精品解析：江苏省靖江高级中学2024-2025学年高三上学期第一次阶段考试（10月）数学试题

江苏省靖江高级中学2024—2025学年第一学期第一次阶段考试 高三数学试卷 一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共计40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则点Z的集合为以为圆心，1为半径的圆 C. 若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 D. 若，则点Z的集合中有且只有两个元素 3. 若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 设是公比为的无穷等比数列，为其前n项和，，则“存在最小值”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4 6. 已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 若函数在上有3个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3题，每小题6分，共计18分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，一动点从点开始，以的角速度逆时针绕坐标原点做匀速圆周运动，后到达点的位置．设，记，则（ ） A. B. 当时，取得最小值 C. 点是曲线的一个对称中心 D. 当时，的单调递增区间为 10. 定义：两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是（ ） A. 若平行四边形的面积为4，则 B. 在正中，若，则 C. 若，，则的最小值为12 D. 若，，且为单位向量，则的值可能为 11. 若数列满足：，对，有成立，则（ ） A. B. ，使得 C. 对，都有 D. 对，都有 三、填空题：本大题共3题，每小题5分，共计15分. 12. 已知，则的最小值为______. 13. 已知函数，数列满足，，，，则__________. 14. 已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，已知角，，若是锐角三角形，则的面积为S的取值范围为______；若是钝角三角形，则边a的取值范围为______. 四、解答题：本大题共5题，共计77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）求的值. （2）已知函数，若，，求的值. 16. 在中，内角的对边分别为， （1）求； （2）若点在内部，满足，且的面积为， ①求的值； ②求的值. 17. 设函数，其中. （1）若，且对任意的，都有，求实数的取值范围； （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围； （3）若对任意的，，都有，求实数的取值范围. 18. 已知数列的前项和为，满足，数列是等比数列，公比. （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足，其中. （i）求数列的前2024项和； （ii）求. 19. 定义运算：，已知函数． （1）若函数的最大值为0，求实数a的值； （2）证明：． （3）若函数存在两个极值点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省靖江高级中学2024—2025学年第一学期第一次阶段考试 高三数学试卷 一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共计40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解对数不等式及函数值域分别求出集合，再应用并集定义计算即可. 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以， ， 所以. 故选：A. 2. 设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则点Z的集合为以为圆心，1为半径的圆 C. 若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 D. 若，则点Z的集合中有且只有两个元素 【答案】C 【解析】 【分析】根据的几何意义可知Z的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，由此可判断A;由得几何意义是表示以为圆心，1为半径的圆，可判断B; 由的几何意义是表示以原点为圆心，分别以1和为半径的两圆所夹的圆环,求出圆环的面积，可判断C；由的几何意义是表示以点，为端点的线段的垂直平分线，可判断D. 【详解】若，则点Z的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，有无数个圆上的点与复数z对应，故A错误； 若，则点Z的集合为以为圆心，1为半径的圆，故B错误； 若，则点Z的集合为以原点为圆心，分别以1和为半径的两圆所夹的圆环，所以点Z的集合所构成的图形的面积为 ，故C正确; 若，则点Z的集合是以点，为端点的线段的垂直平分线，集合中有无数个元素，故D错误, 故选:C． 3. 若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合对数运算性质及对数函数的单调性比较的大小，结合基本不等式及对数函数单调性比较的大小，可得结论. 【详解】， 而，且． 所以，故． 故选：D. 4. 设是公比为的无穷等比数列，为其前n项和，，则“存在最小值”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举出反例可得其充分性不成立，假设，借助等比数列的性质可得其必要性，即可得解. 