9.3 二项式定理（课件PPT）-【创新教程】2025年高考数学艺考生文化课总复习（新教材）

第3节　二项式定理 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 夯实 必备知识 跃升 关键能力 01 02 课时作业 04 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 课程标准 1.能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 核心素养 1.二项展开式中特定项或系数问题，达成直观想象和数学运算的素养． 2．二项式系数及项的系数问题，增强逻辑推理和数学运算的素养． 3．多项式展开式中的特定项或系数问题，提升逻辑推理和数学运算的素养 　考情聚焦 预计2025年的高考将从以下四个方面进行考查： 1．二项展开式中特定项或系数． 2．二项式展开式系数最大项． 3．二项式系数与二项式系数和的计算． 4．二项式与其他知识的结合．一般以选择题、填空题形式出现，难度不大，属基础题型 [必备知识] 1．二项式定理 (1)二项式定理：　(a＋b)n＝Ceq \o\al(0,n)an＋Ceq \o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq \o\al(n,n)bn(n∈N*)　； (2)通项公式：Tr＋1＝　Ceq \o\al(r,n)an－rbr　，它表示第　r＋1　项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Ceq \o\al(0,n)，Ceq \o\al(1,n)，…，Ceq \o\al(n,n). 2．二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即　 增减性 二项式 系数Ceq \o\al(k,n) 当k＜eq \f(n＋1,2)(n∈N*)时，是　递增　的 当k＞eq \f(n＋1,2)(n∈N*)时，是　递减　的 二项式系 数最大值 当n为偶数时，中间的一项　Ceq \f(n,2)n　取得最大值 当n为奇数时，中间的两项与取最大值 3.各二项式系数和 (1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋…＋Ceq \o\al(n,n)＝　2n　. (2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋Ceq \o\al(4,n)＋…＝Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(3,n)＋Ceq \o\al(5,n)＋…＝　2n－1　. 　二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项增1直到n. (4)二项式的系数从Ceq \o\al(0,n)，Ceq \o\al(1,n)，…一直到Ceq \o\al(n－1,n)，Ceq \o\al(n,n). [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)Ceq \o\al(k,n)an－kbk是二项展开式的第k项．(　　 ) (2)通项Ceq \o\al(k,n)an－kbk中的a和b不能互换．(　　 ) (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　 ) (4)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　 ) (5)Ceq \o\al(1,n)－2Ceq \o\al(2,n)＋3Ceq \o\al(3,n)－…＋(－1)n－1nCeq \o\al(n,n)＝0.(　　 ) (6)Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋Ceq \o\al(4,n)＋…＝Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(3,n)＋Ceq \o\al(5,n)＋….(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√ [小题查验] 1．(人教A版教材例题改编)二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x2)))6的展开式中，常数项的值是(　　) A．240　　 B．60　　　 C．192　　 D．180 解析：A　[二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x2)))6展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \o\al(r,6)(2x)6－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))r＝26－rCeq \o\al(r,6)x6－3r，令6－3r＝0，得r＝2，所以常数项为26－2Ceq \o\al(2,6)＝16×eq \f(6×5,2×1)＝240.故选A.] 2．(2024·北京卷)在(x－eq \r(x))4的二项展开式中，x3的系数为(　　) A．6　　　　　　　 B．－6 C．12 D．－12 解析：A　[(x－eq \r(x))4的展开式的通项Tk＋1＝Ceq \o\al(k,4)x4－k(－eq \r(x))k＝，令4－eq \f(k,2)＝3，解得k＝2，所以在(x－eq \r(x))4的展开式中，x3的系数为(－1)2Ceq \o\al(2,4)＝6.] 3．(2024·上饶市模拟)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋my))(2x－y)5的展开式中x2y4的系数为80，则m的值为(　　) A．－2　　 B．2　　　 C．－1　　 D．1 解析：A　[eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋my))(2x－y)5＝eq \f(1,x)(2x－y)5＋my(2x－y)5，(2x－y)5的展开式中不存在x3y4的项，存在x2y3的项的系数为Ceq \o\al(2,5)×22(－1)3， 故有(2x＋my)(x－y)5的展开式中x3y4的系数为Ceq \o\al(2,5)×22(－1)3m＝80，解得m＝－2，故选A.] 4．(2024·天津卷)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x3)＋\f(x3,3)))6的展开式中，常数项为________． 解析：因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x3)＋\f(x3,3)))6的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \o\al(r,6) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x3)))6－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x3,3)))r＝36－2rCeq \o\al(r,6)x6(r－3)，r＝0,1，…，6， 令6(r－3)＝0，可得r＝3， 所以常数项为30Ceq \o\al(3,6)＝20. 