9.7 条件概率与全概率公式（课件PPT）-【创新教程】2025年高考数学艺考生文化课总复习（新教材）

第7节　条件概率与全概率公式 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 夯实 必备知识 跃升 关键能力 01 02 课时作业 04 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 课程标准 1.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率． 2．掌握条件概率的性质并能解决复杂的条件概率． 3．结合古典概型，会利用全概率公式计算概率． 4．了解贝叶斯公式并会简单应用. 核心素养 1.在条件概率的学习和应用的过程中，提升数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算的核心素养． 2．通过对全概率公式、贝叶斯公式的学习，达成数学抽象、逻辑推理的核心素养. 考情聚焦 　　条件概率是高考考查的内容之一，多以选择 、填空题的形式出现，全概率公式和贝叶斯公式作为新课程、新教材刚刚添加的内容，在新高考中，将会逐步有所体现. [必备知识] 1．条件概率 (1)定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． (2)乘法公式：对任意事件A与B，若P(A)>0，则　P(AB)＝P(A)P(B|A)　，称上式为概率的乘法公式． (3)条件概率的性质：设P(A)＞0，则 ①P(Ω|A)＝　1　，0≤P(B|A)≤1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝　P(B|A)＋P(C|A)　； ③设eq \o(B,\s\up16(－))和B互为对立事件，则P(eq \o(B,\s\up16(－))|A)＝　1－P(B|A)　. 2.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两　互斥　的事件，A1∪A2∪…∪An＝　Ω　，且P(Ai)>0，i＝1, 2, …， n，则对任意的事件　B⊆Ω　，有P(B)＝　P(Ai)P(B|Ai)　. 3．贝叶斯公式 　设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1, 2, …，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)＞0，有P(Ai|B)＝eq \f(PAiPB|Ai,PB)＝，i＝1,2，…，n. 当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)＝P(B)． [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(　　 ) (2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．(　　 ) (3)若A、B为两个随机事件，则P(B|A)≠P(AB)．(　　 ) (4)全概率公式解决由因索果问题．(　　 ) (5)贝叶斯公式是在“结果”已经发生条件下，寻找各“原因”发生的条件概率．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ [小题查验] 1．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是(　　) A.eq \f(1,10)　　 B.eq \f(2,10)　　　 C.eq \f(8,10)　　 D.eq \f(9,10) 解析：A　[某人第一次失败，第二次成功的概率为P＝eq \f(9×1,10×9)＝eq \f(1,10).] 2．某班学生的考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是(　　) A.eq \f(1,5) B.eq \f(3,10) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,5) 解析：A　[设A为事件“数学不及格”，B为事件“语文不及格”，P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(0.03,0.15)＝eq \f(1,5).所以数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为eq \f(1,5).] 3．(2024·上海卷)某校举办科学竞技比赛，有A，B，C 3种题库，A题库有5 000道题，B题库有4 000道题，C题库有3 000道题．小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题，正确率是____________． 解析：由题可知，A题库占比为eq \f(5,12)，B题库占比为eq \f(1,3)，C题库占比为eq \f(1,4)，P＝eq \f(5,12)×0.92＋eq \f(1,3)×0.86＋eq \f(1,4)×0.72＝eq \f(17,20). 答案：eq \f(17,20) 考点一　条件概率及性质的应用(师生共研) [典例]　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． [解]　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝Aeq \o\al(2,6)＝30， 根据分步乘法计数原理n(A)＝Aeq \o\al(1,4)Aeq \o\al(1,5)＝20， 于是P(A)＝eq \f(nA,nΩ)＝eq \f(20,30)＝eq \f(2,3). (2)因为n(AB)＝Aeq \o\al(2,4)＝12，于是P(AB)＝eq \f(nAB,nΩ)＝eq \f(12,30)＝eq \f(2,5). (3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq \f(3,5). 法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)＝eq \f(12,20)＝eq \f(3,5). 