【详解】当，时，有， 则有最小值， 故“存在最小值”不是“”的充分条件； 若，由，则， 故必有最小值，故“存在最小值”是“”的必要条件； 即“”是“存在最小值”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】在平面直角坐标系中，设，，，根据平面向量数量积的坐标运算可得出，的值，以及的值，再利用平面向量的模长公式以及基本不等式可求得的最小值. 【详解】在平面直角坐标系中，设，，， 因为，，， 所以, 所以， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 6. 已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的单调性结合分段函数性质列不等式计算求解. 【详解】因为数列是单调递增数列，则函数在上为增函数，可得， 函数在上为增函数，可得，可得， 且有，即，即，解得或. 综上所述，. 故选：C. 7. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差中项和三角恒等变换化简得，然后结合和差公式将所求化简为关于的表达式，利用基本不等式可得. 【详解】由题知，由正弦定理得， 即， 因为，所以， 又， 所以，得， 所以最多有一个是钝角，所以， 因为 ， 由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3. 故选：B 【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换和三角形内角和定理，将已知和所求转化为的表达式，即可利用基本不等式求解. 8. 若函数在上有3个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在上零点的个数，讨论的范围，分别确定在上零点的个数，进一步确定的范围，进而可得答案. 【详解】令，则或， 由得， 当时，，在上没有零点， 则在上应有3个零点，所以， 即，与联立得； 当时，在上有1个零点， 在上，因为，所以， 所以有3个零点，不满足题意； 当时，在上有2个零点， 在上应有1个零点， 所以，即，与联立得， 综上得的取值范围是.故C正确. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3题，每小题6分，共计18分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，一动点从点开始，以的角速度逆时针绕坐标原点做匀速圆周运动，后到达点的位置．设，记，则（ ） A. B. 当时，取得最小值 C. 点是曲线的一个对称中心 D. 当时，的单调递增区间为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义求出点的坐标，求出并利用差角的余弦化简，再逐项判断即得. 【详解】依题意，后，质点走过的弧度数为，则， 对于A， ，A正确； 对于B，为的最大值，B错误； 对于C，，点是曲线的一个对称中心，C正确； 对于D，当时，为的最大值，而， 因此在上不单调，D错误. 故选：AC 10. 定义：两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是（ ） A. 若平行四边形的面积为4，则 B. 在正中，若，则 C. 若，，则的最小值为12 D. 若，，且为单位向量，则的值可能为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据两个向量叉乘的模的定义及向量数量积的运算逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为平行四边形的面积为4，所以， 所以，故A正确； 对于B，因为， 所以，所以B正确； 对于C，因为，，所以，， 所以，因为，所以，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以C错误； 对于D，若，，且为单位向量， 则当，，，时，， ， 此时，所以D正确. 故选：ABD. 11. 若数列满足：，对，有成立，则（ ） A. B. ，使得 C. 对，都有 D. 对，都有 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，可得为等差数列，可判断A；放缩得，然后利用裂项相消法求和可判断B；构造函数，利用导数证明，累加可判断C；构造函数，利用导数证明，累加可判断D. 【详解】对A，令，则，所以是以1为首项和公差的等差数列， 所以，所以，故，A正确； 对B，因为， 所以， 所以，即，B错误； 对C，记，则， 所以在上单调递增， 又，所以，当时，，即， 所以， 所以， C正确； 对D，记，则， 所以在上单调递增， 又，所以，所以， 所以， 累加得， 即，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：CD选项关键在于合理构造函数和，利用导数证明不等式和，然后累加即可得解. 三、填空题：本大题共3题，每小题5分，共计15分. 12. 已知，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由，两边取对数后可得，即得，令，再结合基本不等式得恒成立，从而可求解. 【详解】由，两边取对数得，即， 所以， 令，因为， 所以，当且仅当时取等号， 所以恒成立，又因为函数在其定义域上单调递增， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数，数列满足，，，，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数性质分析可知：在上单调递增，且为奇函数，进而可得，结合数列周期性分析求解. 【详解】由题意可知：的定义域为， 且，即， 可知为定义在上的奇函数； 且， 因为在上单调递增，可知在上单调递增； 综上所述：在上单调递增，且为奇函数. 因为，则， 可得，即， 由可知：3为数列的周期，则， 且，所以. 故答案为：3. 14. 已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，已知角，，若是锐角三角形，则的面积为S的取值范围为______；若是钝角三角形，则边a的取值范围为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】若是锐角三角形，先利用正弦定理求出，再表达出锐角三角形的面积，求出的范围，即可求解；若是钝角三角形，分别讨论为钝角及为钝角，结合直角的临界状态计算即可得. 