答案：20 5．(2023·上海卷)已知(1＋2023x)100＋(2023－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，其中a0，a1，a2，…，a100∈R，若k∈{0,1,2，…，100}且ak＜0时，则k的最大值是____________． 解析：ak＝Ceq \o\al(k,100)(2 023 x)k＋(－1)kCeq \o\al(k,100)2 023100－kxk＜0，依题意k为奇数，∴2 023k＜2 023100－k，k＜100－k⇒k＜50⇒kmax＝49. 答案：49 考点一　二项展开式中特定项或系数问题(自主练透) [题组集训] 1.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))5的展开式中的x4系数为(　　) A．10　　 B．20　　　 C．40　　 D．80 解析：C　[eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))5的第k＋1项为Tk＋1＝Ceq \o\al(k,5)2kx10－3k.令10－3k＝4，得k＝2.∴x4的系数为Ceq \o\al(2,5)×22＝40.] 2．(2023·天津卷)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x3－\f(1,x)))6的展开式中，x2的系数为____________． 解析：展开式的通项公式 Tk＋1＝Ceq \o\al(k,6)(2x3)6－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))k ＝(－1)k×26－k×Ceq \o\al(k,6)×x18－4k， 令18－4k＝2，可得k＝4， 则x2项的系数为(－1)4×26－4×Ceq \o\al(4,6)＝4×15＝60. 答案：60 3．(2024·上海卷)在(x＋1)n的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中x2的系数为____________． 解析：由题意可知，令x＝1得，展开式中各项系数的和是(1＋1)n＝32，所以n＝5，该二项式的展开式的通项公式是Tr＋1＝Ceq \o\al(r,5)·x5－r·1r，令5－r＝2，得r＝3，则x2项的系数为Ceq \o\al(3,5)＝10. 答案：10 求二项展开式中的项或项的系数的方法 (1)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析． (2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组)求取值范围． 提醒：二项展开式中各项的系数与二项式系数是不同的概念．一般地，某一项的系数是指该项中字母前面的常数值(包括正负号)，它与a，b的取值有关，而二项式系数与a，b的取值无关． 考点二　二项式系数及项的系数问题(师生共研) [典例]　(1)(2024·马鞍山市二模)二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为(　　) A．3　　 B．5　　　 C．6　　 D．7 [解析]　D　[根据eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20； ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))20展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \o\al(r,20)·(eq \r(3)x)20－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))r＝(eq \r(3))20－r·Ceq \o\al(r,20)·； 要使x的指数是整数，需r是3的倍数，∴r＝0,3,6,9,12,15,18；∴x的指数是整数的项共有7项．故选D.] (2)(2024·雅安市模拟)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)＋\f(1,x)))n展开式的各个二项式系数的和为128，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)＋\f(1,x)))n的展开式中x2的系数(　　) A．448 B．560 C．7 D．35 [解析]　A　[由题意可知，2n＝128，得n＝7. ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)＋\f(1,x)))n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)＋\f(1,x)))7，其通项为Tr＋1＝Ceq \o\al(r,7)·(2eq \r(x))7－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))r＝27－r·Ceq \o\al(r,7)· 取eq \f(7－3r,2)＝2，得r＝1.∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)＋\f(1,x)))n的展开式中x2的系数为26×Ceq \o\al(1,7)＝448.故选A.] (3)(2024·青岛三模)二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15，则n等于________． 解析：根据题意，(x＋1)n(n∈N*)展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \o\al(r,n)xr，令r＝2，则Ceq \o\al(2,n)＝15⇒n＝6. 答案：6 1．赋值法研究二项式的系数和问题 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq \f(f1＋f－1,2)， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq \f(f1－f－1,2). 2．二项式系数最大项的确定方法 (1)如果n是偶数，则中间一项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)＋1))项))的二项式系数最大； (2)如果n是奇数，则中间两项 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n＋1,2)项与第\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,2)＋1))项))的二项式系数相等并最大． 3．二项展开式系数最大项的求法 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1，))从而解出k来，即得． [跟踪训练] (2024·朝阳区三模)在二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(3,x)))n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项的值为(　　) A．6 B．9 C．12 D．18 解析：B　[在二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(3,x)))n的展开式中， 令x＝1得各项系数之和为4n，∴A＝4n. 