计算条件概率的方法 (1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率．即P(B|A)． (2)在原样本空间Ω中，先计算P(AB)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)计算求得P(B|A)． [跟踪训练] (2024·南京质检)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1)． 解：(1)平均年龄eq \o(x,\s\up16(－))＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(岁)． (2)设A＝{一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，则P(A)＝1－P(eq \o(A,\s\up16(－)))＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89. (3)设B＝{任选一人年龄位于区间[40,50)}，C＝{任选一人患这种疾病}，则由条件概率公式，得 P(C|B)＝eq \f(PBC,PB)＝eq \f(0.1%×0.023×10,16%) ＝eq \f(0.001×0.23,0.16)＝0.001 437 5≈0.001 4. 考点二　乘法公式的运用(师生共研) [典例]　一个盒子中装有5个电子产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地抽取产品，每次取1个，求： (1)取两次，两次都取得一等品的概率；(2)取三次，第三次才取到一等品的概率． [解]　令Ai为第i(i＝1,2,3)次取得一等品． (1)P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝eq \f(3,5)×eq \f(2,4)＝eq \f(3,10). (2)P(eq \o(A,\s\up16(－))1eq \o(A,\s\up16(－))2A3)＝ P(eq \x\to(A1)) P(eq \x\to(A2)|eq \x\to(A1))P(A3|eq \o(A,\s\up16(－))1eq \o(A,\s\up16(－))2)＝eq \f(2,5)×eq \f(1,4)×eq \f(3,3)＝eq \f(1,10). 已知事件A发生概率及在事件A条件下事件B发生概率的条件下，可利用乘法公式求出积事件AB发生的概率，即P(AB)＝P(A)P(B|A)． [跟踪训练] 某厂产品的废品率为4%，而合格品中有75%是一等品，求一等品率． 解：记A＝{合格品}；B＝{一等品}，由题意，P(A)＝1－4%＝96%，P(B|A)＝75%， ∵B⊆A，∴B＝BA，P(B)＝P(BA)＝P(A)P(B|A)＝0.96×0.75＝0.72，即一等品率为72%. 考点三　全概率公式与贝叶斯公式的综合应用(师生共研) [典例]　某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8,0.7与0.9.已知如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.2；如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合格率为0.6；如果三件都不是优质品，则仪器的不合格率为0.9. (1)求仪器的不合格率； (2)如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大． [解]　记事件B＝“仪器不合格”，Ai＝“仪器上有i个部件不是优质品”，i＝0,1,2,3，显然A0，A1，A2，A3构成一个完备事件组，且 P(B|A0)＝0，P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6， P(B|A3)＝0.9， P(A0)＝0.8×0.7×0.9＝0.504， P(A1)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398， P(A3)＝0.2×0.3×0.1＝0.006， P(A2)＝1－P(A0)－P(A1)－P(A3)＝0.092. (1)应用全概率公式，有 P(B)＝＝0P(Ai)P(B|Ai) ＝0.504×0＋0.398×0.2＋0.092×0.6＋0.006×0.9＝0.140 2. (2)应用贝叶斯公式，有 P(A0|B)＝0，P(A1|B)＝eq \f(PA1PB|A1,PB)＝eq \f(796,1 40 2)， P(A2|B)＝eq \f(PA2PB|A2,PB)＝eq \f(552,1 40 2)， P(A3|B)＝eq \f(PA3PB|A3,PB)＝eq \f(54,1 40 2). 从计算结果可知，一台不合格的仪器中有一个部件不是优质品的概率最大． 第一步　记事件，并求相关事件的概率； 第二步　运用全概率公式求P(B)； 第三步　运用贝叶斯公式求所求概率． [跟踪训练] 一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，这三个车间的产量分别占总量的25%,35%,40%.如果每个车间成品中的次品占其产量的5%,4%,2%，求在从全厂该产品中抽出一个是次品的条件下它恰好是甲车间生产出来的概率． 解：设事件A1，A2，A3分别是所抽出的产品是甲、乙、丙车间生产的，事件B是抽到一个次品，则 P(A1)＝eq \f(25,100)，P(A2)＝eq \f(35,100)，P(A3)＝eq \f(40,100)， P(B|A1)＝eq \f(5,100)，P(B|A2)＝eq \f(4,100)，P(B|A3)＝eq \f(2,100). 应用全概率公式，有 P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝eq \f(25,100)·eq \f(5,100)＋eq \f(35,100)·eq \f(4,100)＋eq \f(40,100)·eq \f(2,100)＝eq \f(345,10 000). 再应用贝叶斯公式，有 P(A1|B)＝＝eq \f(\f(25,100)·\f(5,100),\f(345,10 000))＝eq \f(125,345)＝eq \f(25,69). $$