高二数学期中模拟卷02（人教A版2019选择性必修第一册第1～3章：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线)-学易金卷：2024-2025学年高中上学期期中模拟考试

数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________（2 分） ____________________（3 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________（2分） ____________________（3分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册第一章~第三章（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若直线的倾斜角为，则（    ） A．0 B． C． D．不存在 2．在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆，圆，则两圆的位置关系（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 4．已知点在焦点为的抛物线上，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 5．如图，在平行六面体中，，， ，则的长为（ ） A． B． C． D． 6．点P在直线上运动，，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．4 7．已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 8．如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，给出以下三个结论： ①存在点满足； ②存在点满足与平面所成角的大小为； ③存在点满足； 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．与垂直 B．与共线 C．与所成角为锐角 D．，，，可作为空间向量的一组基底 10．已知圆，直线.则以下命题正确的有（　　） A．直线l恒过定点 B．y轴被圆C截得的弦长为 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 11．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，设线段的中点为，下列说法正确的是（    ） A．若抛物线上存在一点，到焦点的距离等于4，则抛物线的方程为 B．若，则直线的倾斜角为 C． D．若点到抛物线准线的距离为2，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知的三个顶点，，．那么三角形外接圆的方程是 ． 13．已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则 ． 14．设双曲线的左､右焦点分别为为左顶点，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点（点在第一象限）.若，则双曲线的离心率 ， . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知两直线和的交点为． (1)直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程； (2)圆过点且与相切于点，求圆的一般方程． 16．（15分） 在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求证：面. 17．（15分） 已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程： (2)过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率. 18．（17分） 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点.      (1)证明：∥平面； (2)若，， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19．（17分） 已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C B B A A A C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC CD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14．2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【解析】（1）直线与直线平行，故设直线为，（1分） 联立方程组，解得．（3分） 直线和的交点． 又直线过点，则，解得，（4分） 即直线的方程为．（5分） （2）设所求圆的标准方程为，（6分） 的斜率为，故直线的斜率为1，（7分） 由题意可得解得（10分） 故所求圆的方程为．（11分） 化为一般式：．（13分） 16．（15分） 【解析】（1）    如图,以为原点，以分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，（1分，建系正确即可） 正四棱柱,为中点, （2分） 则点到直线的距离为：.（8分） （2）由（1）可得， 则，（9分） 由可得，（11分） 又由可得，（13分） 又，（14分） 故面.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由椭圆的离心率为，得，（1分） 解得，（2分） 由椭圆过点，得，（3分） 联立解得，（4分） 所以椭圆的方程为.（5分） （2）依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，（6分） ，则， 由消去得，显然，（7分） 则，（8分） 的面积（10分） ，（13分） 解得，（14分） 所以直线的斜率.（15分）    18．（17分） 【解析】（1）如图，取中点，连接，，（1分，辅助线表述正确即可） 因为是中点，所以，，（2分） 又，， ，， 所以四边形是平行四边形，（3分） ，（4分） 又平面，平面， 平面.（5分）    （2），，又，， ，则，（6分） 又平面平面，平面平面， 平面，（7分） ，又， 所以，，两两互相垂直， 如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，（8分） （i）设平面的一个法向量为，则 ，即，令，可得，， ，（10分） 又平面的一个法向量为，（11分） ， 所以二面角的余弦值为.