【详解】由正弦定理得，所以， 故， 又因为是锐角三角形，所以，故， 所以，，故， 即的面积为S的取值范围为； 因为是钝角三角形， 若为钝角，如图，作于点，有， 即，即， 若为钝角，如图，作于点，有， 即，即， 综上所述：的取值范围是； 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：当是钝角三角形，关键点在于分为钝角及为钝角，分别找出直角的临界情况求出范围. 四、解答题：本大题共5题，共计77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）求的值. （2）已知函数，若，，求的值. 【答案】（1）0；（2）. 【解析】 【分析】（1）依次化切为弦，利用诱导公式、辅助角公式和二倍角公式化简计算即得； （2）利用诱导公式、降幂公式和辅助角公式将函数化成正弦型函数，由化简得，利用角的范围求出，再根据拆角变换化简求值即得. 【详解】（1）由 ； （2）由 . 因，可得 即得， 因，则， 故. 由 . 16. 在中，内角的对边分别为， （1）求； （2）若点在内部，满足，且的面积为， ①求的值； ②求的值. 【答案】（1）或 （2）①；②8 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得到，结合的范围即可得解； （2）首先得，①由等面积法得，结合数量积的定义即可求解；②思路一：由三角形面积公式得，结合余弦定理以及即可求解；思路二：通过分析得出，结合数量积的运算律即可求解；思路三：先利用面积得，设，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，从而化简求值即可. 【小问1详解】 因为， ， 所以由得， 所以，因为， 所以或； 【小问2详解】 因为点在内部，所以，所以， ①设，由得： 整理得 则； ②方法一：由余弦定理知， 又；所以， 由①知，所以， 因为，所以， 所以即； 方法二：由（1）知， 因为，由，所以， 所以， 故， 所以， 所以； 方法三：因为的面积为，故，所以， 设，则， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 . 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问的第②问的关键是得到，进一步利用解三角形知识或者向量知识即可顺利得解. 17. 设函数，其中. （1）若，且对任意的，都有，求实数的取值范围； （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围； （3）若对任意的，，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，解不等式得解集，再根据不等式的解集与集合的关系求的取值范围. （2）转化成关于的一次函数的值域问题求解. （3）转化为二次函数在给定区间的最大最小值问题求解. 【小问1详解】 当时，，由， 由题意：，所以. 所以的取值范围为. 【小问2详解】 对任意，恒成立， 即，恒成立. 所以或. 所以所求的取值范围是：. 【小问3详解】 问题转化为，的最大值与最小值的差小于等于8. 抛物线的对称轴为：. 当时，函数在上单调递增， 由，结合，无解； 当时，函数函数在上单调递减，在上单调递增，函数的最大值为，最小值为， 由，结合，得； 当时，函数函数在上单调递减，在上单调递增，函数的最大值为，最小值为， 由，结合得：； 当时，函数在上单调递减， 由，结合，无解. 综上可知，的取值范围是： 18. 已知数列的前项和为，满足，数列是等比数列，公比. （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足，其中. （i）求数列的前2024项和； （ii）求. 【答案】（1）， （2）（i），（ii） 【解析】 【分析】（1）利用的关系作差结合等比数列的定义计算可求和的通项公式； （2）（i）根据题意利用等比数列求和公式结合分组求和法计算即可，（ii）根据题意先得出，利用等比数列求和公式及分组求和法计算即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以， 显然符合上式，所以， 由题意， 所以. 【小问2详解】 （i）易知， 即数列的前2024项中有项分别为，其余项均为1， 故数列的前2024项和； （ii）由（1）知，而， 所以， 易知，， 所以 19. 定义运算：，已知函数． （1）若函数的最大值为0，求实数a的值； （2）证明：． （3）若函数存在两个极值点，证明：． 【答案】（1）1 （2） 由（1）知，，即， 当时， ． ． ． （3） “函数存在两个极值点”等价于 “方程有两个不相等的正实数根” 故，解得， 要证，即证， ，不妨令，故 由得，令 在恒成立， 所以函数在上单调递减，故． 成立． 【解析】 【分析】（1）利用定义的运算得到的解析式，结合导数求最大值的方法，建立关于的方程，解方程得解. （2）借助（1）问中的结论，，得到，然后利用不等式性质，即裂项相消求和法，从而得证. （3）将极值点个数问题转化为到导函数零点个数问题，从而得出，将所证转化为，通过消元，然后构造函数，借助导数证明即可. 【小问1详解】 由题意知：，， ①当时，，在单调递减，不存在最大值． ②当时，由得， 当，；，， 函数的增区间为，减区间为． ，令，求导得， 当时，，函数递减，当时，，函数递增， 因此，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第（1）小问关键在于读懂新定义运算，得到解析式，然后借助导数求最大值，第（2）小问关键，借助（1）中得到的结论，，得到，其中的放缩很关键；第（3）问的关键是将极值点个数问题等价为导函数零点个数问题，从而得出的结论，最后双元变单元，再一次构造函数从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $