8.2 用样本估计总体（课件PPT）-【创新教程】2025年高考数学艺考生文化课总复习（新教材）

第2节　用样本估计总体 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 夯实 必备知识 跃升 关键能力 01 02 课时作业 04 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学（新教材） 第八章 统计与成对数据的统计分析 课程标准 1.结合实例，能用样本估计总体的取值规律． 2．会列频率分布表，画频率分布直方图，能根据频率分布表和频率分布直方图观测数据的分布规律． 3．了解不同的统计图在表示数据上有不同的特点． 4．结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义，会求样本数据的第p百分位数． 5．结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，会求样本数据的平均数、中位数、众数并理解它们的统计含义和作用． 6．结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，会求样本数据的方差、标准差、极差，理解离散程度参数的统计含义. 核心素养 1.频率分布直方图，达成数据分析和逻辑推理的素养． 2．第p百分位数的应用，达成数据分析和逻辑推理的素养． 3．样本的数字特征，提升数据分析、逻辑推理的素养和数学运算的素养 考情聚焦 　　预计在2025年的高考中用样本估计总体的考查主要有三点： 1．频率分布直方图、折线图和条形图． 2．根据频率分布直方图、折线图、条形图估计总体． 3．在实际问题中的应用．要正确审题，搞清概念、记准公式、数形结合、适当转化．常在选择题、填空题中考查，在解答题与概率、统计综合起来考查，一般难度不会太大，属中低档题型 [必备知识] 1．频率分布直方图 (1)绘制步骤：①求　极差　，即一组数据中的最大值与最小值的差． ②决定　组距　与　组数　.组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数也越　多　.当样本容量不超过100时，常分成5—12组．为方便起见，一般取　等长　组距，并且组距应力求“　取整　”． ③将数据　分组　. ④列　频率分布　表．计算各小组的频率，第i组的频率是　eq \f(第i组频数,样本容量)　. ⑤画频率分布直方图．其中横轴表示分组，纵轴表示　eq \f(频率,组距)　.实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，它反映了各组样本观测数据的　疏密　程度． (2)意义：各个小长方形的面积表示相应各组的　频率　，频率分布直方图以　面积　的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小，各小长方形的面积的总和等于　1　. (3)总体取值规律的估计：我们可以用样本观测数据的　频率分布　估计总体的取值规律． (4)频率分布直方图的特征：当频率分布直方图的组数少、组距大时，容易从中看出数据整体的分布特点，但由于无法看出每组内的数据分布情况，损失了较多的　原始数据信息　；当频率分布直方图的组数多、组距小时，保留了较多的原始数据信息，但由于小长方形较多，有时图形会变得非常　不规则　，不容易从中看出总体数据的分布特点． 2．其他统计图 (1)不同的统计图在表示数据上有不同的特点．如扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的　比例　，条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的　频数　和　频率　，折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势． (2)不同的统计图适用的数据类型也不同．如条形图适用于描述 　离散型　的数据，直方图适用于描述　连续型　数据． 3．第p百分位数 (1)第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有　p%　的数据小于或等于这个值，且至少有　(100－p)%　的数据大于或等于这个值． (2)计算第p百分位数的步骤：第1步，按从　小　到　大　排列原始数据．第2步，计算i＝　n×p%　.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为　第j项　数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的　平均数　. (3)四分位数：常用的分位数有第　25　百分位数、第　50　百分位数、第　75　百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成　四等　份，因此称为四分位数．其中第　25　百分位数也称为第一个四分位数或下四分位数等，第　75　百分位数也称为第三个四分位数或上四分位数等． 4．平均数 (1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商．数据x1，x2，…，xn的平均数为eq \o(x,\s\up16(－))＝ .在频率分布直方图中，平均数eq \o(x,\s\up16(－))＝，其中fi为第i个小矩形对应的频率，xi为第i个小矩形底边中点的横坐标． (2)特征：样本平均数与　每一个　样本数据有关，样本中的任何一个数据的改变都会引起　平均数　的改变，这是中位数不具有的性质．所以与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多　信息　，但平均数受样本中的　极端值　的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低． 5．中位数 (1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于　中间　位置的数称为这组数据的中位数．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积　相等　. (2)特征：一组数据中的中位数是　唯一　的，中位数只利用了样本数据中间位置的　一个　或　两个　值，并未利用其他数据，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起　中位数　的改变． 6．众数 (1)定义：一组数据中出现次数　最多　的数称为这组数据的众数．在频率分布直方图中，众数是最高矩形的底边的　中点　. (2)特征：一组数据中的众数可能　不止　一个．众数只能告诉我们它比其他值出现的次数多，但并未告诉我们它比别的数值多的程度．因此，众数只能传递数据中信息的　很少一部分　，对极端值也不敏感． 7．极差 (1)定义：一组数据中最大值与最小值的　差　. (2)特征：用极差是一种简单的度量数据　离散程度　的方法，极差在一定程度上刻画了数据的离散程度．但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的　信息量　很少． 8．方差、标准差 (1)方差、标准差的定义：一组数据x1，x2，…，xn，用eq \o(x,\s\up16(－))表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为eq \f(1,n) (xi－eq \o(x,\s\up16(－)))2＝　　，标准差为. (2)总体方差、总体标准差的定义：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为eq \o(Y,\s\up16(－))，则称s2＝　　为总体方差，s＝　eq \r(s2)　为总体标准差．