专题05 数据的集中趋势和离散程度+等可能条件下的概率（考题猜想，易错必刷48题16种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

专题05 数据的集中趋势和离散程度+等可能条件下的概率（易错必刷48题16种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求一组数据的平均数 题型二 已知平均数求相关数据的值 题型三 利用平均数做决策 题型四 求加权平均数 题型五 运用加权平均数做决策 题型六 求中位数、众数 题型七 利用中位数、众数做决策 题型八 求方差 题型九 运用方差做决策 题型十 等可能性 题型十一 概率的意义理解 题型十二 概率的相关计算 题型十三 几何概率 题型十四 列表法或树状图法求概率 题型十五 数据的集中趋势和离散程度大题 题型十六 等可能条件下的概率大题 一．求一组数据的平均数 1．一次考试中，第二小组10名同学与全班平均分85的差分别是2，9，，，8，0，11，，，3，则这个小组的平均分是（   ） A．89分 B． 分 C．分 D．以上答案都不对 2．已知一组数据，，，的平均数是5，则另一组数据，，，的平均数是 ． 3．将连续的奇数1，3，5，7，9，…，39，排成如图所示的数阵． 1   3   5   7 9  11  13  15      … 33  35  37  39 (1)如图，求方框中四个数的平均数； (2)如果用方框任意圈住四个数，设方框左上角的数为a．求方框中四个数的和（用含a的代数式表示），并说明这个和能被4整除． 二．已知平均数求相关数据的值 1．若一组数据，，，，的平均数为，则，的平均数为（ ） A． B． C． D． 2．已知一组数据、、、、的平均数是5，则另一组新数据、、、、的平均数是 ． 3．体育课上，某班男同学进行了跑的测验，达标成绩为．下表反映了某小组10名男生的成绩情况（单位：），比多和少的成绩分别记为正和负． 人数 1 2 3 2 2 差值    0 (1)有1名男生的成绩被弄污了，但知道他的测验成绩是，则表格中弄污处的值______； (2)这个小组男生的平均成绩是多少秒? 三．利用平均数做决策 1．某单位有1名经理、2名主任、2名助理和11名普通职员，他们的月工资各不相同．若该单位员工的月平均工资是1500元，则下列说法中正确的是（　　） A．所有员工的月工资都是1500元 B．一定有一名员工的月工资是1500元 C．至少有一名员工的月工资高于1500元 D．一定有一半员工的月工资高于1500元 2．如图是一，二两组同学将本组最近5次数学平均成绩，分别绘制成的折线统计图．由统计图可知： （1）二组成绩中，平均成绩最大是第 次； （2）在这五次成绩中， 组进步更大．（选填“一”或“二”） 3．综合与实践 【问题情境】某校组织九年级名学生开展体育中考前的“引体向上提升”训练活动 【实践发现】为了考查训练效果，在进行提升训练前学校先组织全体学生进行了摸底测试，经过提升训练后再进行模拟考试，并用抽样调查的方式从中随机抽取了名学生提升训练前后的摸底测试和模拟考试的成绩，收集整理后，制成如下表格： 摸底 测试 成绩（个） 人数（人） 模拟 考试 成绩（个） 人数（人） 【问题解决】 (1)求这名学生摸底测试的平均成绩是多少个？ (2)求这名学生经过训练后，模拟考试的平均成绩？ (3)问这名学生经过训练后，成绩有没有进步？请说明原因？ 四．求加权平均数 1．某公司招聘，笔试和面试成绩各占成绩的和，应聘者芃芃笔试成绩x分，面试成绩y分，应聘者宁宁笔试成绩y分，面试成绩x分，而他们的总成绩相差4分，则的值为（   ） A．6 B．4 C．10 D．20 2．某公司欲招聘员工，对候选人进行三项测试：语言、创新、综合知识，并把测试得分按比例确定测试总分，已知某候选人三项得分分别为88，72，52，则这位候选人的招聘得分为 分． 3．某校决定从甲、乙、丙三名学生中选拔一名去市里参加“致敬英雄”演讲比赛， 因此对三名候选人进行了笔试和面试，三人的测试成绩如下表所示． 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 70 80 90 面试 90 70 70 根据录用程序，学校组织250 名学生采用投票推荐的方式，对三人进行民主测评，三人得票率（没有弃权，且每位同学只能推荐1人）如扇形统计图所示，每得一票记1分 (1)根据实际需要，学校将笔试、面试、民主评议三项得分按的比例确定个人成绩，请通过计算说明三人中谁将被录取． (2)请你设计一种确定个人成绩的规则，使得乙被录取，并直接写出此时甲、乙、丙三人的个人成绩． 五．运用加权平均数做决策 1．某校招聘一名教师，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试、面试，他们的各项成绩如下表所示．根据要求，学校将笔试、面试成绩按的比例确定各人的最后得分，然后录用得分最高的候选人．最终被录用的是（    ） 项目 测试成绩 甲 乙 丙 丁 笔试 80 70 75 90 面试 80 90 85 70 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．某校欲招聘一名初中数学教师．对甲、乙、丙三名应聘者进行了专业知识、教育理论、模拟课堂等三方面的测试，他们的各项成绩（单位：分）如下表所示： 专业知识 教育理论 模拟课堂 甲 67 73 86 乙 75 65 86 丙 72 71 75 如果将每位应聘者的专业知识、教育理论、模拟课堂的成绩按的比例确定，并录用平均成绩（百分制）最高的应聘者，则被录用的是 ． 3．某校德育处组织三好学生评比活动，每班只有一个名额．现某班有甲、乙、丙三各学生参与竞选，第一轮根据“品行规范”、“学习规范”进行量化考核．甲、乙、丙的量化考核成绩（单位：分）分别用两种方式进行了统计，如图1： (1)若计算甲、乙、丙三名学生第一轮“品行规范”、“学习规范”考核成绩平均分后，“品行规范”、“学习规范”考核成绩均不低于三名学生的平均分的学生，被推选为三好学生，直接判断应推选谁？ (2)为公平起见，老师决定进行第二轮竞选，由本班的50位学生进行投票，每票计6分，甲、乙、丙三人的得票情况如图2（没有弃权票，每名学生只能选一人）．若将“品行规范”、“学习规范”、“得票”三项测试得分按的比例确定最后成绩，通过计算谁将会被推选为三好学生． 六．求中位数、众数 1．某学校在6月6日全国爱眼日当天，组织学生进行了视力测试．小红所在的学习小组每人视力测试的结果分别为：5.0，4.8，4.5，4.8，4.6，这组数据的众数和中位数分别为（　　） A．4.8，4.74 B．4.8，4.5 C．5.0，4.5 D．4.8，4.8 2．年月日晚，全国和美乡村篮球大赛——“村”总决赛在贵州省台江县台盘村落下帷幕．随着村篮球赛的火遍全国，某班名学生参加定点投篮比赛，每人投篮次，投中的次数统计如下：．这组数据的中位数和众数分别是 ， ． 3．“直播+电商”作为新兴销售形式，对于拓宽农特产品销售渠道，助力乡村振兴起到了重要作用、某农村合作社帮助该村农民利用网络平台计划销售1000箱苹果，为确保苹果质量，检测人员随机抽取20箱进行测量，每箱苹果的质量统计如下： (1)补全条形统计图． (2)抽取20箱苹果质量的中位数为______，众数为______． (3)经调查，苹果市场的售价为6元/kg，若这批苹果全部售完，请估计这批苹果的总销售额． 七．利用中位数、众数做决策 1．为了解某公司员工的年收入情况，小丽随机调查了10名员工，其年收入（单位：万元）如下：4，4，5，5，5，6，6，6，8，20．下列说法正确的是（    ） A．平均数可以反映该公司员工年工资水平 B．众数是5 C．中位数是5.5 D．平均数6.6 2．在某次体育测试中，甲、乙两班成绩的平均数、中位数、方差如下表： 班级 人数 平均数/分 中位数/分 方差 甲班 45 82 91 19.3 乙班 45 87 89 5.8 规定学生个人成绩大于90分为优秀，则甲、乙两班中优秀人数更多的是 班（填“甲”或“乙”）． 3．2023年9月23日至10月8日第十九届亚运会在中国杭州举办，某校组织全校七、八年级学生举行了“亚运知识”竞赛，现分别在七、八两个年级中各随机抽取10名学生，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 七年级10名同学测试成绩统计如下：84，78，85，75，72，91，79，72，69，95 八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82 【整理数据】两组数据各分数段如下表所示： 成绩 七年级 1 5 2 a 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 b 72 八年级 80 80 c 33 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：__________，__________，__________． (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由． 