9.9 二项分布与超几何分布（课件PPT）-【创新教程】2025年高考数学艺考生文化课总复习（新教材）

第9节　二项分布与超几何分布 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 夯实 必备知识 跃升 关键能力 01 02 课时作业 04 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 课程标准 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念． 2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布．能解决一些简单的实际问题． 3．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用. 核心素养 1.条件概率的学习，达成逻辑推理和数学建模的素养． 2．相互独立事件同时发生的概率，增强逻辑推理和数学建模的素养． 3．独立重复试验与二项分布，提升数学建模、逻辑推理和数学运算的素养． 4．超几何分布，增强数据分析、逻辑推理和数学抽象的素养. 考情聚焦 　　新高考中明确表示要加大对数学应用的考查，二项分布与超几何分布是高考考查的重点之一.2025年的高考预计对独立重复试验与二项分布及超几何分布的应用的考查有所突破．题型多以解答题为主，难度不会太大，属于中档题型. [必备知识] 1．伯努利试验 (1)伯努利试验：把只包含　两个　可能结果的试验叫做伯努利试验．我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为　n重伯努利试验　. (2)n重伯努利试验的特征： ①同一个伯努利试验重复做　n　次；②各次试验的结果　相互独立　. 2．二项分布 (1)定义：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,n)　pk(1－p)n－k　，k＝0,1,2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作　X～B(n，p)　. (2)二项分布的均值与方差：如果X～B(n, p)，那么E(X)＝　np　，D(X)＝　np(1－p)　. 3．超几何分布 (1)如果P(A)＝p，则P(eq \o(A,\s\up16(－)))＝1－p，那么X的分布列如表所示， X 0 1 P 　1－p　 　p　 我们称X服从　两点　分布或　0－1　分布并称p＝p(X＝1)为成功概率．实际上，X为在一次试验中成功(事件A发生)的次数(0或1)． (2)超几何分布 一般地，假设一批产品共　N　件，其中有　M　件次品，从N件产品中随机抽取　n　件(不放回)，用X表示抽取的　n　件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝eq \f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r， 其中n，M，N∈N*，M≤N ，n≤N ，m＝max{0, n－N＋M}，r＝mineq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(M，n)). 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． (3)服从超几何分布的随机变量的均值 设随机变量X服从超几何分布，则X表示从包含M件次品的N件产品中不放回地随机抽取n件产品中的次品数，令p＝eq \f(M,N)，则p是N件产品的次品率，则E(X)＝　np　. 1.A，B中至少有一个发生的事件为A∪B. 2．A，B都发生的事件为AB. 3．A，B都不发生的事件为eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)). 4．A，B恰有一个发生的事件为(Aeq \o(B,\s\up16(－)))∪(eq \o(A,\s\up16(－))B)． 5．A，B至多一个发生的事件为(Aeq \o(B,\s\up16(－)))∪(eq \o(A,\s\up16(－))B)∪(eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)))． [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)．(　　) (2)某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p)．(　　) (3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生次数的概率分布．(　　) (4)小王通过英语听力测试的概率是eq \f(1,3)，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P＝Ceq \o\al(1,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))3－1＝eq \f(4,9).(　　) (5)如果随机变量X的分布列由下表给出： X 2 5 P 0.3 0.7 则它服从二点分布．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　 (5)× [小题查验] 1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　　 ) A．0　　　　　　　　　 B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3) 解析：C　[设失败率为p，则成功率为2p，X的分布列为 X 0 1 P p 2p 即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功． ∴由p＋2p＝1，得p＝eq \f(1,3)，故应选C.] 2．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则E(X)等于(　　) A.eq \f(3,5) B.eq \f(8,15) C.eq \f(14,15) D．1 解析：A　[方法一：X的可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝eq \f(C\o\al(2,7),C\o\al(2,10))＝eq \f(7,15)，P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(1,7)C\o\al(1,3),C\o\al(2,10))＝eq \f(7,15)，P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))＝eq \f(1,15).所以E(X)＝1×eq \f(7,15)＋2×eq \f(1,15)＝eq \f(3,5)；方法二：从10产品中任取一件为次品的概率是p＝eq \f(3,10)，由于X服从超几何分布，故E(X)＝np＝2×eq \f(3,10)＝eq \f(3,5).] 3．(2024·威海市5月质检)设随机变量X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,4)))，Y＝2X＋1，若E(Y)＝4，则n＝____________. 解析：依题意，得E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝4， 所以E(X)＝eq \f(3,2)，所以E(X)＝n×eq \f(1,4)＝eq \f(3,2)，得n＝6. 答案：6 考点一　相互独立事件同时发生的概率(师生共研) [典例]　甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为eq \f(2,5)，eq \f(3,4)，eq \f(1,3)，且各自能否被选中互不影响． (1)求3人同时被选中的概率； (2)求3人中至少有1人被选中的概率． [解]　记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C， 则P(A)＝eq \f(2,5)，P(B)＝eq \f(3,4)，P(C)＝eq \f(1,3). (1)3人同时被选中的概率 P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,10). (2)3人中有2人被选中的概率 P2＝P(ABeq \x\to(C)∪Aeq \x\to(B)C∪eq \x\to(A)BC)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq \f(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(23,60). 