,n＋1)＝Ceq \o\al(m,n)＋Ceq \o\al(m－1,n) 2.二项式定理 (1)二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Ceq \o\al(0,n)an＋Ceq \o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq \o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \o\al(n,n)bn(n∈N*) 二项展开式 的通项公式 Tk＋1＝Ceq \o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项 二项式系数 二项展开式中二项式各项的系数Ceq \o\al(k,n)(k∈{0,1,2，…，n}) (2)二项式系数的性质 ①0≤k≤n时，Ceq \o\al(k,n)与Ceq \o\al(n－k,n)的关系是Ceq \o\al(k,n)＝Ceq \o\al(n－k,n). ②二项式系数先增后减中间项最大．当n为偶数时，第eq \f(n,2)＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，第eq \f(n＋1,2)项和eq \f(n＋3,2)项的二项式系数最大，最大值为 . ③各二项式系数和：Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋…＋Ceq \o\al(n,n)＝2n， Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋Ceq \o\al(4,n)＋…＝Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(3,n)＋Ceq \o\al(5,n)＋…＝2n－1. [易错提醒] 二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分．还要注意二项式系数与项的系数的区别与联系，同时明确二项式系数最大项与展开式系数最大项的不同． 　　　 概率与统计 1．概率的计算公式 (1)古典概型的概率计算公式 P(A)＝eq \f(事件A包含的基本事件数m,基本事件总数n). (2)互斥事件的概率计算公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (3)对立事件的概率计算公式 P(eq \o(A,\s\up16(－)))＝1－P(A)． 2．抽样方法 简单随机抽样、分层抽样． (1)从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，则每个个体被抽到的概率都为eq \f(n,N)； (2)分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量． 3．统计中的四个数据特征 (1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据． (2)中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数． (3)平均数：样本数据的算术平均数，即 eq \o(x,\s\up16(－))＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)． (4)方差与标准差 方差：s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \o(x,\s\up16(－)))2＋(x2－eq \o(x,\s\up16(－)))2＋…＋(xn－eq \o(x,\s\up16(－)))2]． 标准差：s ＝eq \r(\f(1,n)[x1－\o(x,\s\up16(－))2＋x2－\o(x,\s\up16(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up16(－))2]). 4．频率分布直方图的三个结论 (1)小长方形的面积＝组距×eq \f(频率,组距)＝频率． (2)各小长方形的面积之和等于1. (3)小长方形的高＝eq \f(频率,组距)，所有小长方形高的和为eq \f(1,组距). 5．经验回归方程 经验回归方程eq \o(y,\s\up16(^))＝eq \o(b,\s\up16(^))x＋eq \o(a,\s\up16(^))一定过样本点的中心(eq \o(x,\s\up16(－))，eq \o(y,\s\up16(－)))． 6．独立性检验 利用独立性检验来考查两个分类变量是否有关系，并且能较为准确地给出这种判断的可靠程度，具体的做法是根据观测数据计算，由公式2＝eq \f(nad－bc2,a＋ba＋cb＋dc＋d)所给出的检验随机变量2的观测值xα，并且xα的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性就越大． 7．八组公式 (1)离散型随机变量的分布列的两个性质 ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. (2)数学期望公式 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn. (3)数学期望的性质 ①E(aX＋b)＝aE(X)＋b； ②若X～B(n，p)，则E(X)＝np； ③若X服从两点分布，则E(X)＝p. (4)方差公式 D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2·pn，标准差＝eq \r(DX). (5)方差的性质 ①D(aX＋b)＝a2D(X)； ②若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)； ③若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． (6)独立事件同时发生的概率计算公式 P(AB)＝P(A)P(B)． (7)独立重复试验的概率计算公式 Pn(k)＝Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k. (8)条件概率公式 P(B|A)＝eq \f(PAB,PA). 8．正态分布 如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．满足正态分布的三个基本概率的值是：①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 7；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 5；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 3. [易错提醒] 1．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件． 2．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错． 3．要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别 (1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生． (2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)． 4．易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的数学期望和方差公式计算致误． $$