据二项展开式的二项式系数和为2n，∴B＝2n. ∴4n＋2n＝72，解得n＝3. ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(3,x)))n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(3,x)))3的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \o\al(r,3)(eq \r(x))3－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)))r＝， 令eq \f(3－3r,2)＝0得r＝1，故展开式的常数项为T2＝3Ceq \o\al(1,3)＝9，故选B.] 考点三　多项式展开式中的特定项或系数问题(多维探究) [命题角度1]　几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题　 1.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－\f(2,x)))4＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))8的展开式中的常数项为(　　 ) A．32　　 B．34　　　 C．36　　 D．38 解析：D　[eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－\f(2,x)))4的展开式的通项为Tm＋1＝ Ceq \o\al(m,4)(x3)4－m·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))m＝Ceq \o\al(m,4)(－2)mx12－4m，令12－4m＝0，解得m＝3，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))8的展开式的通项为Tn＋1＝Ceq \o\al(n,8)x8－neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))n＝Ceq \o\al(n,8)x8－2n，令8－2n＝0，解得n＝4，所以所求常数项为Ceq \o\al(3,4)(－2)3＋Ceq \o\al(4,8)＝38.] 对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可． [跟踪训练] (2024·台州市一模)在(2x－1)2＋(2x－1)3＋…＋(2x－1)8的展开式中，含x2项的系数为____________． 解析：在(2x－1)2＋(2x－1)3＋…＋(2x－1)8的展开式中，含x2项为Ceq \o\al(0,2)(2x)2－Ceq \o\al(1,3)(2x)2＋Ceq \o\al(2,4)(2x)2－Ceq \o\al(3,5)(2x)2＋Ceq \o\al(4,6)(2x)2－Ceq \o\al(5,7)(2x)2＋Ceq \o\al(6,8)(2x)2， 则含x2项的系数为4×(1－3＋6－10＋15－21＋28)＝64. 答案：64 [命题角度2]　几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题　 2．(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　) A．12 B．16 C．20 D．24 解析：A　[本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．由题意得x3的系数为Ceq \o\al(3,4)＋2Ceq \o\al(1,4)＝4＋8＝12，故选A.] 对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，把每一个因式用二项展开式展开，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． [跟踪训练] (2024·淮安二模)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为____________(用数字作答)． 解析：原式等于(x＋y)8－eq \f(y,x)(x＋y)8，由二项式定理，其展开式中x2y6的系数为Ceq \o\al(6,8)－Ceq \o\al(5,8)＝Ceq \o\al(2,8)－Ceq \o\al(3,8)＝－28. 答案：－28 [命题角度3]　三项展开式中特定项(系数)问题　 3．(2024·龙岩市模拟)已知二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)－2x))4，则展开式的常数项为(　　) A．－1 B．1 C．－47 D．49 解析：B　[二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)－2x))4＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2x))))4＝1＋4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2x))＋6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2x))2＋4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2x))3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2x))4， ∴二项式展开式中的常数项产生在1,6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2x))2，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2x))4中； 分别是1,6×2·eq \f(1,x)·(－2x)，Ceq \o\al(2,4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2·(－2x)2； 它们的和为1－24＋24＝1.故选B.] 对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，把其中两项看做整体展开，再把这两项继续展开，要注意各参数的取值范围，适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． [跟踪训练] (2023·黄冈中学押题卷)已知等差数列{an}的第5项是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)＋2y))6展开式中的常数项，则a2＋a8＝(　　) A．20 B．－20 C．40 D．－40 解析：D　[eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)＋2y))6展开式中的常数项为Ceq \o\al(3,6)x3·Ceq \o\al(3,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))3·(2y)0＝－20，(题眼) ∴a5＝－20，∴a2＋a8＝2a5＝－40，故选D.] $$