9.2 排列与组合（课件PPT）-【创新教程】2025年高考数学艺考生文化课总复习（新教材）

第2节　排列与组合 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 夯实 必备知识 跃升 关键能力 01 02 课时作业 04 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 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2．组合问题，增强数学建模、逻辑推理和数学抽象的素养． 3．分组分配问题，提升数学建模、逻辑推理和数学抽象的素养 考情聚焦 　　预计2025年的高考如果独立考查排列组合，则以选择题、填空题的形式出现；如果联合考查，则会在解答题中与概率分布等综合命题．总的来说，难度不大，中档题型 [必备知识] 　排列与组合 排列与排列数 组合与组合数 定义 排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照　一定的顺序　排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素　合成　一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 定义 排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的　个数　叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的　个数　，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 公式 排列数公式　Aeq \o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,n－m！)　 组合数公式Ceq \o\al(m,n)＝eq \f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝　eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)　 ＝eq \f(n！,m！n－m！) 性质 Aeq \o\al(n,n)＝　n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1　＝n！；0！＝1 Ceq \o\al(0,n)＝1；Ceq \o\al(m,n)＝　Ceq \o\al(n－m,n)　； Ceq \o\al(m,n)＋Ceq \o\al(m－1,n)＝　Ceq \o\al(m,n＋1)　 备注 n、m∈N*且m≤n 　解决排列组合问题“四项基本原则” (1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置． (2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列． (3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题． (4)先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配． [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　 ) (2)Aeq \o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)×…×(n－m) .(　　 ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　 ) (4)若组合式Ceq \o\al(x,n)＝Ceq \o\al(m,n)，则x＝m成立．(　　 ) (5)Ceq \o\al(2,2)＋Ceq \o\al(2,3)＋Ceq \o\al(2,4)＋Ceq \o\al(2,5)＋…＋Ceq \o\al(2,n)＝Ceq \o\al(3,n＋1)(　　 ) (6)Aeq \o\al(m,n)＝nAeq \o\al(m－1,n－1).(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ [小题查验] 1．(2024·长沙市模拟)考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有(　　) A．10种　　　　　　 B．60种 C．125种 D．243种 解析：B　[依题意，满足题意的不同的填法共有Aeq \o\al(3,5)＝60种，故选B.] 2．(2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(　　) A．Ceq \o\al(45,400)·Ceq \o\al(15,200)种 B．Ceq \o\al(20,400)·Ceq \o\al(40,200)种 C．Ceq \o\al(30,400)·Ceq \o\al(30,200)种 D．Ceq \o\al(40,400)·Ceq \o\al(20,200)种 解析：D　[根据按比例分配的分层抽样可知初中部抽取40人，高中部抽取20人，不同的抽样结果共有Ceq \o\al(40,400)·Ceq \o\al(20,200).故选D.] 3．(2024·济宁模拟)某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为(　　) A．42　　 B．48　　　 C．96　　 D．124 解析：A　[Aeq \o\al(2,6)＋2Aeq \o\al(1,6)＝42.] 4．(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)． 解析：当从这8门课中选修2门课时，共有Ceq \o\al(1,4)·Ceq \o\al(1,4)＝16；当从这8门课中选修3门课时，共有Ceq \o\al(1,4)·Ceq \o\al(2,4)＋Ceq \o\al(2,4)·Ceq \o\al(1,4)＝48；综上可知，共有64种不同的选课方案． 答案：64 5．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有____________种． 解析：Ceq \o\al(2,4)Aeq \o\al(3,3)＝36. 答案：36 考点一　排列问题(自主练透) [题组集训] 1．(2024·滨州市一模)5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是(　　) A．40　　 B．36　　　 C．32　　 D．24 解析：B　[甲站第2个位置，则乙站1,3中的一个位置，不同的排法有Ceq \o\al(1,2)Aeq \o\al(3,3)＝12(种)； 甲站第3个位置，则乙站2,4中的一个位置，不同的排法有Ceq \o\al(1,2)Aeq \o\al(3,3)＝12(种)； 甲站第4个位置，则乙站3,5中的一个位置，不同的排法有Ceq \o\al(1,2)Aeq \o\al(3,3)＝12(种)， 故共有12＋12＋12＝36(种)．故选B.] 2．(2024·武汉市质检)某学校组织三个年级的学生到博物馆参观，该博物馆设有青铜器、瓷器、书画三个场馆．若该学校将参观时间分为三个时间段，每个时间段内三个年级的学生参观的场馆互不相同，并且每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，则不同的安排方法有(　　) A．6种 B．9种 C．12种 D．18种 解析：C　[三个年级的学生在三个时间段内各参观青铜器、瓷器、书画三个场馆，且每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，共有2Aeq \o\al(3,3)＝12(种)方法，故选C.] 3．某办公室共有6人，乘旅行车外出旅行，旅行车上的6个座位如图所示，其中甲、乙2人的关系较为密切，要求在同一排且相邻，则不同的安排方法有____________种． 解析：当甲、乙在第一、二排且相邻时有4Aeq \o\al(4,4)＝4×4×3×2×1＝96(种)排法，当甲、乙在第三排且相邻时有Aeq \o\al(2,2)Aeq \o\al(4,4)＝2×4×3×2×1＝48(种)排法，所以不同的安排方法总数为144种． 答案：144 4．(2024·武汉市调研)有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数： (1)选其中5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，甲不站在排头也不站在排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻； (6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人． 解：(1)从7个人中选5个人来排列，有Aeq \o\al(5,7)＝2 520(种)． (2)分两步完成，先选3人排在前排，有Aeq \o\al(3,7)(种)方法，余下4人排在后排，有Aeq \o\al(4,4)(种)方法，故共有Aeq \o\al(3,7)·Aeq \o\al(4,4)＝5 040(种)．事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件． (3)(优先法)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法，其余6人有Aeq \o\al(6,6)种方法，故共有5×Aeq \o\al(6,6)＝3 600(种)． (4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有Aeq \o\al(4,4)种方法，再将4名女生进行全排列，也有Aeq \o\al(4,4)种方法，故共有Aeq \o\al(4,4)×Aeq \o\al(4,4)＝576(种)． (5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，∴应先排女生，有Aeq \o\al(4,4)种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有Aeq \o\al(3,5)种方法，故共有Aeq \o\al(4,4)×Aeq \o\al(3,5)＝1 440(种)． (6)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人有Aeq \o\al(2,2)种方法，再从剩下的5人中选3人排到中间，有Aeq \o\al(3,5)种方法，最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人排列，有Aeq \o\al(3,3)种方法，故共有Aeq \o\al(2,2)×Aeq \o\al(3,5)×Aeq \o\al(3,3)＝720(种)． 求解排列应用问题的主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反、等价转化的方法 考点二　组合问题(师生共研) [典例]　某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种． (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？ [解析]　(1)从余下的34种商品中，选取2种有Ceq \o\al(2,34)＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561(种)． (2)从34种可选商品中，选取3种，有Ceq \o\al(3,34)种或者Ceq \o\al(3,35)－Ceq \o\al(2,34)＝Ceq \o\al(3,34)＝5 984(种)． ∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种． (3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有Ceq \o\al(1,20)Ceq \o\al(2,15)＝2 100(种)． ∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种． (4)选取2种假货有Ceq \o\al(1,20)Ceq \o\al(2,15)种，选取3件假货有Ceq \o\al(3,15)种，共有选取方式Ceq \o\al(1,20)Ceq \o\al(2,15)＋Ceq \o\al(3,15)＝2 100＋455＝2 555(种)． ∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555(种)． (5)选取3件的总数为Ceq \o\al(3,35)，因此共有选取方式 Ceq \o\al(3,35)－Ceq \o\al(3,15)＝6 545－455＝6 090(种)． ∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090(种)． 组合问题常有以下两类题型 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． 提醒：区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关． [跟踪训练] 1．(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A．30种　 B．60种　　 C．120种　 D．240种 解析：C　[首先确定相同得读物，共有Ceq \o\al(1,6)种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有Aeq \o\al(2,5)种， 根据分步乘法公式，则共有Ceq \o\al(1,6)·Aeq \o\al(2,5)＝120(种)．