八．求方差 1．如果一组数据的平均数是2，方差是2，则另一组数据的平均数和方差分别是（　　） A．2，2 B．2，6 C．4，4 D．4，18 2．一组数据0，1，1，1，2的方差为 ． 3．某校为弘扬中华优秀传统文化，在八、九年级各抽取5名同学开展传统文化知识竞赛．两班参赛选手成绩（满分为分）如图所示： (1)根据统计图所给的信息填空： 班级 平均数 中位数 众数 八年级 85 85 c 九年级 a b 100 ________，________，________； (2)若八年级又有一名学生参赛，考试成绩是80分，则八年级这6名选手成绩的平均数与原5名选手成绩的平均数相比会怎样变化？请说明理由； (3)计算两个年级参赛选手成绩的方差，并判断哪个年级代表队选手的成绩较为稳定？ 九．运用方差做决策 1．2022年，第19届亚运会将在中国浙江杭州举办，很多运动员为参加比赛进行了积极的训练．在选拔训练中，甲、乙、丙、丁四名射击运动员各射击10次，甲、乙两人的成绩如表所示，丙、丁两人的成绩如折线图所示．请你从平均数和方差两个角度分析，更有优势的运动员是（　　） 甲 乙 平均数/环 9 8 方差 1 1 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．甲、乙两个旅游团的游客人数相等，且每个团游客的平均年龄都是35岁，这两个团游客年龄的方差分别是，．导游小方喜欢带游客年龄相近的团队，若在这两个团中选择一个，则她应选 队． 3．某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）． 甲、乙两人射箭成绩统计表 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 9 4 7 4 6 乙 7 5 7 a 7 甲、乙两人射箭成绩折线统计图 小宇的作业： 解：， (1) ， ，甲成绩的众数是 ，乙成绩的中位数是 ． (2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线． (3)①请求出乙成绩的方差，并比较谁的成绩比较稳定． ②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中． 一十．等可能性 1．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 2．第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为 ． 3．在一个不透明的口袋中装着大小、外形等一模一样的个红球、个蓝球和个白球，它们已经在口袋中被搅匀了．请判断以下事情是不确定事件、不可能事件，还是必然事件． 从口袋中任意取出一个球，是一个白球； 从口袋中一次任取个球，全是蓝球； 从口袋中一次任意取出个球，恰好红蓝白三种颜色的球都齐了． 一十一．概率的意义理解 1．在抛掷一枚均匀硬币的试验中，如果没有硬币，我们可以用替代物，但下列物品不能做替代物的是（ ） A．一枚均匀的普通六面体骰子 B．两张扑克牌一张黑桃，一张红桃 C．两个只有颜色不同的小球 D．一枚图钉 2．动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是 ． 3．完成下列各题： (1)写出下列命题的条件和结论，并指出它是真命题还是假命题． ①面积相等的两个三角形全等； ②同角的补角相等； ③两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等． (2)任意投掷一枚均匀的骰子． ①掷出的点数小于4的概率是多少？ ②掷出的点数是奇数的概率是多少？ ③掷出的点数是7的概率是多少？ ④掷出的点数小于7的概率是多少？ (3)现有足够多除颜色外均相同的球，请你从中选12个球设计摸球游戏． ①使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等； ②使摸到红球、白球、黑球的概率都相等； ③使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都小于摸到黑球的概率． 一十二．概率的相关计算 1．某十字路口的交通信号灯有以下规律：红灯亮50秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，按照这个规律，不考虑其他因素，小明到达该十字路口恰好遇到绿灯的概率是（　　） A． B． C． D． 2．一个不透明的盒子中装有x颗白色弹珠和y颗黑色弹珠（弹珠除颜色外，其他均相同），从盒中随机取出一颗弹珠，取出白色弹珠的概率是．若再往盒中放进12颗同样的白色弹珠，取出白色弹珠的概率是，则原来盒中有黑色弹珠 颗． 3．有4张背面完全相同的卡片，其正面分别标有数字，0，1，2，将卡片的背面朝上，洗匀后，从中任意抽出1张，将卡片上的数字记录下来，放回洗匀后再从中任意抽出1张，同样将卡片上的数字记录下来． (1)求第一次抽出的卡片上数字是正数的概率； (2)小明、小亮做游戏，规则如下：若两次抽出的卡片上的数字的乘积为正数，则小明胜；若两次抽出的卡片上的数字的乘积为负数，则小亮胜．这个游戏规则对小明、小亮公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由． 一十三．几何概率 1．用一张正方形纸板，制成一副七巧板，如图1．在矩形区域内将它拼成一幅“火箭”图案，如图2．若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，对角线、交于点E，，，以点E为圆心作圆E，圆E与菱形的四条边相切，现随机向菱形内掷一枚小针，则针尖落在圆E的概率为 ． 3．向如图所示的正三角形区域内扔沙包，（区域中每个小正三角形陈颜色外完全相同）沙包随机落在某个正三角形内． (1)扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是 ． (2)要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，还要涂黑几个小正三角形？请在图中画出． 一十四．列表法或树状图法求概率 1．第届深圳国际导热散热材料及设备展览会将于年月日在深圳国际会展中心举办，若小张随机从三个入口中选择一个进入，再随机从两个出口中选择一个离开，则小张从口进入，口离开的概率是（      ） A． B． C． D． 2．中国象棋已有三千多年的历史，因用具简单，趣味性强，在民间广为流传．嘉嘉和淇淇利用象棋棋盘和棋子做游戏，游戏开始时，嘉嘉将四枚外表无差别，且正面分别印有“兵”“兵”“马”“士”的棋子背面朝上洗匀放在棋盘上，由淇淇随机从这四枚棋子中摸出一枚并记下正面的汉字，然后再从剩下的三枚棋子中随机摸出一枚并记下正面的汉字． （1）淇淇摸到棋子正面的汉字为“相”是 事件．（填“不可能”、“必然”或“随机”） （2）淇淇两次摸到棋子正面的汉字都是“兵”的概率为 ． 3．某中学为了保证“两操一活动”的质量，让学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校拟组织四个社团：A．篮球队，B．舞蹈队，C．射击队，D．毽子队，学校就学生参加这四个社团的意向对学生进行了抽样调查（每名学生只能从中选择一种最喜欢的），并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．      请结合图中所给信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生共有________人； (2)补全条形统计图； (3)该校共有1200名学生，请估计选择“毽子队”的学生有多少人？ (4)该校在最喜欢“射击”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加上级的射击队培训，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率． 一十五．数据的集中趋势和离散程度大题 1．某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息： 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 m 87 八年级参赛学生成绩 85 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_____________，______________； (2)七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为和请判断_____________；（填“>”、“<”或“=”）； (3)请你根据统计知识，利用数据对七、八年级的成绩进行比较与评价． 2．