如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为s2＝　. (3)样本方差、样本标准差的定义：如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为eq \o(y,\s\up16(－))，则称s2＝ 　为样本方差，s＝eq \r(s2)为样本标准差． (4)特征：标准差、方差刻画了数据的　离散　程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越　大　；标准差越小，数据的离散程度越　小　.在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用　标准差　. 　 频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数的估计值． (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的． (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率．(　　 ) (2) 频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间内的频率越高．(　　 ) (3)在频率分布直方图中，样本数据的80%分位数即由小到大分组的累计频率为0.8对应的数据．(　　 ) (4)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．(　　 ) (5)一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据．(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)× [小题查验] 1．(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量 (单位：kg)，并部分整理得下表： 亩产量 [900， 950) [950， 1 000) [1 000， 1 050) [1 100， 1 150) [1 150， 1 200) 频数 6 12 18 24 10 据表中数据，下列结论正确的是(　　) A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg到300 kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg到1 000 kg之间 解析：C　[对于A, 根据频数分布表可知，6＋12＋18＝36＜50， 所以亩产量的中位数不小于1 050 kg, 故A错误； 对于B，亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例为eq \f(6＋12＋18＋30,100)×100%＝66%，故B不正确； 对于C，稻田亩产量的极差最大为1 200－900＝300，最小为1 150－950＝200，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，亩产量在[1 050，1 100]的频数为100－(6＋12＋18＋24＋10)＝30， 所以平均值为eq \f(1,100)×(6×925＋12×975＋18×1 025＋30×1 075＋24×1 125＋10×1 175)＝1 067，故D错误．] 2．(2023·新课标Ⅰ卷)(多选题)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　) A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 解析：BD　[因为eq \f(x2＋x3＋x4＋x5,4)－ eq \f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6,6) ＝eq \f(x2＋x3＋x4＋x5－2x1＋x6,12)≠0， 所以A错误；因为x1是最小值，x6是最大值，所以x2，x3，x4，x5的中位数的位置与x1，x2，…，x6的中位数的位置相同，所以B正确；因为x1是最小值，x6是最大值，距离数据x1，x2，…，x6的平均值较远，即波动性大，所以标准差大，所以C错误；假设x2，x3，x4，x5的最小值为x2，最大值为x5，则x1≤x2，x5≤x6，所以x6－x1≥x5－x2，所以D正确．故选BD.] 3．(2023·上海卷)国内生产总值(GDP)是衡量地区经济状况的最佳指标．根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳步增长，第一季度和第四季度的GDP分别为232和241，且四个季度GDP的中位数与平均数相等，则2020年的GDP总额为____________亿元． 解析：a＜b＜c＜d，a＝232，d＝241，a＋d＝b＋c＝473，a＋b＋c＋d＝946. 答案：946 考点一　频率分布直方图(自主练透) 1．学校根据某班的期中考试成绩绘制了频率分布直方图(如图所示)，根据图中所给的数据可知a＋b＝(　　) A．0.024　　　　　　 B．0.036 C．0.06 D．0.6 解析：C　[根据频率分布直方图得，(0.01＋a＋b＋0.018＋0.012)×10＝1，解得a＋b＝0.06.故选C.] 2．某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示． (1)直方图中的a＝____________； (2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为____________． 解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1×a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3. (2)区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6. 因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000. 答案：(1)3　(2)6 000 用频率分布直方图解决相关问题时，应正确理解图表中各个量的意义，识图掌握信息是解决该类问题的关键．频率分布直方图有以下几个要点： (1)纵轴表示频率/组距； (2)频率分布直方图中各长方形高的比也就是其频率之比； (3)直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率，所有的小矩形的面积之和等于1，即频率之和为1. 考点二　百分位数及应用(自主练透) 1．一组数据为6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36，则这组数据的下四分位数是(　　) A．47　　　　　　　　　 B．49 C．7 D．15 解析：D　[由小到大排列的结果：6,7,15,36,39,40,41,42,43,47,49，一共11项． 下四分位数即第25百分位数，由11×25%＝2.75，得下四分位数是第3项数据15.] 2．某班的全体学生参加消防安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．估计本班学生的消防安全知识成绩的第90百分位数是(　　) A．93 B．80 C．90 D．95 解析：A　[由直方图得，从左到右的第一、二、三、四小组的频率分别是0.10、0.20、0.40、0.30. 第一、二、三小组的频率之和为0.10＋0.20＋0.40＝0.70＜0.90，所以第90百分位数处在第四组[80,100]内，为80＋20×eq \f(0.90－0.70,1.00－0.70)≈93.] 3．一组数据12,34,15,24,39,25,31,48,32,36,36,37,42,50的第25,75百分位数分别是____________、____________. 