9.8 离散型随机变量的分布列及均值与方差（课件PPT）-【创新教程】2025年高考数学艺考生文化课总复习（新教材）

第8节　离散型随机变量的分布列及均值与方差 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 夯实 必备知识 跃升 关键能力 01 02 课时作业 04 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 课程标准 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性． 2．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念． 3．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题 核心素养 1.离散型随机变量的分布列，达成数据分析、逻辑推理和数学抽象的素养． 2．离散型随机变量的期望与方差，增强数据分析、逻辑推理和数学运算的素养. 考情聚焦 　　2025年的高考预计与分布列相结合，考查期望、方差，通过设置密切贴近现实生活的场景，考查概率思想的应用意识和创新意识．一般以解答题形式出现，难度中等 [必备知识] 1．离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为　随机变量　，所有取值可以一一列出的随机变量，称为　离散型　随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 xn x1 x2 … xi … P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的　概率分布列　. (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②　p1＋p2＋…＋pn　＝1 3．离散型随机变量X的均值与方差 (1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望． (2)方差：称D(X)＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称其算术平方根eq \r(DX)为随机变量X的标准差． (3)均值与方差的性质：①E(aX＋b)＝aE(X)＋b. ②D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数) 1．随机变量的线性关系 若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量． 2．分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值． (2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率． [自主诊断] [思考辨析] 断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)随机试验所有可能的结果是明确的，并且不止一个．(　　) (2)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出．(　　) (3)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．(　　) (4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ [小题查验] 1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球，则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是(　　) A．ξ＝4　　　　　　 B．ξ＝5 C．ξ＝6 D．ξ≤5 解析：C　[“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6. 故选C.] 2．已知某离散型随机变量X的分布列如下表，则随机变量X的方差D(X)等于(　　 ) X 0 1 P m 2m A.eq \f(1,9)　　 B.eq \f(2,9)　　　 C.eq \f(1,3)　　 D.eq \f(2,3) 解析：B　[由已知得m＋2m＝1得m＝eq \f(1,3)，由于X服从两点分布，所以D(X)＝m·2m＝eq \f(2,9).] 3．(2024·浙江诊断性检测)现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝____________，E(ξ)＝____________. 解析：P(ξ＝2)＝eq \f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4)＋C\o\al(1,4),C\o\al(3,7))＝eq \f(16,35). ξ的所有可能取值为1,2,3,4. P(ξ＝1)＝eq \f(C\o\al(2,6),C\o\al(3,7))＝eq \f(15,35)，P(ξ＝2)＝eq \f(16,35)，P(ξ＝3)＝eq \f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,7))＝eq \f(3,35)，P(ξ＝4)＝eq \f(C\o\al(2,2),C\o\al(3,7))＝eq \f(1,35)， 故E(ξ)＝1×eq \f(15,35)＋2×eq \f(16,35)＋3×eq \f(3,35)＋4×eq \f(1,35)＝eq \f(12,7). 答案：eq \f(16,35)　eq \f(12,7) 考点一　离散型随机变量的分布列的性质(自主探究) 1．设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X －1 0 1 P eq \f(1,3) 2－3q q2 则q的值为(　　) A．1　　　　　　　　 B.eq \f(3,2)±eq \f(\r(33),6) C.eq \f(3,2)－eq \f(\r(33),6) D.eq \f(3,2)＋eq \f(\r(33),6) 解析：C　[由分布列的性质知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2－3q≥0，,q2≥0，,\f(1,3)＋2－3q＋q2＝1，))解得q＝eq \f(3,2)－eq \f(\r(33),6).] 2．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝eq \f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＜X＜\f(5,2)))的值为____________． 解析：由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1×2)＋\f(1,2×3)＋\f(1,3×4)＋\f(1,4×5)))×a＝1，知eq \f(4,5)a＝1，得a＝eq \f(5,4). 故Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＜X＜\f(5,2)))＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq \f(1,2)×eq \f(5,4)＋eq \f(1,6)×eq \f(5,4)＝eq \f(5,6). 