射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 乙 9 根据以上信息，请解答下面的问题： (1) ， ， ； (2)教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ (3)若选手乙再射击第6次，命中的成绩是8环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会 （填“变大”、“变小”或“不变”）． 3．某校七、八年级开展了“国学朗诵”活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩（单位：分） 均为不低于6的整数． 为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 七年级名学生活动成绩统计表                            成绩/分 6 7 8 9 人数 2 1 a b 3 已知七年级名学生活动成绩的中位数为分．请根据以上信息，完成下列问题： (1) ， ； (2)样本中， 八年级活动成绩的众数为 分； (3)若认定比赛成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 一十六．等可能条件下的概率大题 1．常州地铁一号线是常州市第一条开工建设的地铁线路，于2014年10月28日开工建设，于2019年9月21日开通运营，小张和小林准备利用课余时间，以问卷调查的方式对常州居民的出行方式进行调查．如图是常州地铁一号线的路线图（部分），小张和小林商量好准备从旅游学校站（代号A）、新龙站（代号B）、森林公园站（代号C）这三站中，各选不同的一站作为问卷调查的站点． (1)在这三站中，小张选取问卷调查的站点是森林公园站的概率是 ； (2)请你用画树状图或列表法分析，求小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的概率．（各站点可用相应的英文字母表示：旅游学校站（代号A）、新龙站（代号B）、森林公园站（代号C） 2．如图，有4张分别印有Q版西游图案的卡片：A唐僧、B孙悟空、C猪八戒、D沙悟净． 现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片求下列事件发生的概率： (1)第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为______； (2)求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率． 3．最近苏州的花界“顶流”非梅花莫属．洋洋一家计划周末到A光福香雪海，B林屋梅海，C雨花胜境，D黄桥梅花园，E苏州太湖国家湿地公园来一趟“赏梅之旅”． (1)若洋洋一家从A、B、C、D、E五处景区随机选择一处去游玩，则选中C雨花胜境的概率为 ； (2)若洋洋一家从A、B、C、D四处景区随机选择两处去游玩，请用列表法或画树状图法求同时选中A光福香雪海和D黄桥梅花园的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$专题05 数据的集中趋势和离散程度+等可能条件下的概率（易错必刷48题16种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求一组数据的平均数 题型二 已知平均数求相关数据的值 题型三 利用平均数做决策 题型四 求加权平均数 题型五 运用加权平均数做决策 题型六 求中位数、众数 题型七 利用中位数、众数做决策 题型八 求方差 题型九 运用方差做决策 题型十 等可能性 题型十一 概率的意义理解 题型十二 概率的相关计算 题型十三 几何概率 题型十四 列表法或树状图法求概率 题型十五 数据的集中趋势和离散程度大题 题型十六 等可能条件下的概率大题 一．求一组数据的平均数 1．一次考试中，第二小组10名同学与全班平均分85的差分别是2，9，，，8，0，11，，，3，则这个小组的平均分是（   ） A．89分 B． 分 C．分 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】本题考查的是平均数的求法．运用求平均数公式求出第一小组的10名同学的成绩与全班平均分的差的平均值，再加上全班的平均成绩，即得这个小组的平均成绩． 【详解】解：2，9，，，8，0，11，，，3的平均数为 ． 则这个小组的平均成绩是（分）． 故选：B． 2．已知一组数据，，，的平均数是5，则另一组数据，，，的平均数是 ． 【答案】20 【分析】根据算术平均数的定义，先求得，然后再根据公式计算，，，的平均数，将整体代入进去即可求解． 本题考查了算术平均数的计算，熟练掌握算术平均数的计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵数据，，，的平均数是5， ∴， ∴一组数据，，，的平均数为： ． 故答案为：20． 3．将连续的奇数1，3，5，7，9，…，39，排成如图所示的数阵． 1   3   5   7 9  11  13  15      … 33  35  37  39 (1)如图，求方框中四个数的平均数； (2)如果用方框任意圈住四个数，设方框左上角的数为a．求方框中四个数的和（用含a的代数式表示），并说明这个和能被4整除． 【答案】(1)8 (2)说明见解析 【分析】本题考查了求平均数，整式的加减，解决本题的关键是根据题意列出算式． （1）根据平均数的定义进行计算即可； （2）用含a的代数式表示方框中四个数，然后求和即可解决问题． 【详解】（1）解： ∴方框中的四个数的平均数为8 ； （2）解：方框中的四个数分别为， ∴这四个数的和为：       为整数 ∴这个和能被4整除． 二．已知平均数求相关数据的值 1．若一组数据，，，，的平均数为，则，的平均数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平均数的定义，掌握平均数的定义是解答本题的关键． 首先求得、的和，再求出、的平均数即可． 【详解】解：一组数据，，，，的平均数为， ， ， 、的平均数为， 故选： B． 2．已知一组数据、、、、的平均数是5，则另一组新数据、、、、的平均数是 ． 【答案】8 【分析】此题考查了算术平均数，熟练掌握算术平均数的计算公式是解题的关键．根据平均数的性质知，要求，，，、的平均数，只要把数、、、、的和表示出即可． 【详解】解：数、、、、的平均数为5 ， 、、、、的平均数 ． 故答案为：8． 3．体育课上，某班男同学进行了跑的测验，达标成绩为．下表反映了某小组10名男生的成绩情况（单位：），比多和少的成绩分别记为正和负． 人数 1 2 3 2 2 差值    0 (1)有1名男生的成绩被弄污了，但知道他的测验成绩是，则表格中弄污处的值______； (2)这个小组男生的平均成绩是多少秒? 【答案】(1) (2)这个小组男生的平均成绩是秒 【分析】(1)根据比多和少的成绩分别记为正和负可得答案； (2)根据平均数的公式求出平均成绩即可． 【详解】（1）解：比多和少的成绩分别记为正和负，他的测验成绩是， ， 故答案为：； （2）解： 答：这个小组男生的平均成绩是秒． 【点睛】本题是用正负数来表示达标成绩作记录，用记录数据来求达标率和平均成绩的问题． 三．利用平均数做决策 1．某单位有1名经理、2名主任、2名助理和11名普通职员，他们的月工资各不相同．若该单位员工的月平均工资是1500元，则下列说法中正确的是（　　） A．所有员工的月工资都是1500元 B．一定有一名员工的月工资是1500元 C．至少有一名员工的月工资高于1500元 D．一定有一半员工的月工资高于1500元 【答案】C 【分析】本题考查了算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.它是反映数据集中趋势的一项指标，根据平均数的意义即可得到结论． 【详解】解：某单位有1名经理、2名主任、2名助理和11名普通职员，普通职员的人数占多数，该单位员工的月平均工资是1500元， ∴至少有一名员工的月工资高于1500元是正确的. 故选：C. 2．如图是一，二两组同学将本组最近5次数学平均成绩，分别绘制成的折线统计图．由统计图可知： （1）二组成绩中，平均成绩最大是第 次； （2）在这五次成绩中， 组进步更大．（选填“一”或“二”） 【答案】 5 一 【分析】本题考查了读取图象信息的能力， （1）观察二组成绩，越在上面的平均数越大，即可作答． （2）一组的数据是从70分上升到90分，二组的数据是从70分上升到85分，即可作答． 【详解】解：（1）观察图象，得出越在上面的平均数越大， ∴二组成绩中，平均成绩最大是第5次 （2）∵观察图象，得出一组的数据是从70分上升到90分，二组的数据是从70分上升到85分， ∴ ∴在这五次成绩中，一组进步更大 故答案为：5，一． 3．