（12分） （ii）假设线段上存在点，使得点到平面的距离为， 设，，， ，（13分） 由（i）知平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为，（15分） 则，解得或，（16分） 又，所以， 即存在点到平面的距离为，且.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）由题意可知，因为，所以.（1分） 设，则，所以，（2分） 又，（3分） 所以.（4分） 所以双曲线C的方程为.（5分） （2）（i）由题意知直线l的方程为.（6分） 联立，化简得，（7分） 因为直线l与双曲线左右两支相交，所以， 即满足：，（10分） 所以或；（11分） （ii），（12分） 直线AD的方程为 直线BE的方程为.（13分） 联立直线AD与BE的方程，得，（14分） 所以， 所以， 所以 . 所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册第一章~第三章（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若直线的倾斜角为，则（    ） A．0 B． C． D．不存在 2．在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆，圆，则两圆的位置关系（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 4．已知点在焦点为的抛物线上，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 5．如图，在平行六面体中，，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 6．点P在直线上运动，，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．4 7．已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 8．如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，给出以下三个结论： ①存在点满足； ②存在点满足与平面所成角的大小为； ③存在点满足； 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．与垂直 B．与共线 C．与所成角为锐角 D．，，，可作为空间向量的一组基底 10．已知圆，直线.则以下命题正确的有（　　） A．直线l恒过定点 B．y轴被圆C截得的弦长为 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 11．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，设线段的中点为，下列说法正确的是（    ） A．若抛物线上存在一点，到焦点的距离等于4，则抛物线的方程为 B．若，则直线的倾斜角为 C． D．若点到抛物线准线的距离为2，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知的三个顶点，，．那么三角形外接圆的方程是 ． 13．已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则 ． 14．设双曲线的左､右焦点分别为为左顶点，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点（点在第一象限）.若，则双曲线的离心率 ， . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知两直线和的交点为． (1)直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程； (2)圆过点且与相切于点，求圆的一般方程． 16．（15分） 在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求证：面. 17．（15分） 已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程： (2)过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率. 18．（17分） 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点.      (1)证明：∥平面； (2)若，， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19．（17分） 已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册第一章~第三章（空间向量与立体几何+直线与圆+ 圆锥曲线）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．若直线 2π : tan 5 l x  的倾斜角为 ，则 （ ） A．0 B． 2π 5 C． π 2 D．不存在 2．在空间直角坐标系Oxyz中，点    0,1, 1 1,1,2A B ， ，点 A关于 y轴对称的点为 C，点 B关于平面 xOz对 称的点为 D，则向量CD  的坐标为（ ） A．  1,2, 1  B．  1, 2,1 C．  1,0,1 D．  1,0, 1 3．已知圆 2 21 : 4C x y  ，圆 2 2 2 : 8 6 16 0C x y x y     ，则两圆的位置关系（ ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 4．已知点  06,P y 在焦点为F 的抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  上，若 15 2 PF  ，则 p （ ） A．3 B．6 C．9 D．12 5．如图，在平行六面体 ABCD A B C D   中， 5, 3, 7AB AD AA   ， 60BAD  ， BAA DAA   45 ，则 AC 的长为（ ） A． 98 56 2 B． 98 56 2 C． 89 56 2 D． 89 56 2 6．点 P在直线 : 1 0l x y   上运动，    2,3 , 2,0A B ，则 PA PB 的最大值是（ ） A． 5 B． 6 C．3 D．4 7．已知椭圆的方程为 2 2 1 9 4 x y   ，过椭圆中心的直线交椭圆于 A、B两点， 2F 是椭圆的右焦点，则 2ABF△ 的周长的最小值为（ ） A．8 B．6 2 3 C．10 D．8 2 3 8．如图，已知正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 1，点M 为棱 AB的中点，点 P在正方形 1 1BCC B 内部（不 含边界）运动，给出以下三个结论： ①存在点 P满足 1 1PD MB ； ②存在点 P满足 1PD 与平面 1 1A D M 所成角的大小为60； ③存在点 P满足 1 12 5 MD MP  ； 其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．