9.6 事件的相互独立性（课件PPT）-【创新教程】2025年高考数学艺考生文化课总复习（新教材）

第6节　事件的相互独立性 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 夯实 必备知识 跃升 关键能力 01 02 课时作业 04 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 课程标准 1.结合有限样本空间及古典概型，了解事件相互独立的含义． 2．会利用相互独立事件的概率公式计算随机事件的概率. 核心素养 1.事件相互独立的含义，达成数学抽象的素养． 2．利用相互独立事件的概率公式计算随机事件的概率，增强数据分析、逻辑推理和数学运算的素养. 考情聚焦 　　2025年的高考预计与古典概型、二项分布及其数字特征相结合，解决一些实际问题. [必备知识] 相互独立事件 (1)对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝　P(A)P(B)　成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． (2)如果事件A与事件B相互独立，则A与eq \o(B,\s\up16(－))，eq \o(A,\s\up16(－))与B，eq \o(A,\s\up16(－))与eq \o(B,\s\up16(－))也都　相互独立　. (3)事件A与事件B相互独立，则P(AB)＝　P(A)P(B)　. 相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)必然事件Ω与任意事件都不独立．(　　) (2)不可能事件∅与必然事件Ω独立．(　　) (3)对于任意事件A，B，都有P(AB)＝P(A)P(B)．(　　) (4)对于事件A与其对立事件eq \o(A,\s\up16(－))，有P(A)P(eq \o(A,\s\up16(－)))＝P(Aeq \o(A,\s\up16(－)))．(　　) (5)如果事件A与事件B相互独立，那么P(AB)＝P(A)P(B)．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ [小题查验] 1．下列事件A，B是相互独立事件的是(　　) A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面” B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为偶数” D．A表示“一个灯泡能用1 000小时”，B表示“一个灯泡能用2 000小时” 解析：A　[把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A，B是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，其结果具有唯一性，A，B应为互斥事件；D中事件B受事件A的影响．] 2．若事件E与F相互独立，且P(E)＝P(F)＝eq \f(1,4)，则P(EF)的值等于(　　) A．0　　　　　　　　　　　 B.eq \f(1,16) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,2) 解析：B　[因为E与F相互独立，P(E)＝P(F)＝eq \f(1,4)，所以P(EF)＝P(E)P(F)＝eq \f(1,16).] 3．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(AB)＝_____________，P(A∪B)＝_____________. 解析：因为A，B相互独立，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝0.3×0.5＝0.15，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.3＋0.5－0.15＝0.65. 答案：0.15　0.65 考点一　相互独立事件的概率的求法(自主探究) 1．(2024·济南市质检)(多选)已知甲、乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1,2,3,4，乙四个面上分别标有数字5,6,7,8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A为“两个四面体朝下一面上的数字之和为奇数”，事件B为“甲四面体朝下一面上的数字为奇数”，事件C为“乙四面体朝下一面上的数字为偶数”，则下列结论正确的是(　　) A．P(A)＝P(B)＝P(C) B．P(BC)＝P(AC)＝P(AB) C．P(ABC)＝eq \f(1,8) D．P(A)·P(B)·P(C)＝eq \f(1,8) 解析：ABD　[依题意，P(A)＝eq \f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),4×4)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)，P(C)＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)，∴P(A)＝P(B)＝P(C)，故A正确；P(BC)＝P(B)P(C)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，P(AC)＝eq \f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),4×4)＝eq \f(1,4)，P(AB)＝eq \f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),4×4)＝eq \f(1,4)， ∴P(BC)＝P(AC)＝P(AB)，故B正确；P(ABC)＝eq \f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),4×4)＝eq \f(1,4)，故C错误；P(A)·P(B)·P(C)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,8)，故D正确．故选ABD.] 2．掷三颗骰子，试求： (1)没有一颗骰子出现1点或6点的概率； (2)恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率． 解：记“第1颗骰子出现1点或6点”为事件C，由已知A、B、C是相互独立事件，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝eq \f(1,3). (1)没有1颗骰子出现1点或6点，也就是事件A、B、C全不发生，即事件eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)) eq \o(C,\s\up16(－))，所以所求概率为： P(eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)) eq \o(C,\s\up16(－)))＝P(eq \o(A,\s\up16(－)))P(eq \o(B,\s\up16(－)))P(eq \o(C,\s\up16(－)))＝eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(8,27). (2)恰好有1颗骰子出现1点或6点，即A发生B不发生C不发生或A不发生B发生C不发生或A不发生B不发生C发生，用符号表示为事件Aeq \o(B,\s\up16(－)) eq \o(C,\s\up16(－))＋eq \o(A,\s\up16(－))Beq \o(C,\s\up16(－))＋eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－))C，所求概率为：P(Aeq \o(B,\s\up16(－)) eq \o(C,\s\up16(－))＋eq \o(A,\s\up16(－))Beq \o(C,\s\up16(－))＋eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－))C)＝P(Aeq \o(B,\s\up16(－)) eq \o(C,\s\up16(－)))＋P(eq \o(A,\s\up16(－))Beq \o(C,\s\up16(－)))＋P(eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－))C) ＝P(A)P(eq \o(B,\s\up16(－)))P(eq \o(C,\s\up16(－)))＋P(eq \o(A,\s\up16(－)))P(B)P(eq \o(C,\s\up16(－)))＋P(eq \o(A,\s\up16(－)))P(eq \o(B,\s\up16(－)))P(C) ＝eq \f(1,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(12,27)＝eq \f(4,9). 求相互独立事件同时发生的概率的步骤： 第一步，首先确定各事件之间是相互独立的；第二步，确定这些事件可以同时发生；第三步，求出每个事件的概率，再求积． 提醒：使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件——各个事件是相互独立的，而且它们同时发生． 考点二　利用相互独立事件求复杂事件概率(师生共研) [典例]　(1)(2024·大连质检)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则(　　) A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 [解析]　D　[设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为P甲，在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为P乙，在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率为P丙． 由题意P甲＝p1[p2(1－p3)＋p3(1－p2)]＝p1p2＋p1p3－2p1p2p3， P乙＝p2[p1(1－p3)＋p3(1－p1)]＝p1p2＋p2p3－2p1p2p3， P丙＝p3[p1(1－p2)＋p2(1－p1)]＝p1p3＋p2p3－2p1p2p3， 所以P丙－P甲＝p2(p3－p1)＞0，P丙－P乙＝p1(p3－p2)＞0， 所以P丙最大，故选D.] (2)甲、乙、丙三人各自向同一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.8，如果只有一人击中，那么飞机被击落的概率是0.2；如果有两人击中，那么飞机被击落的概率是0.6；如果三人都击中，那么飞机一定被击落，求飞机被击落的概率． [解]　设甲、乙、丙三人击中飞机的事件分别为A，B，C，依题意知，A，B，C相互独立，故所求概率 P＝[P(Aeq \o(B,\s\up16(－)) eq \o(C,\s\up16(－)))＋P(eq \o(A,\s\up16(－))Beq \o(C,\s\up16(－)))＋P(eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－))C)]×0.2＋[P(ABeq \o(C,\s\up16(－)))＋P(Aeq \o(B,\s\up16(－))C)＋P(eq \o(A,\s\up16(－))BC)]×0.6＋P(ABC)＝(0.4×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.8)×0.2＋(0.4×0.5×0.2＋0.4×0.5×0.8＋0.6×0.5×0.8)×0.6＋0.4×0.5×0.8＝0.492. 利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路 (1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和． (2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件． (3)代入概率的积公式求解． [跟踪训练] 有三种产品，合格率分别为0.9、0.85、0.85各抽取一件进行检验，求： (1)恰有一件不合格品的概率； (2)至少有两件不合格品的概率． 解：记“三种产品各抽取一件，抽取的是合格产品”的事件分别为A、B、C，P(A)＝0.9，P(B)＝0.85，P(C)＝0.85，P(eq \o(A,\s\up16(－)))＝0.10，P(eq \o(B,\s\up16(－)))＝P(eq \o(C,\s\up16(－)))＝0.15. (1)“恰有一件不合格品”的事件有ABeq \o(C,\s\up16(－))，Aeq \o(B,\s\up16(－))C，eq \o(A,\s\up16(－))BC三种情况，其概率为P＝P(ABeq \o(C,\s\up16(－))＋Aeq \o(B,\s\up16(－))C＋eq \o(A,\s\up16(－))BC) ＝P(A·B·eq \o(C,\s\up16(－)))＋P(A·eq \o(B,\s\up16(－))·C)＋P(eq \o(A,\s\up16(－))·B·C) ＝P(A)·P(B)·P(eq \o(C,\s\up16(－)))＋P(A)·P(eq \o(B,\s\up16(－)))·P(C)＋P(eq \o(A,\s\up16(－)))·P(B)·P(C) ＝0.9×0.85×0.15＋0.9×0.15×0.85＋0.1×0.85×0.85≈0.302. (2)至少有两件不合格品的概率为 P＝P(eq \o(A,\s\up16(－))·eq \o(B,\s\up16(－))·eq \o(C,\s\up16(－))＋eq \o(A,\s\up16(－))·eq \o(B,\s\up16(－))·C＋eq \o(A,\s\up16(－))·B·eq \o(C,\s\up16(－))＋A·eq \o(B,\s\up16(－))·eq \o(C,\s\up16(－))) ＝(1－0.9)×(1－0.85)×(1－0.85)＋2×(1－0.9)(1－0.85)×0.85＋0.9×0.15×0.15 ＝0.048. 考点三　相互独立事件的综合应用(师生共研) [典例]　11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束． (1)求P(X＝2)； (2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率． [解]　(1)X＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5. (2)X＝4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分． 因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1. 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解； (2)正面计算较繁琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算． [跟踪训练] 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4). (1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． [解]　(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq \f(1,4)， P(X＝1)＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,4)＝eq \f(11,24)， P(X＝2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq \f(1,4)， P(X＝3)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,24). 所以，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(1,4) eq \f(11,24) eq \f(1,4) eq \f(1,24) (2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0) ＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0) ＝eq \f(1,4)×eq \f(11,24)＋eq \f(11,24)×eq \f(1,4)＝eq \f(11,48). 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为eq \f(11,48). $$