综合与实践 【问题情境】某校组织九年级名学生开展体育中考前的“引体向上提升”训练活动 【实践发现】为了考查训练效果，在进行提升训练前学校先组织全体学生进行了摸底测试，经过提升训练后再进行模拟考试，并用抽样调查的方式从中随机抽取了名学生提升训练前后的摸底测试和模拟考试的成绩，收集整理后，制成如下表格： 摸底 测试 成绩（个） 人数（人） 模拟 考试 成绩（个） 人数（人） 【问题解决】 (1)求这名学生摸底测试的平均成绩是多少个？ (2)求这名学生经过训练后，模拟考试的平均成绩？ (3)问这名学生经过训练后，成绩有没有进步？请说明原因？ 【答案】(1)摸底测试的平均成绩是个 (2)模拟考试的平均成绩的平均成绩个 (3)训练后成绩是有进步的，理由见解析 【分析】（1）根据平均数是指在一组数据中，所有数的和除以这些数的个数所得出的结果即可解答； （2）根据平均数是指在一组数据中，所有数的和除以这些数的个数所得出的结果即可解答； （3）根据比较（1）（2）计算出的平均数的大小即可解答． 【详解】（1）解：由表格可知， 摸底测试成绩平均次数：（个）， 答：摸底测试的平均成绩是个； （2）解：由表格可知， 摸拟考成绩平均次数：（个）， 答：模拟考试的平均成绩的平均成绩个； （3）解：∵摸底测试的平均成绩是个，模拟考试的平均成绩的平均成绩个， ∴， ∴训练后成绩是有进步的． 【点睛】本题考查了平均数是指在一组数据中，所有数的和除以这些数的个数所得出的结果，熟记平均数的定义是解题的关键． 四．求加权平均数 1．某公司招聘，笔试和面试成绩各占成绩的和，应聘者芃芃笔试成绩x分，面试成绩y分，应聘者宁宁笔试成绩y分，面试成绩x分，而他们的总成绩相差4分，则的值为（   ） A．6 B．4 C．10 D．20 【答案】D 【分析】本题考查加权平均数的定义、绝对值等知识．芃芃成绩：；宁宁成绩：．由题意，化简整理即可解决问题． 【详解】解：芃芃成绩：；宁宁成绩：． 由题意得， 即， ∴， 故选：D． 2．某公司欲招聘员工，对候选人进行三项测试：语言、创新、综合知识，并把测试得分按比例确定测试总分，已知某候选人三项得分分别为88，72，52，则这位候选人的招聘得分为 分． 【答案】 【分析】本题主要考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．根据候选人三项得分分别为88，72，52，再按比例列式计算即可． 【详解】解：这位候选人的招聘得分为： （分）， 故答案为：． 3．某校决定从甲、乙、丙三名学生中选拔一名去市里参加“致敬英雄”演讲比赛， 因此对三名候选人进行了笔试和面试，三人的测试成绩如下表所示． 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 70 80 90 面试 90 70 70 根据录用程序，学校组织250 名学生采用投票推荐的方式，对三人进行民主测评，三人得票率（没有弃权，且每位同学只能推荐1人）如扇形统计图所示，每得一票记1分 (1)根据实际需要，学校将笔试、面试、民主评议三项得分按的比例确定个人成绩，请通过计算说明三人中谁将被录取． (2)请你设计一种确定个人成绩的规则，使得乙被录取，并直接写出此时甲、乙、丙三人的个人成绩． 【答案】(1)丙被录取，计算见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了统计表，扇形统计图，加权平均数，对于（1），先求出民主测评得分，再根据三项按计算成绩，并比较； 对于（2），若笔试、面试、民主评议三项得分按的比例确定个人成绩计算得出答案，（民主测评所占的比例大，答案合理即可）． 【详解】（1）民主评议：甲为(分)， 乙为(分)， 丙为(分)． （分）； （分）； （分）． ∵， ∴丙将被录取； （2）若笔试、面试、民主评议三项得分按的比例确定个人成绩，乙被录取．此时甲的个人得分为70分，乙的个人得分为87．5分，丙的个人得分为85分．（答案不唯一）． 五．运用加权平均数做决策 1．某校招聘一名教师，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试、面试，他们的各项成绩如下表所示．根据要求，学校将笔试、面试成绩按的比例确定各人的最后得分，然后录用得分最高的候选人．最终被录用的是（    ） 项目 测试成绩 甲 乙 丙 丁 笔试 80 70 75 90 面试 80 90 85 70 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】此题考查了加权平均数的含义和求法的应用，解题的关键是熟练运用加权平均数的公式进行计算．分别计算甲、乙、丙、丁四名候选人的加权平均数，然后做出判断即可． 【详解】解：甲的成绩：（分， 乙的成绩：， 丙的成绩：， 丁的成绩：， 丁得分最高，故最终被录用的是丁． 故选：D． 2．某校欲招聘一名初中数学教师．对甲、乙、丙三名应聘者进行了专业知识、教育理论、模拟课堂等三方面的测试，他们的各项成绩（单位：分）如下表所示： 专业知识 教育理论 模拟课堂 甲 67 73 86 乙 75 65 86 丙 72 71 75 如果将每位应聘者的专业知识、教育理论、模拟课堂的成绩按的比例确定，并录用平均成绩（百分制）最高的应聘者，则被录用的是 ． 【答案】乙 【分析】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的加权平均数．根据表格中的数据和加权平均数的计算方法，可以分别求出甲、乙、丙的成绩，然后比较大小即可． 【详解】解：由题意可得， 甲的成绩为： 乙的成绩为： 丙的成绩为： ∵， ∴乙将被录取， 故答案为：乙． 3．某校德育处组织三好学生评比活动，每班只有一个名额．现某班有甲、乙、丙三各学生参与竞选，第一轮根据“品行规范”、“学习规范”进行量化考核．甲、乙、丙的量化考核成绩（单位：分）分别用两种方式进行了统计，如图1： (1)若计算甲、乙、丙三名学生第一轮“品行规范”、“学习规范”考核成绩平均分后，“品行规范”、“学习规范”考核成绩均不低于三名学生的平均分的学生，被推选为三好学生，直接判断应推选谁？ (2)为公平起见，老师决定进行第二轮竞选，由本班的50位学生进行投票，每票计6分，甲、乙、丙三人的得票情况如图2（没有弃权票，每名学生只能选一人）．若将“品行规范”、“学习规范”、“得票”三项测试得分按的比例确定最后成绩，通过计算谁将会被推选为三好学生． 【答案】(1)应推选乙 (2)甲将会被推选为三好学生，见解析 【分析】本题主要考查平均数，加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． （1）根据题意，分别求出“品行规范”的平均数，“学习规范”的平均分，进行比较即可求解； （2）根据扇形图，分别求值甲、乙、丙的投票得分，再根据“品行规范”、“学习规范”、“得票”三项测试得分按的比例确定最后成绩，运用加权平均数的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：“品行规范”的平均数为：（分）， ∴甲、乙两位同学的品行规范得分不低于平均分； “学习规范”的平均分为：（分）， ∴乙、丙两位同学的学习规范得分不低于平均分； ∴两项均满足的为乙同学， ∴应推选乙． （2）解：甲投票分数为：（分）， 乙投票分数为：（分）， 丙投票分数为：（分）． ∵“品行规范”、“学习规范”、“得票”三项测试得分按的比例确定最后成绩， ∴（分）， （分）， （分）， ∴甲将会被推选为三好学生． 六．求中位数、众数 1．某学校在6月6日全国爱眼日当天，组织学生进行了视力测试．小红所在的学习小组每人视力测试的结果分别为：5.0，4.8，4.5，4.8，4.6，这组数据的众数和中位数分别为（　　） A．4.8，4.74 B．4.8，4.5 C．5.0，4.5 D．4.8，4.8 【答案】D 【分析】本题考查了众数和中位数的定义，理解定义：“一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数；将这组数据按从小到大的顺序排列，当数据的个数是奇数时，中间的数为中位数，当数据的个数是偶数时，中间两个数的平均数为中位数．”是解题的关键．根据众数和中位数的概念求解即可． 【详解】解：把这组数据从小到大排列为4.5，4.6，4.8，4.8，5.0，排在中间的数是4.8，故中位数是4.8； 这组数据中4.8出现的次数最多，故众数为4.8． 故选：D． 2．年月日晚，全国和美乡村篮球大赛——“村”总决赛在贵州省台江县台盘村落下帷幕．随着村篮球赛的火遍全国，某班名学生参加定点投篮比赛，每人投篮次，投中的次数统计如下：．这组数据的中位数和众数分别是 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了中位数和众数，根据中位数和众数的定义即可求解，掌握中位数和众数的定义是解题的关键． 【详解】解：把数据按照由小到大的顺序排列为；， ∴中位数为， ∵数据中，出现的次数最多， ∴众数为， 故答案为：，． 3．“直播+电商”作为新兴销售形式，对于拓宽农特产品销售渠道，助力乡村振兴起到了重要作用、某农村合作社帮助该村农民利用网络平台计划销售1000箱苹果，为确保苹果质量，检测人员随机抽取20箱进行测量，每箱苹果的质量统计如下： (1)补全条形统计图． (2)抽取20箱苹果质量的中位数为______，众数为______． (3)经调查，苹果市场的售价为6元/kg，若这批苹果全部售完，请估计这批苹果的总销售额． 