已知向量  2,0, 2a   ， 1 3 ,1, 2 2 b         ，  1, 2,3c    ，则下列结论正确的是（ ） A．a  与b  垂直 B．b  与 c  共线 C．a  与 c  所成角为锐角 D．a  ，b  ， c  ，可作为空间向量的一组基底 10．已知圆 2 2 5( ) (1 2) 2C x y  ： ，直线    : 2 1 1 7 4 0l m x m y m      .则以下命题正确的有（ ） A．直线 l恒过定点  3,0 B．y轴被圆 C截得的弦长为4 5 C．直线 l与圆 C恒相交 D．直线 l被圆 C截得弦长最长时，直线的方程为 2 5 0x y   试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 11．已知抛物线 2 2 ( 0)x py p  的焦点为F ，过F 的直线 l交抛物线于 ,A B两点，以线段 AB为直径的圆交 x轴于 ,M N 两点，设线段 AB的中点为H ，下列说法正确的是（ ） A．若抛物线上存在一点 ( ,3)E t ，到焦点F 的距离等于 4，则抛物线的方程为 2 4x y B．若 2| | | | 2AF BF p ，则直线 AB的倾斜角为 π 4 C． 2 3 = 4 OA OB p    D．若点F 到抛物线准线的距离为 2，则sin HMN 的最小值为 1 3 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．已知 ABC 的三个顶点  1, 2A  ，  0,5B ，  3, 4C   ．那么三角形外接圆的方程是 ． 13．已知棱长为 1 的正四面体 ABCD，M为 BC中点，N为 AD中点，则BN DM    ． 14．设双曲线 2 2 2 2 : 1( 0, 0) x y C a b a b     的左､右焦点分别为 1 2, ,F F A为左顶点，过点 1F 的直线与双曲线C的 左､右两支分别交于点 ,N M （点M 在第一象限）.若 2 4MF NA   ，则双曲线C的离心率e  ， 1 2cos FMF  . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分） 已知两直线 1 : 2 0l x y   和 2 : 3 2 1 0l x y   的交点为 P． (1)直线 l过点 P且与直线 3 1 0x y   平行，求直线 l的一般式方程； (2)圆C过点  1,0 且与 1l 相切于点 P，求圆C的一般方程． 16．（15 分） 在正四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 1 2 4AA AB  ，点E在线段 1CC 上，且 1 4CC CE   ，点F 为 BD中点. (1)求点 1D 到直线EF的距离； (2)求证： 1AC 面BDE . 17．（15 分） 已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     的离心率为 3 2 ，且过点 3 (1, ) 2 . (1)求椭圆C的方程： (2)过点  1,0M 的直线 l与椭圆C交于点A 、 B，设点 1( ,0) 2 N ，若 ABN 的面积为 3 10 ，求直线 l的斜率 k . 18．（17 分） 如图，在四棱锥P ABCD 中，平面PDC 平面 ABCD， AD DC ， AB DC ， 1 2 AB DC ， 1PD AD  ，M 为棱PC的中点. (1)证明： BM ∥平面PAD； (2)若 5PC  ， 1AB  ， （i）求二面角P DM B  的余弦值； （ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM 的距离是 2 6 9 ？若存在，求出 PQ PA 的值；若 不存在，说明理由. 19．（17 分） 已知 A，B分别是双曲线 2 2 2 2 : 1( 0, 0) x y C a b a b     的左、右顶点，P是 C上异于 A，B的一点，直线 PA，PB的斜率分别为 1 2,k k ，且 1 2 | | 4k k AB  . (1)求双曲线 C的方程； (2)已知过点 (4,0)的直线 : 4l x my  ，交 C的左，右两支于 D，E两点（异于 A，B）. （i）求 m的取值范围； （ii）设直线 AD与直线 BE交于点 Q，求证：点 Q在定直线上. 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册第一章~第三章（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若直线的倾斜角为，则（    ） A．0 B． C． D．不存在 【答案】C 【解析】因为， 为一常数，故直线的倾斜角为，故选：C 2．在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，点A关于y轴对称的点为， ，点B关于平面对称的点为. 则.故选：B. 3．已知圆，圆，则两圆的位置关系（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 【答案】B 【解析】易知圆的圆心为，半径为； 圆可化为，圆心，半径为； 圆心距，所以两圆外切.故选：B 4．已知点在焦点为的抛物线上，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【解析】抛物线，准线，, 由抛物线的定义可知，解得. 故选：A. 5．如图，在平行六面体中，，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】平行六面体中，， 因为，，，， 所以 ， 所以，即的长为， 故选：A. 6．点P在直线上运动，，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【解析】设关于的对称点为， 则，解得，即 故, , 当且仅当，三点共线时，等号成立. 故选：A 7．已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【答案】C 【解析】椭圆的方程为，则，，， 连接，， 则由椭圆的中心对称性可知， 可知为平行四边形，则， 可得的周长为， 当AB位于短轴的端点时，取最小值，最小值为， 所以周长为． 故选：C. 8．如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，给出以下三个结论： ①存在点满足； ②存在点满足与平面所成角的大小为； ③存在点满足； 其中正确的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】如图建立平面直角坐标系，则，，，， 设，，则， 若，则，解得， 所以存在点满足，故①正确； 因为，，设平面的法向量为， 则，取， 设与平面所成角为，， 则， 令，，则，所以， 令，，则，所以， 所以存在点满足与平面所成角的大小为，故②正确； 因为，， 所以，所以， 所以存在点满足，故③正确. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．与垂直 B．与共线 C．与所成角为锐角 D．，，，可作为空间向量的一组基底 【答案】BC 【解析】对A：，故与不垂直，故A错误； 对B：由、，有，故与共线，故B正确； 对C：，且与不共线， 故与所成角为锐角，故C正确； 对D：由与共线，故，，不可作为空间向量的一组基底，故D错误. 故选：BC. 10．已知圆，直线.则以下命题正确的有（　　） A．直线l恒过定点 B．y轴被圆C截得的弦长为 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 【答案】CD 【解析】对于A，直线，即， 由，解得，故直线过定点，故A错误； 对于B, 圆，当时，，故y轴被圆C截得的弦长为，故B错误； 对于C，直线过定点，,故点在圆内，则直线l与圆C恒相交，故C正确； 对于D，当直线l被圆C截得弦长最长时，直线过圆心，则，解得， 故直线方程为：，即，故D正确. 故选：CD 11．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，设线段的中点为，下列说法正确的是（    ） A．若抛物线上存在一点，到焦点的距离等于4，则抛物线的方程为 B．若，则直线的倾斜角为 C． D．若点到抛物线准线的距离为2，则的最小值为 【答案】AC 【解析】设，直线的方程为， 由，得， 则， 所以，， 对于A：若抛物线上存在一点，到焦点的距离等于4， 即，则，解得， 所以抛物线的方程为，故A正确； 对于B：， 即，代入， 可得，解得， 所以直线的斜率，即直线的倾斜角为或，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：若点到抛物线准线的距离为2，则， 所以抛物线方程为，， 连接，过点作轴于点， 则， ， 所以， 因为，所以， 所以， 综上，最小值为，故D错误． 故选：AC． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知的三个顶点，，．那么三角形外接圆的方程是 ． 【答案】 【解析】设的外接圆方程为，则 ，解得， 所以三角形外接圆的方程为. 故答案为： 13．已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则 ． 【答案】 【解析】由题意可知：，且， 因为M为BC中点，N为AD中点，    则， 所以 . 故答案为： 14．设双曲线的左､右焦点分别为为左顶点，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点（点在第一象限）.若，则双曲线的离心率 ， . 【答案】2 【解析】如图， 由题意，知，设双曲线的焦距为，则. 由，得，且， 所以，所以，即， 所以双曲线的离心率. 连接，设， 则. 在和中，由余弦定理的推论， 得， 化简整理，得， 所以在中，由余弦定理的推论， 得. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知两直线和的交点为． (1)直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程； (2)圆过点且与相切于点，求圆的一般方程． 【解析】（1）直线与直线平行，故设直线为，（1分） 联立方程组，解得．（3分） 直线和的交点． 又直线过点，则，解得，（4分） 即直线的方程为．（5分） （2）设所求圆的标准方程为，（6分） 的斜率为，故直线的斜率为1，（7分） 由题意可得解得（10分） 故所求圆的方程为．（11分） 化为一般式：．（13分） 16．（15分） 在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求证：面. 【解析】（1）    如图,以为原点，以分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，（1分，建系正确即可） 正四棱柱,为中点, （2分） 则点到直线的距离为：.（8分） （2）由（1）可得， 则，（9分） 由可得，（11分） 又由可得，（13分） 又，（14分） 故面.（15分） 17．（15分） 已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程： (2)过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率. 【解析】（1）由椭圆的离心率为，得，（1分） 解得，（2分） 由椭圆过点，得，（3分） 联立解得，（4分） 所以椭圆的方程为.（5分） （2）依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，（6分） ，则， 由消去得，显然，（7分） 则，（8分） 的面积（10分） ，（13分） 解得，（14分） 所以直线的斜率.（15分）    18．（17分） 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点.      (1)证明：∥平面； (2)若，， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【解析】（1）如图，取中点，连接，，（1分，辅助线表述正确即可） 因为是中点，所以，，（2分） 又，， ，， 所以四边形是平行四边形，（3分） ，（4分） 又平面，平面， 平面.（5分）    （2），，又，， ，则，（6分） 又平面平面，平面平面， 平面，（7分） ，又， 所以，，两两互相垂直， 如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，（8分） （i）设平面的一个法向量为，则 ，即，令，可得，， ，（10分） 又平面的一个法向量为，（11分） ， 所以二面角的余弦值为.（12分） （ii）假设线段上存在点，使得点到平面的距离为， 设，，， ，（13分） 由（i）知平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为，（15分） 则，解得或，（16分） 又，所以， 即存在点到平面的距离为，且.（17分） 19．（17分） 已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【解析】（1）由题意可知，因为，所以.（1分） 设，则，所以，（2分） 又，（3分） 所以.（4分） 所以双曲线C的方程为.（5分） （2）（i）由题意知直线l的方程为.（6分） 联立，化简得，（7分） 因为直线l与双曲线左右两支相交，所以， 即满足：，（10分） 所以或；（11分） （ii），（12分） 直线AD的方程为 直线BE的方程为.（13分） 联立直线AD与BE的方程，得，（14分） 所以， 所以， 所以 . 所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$