答案：eq \f(5,6) 3．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m (1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列； (2)求随机变量η＝|X－1|的分布列； (3)求随机变量ξ＝X2的分布列． 解：(1)由分布列的性质知， 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3. 首先列表为 X 0 1 2 3 4 2X＋1 1 3 5 7 9 从而Y＝2X＋1的分布列为 Y 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)列表为 X 0 1 2 3 4 |X－1| 1 0 1 2 3 ∴P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1， P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3， P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3. 故η＝|X－1|的分布列为 η 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 (3)首先列表为 X 0 1 2 3 4 X2 0 1 4 9 16 从而ξ＝X2的分布列为 ξ 0 1 4 9 16 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 离散型随机变量的分布列的性质的应用 (1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值； (2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率； (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确． 考点二　离散型随机变量的分布列(师生共研) [典例]　已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)． 解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)＝eq \f(A\o\al(1,2)A\o\al(1,3),A\o\al(2,5))＝eq \f(3,10). (2)X的可能取值为200,300,400. P(X＝200)＝eq \f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,5))＝eq \f(1,10)，P(X＝300)＝eq \f(A\o\al(3,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2),A\o\al(3,5))＝eq \f(3,10)， P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－eq \f(1,10)－eq \f(3,10)＝eq \f(6,10).故X的分布列为 X 200 300 400 P eq \f(1,10) eq \f(3,10) eq \f(6,10) E(ξ)＝200×eq \f(1,10)＋300×eq \f(3,10)＋400×eq \f(6,10)＝20＋90＋240＝350. 求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列． 提醒：求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识． [跟踪训练] (2024·赣州市模拟)某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100 m跑项目．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为eq \f(3,4)；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为eq \f(2,3)和eq \f(3,4)；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为p和eq \f(3,2)－p，其中eq \f(1,2)＜p＜eq \f(3,4). (1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为eq \f(29,72)，求p的值； (3)在(2)的条件下，设进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列． 解：(1)甲进入决赛的概率为p1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝eq \f(9,16)，乙进入决赛的概率为p2＝eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(1,2)，丙进入决赛的概率为p3＝peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－p))＝－p2＋eq \f(3,2)p＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p－\f(3,4)))2＋eq \f(9,16)，而eq \f(1,2)＜p＜eq \f(3,4)，故p3＜eq \f(9,16)，所以，甲进入决赛的可能性最大． (2)甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为 eq \f(9,16)×eq \f(1,2)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－p))))＋eq \f(9,16)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－p))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(9,16)))×eq \f(1,2)×peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－p))＝eq \f(29,72)，整理可得18p2－27p＋10＝0，因为eq \f(1,2)＜p＜eq \f(3,4)，解得p＝eq \f(2,3). (3)由题意可知，甲、乙、丙进入决赛的概率分别为eq \f(9,16)、eq \f(1,2)、eq \f(5,9)，由题意可知，随机变量ξ的可能取值有0、1、2、3. P(ξ＝0)＝eq \f(7,16)×eq \f(1,2)×eq \f(4,9)＝eq \f(7,72)，P(ξ＝2)＝eq \f(29,72)，P(ξ＝3)＝eq \f(9,16)×eq \f(1,2)×eq \f(5,9)＝eq \f(5,32)， P(ξ＝1)＝eq \f(9,16)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,9)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(9,16)))×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,9)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(9,16))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \f(5,9)＝eq \f(11,32)， 所以，随机变量ξ的分布列如下表所示： ξ 0 1 2 3 P eq \f(7,72) eq \f(11,32) eq \f(29,72) eq \f(5,32) 考点三　离散型随机变量的期望与方差(师生共研) [典例]　(2022·丰台区模拟)某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组，从年龄在40岁(含40岁)以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“＋”表示A组的客户，“⊙”表示B组的客户． 注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值． (1)记A，B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m，n，根据图中数据，试比较m，n的大小(结论不要求证明)； (2)从A，B两组客户中随机抽取2位，求其中至少有一位是A组的客户的概率； (3)如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”．从A，B两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ)． 核心素养 直观想象、数学建模、数据分析、数学运算——离散 型随机变量均值与方差的核心 以随机抽样获取样本为基础，以排列组合、古典概型、互斥事件、相互独立事件的概率为根本， 建立“概率统计概型”模型．通过分布列、数学期望与方差的计算等“数据分析”，可以对实际问题做出合理的判断． 信息提取 信息解读 数学建模 由题图 图中客户对应的数据 着眼点1：直观想象：根据图中数据，试比较m，n的大小 从抽取的20位客户中任意抽取2位，求其中至少有一位是A组的客户的概率 利用组合知识计数 着眼点2：数学建模：建立古典概率模型求解 从A，B两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ) 利用分布列知识求解 着眼点3：数据分析、数学运算：建立“驾驶达人”的人数ξ的分布列，利用公式求出数学期望E(ξ) [解]　(1)m＜n. (2)设“从抽取的20位客户中任意抽取2位，至少有一位是A组的客户”为事件M， 则P(M)＝eq \f(C\o\al(1,10)C\o\al(1,10)＋C\o\al(2,10),C\o\al(2,20))＝eq \f(29,38)，所以从抽取的20位客户中任意抽取2位至少有一位是A组的客户的概率是eq \f(29,38). (3)依题意ξ的可能取值为0,1,2. 则P(ξ＝0)＝eq \f(C\o\al(1,9)C\o\al(1,8),C\o\al(1,10)C\o\al(1,10))＝eq \f(18,25)， P(ξ＝1)＝eq \f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,8)＋C\o\al(1,9)C\o\al(1,2),C\o\al(1,10)C\o\al(1,10))＝eq \f(13,50)， P(ξ＝2)＝eq \f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,2),C\o\al(1,10)C\o\al(1,10))＝eq \f(1,50). 所以随机变量ξ的分布列为： ξ 0 1 2 P eq \f(18,25) eq \f(13,50) eq \f(1,50) 所以随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝0×eq \f(18,25)＋1×eq \f(13,50)＋2×eq \f(1,50)＝eq \f(3,10). 求离散型随机变量ξ的均值与方差的方法 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部取值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由均值的定义求E(ξ)； (5)由方差的定义求D(ξ)． [跟踪训练] (2024·北京卷)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1 000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 保单份数 800 100 60 30 10 假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元． 假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率． (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差． (ⅰ)记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望EX； (ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(ⅰ)中EX估计值的大小．(结论不要求证明) 解：(1)设一份保单索赔次数为Y，则 P(Y≥2)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＋P(Y＝4)＝eq \f(60,1 000)＋eq \f(30,1 000)＋eq \f(10,1 000)＝10%， ∴一份保单索赔次数不少于2的概率为10%. (2)(ⅰ)X的可能取值为0.4，－0.4，－1.2，－2，－2.6，则 P(X＝0.4)＝eq \f(800,1 000)＝eq \f(4,5)， P(X＝－0.4)＝eq \f(100,1 000)＝eq \f(1,10)， P(X＝－1.2)＝eq \f(60,1 000)＝eq \f(3,50)， P(X＝－2)＝eq \f(30,1 000)＝eq \f(3,100)， P(X＝－2.6)＝eq \f(10,1 000)＝eq \f(1,100)， ∴EX＝0.4×eq \f(4,5)－0.4×eq \f(1,10)－1.2×eq \f(3,50)－2×eq \f(3,100)－2．6×eq \f(1,100) ＝0.32－0.04－0.072－0.06－0.026＝0.122. (ⅱ)保单的保费调整后，无索赔保单的保费为0.384万元，有索赔保单的保费为0.48万元． 毛利润Y的可能取值为0.384，－0.32，－1.12，－1.92，－2.52， ∴此时EY＝0.384×eq \f(4,5)－0.32×eq \f(1,10)－1.12×eq \f(3,50)－1.92×eq \f(3,100)－2.52×eq \f(1,100)＝0.3072－0.032－0.067 2－0.057 6－0.025 2＝0.1252. ∴调整后的保单毛利润的数学期望的估计值大于调整前的保单毛利润数学期望的估计值． $$