【答案】(1)图见解析 (2)5；5.1 (3)这批苹果的总销售额约为30150元 【分析】（1）先求出质量为和的箱数，再补全条形统计图即可； （2）根据中位数和众数的确定方法确定中位数和众数即可； （3）先求出每箱的平均质量，即可求出这批苹果全部售完的总销售额． 本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，用样本估计总体，能从统计图中获取数据是解题的关键． 【详解】（1）解：质量为的箱数：（箱）， 质量为的箱数：（箱）， 补全条形统计图如下： （2）解：中位数为质量由小到大排列第10，第11个数据的平均数， ，， 第10，第11个数据都为， 中位数为：； 个数据中，出现6次，是出现次数最多的数据， 众数为：． 故答案为：5；5.1 （3）解：箱） （元）． 答：这批苹果的总销售额约为30150元． 七．利用中位数、众数做决策 1．为了解某公司员工的年收入情况，小丽随机调查了10名员工，其年收入（单位：万元）如下：4，4，5，5，5，6，6，6，8，20．下列说法正确的是（    ） A．平均数可以反映该公司员工年工资水平 B．众数是5 C．中位数是5.5 D．平均数6.6 【答案】C 【分析】此题考查中位数的实际应用，根据中位数的定义求解． 【详解】解：中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），反映的是一组数据的中间水平．因此能合理反映该公司年工资中等水平的是中位数． 而中位数， 平均数为： 故选C． 2．在某次体育测试中，甲、乙两班成绩的平均数、中位数、方差如下表： 班级 人数 平均数/分 中位数/分 方差 甲班 45 82 91 19.3 乙班 45 87 89 5.8 规定学生个人成绩大于90分为优秀，则甲、乙两班中优秀人数更多的是 班（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】本题主要考查利用中位数做决策，根据平均分、中位数、方差的特点进行分析，班级人数相同，都为人，中位数为班级分数排序以后的第位同学的分数，甲班的分高于乙班分，则得出答案． 【详解】解：甲、乙两个班参赛人数都为人，由甲、乙两班成绩的中位数可知，甲班的优生人数大于等于人，乙班的小于等于人， 则甲班的优生人数较多， 故答案为：甲． 3．2023年9月23日至10月8日第十九届亚运会在中国杭州举办，某校组织全校七、八年级学生举行了“亚运知识”竞赛，现分别在七、八两个年级中各随机抽取10名学生，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 七年级10名同学测试成绩统计如下：84，78，85，75，72，91，79，72，69，95 八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82 【整理数据】两组数据各分数段如下表所示： 成绩 七年级 1 5 2 a 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 b 72 八年级 80 80 c 33 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：__________，__________，__________． (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由． 【答案】(1)2，78.5，80 (2)八年级年级学生知识竞赛成绩更好，理由见解析 【分析】本题考查统计综合，涉及统计数据分析、求中位数、众数及结合统计量做决策，读懂题意，看懂统计表按要求求解即可得到答案，熟记中位数、众数的定义及求法是解决问题的关键． （1）由七年级成绩统计数据得到，结合中位数的定义及求法即可得到，再结合众数的定义及求法即可得到； （2）两班平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一）． 【详解】（1）解：将七年级抽样成绩重新排列为：69，72，72，75，78，79，84，85，91，95，其中在范围内的数据有2个，故； 中位数； 将八年级抽样成绩重新排列为：72，74，75，76，80，80，82，84，85，92， 其众数； 故答案为：2，78.5，80； （2）解：可以推断出八年级年级学生知识竞赛成绩更好， 理由如下： 两班平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一）． 八．求方差 1．如果一组数据的平均数是2，方差是2，则另一组数据的平均数和方差分别是（　　） A．2，2 B．2，6 C．4，4 D．4，18 【答案】D 【分析】本题考查的是方差和平均数，本题可将平均数和方差公式中的换成，再化简进行计算．熟练掌握平均数和方差的概念是解题的关键． 【详解】解：依题意，得，， ∴数据，，，，的平均数为： ， ∴数据，，，，的方差为： ． 故选：D． 2．一组数据0，1，1，1，2的方差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方差的意义，根据方差的定义计算出这组数据的方差即可． 【详解】这组数据的平均数是：， 则方差是：． 故答案为：． 3．某校为弘扬中华优秀传统文化，在八、九年级各抽取5名同学开展传统文化知识竞赛．两班参赛选手成绩（满分为分）如图所示： (1)根据统计图所给的信息填空： 班级 平均数 中位数 众数 八年级 85 85 c 九年级 a b 100 ________，________，________； (2)若八年级又有一名学生参赛，考试成绩是80分，则八年级这6名选手成绩的平均数与原5名选手成绩的平均数相比会怎样变化？请说明理由； (3)计算两个年级参赛选手成绩的方差，并判断哪个年级代表队选手的成绩较为稳定？ 【答案】(1)85；80；85 (2)会减少．理由见解析 (3)，，八年级参赛选手的成绩较稳定 【分析】此题考查了平均数、方差、中位数、众数等知识，熟练掌握各种统计量的求解方法是关键． （1）根据平均数、中位数、众数的定义分别进行解答即可； （2）计算出6位同学的平均数，比较后即可得到结论； （3）根据方差的定义进行计算，再比较方差大小即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意可得， （分）， 九年级5位同学的成绩从小到大排列为， ∴中位数， 八年级5位同学的成绩为，出现次数最多的是，共出现2次， ∴众数， 故答案为：85；80；85 （2）平均数会减少． 理由是：八年级这6名选手成绩的平均数为分， ， 即平均数会减少． （3） ， ∴， ∴八年级参赛选手的成绩较稳定． 九．运用方差做决策 1．2022年，第19届亚运会将在中国浙江杭州举办，很多运动员为参加比赛进行了积极的训练．在选拔训练中，甲、乙、丙、丁四名射击运动员各射击10次，甲、乙两人的成绩如表所示，丙、丁两人的成绩如折线图所示．请你从平均数和方差两个角度分析，更有优势的运动员是（　　） 甲 乙 平均数/环 9 8 方差 1 1 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了折线统计图，求平均数与方差，解题的关键是掌握平均数与方差求解方法； 根据折线统计图，分别求得丙和丁的平均成绩以及方差，进而比较即可求解． 【详解】解：丙的平均数， 丙的方差， 丁的平均数， 丁的方差为， ∵在甲、乙、丙、丁四名射击运动员中，丙的方差最小，平均成绩最高， ∴更有优势的运动员是丙， 故选：C． 2．甲、乙两个旅游团的游客人数相等，且每个团游客的平均年龄都是35岁，这两个团游客年龄的方差分别是，．导游小方喜欢带游客年龄相近的团队，若在这两个团中选择一个，则她应选 队． 【答案】甲 【分析】本题主要考查方差的意义，熟练掌握方差的意义是解题的关键．根据方差的意义进行判断即可． 【详解】解：， 故选择甲队， 故答案为：甲． 3．某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）． 甲、乙两人射箭成绩统计表 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 9 4 7 4 6 乙 7 5 7 a 7 甲、乙两人射箭成绩折线统计图 小宇的作业： 解：， (1) ， ，甲成绩的众数是 ，乙成绩的中位数是 ． (2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线． (3)①请求出乙成绩的方差，并比较谁的成绩比较稳定． ②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中． 