故选C.] 2．(2024·大理市模拟)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是(　　) A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 解析：D　[因为1,2,3，…，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故有Ceq \o\al(4,5)＋Ceq \o\al(4,4)＋Ceq \o\al(2,5)Ceq \o\al(2,4)＝66(种)不同的取法．故选D.] 3．五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服．由于灯光暗淡，看不清自己的外衣，则至少有两人拿对自己的外衣的情况有(　　) A．30种 B．31种 C．35种 D．40种 解析：B　[分类：第一类，两人拿对：2×Ceq \o\al(2,5)＝20(种)；第二类，三人拿对：Ceq \o\al(3,5)＝10(种)；第三类，四人拿对与五人拿对一样，所以有1种．故共有20＋10＋1＝31(种)．故选B.] 考点三　分组分配问题(多维探究) [命题角度1]　整体均分问题　 1．(2024·烟台质检)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　) A．60种　　　　　　　 B．120种 C．240种 D．480种 解析：C　[平均分组问题．先分组有eq \f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(3,3))＝10种，再排序10Aeq \o\al(4,4)＝240种．] 对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq \o\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数． [跟踪训练] 国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有____________种不同的分派方法． 解析：先把6个毕业生平均分成3组，有eq \f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有Aeq \o\al(3,3)＝6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有eq \f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))·Aeq \o\al(3,3)＝90(种)分派方法． 答案：90 [命题角度2]　部分均匀问题　 2．有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有____________种． 解析：先把4名学生分为2、1、1的3组，有eq \f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＝6(种)分法，再将3组对应3个学校，有Aeq \o\al(3,3)＝6(种)情况，则共有6×6＝36(种)不同的保送方案． 答案：36 对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数． [跟踪训练] 有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为(　　) A．150　　 B．180　　　 C．200　　 D．280 解析：A　[第1步：将5名学生分成3组，有两种情况，第一类：按3,1,1分组，有Ceq \o\al(3,5)种分法；第2类：按2,2,1分组，有eq \f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))种分法，由分类加法计数原理得，共有Ceq \o\al(3,5)＋eq \f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))＝25(种)不同的分组方式；第2步：分配到3个班去，有Aeq \o\al(3,3)种分法，由分步乘法计数原理得，共有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(3,5)＋\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))))Aeq \o\al(3,3)＝25×6＝150(种)不同的分配方法．故选A.] [命题角度3]　不等分问题　 3．若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有____________种不同的分法． 解析：将6名教师分组，分三步完成： 第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有Ceq \o\al(1,6)种取法； 第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有Ceq \o\al(2,5)种取法； 第3步，余下的3名教师作为一组，有Ceq \o\al(3,3)种取法． 根据分步乘法计数原理，共有Ceq \o\al(1,6)Ceq \o\al(2,5)Ceq \o\al(3,3)＝60(种)取法． 再将这3组教师分配到3所中学，有Aeq \o\al(3,3)＝6(种)分法， 故共有60×6＝360(种)不同的分法． 答案：360 对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． [跟踪训练] (2024·盐城市二模)班主任从甲、乙、丙三位同学中安排四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有(　　) A．60种 B．54种 C．48种 D．36种 解析：B　[第一种情况，甲、乙、丙三位同学都有安排时，先从3个人中选1个人，让他担任两门学科的课代表，有Ceq \o\al(1,3)＝3种结果，然后从4门学科中选2门学科给同一个人，有Ceq \o\al(2,4)＝6种结果，余下的两个学科给剩下的两个人，有Aeq \o\al(2,2)＝2种结果，所以不同的安排方案共有3×6×2＝36种，第二种情况，甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时，先选两人出来，有Ceq \o\al(2,3)＝3种结果，再将四门不同学科分成两堆，有eq \f(C\o\al(2,4),A\o\al(2,2))＝3种结果，将学科分给学生，有Aeq \o\al(2,2)＝2种结果，所以不同的安排方案共有3×3×2＝18种，综合得不同的安排方案共有36＋18＝54种．] $$