3人中只有1人被选中的概率 P3＝P(Aeq \x\to(B) eq \x\to(C)∪eq \x\to(A)Beq \x\to(C)∪eq \x\to(A) eq \x\to(B)C)＝eq \f(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq \f(1,3)＝eq \f(5,12). 故3人中至少有1人被选中的概率为eq \f(1,10)＋eq \f(23,60)＋eq \f(5,12)＝eq \f(9,10). 1．求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解； (2)正面计算较繁琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算，即正难则反的思想方法； 2．已知两个事件A、B相互独立，它们的概率分别为P(A)、P(B)，则有 事件 表示 概率 A、B恰有一个发生 (Aeq \x\to(B))∪(eq \x\to(A)B) P(A)P(eq \x\to(B))＋P(eq \x\to(A))P(B) A、B中至少有一个发生 (Aeq \x\to(B))∪(eq \x\to(A)B)∪(AB) P(A)P(eq \x\to(B))＋P(eq \x\to(A))P(B)＋P(A)P(B) A、B中至多有一个发生 (Aeq \x\to(B))∪(eq \x\to(A)B)∪(eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)) ) P(A)P(eq \x\to(B))＋P(eq \x\to(A))P(B)＋P(eq \x\to(A))P(eq \x\to(B)) [跟踪训练] (2024·枣庄模拟)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分． 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 解：(1)随机变量X所有可能取值为：0,20,100. P(X＝0)＝1－0.8＝0.2；P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32；P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，故随机变量X的分布列如下： X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 (2)设小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分． 故随机变量Y的所有可能取值为：0,80,100. P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4；P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12；P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48. 故E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6. 由(1)知E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4. 因为E(Y)＞E(X)，故应先回答B类问题． 考点二　独立重复试验与二项分布(师生共研) [典例]　甲、乙、丙均两次参加英语高考，取两次成绩中较高的为最终成绩，三人第一次成绩不低于130分的概率依次为eq \f(1,4)、eq \f(1,3)、eq \f(1,2).甲若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为eq \f(2,3)，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为eq \f(1,3)；乙若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为eq \f(1,4)，若第一次成绩 在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为eq \f(1,2)；丙第二次成绩不受第一次成绩的影响，不低于130分的概率为eq \f(2,3). (1)设A为事件“甲的英语高考最终成绩不低于130分”，B为事件“乙的英语高考最终成绩不低于130分”，C为事件“丙的英语高考最终成绩不低于130分”，分别求出事件A、事件B、事件C发生的概率； (2)设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为X，求X的分布列与数学期望． [解]　(1)甲、乙、丙均两次参加英语高考，取两次成绩中较高的为最终成绩，三人第一次成绩不低于130分的概率依次为eq \f(1,4)、eq \f(1,3)、eq \f(1,2). 甲若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为eq \f(2,3)，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为eq \f(1,3)； 乙若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为eq \f(1,4)，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为eq \f(1,2)； 丙第二次成绩不受第一次成绩的影响，不低于130分的概率为eq \f(2,3). 设A为事件“甲的英语高考最终成绩不低于130分”， 事件A发生的概率P(A)＝eq \f(1,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))×eq \f(1,3)＝eq \f(1,2)， B为事件“乙的英语高考最终成绩不低于130分”， 事件B发生的概率P(B)＝eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,2)＝eq \f(2,3)， C为事件“丙的英语高考最终成绩不低于130分”， 事件C发生的概率P(C)＝eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \f(2,3)＝eq \f(5,6). (2)设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为X，则X的可能取值为0,1,2,3， P(X＝0)＝P(eq \x\to(A) eq \x\to(B) eq \x\to(C))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,36)， P(X＝1)＝P(eq \x\to(A) eq \x\to(B)C＋eq \x\to(A)Beq \x\to(C)＋Aeq \o(B,\s\up16(－)) eq \o(C,\s\up16(－))) ＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(5,6)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,6)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,6)＝eq \f(8,36)， P(X＝2)＝P(eq \x\to(A)BC＋Aeq \x\to(B)C＋ABeq \x\to(C)) ＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(5,6)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(5,6)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,6)＝eq \f(17,36)， P(X＝3)＝P(ABC)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(5,6)＝eq \f(10,36)， ∴X的分布列为： X 0 1 2 3 P eq \f(1,36) eq \f(8,36) eq \f(17,36) eq \f(10,36) 数学期望E(X)＝0×eq \f(1,36)＋1×eq \f(8,36)＋2×eq \f(17,36)＋3×eq \f(10,36)＝2. 二项分布的期望与方差 (1)如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量． (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)． [跟踪训练] (2023·西安模拟)一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为[5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]，由此得到样本的重量频率分布直方图(如图)． (1)求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值； (2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5,15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望(以直方图中的频率作为概率)． 解：(1)由题意，得(0.02＋0.032＋a＋0.018)×10＝1，解得a＝0.03. 由频率分布直方图可估计盒子中小球重量的众数为20克， 而50个样本中小球重量的平均值eq \x\to(x)＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克)． 故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值为24.6克． (2)该盒子中小球重量在[5,15]内的概率为eq \f(1,5)， 则X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,5))).X的可能取值为0,1,2,3， 则P(X＝0)＝Ceq \o\al(0,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))0×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))3＝eq \f(64,125)， P(X＝1)＝Ceq \o\al(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2＝eq \f(48,125)， P(X＝2)＝Ceq \o\al(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2×eq \f(4,5)＝eq \f(12,125)，P(X＝3)＝Ceq \o\al(3,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))0＝eq \f(1,125). ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(64,125) eq \f(48,125) eq \f(12,125) eq \f(1,125) ∴E(X)＝0×eq \f(64,125)＋1×eq \f(48,125)＋2×eq \f(12,125)＋3×eq \f(1,125)＝eq \f(3,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或者EX＝3×\f(1,5)＝\f(3,5))). 考点三　超几何分布(师生共研) [典例]　在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X)． [解]　(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M， 则P(M)＝eq \f(C\o\al(4,8),C\o\al(5,10))＝eq \f(5,18). (2)由题意知X可取的值为：0,1,2,3,4，则 P(X＝0)＝eq \f(C\o\al(5,6),C\o\al(5,10))＝eq \f(1,42)，P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,4),C\o\al(5,10))＝eq \f(5,21)， P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(3,6)C\o\al(2,4),C\o\al(5,10))＝eq \f(10,21)，P(X＝3)＝eq \f(C\o\al(2,6)C\o\al(3,4),C\o\al(5,10))＝eq \f(5,21)， P(X＝4)＝eq \f(C\o\al(1,6)C\o\al(4,4),C\o\al(5,10))＝eq \f(1,42).因此X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P eq \f(1,42) eq \f(5,21) eq \f(10,21) eq \f(5,21) eq \f(1,42) X的数学期望是E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0＋1×eq \f(5,21)＋2×eq \f(10,21)＋3×eq \f(5,21)＋4×eq \f(1,42)＝2. 1．超几何分布的两个特点 (1)超几何分布是不放回抽样问题． (2)随机变量为抽到的某类个体的个数． 2．超几何分布的特征：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布． 3．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型． [跟踪训练] 21世纪汽车博览会于2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 8 12 米色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机抽一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B为取到的模型是米色内饰，求P(B)，P(B|A)，并据此判断事件A，B是否相互独立． (2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中抽两个汽车模型．现做出如下假设： 假设1.抽取的情况有三种可能，外观和内饰均同色、外观和内饰均异色、外观和内饰有一个同色； 假设2.一等奖为600元，二等奖为300元，三等奖为150元； 假设3.按抽到的结果的概率大小，概率越小，奖金越高． 请你帮该公司判断哪种情况分别为一、二、三等奖．设奖金为X，写出X的分布列，并求X的期望． 解：(1)红色外观共8＋2＝10个， ∴P(A)＝eq \f(10,25)＝eq \f(2,5)， 米色内饰共2＋3＝5个，∴P(B)＝eq \f(5,25)＝eq \f(1,5)， 红色外观且米色内饰有2个，P(AB)＝eq \f(2,25)， ∴P(B|A)＝eq \f(PBA,PA)＝eq \f(\f(2,25),\f(2,5))＝eq \f(1,5) ∵P(B)＝P(B|A)，∴A，B相互独立． (2)当外观和内饰均同色，则每种情况中抽2个，概率为eq \f(C\o\al(2,8)＋C\o\al(2,12)＋C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,25))＝eq \f(49,150)， 当外观和内饰均异色，则各种情况抽1个，概率为eq \f(C\o\al(1,8)C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,12),C\o\al(2,25))＝eq \f(48,300)＝eq \f(4,25)， 外观和内饰恰有1个同色，则概率为eq \f(C\o\al(1,8)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,12)C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,8)C\o\al(1,12)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(2,25))＝eq \f(154,300)＝eq \f(77,150)， ∵eq \f(4,25)＜eq \f(49,150)＜eq \f(77,150)， ∴一等奖：外观和内饰均异色； 二等奖：外观和内饰均同色； 三等奖：外观和内饰恰有1个同色． ∴P(X＝600)＝eq \f(4,25)，P(X＝300)＝eq \f(49,150)， P(X＝150)＝eq \f(77,150)， 其分布列为 X 150 300 600 P eq \f(77,150) eq \f(49,150) eq \f(4,25) ∴E(X)＝600×eq \f(4,25)＋300×eq \f(49,150)＋150×eq \f(77,150)＝271. $$