【答案】(1)4；6；4；7 (2)见解析 (3)①1.6，乙的成绩比较稳定；②乙将被选中，分析见解析 【分析】（1）先求出乙的总成绩，再分别减去其它4次的成绩即得a值；利用平均数公式计算出乙的平均数；再根据众数及中位数的定义分别求出甲成绩的众数和乙成绩的中位数即可； （2）利用乙的成绩画出折线统计图即可； （3）①先求出乙的方差，再比较即可；②由于甲乙平均数相同，选拔方差较小的爱好者即可. 【详解】（1）解：由题意得：甲的总成绩是：， 则，， 甲成绩的众数是4， 乙成绩的中位数是， 故答案为：4；6；4；7； （2）解：如图所示： （3）解：①乙成绩的方差为， ∵1.6＜3.6， ∴乙的成绩比较稳定. ②由于甲乙平均数相同，而甲的方差大于乙的方差， ∴乙将被选中. 【点睛】本题考查了中位数、众数、算术平均数、方差的定义以及折线图，掌握已知得出的值进而利用方差的意义比较稳定性是关键． 一十．等可能性 1．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【答案】B 【分析】正确的推理判断即可求解． 【详解】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同学手里拿的就只能是3和4． 如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7， 则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的； 如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确的． 根据数学选择题的四选一原则，就选B． 故选：B． 【点睛】本题考查数学演绎推理，结合数学知识，进行正确的演绎推理是解决本题的关键， 2．第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为 ． 【答案】12 【分析】本题考查列举法所有等可能情况，把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为，共有六种站法，再利用插空法即可求解，掌握例举法是解题的关键． 【详解】解：把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为， 则将三个吉祥物进行排列，有： ，，，，，， 共种站法， 再将甲乙进行插空，因为甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则有： ，，，，， 共有种不同的站法， 故答案为：12． 3．在一个不透明的口袋中装着大小、外形等一模一样的个红球、个蓝球和个白球，它们已经在口袋中被搅匀了．请判断以下事情是不确定事件、不可能事件，还是必然事件． 从口袋中任意取出一个球，是一个白球； 从口袋中一次任取个球，全是蓝球； 从口袋中一次任意取出个球，恰好红蓝白三种颜色的球都齐了． 【答案】不确定事件；不可能事件；必然事件 【分析】（1）从口袋中任意取出一个球，可能是红球、篮球或白球，即可判断； （2）口袋中只有三个蓝球，则从口袋中一次任取个球，不可能全是蓝球，即可判断； （3）由于口袋中有个红球、个蓝球和个白球，任意一种或两种颜色的球的总数都小于9，所以从口袋中一次任意取出个球，必然是三个颜色都有，即可做出判断． 【详解】（1）从口袋中任意取出一个球，可能是红球、蓝球或白球，所以这个事件是不确定事件； （2）口袋中只有三个蓝球，则从口袋中一次任取个球，不可能全是蓝球，所以这个事件是不可能事件； （3）由于口袋中有个红球、个蓝球和个白球，任意一种或两种颜色的球的总数都小于9，所以从口袋中一次任意取出个球，必然是三个颜色都有，因此这个事件是必然事件． 【点睛】本题考查了不确定事件、不可能事件、必然事件的概念，熟练掌握各种事件的概念是判断此类问题的依据． 一十一．概率的意义理解 1．在抛掷一枚均匀硬币的试验中，如果没有硬币，我们可以用替代物，但下列物品不能做替代物的是（ ） A．一枚均匀的普通六面体骰子 B．两张扑克牌一张黑桃，一张红桃 C．两个只有颜色不同的小球 D．一枚图钉 【答案】D 【分析】在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，硬币正反两面向上的概率为；若用其它物体代替只要此物体只能出现这两种情况且概率为即可． 【详解】A、一枚均匀的普通六面体骰子向上的点数为奇数和偶数的概率都为，能作替代物，故不符合题意； B、两张扑克牌张黑桃，张红桃，两张花色不同的扑克，分别代替硬币正面和反面，且各自概率为，与抛硬币一样，故不符合题意； C、两个只有颜色不同的小球，符合硬币只有正反两面的可能性，能作替代物，故不符合题意； D、图钉两面不同，不能替代该实验，故符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了模拟实验，选择实验的替代物，应从可能性是否相等入手思考． 2．动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是 ． 【答案】 【分析】先设出所有动物的只数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根据概率公式解答即可． 【详解】解：设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为，活到25岁的只数为， 故现年20岁到这种动物活到25岁的概率为． 故答案为：． 【点睛】考查了概率的意义，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．注意在本题中把20岁时的动物只数看成单位1． 3．完成下列各题： (1)写出下列命题的条件和结论，并指出它是真命题还是假命题． ①面积相等的两个三角形全等； ②同角的补角相等； ③两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等． (2)任意投掷一枚均匀的骰子． ①掷出的点数小于4的概率是多少？ ②掷出的点数是奇数的概率是多少？ ③掷出的点数是7的概率是多少？ ④掷出的点数小于7的概率是多少？ (3)现有足够多除颜色外均相同的球，请你从中选12个球设计摸球游戏． ①使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等； ②使摸到红球、白球、黑球的概率都相等； ③使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都小于摸到黑球的概率． 【答案】(1)见解析 (2)①      ②   ③    ④ (3)见解析 【分析】（1）把命题写成“如果……，那么……”的形式，写出题设和结论，并判断真假即可解题； （2）根据概率的球阀，找准全部情况的总数和符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率，求出比值即可； （3）①设计红球和白球的个数相同即可；②设计红球，黑球和白球数量相同即可；③让红球和白球数量相同，且小于黑球的数量即可 【详解】（1）①条件：两个三角形的面积相等． 结论：这两个三角形全等 它是假命题； ②条件：两个角是同一个角的补角 结论：这两个角相等 它是真命题； ③条件：两个三角形有两角分别相等且其中一组等角的对边相等 结论：这两个三角形全等 它是真命题． （2）投掷一枚均匀的骰子，可以得到种等可能结果，即， ①掷出的点数小于4的有种结果，即概率是； ②掷出的点数是奇数的有种结果，即概率是； ③不可能掷出的点数是7，即有概率是； ④掷出的点数小于7的种结果，即概率是； （3）①使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等； 白球，红球各个，摸到红球和白球的概率均为； ②使摸到红球、白球、黑球的概率都相等； 白球，红球，黑球各个，摸到黑球、红球和白球的概率均为； ③使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都小于摸到黑球的概率． 白球，红球各放个，黑球放个，此时摸到白球，红球的概率为，而摸到黑球的概率为． 【点睛】本题考查命题的题设和结论，概率公式的应用和计算，解题的关键是掌握在总数一定的情况下，相应数量越多，概率越大． 一十二．概率的相关计算 1．某十字路口的交通信号灯有以下规律：红灯亮50秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，按照这个规律，不考虑其他因素，小明到达该十字路口恰好遇到绿灯的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 直接运用概率公式求解即可． 【详解】解：∵红灯亮50秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒， ∴当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率为． 故选：B． 2．一个不透明的盒子中装有x颗白色弹珠和y颗黑色弹珠（弹珠除颜色外，其他均相同），从盒中随机取出一颗弹珠，取出白色弹珠的概率是．若再往盒中放进12颗同样的白色弹珠，取出白色弹珠的概率是，则原来盒中有黑色弹珠 颗． 【答案】8 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，根据概率计算公式先得到，则，进而得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵从盒中随机取出一颗弹珠，取出白色弹珠的概率是， ∴， ∴， ∵再往盒中放进12颗同样的白色弹珠，取出白色弹珠的概率是， ∴，即， 解得， 经检验是原方程的解， ∴， ∴原来盒中有黑色弹珠8颗， 故答案为：8． 3．有4张背面完全相同的卡片，其正面分别标有数字，0，1，2，将卡片的背面朝上，洗匀后，从中任意抽出1张，将卡片上的数字记录下来，放回洗匀后再从中任意抽出1张，同样将卡片上的数字记录下来． (1)求第一次抽出的卡片上数字是正数的概率； (2)小明、小亮做游戏，规则如下：若两次抽出的卡片上的数字的乘积为正数，则小明胜；若两次抽出的卡片上的数字的乘积为负数，则小亮胜．这个游戏规则对小明、小亮公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由． 【答案】(1)； (2)不公平，理由见详解 【分析】本题考查了概率及利用列表法求概率判断游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．掌握概率的求法是解题关键，即如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中m种结果，那么事件A发生的概率是． （1）列举出所有可能数，再利用概率公式即可求出概率； （2）利用列表法列举所有可能的结果，再利用概率公式求出两人的获胜概率即可得出答案． 【详解】（1）解：第一次抽取卡片共有4种等可能的结果，其中卡片上数字是正数的结果有2种， ∴第一次抽取的卡片上数字是正数的概率是； （2）解：列表如下： 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 4 由表可知，共有16种等可能结果，其中结果为负数的有4种结果，结果为正数的有5种结果， 所以小亮获胜的概率，小明获胜的概率， ∴此游戏不公平． 一十三．几何概率 1．用一张正方形纸板，制成一副七巧板，如图1．在矩形区域内将它拼成一幅“火箭”图案，如图2．若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 根据几何概率的求法即可得出答案． 【详解】解：设①的面积为， 则一副七巧板的面积为，正方形纸板的边长为， 则矩形区域面积为， ∴若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为． 故选：A． 2．如图，在菱形中，对角线、交于点E，，，以点E为圆心作圆E，圆E与菱形的四条边相切，现随机向菱形内掷一枚小针，则针尖落在圆E的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形性质，圆的性质，切线性质，几何概率等知识点，涉及面较广，主要在于通过圆的面积与菱形面积之比求得概率的大小． 首先根据菱形性质，得到菱形对角形互相垂直且平分，从而得到菱形的面积，已知条件中圆与菱形各边相切，结合直角三角形性质，求得圆的半径，从而得到圆的面积，再利用圆的面积与菱形的面积之比，得到针尖落在圆中概率的大小． 【详解】解：如图，设圆与相切于点，连接，则， ∵菱形，，， ∴，，， ∴， ∴中，， ∵， ∴， ∴， ∴随机向菱形投一根针，针尖落在圆的概率为． 故答案为：． 3．向如图所示的正三角形区域内扔沙包，（区域中每个小正三角形陈颜色外完全相同）沙包随机落在某个正三角形内． (1)扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是 ． (2)要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，还要涂黑几个小正三角形？请在图中画出． 【答案】(1) (2)还要涂黑2个小正三角形，图见解析 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． （1）求出阴影部分的面积与三角形的面积的比值即可解答； （2）利用（1）中求法得出答案即可． 【详解】（1）解：因为阴影部分的面积与三角形的面积的比值是， 所以扔沙包1次击中阴影区域的概率等于． 故答案为：． （2）解：要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，则阴影区域的小正三角形的数量为个， 即还要涂黑2个小正三角形， 如图所示（答案不唯一）： 一十四．列表法或树状图法求概率 1．第届深圳国际导热散热材料及设备展览会将于年月日在深圳国际会展中心举办，若小张随机从三个入口中选择一个进入，再随机从两个出口中选择一个离开，则小张从口进入，口离开的概率是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图法或列表法是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下：    由树状图可知，共有种等结果，其中小张从口进入，口离开的结果只有种， ∴小张从口进入，口离开的概率是， 故选：． 2．中国象棋已有三千多年的历史，因用具简单，趣味性强，在民间广为流传．嘉嘉和淇淇利用象棋棋盘和棋子做游戏，游戏开始时，嘉嘉将四枚外表无差别，且正面分别印有“兵”“兵”“马”“士”的棋子背面朝上洗匀放在棋盘上，由淇淇随机从这四枚棋子中摸出一枚并记下正面的汉字，然后再从剩下的三枚棋子中随机摸出一枚并记下正面的汉字． （1）淇淇摸到棋子正面的汉字为“相”是 事件．（填“不可能”、“必然”或“随机”） （2）淇淇两次摸到棋子正面的汉字都是“兵”的概率为 ． 【答案】 不可能 【分析】本题主要考查了事件的分类、运用列表法求概率等知识点，根据题意正确列表成为解题的关键． （1）根据事件的分类即可解答； （2）采用列表法求得所有情况结果数和两次都是“兵”的结果数，然后运用概率公式计算即可． 【详解】解：（1）由于四枚棋子中没有“相”，因此淇淇不可能摸到“相”，即为不可能事件； 故答案为：不可能； （2）根据题意列表如下： 兵 兵 马 士 兵 兵，兵 马，兵 士，兵 兵 兵，兵 马，兵 士，兵 马 兵，马 兵，马 士，马 士 兵，士 兵，士 马，士 则共有12种可能，淇淇两次摸到棋子正面的汉字都是“兵”有2次，则淇淇两次摸到棋子．正面的汉字都是“兵”的概率为． 故答案为：． 3．某中学为了保证“两操一活动”的质量，让学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校拟组织四个社团：A．篮球队，B．舞蹈队，C．射击队，D．毽子队，学校就学生参加这四个社团的意向对学生进行了抽样调查（每名学生只能从中选择一种最喜欢的），并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．      请结合图中所给信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生共有________人； (2)补全条形统计图； (3)该校共有1200名学生，请估计选择“毽子队”的学生有多少人？ (4)该校在最喜欢“射击”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加上级的射击队培训，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率． 【答案】(1)100 (2)图见解析 (3)选择“毽子队”的学生有480人 (4) 【分析】本题考查了条形统计图及扇形统计图，将条形统计图与扇形统计图信息相关联是解答本题的关键． （1）将两个统计图信息关联即可求解； （2）调查的总人数可知，求得参加B项目的人数，补全条形统计图即可； （3）用样本估计总体即可； （4）画出树状图，根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由条形统计图可知参加A项目的人数为30人，由扇形统计图可知参加A项目的人数所占的百分比为，故本次调查的总人数为：（人）， 故答案为：100； （2）参加B项目的人数为：（人），补全条形统计图如下所示： （3）（人）， ∴估计选择“毽子队”的学生有480人； （4）甲、乙、丙、丁四位同学任选两位的所有可能情况如下树状图所示： 被选取的两人恰好是甲和乙有2种情况 故被选取的两人恰好是甲和乙的概率是． 一十五．数据的集中趋势和离散程度大题 1．