解析：把数据从小到大排序为12,15,24,25,31,32,34,36,36,37,39,42,48,50共14个数， 14×25%＝3.5,14×75%＝10.5，所以第25,75百分位数分别是第4,11项数据，即是25,39. 答案：25　39 计算第p百分位数的步骤 (1)按从小到大排列原始数据． (2)计算i＝n×p%. (3)若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 提醒：频率分布表和频率分布直方图与原始数据相比，它们损失了一些信息．计算第p百分位数的值，根据累计频率先推算这个值所在的区间，再把区间内的数据看成均匀分布，估计这个值． 考点三　样本的数字特征(多维探究) [命题角度1]　样本的数字特征与直方图交汇　 [典例1]　某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2024年11月11日的网购金额，所得数据如下表： 网购金额(单位：千元) 人数 频率 (0,1] 16 0.08 (1,2] 24 0.12 (2,3] x p (3,4] y q (4,5] 16 0.08 (5,6] 14 0.07 总计 200 1.00 已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2. (1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图(如图)； (2)该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这200名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中确定5人进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？ 解：(1)根据题意有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(16＋24＋x＋y＋16＋14＝200，,\f(16＋24＋x,y＋16＋14)＝\f(3,2)，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝80，,y＝50，))∴p＝0.40，q＝0.25. 补全频率分布直方图如图所示． (2)根据题意，抽取网购金额在(1,2]内的人数为 eq \f(24,24＋16)×5＝3(人)． 抽取网购金额在(4,5]内的人数为eq \f(16,24＋16)×5＝2(人)． 故此2人来自不同群体的概率P＝eq \f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq \f(3,5). 样本的数字特征与直方图交汇是考试常见内容，时刻牢记，频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系，准确计算． [命题角度2]　样本的数字特征与优化决策问题　 [典例2]　(2023·全国乙卷)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1,2，…，，10)，试验结果如下 试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩 率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩 率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi＝xi－yi(i＝1,2，…，10)，记z1，z2，…，z10的样本平均数为eq \x\to(z)，样本方差为s2. (1)求eq \x\to(z)，s2. (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果eq \x\to(z)≥2eq \r(\f(s2,10))，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)． [解]　(1)eq \x\to(x)＝eq \f(1,10)(545＋533＋551＋522＋575＋544＋541＋568＋596＋548)＝552.3， eq \x\to(y)＝eq \f(1,10)(536＋527＋543＋530＋560＋533＋522＋550＋576＋536)＝541.3， eq \x\to(z)＝eq \x\to(x)－eq \x\to(y)＝552.3－541.3＝11， zi＝xi－yi的值分别为：9,6,8，－8,15,11,19,18,20,12， 故s2＝eq \f(1,10)[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61. (2)由(1)知：eq \x\to(z)＝11,2eq \r(\f(s2,10))＝2eq \r(6.1)＝eq \r(24.4)，故有eq \x\to(z)≥2eq \r(\f(s2,10))， 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． 平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．在实际决策中，方差越小，波动越小，成绩越稳定． [跟踪训练] (2024·重庆质检)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为eq \o(x,\s\up16(－))和eq \o(y,\s\up16(－))，样本方差分别记为seq \o\al(2,1)和seq \o\al(2,2). (1)求eq \o(x,\s\up16(－))，eq \o(y,\s\up16(－))，seq \o\al(2,1)，seq \o\al(2,2)； (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果eq \o(y,\s\up16(－))－eq \o(x,\s\up16(－))≥2eq \r(\f(s\o\al(2,1)＋s\o\al(2,2),10))，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)． 解：(1)由表中的数据可得：eq \o(x,\s\up16(－))＝ eq \f(9.8＋10.3＋10.0＋10.2＋9.9＋9.8＋10.0＋10.1＋10.2＋9.7,10)＝10.0， eq \o(y,\s\up16(－))＝eq \f(10.1＋10.4＋10.1＋10.0＋10.1＋10.3＋10.6＋10.5＋10.4＋10.5,10)＝10.3， seq \o\al(2,1)＝eq \f(1,10)[(9.8－10.0)2＋(10.3－10.0)2＋(10.0－10.0)2＋(10.2－10.0)2＋(9.9－10.0)2＋(9.8－10.0)2＋(10.0－10.0)2＋(10.1－10.0)2＋(10.2－10.0)2＋(9.7－10.0)2]＝0.036， seq \o\al(2,2)＝eq \f(1,10)[(10.1－10.3)2＋(10.4－10.3)2＋(10.1－10.3)2＋(10.0－10.3)2＋(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋(10.6－10.3)2＋(10.5－10.3)2＋(10.4－10.3)2＋(10.5－10.3)2]＝0.04； (2)由(1)中的数据可得eq \o(y,\s\up16(－))－eq \o(x,\s\up16(－))＝10.3－10.0＝0.3， 2eq \r(\f(s\o\al(2,1)＋s\o\al(2,2),10))＝2eq \r(\f(0.036＋0.04,10))＝2eq \r(0.0076)， 则0.3＝eq \r(0.09)＞2eq \r(0.0076)＝eq \r(0.0304)， 所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高． $$