某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息： 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 m 87 八年级参赛学生成绩 85 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_____________，______________； (2)七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为和请判断_____________；（填“>”、“<”或“=”）； (3)请你根据统计知识，利用数据对七、八年级的成绩进行比较与评价． 【答案】(1)80，86； (2)； (3)八年级的成绩较好，理由见解析． 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差，明确平均数、中位数、众数、方差所反映数据的特征是解决问题、做出判断的前提． （1）根据众数和中位数的定义即可求出m和n的值； （2）根据方差公式分别计算出即可； （3）从平均数和中位数进行分析即可． 【详解】（1）解：七年级成绩中80分的最多有3个，所以众数： 将八年级样成绩重新排列为：76，77，85，85，85，87，87，88，88，97，排在第5和第6的数是85，87， ∴中位数：， 故答案为：80，86； （2）解：∵七年级的方差是： 八年级的方差是： 故答案为：； （3）解：从众数和方差上看，八年级比七年级成绩的大众水平较高， 且较为稳定；从中位数看七年级成绩比八年级中等水平较高， 综上所述，我认为八年级的成绩较好． 2．射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 乙 9 根据以上信息，请解答下面的问题： (1) ， ， ； (2)教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ (3)若选手乙再射击第6次，命中的成绩是8环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会 （填“变大”、“变小”或“不变”）． 【答案】(1)8，8，9 (2)甲的成绩较稳定 (3)变小 【分析】（1）根据中位数，平均数，众数的定义求解即可； （2）二人平均成绩相同，但是甲的方差更小，即成绩更稳定； （3）根据方差计算公式求出选手乙再射击第6次后，6次成绩的方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题可得，； 甲的成绩7，8，8，8，9中，8出现的次数最多，故众数； 而乙的成绩5，7，9，9，10中，中位数； 故答案为：8，8，9； （2）解：教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是两人的平均成绩相同，而甲的成绩的方差小，即甲的成绩较稳定． （3）解：由题可得，选手乙这6次射击成绩5，9，7，10，9，8的方差， 选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会变小． 故答案为：变小． 【点睛】本题主要考查了求方差，中位数，平均数，众数，方差与稳定性之间的关系，熟知相关知识是解题的关键． 3．某校七、八年级开展了“国学朗诵”活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩（单位：分） 均为不低于6的整数． 为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 七年级名学生活动成绩统计表                            成绩/分 6 7 8 9 人数 2 1 a b 3 已知七年级名学生活动成绩的中位数为分．请根据以上信息，完成下列问题： (1) ， ； (2)样本中， 八年级活动成绩的众数为 分； (3)若认定比赛成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)优秀率高的年级，平均成绩低，理由见解析 【分析】本题考查了统计表和扇形统计图，旨在考查学生的数据处理能力． （1）根据七年级 名学生活动成绩的中位数为分，即可求解； （2）由八年级名学生活动成绩的扇形统计图即可求解； （3）分别求出七八年级学生的优秀率和平均分即可； 【详解】（1）解：由七年级名学生活动成绩统计表可知：或或或或， ∵七年级 名学生活动成绩的中位数为 分． ∴， 故答案为：； （2）解：由八年级名学生活动成绩的扇形统计图可知：八年级活动成绩的众数为分， 故答案为：； （3）解：七年级学生的优秀率为：， 七年级学生的平均成绩为：分； 八年级学生的优秀率为：， 八年级学生成绩为分所占百分比为：， ∴八年级学生的平均成绩为：分； ∵ ∴优秀率高的年级是七年级，平均成绩低． 一十六．等可能条件下的概率大题 1．常州地铁一号线是常州市第一条开工建设的地铁线路，于2014年10月28日开工建设，于2019年9月21日开通运营，小张和小林准备利用课余时间，以问卷调查的方式对常州居民的出行方式进行调查．如图是常州地铁一号线的路线图（部分），小张和小林商量好准备从旅游学校站（代号A）、新龙站（代号B）、森林公园站（代号C）这三站中，各选不同的一站作为问卷调查的站点． (1)在这三站中，小张选取问卷调查的站点是森林公园站的概率是 ； (2)请你用画树状图或列表法分析，求小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的概率．（各站点可用相应的英文字母表示：旅游学校站（代号A）、新龙站（代号B）、森林公园站（代号C） 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，用画树状图或列表法求概率． （1）根据题意可知共有3个站，选取每个站都是等可能的，小张选取问卷调查的站点是森林公园站只有1种情况，然后根据概率公式计算概率即可． （2）列出表格，得出总的情况数，再得出小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：∵共有3个站，选取每个站都是等可能的，小张选取问卷调查的站点是森林公园站只有1种情况 ∴在这三站中，小张随机选取的站是森林公园站的概率是； （2）列表如下： A B C A (A，A) (B，A) (C，A) B (A，B) (B，B) (C，B) C (A，C) (B，C) (C，C) ∴共有9种等可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的结果有4种， ∴小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的概率为． 2．如图，有4张分别印有Q版西游图案的卡片：A唐僧、B孙悟空、C猪八戒、D沙悟净． 现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片求下列事件发生的概率： (1)第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为______； (2)求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率公式求概率，画树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式即可求解； （2）根据题意，画出树状图， 进而根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：共有张卡片， 第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为， 故答案为：． （2）解：树状图如图所示： 由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“A唐僧”的结果有7种． ∴(至少一张卡片图案为“A唐僧”）． 答：两次取出的2张卡片中至少有一张图案为“A唐僧”的概率为． 3．最近苏州的花界“顶流”非梅花莫属．洋洋一家计划周末到A光福香雪海，B林屋梅海，C雨花胜境，D黄桥梅花园，E苏州太湖国家湿地公园来一趟“赏梅之旅”． (1)若洋洋一家从A、B、C、D、E五处景区随机选择一处去游玩，则选中C雨花胜境的概率为 ； (2)若洋洋一家从A、B、C、D四处景区随机选择两处去游玩，请用列表法或画树状图法求同时选中A光福香雪海和D黄桥梅花园的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有的等可能性的结果数，再找到同时选中A光福香雪海和D黄桥梅花园的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有5个景点，每个景点被选中的概率相同， ∴选中C雨花胜境的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中同时选中A光福香雪海和D黄桥梅花园的结果数有2种， ∴同时选中A光福香雪海和D． $$