第11课 逆命题和逆定理-2024-2025学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第11课 逆命题和逆定理 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解逆命题、逆定理的概念. 2.会识别两个命题是不是互逆命题.会在简单情况下写出一个命题的逆命题. 3.了解原命题成立,其逆命题不一定成立. 4.理解线段的垂直平分线性质定理的逆定理的证明. ( 知识精讲 ) 知识点01 逆命题、逆定理 逆命题：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫互逆定理. 知识点02 线段的垂直平分线性质定理的逆定理 线段的垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. ( 能力拓展 )考点01 逆命题、逆定理 【典例1】写出下列命题的逆命题： （1）两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，那么这两条直线平行； （2）角平分线上的点到角的两边的距离相等； （3）若r2＝a，则r叫a的平方根； （4）如果a≥0，那么＝a． 【即学即练1】写出下列命题的逆命题，并判断真假性． （1）直角三角形的两锐角互余； （2）若a＝b，则； （3）如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0； （4）两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定全等． 考点02 线段的垂直平分线性质定理的逆定理 【典例2】已知，如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AB垂直平分CD． 【即学即练2】如图，AC＝AD，BC＝BD，点E是线段AB上任意一点，连接CE，DE．求证：EC＝ED． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．如果a＝b，那么a2＝b2 C．钝角三角形中有两个锐角 D．对顶角相等 2．命题：“两直线平行，同位角相等”的逆命题为（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．两直线不平行，同位角不相等 C．同位角不相等，两直线不平行 D．两直线平行，同位角不相等 3．已知下列命题：①若a≤0，则|a|＝﹣a；②如果两个角是直角，那么它们相等；③同位角相等，两直线平行； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等．其中逆命题为真命题的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列选项中，有逆定理的是（　　） A．等腰三角形是轴对称图形 B．同角的补角相等 C．三边对应相等的两个三角形全等 D．对顶角相等 5．关于原命题“如果a＝b，那么a2＝b2”和它的逆命题“如果a2＝b2，那么a＝b”，下列说法正确的是（　　） A．原命题是真命题，逆命题是假命题 B．原命题、逆命题都是真命题 C．原命题是假命题，逆命题是真命题 D．原命题，逆命题都是假命题 6．下列定理中，没有逆定理的是（　　） A．两直线平行，同旁内角互补 B．线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 C．两个全等三角形的对应角相等 D．在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 7．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 　 　． 8．“对顶角相等”的逆命题是 　 　．（用“如果…那么…”的形式写出） 9．写出命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题：　 　． 10．命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是 　，该逆命题是 　 　（填“真”或“假”）命题． 11．命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 　　命题．（填“真”或“假”） 12.写出下列两个定理的逆命题，并判断真假 （1）在一个三角形中，等角对等边． （2）四边形的内角和等于360°． 13.下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？ （1）两条直线平行，同位角相等； （2）如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数； （3）等边三角形是锐角三角形； （4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 14.写出下列命题的逆命题，并指出其真假； （1）若ab＝0，则a＝0； （2）如果a，b都是偶数，那么a+b是偶数； （3）两个锐角的和是钝角； （4）直角三角形的两个锐角互余； （5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等． 15.下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）内错角相等，两直线平行； （3）对顶角相等． 16.已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上，求证：EB＝EC． 题组B 能力提升练 17．下列命题：①若|a|＞|b|，则a＞b；②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；③等边三角形的三个内角都相等；④全等三角形的对应角相等．以上命题的逆命题是真命题的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 18．请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题：　 　． 19．命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是　 　． 20．写出命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行”的逆命题：　 　． 21.已知，如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于点D，求证：点D在BC的垂直平分线上． 22.阅读下列材料，并完成相应的任务． 尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题，在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形． 如图①，在△ABC中，AB＝AC，小明用尺规作底边BC的垂直平分线的过程如下： ①以点A为圆心，小于AB长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E； ②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线AP，则AP垂直平分BC. （1）根据小明的作图方法，如图①，他得出“AP垂直平分BC”的依据是 　 　； （2）如图②，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，求作对角线BD的垂直平分线，小明只用无刻度直尺作直线AC，就得到对角线BD的垂直平分线，请你帮助小明说明理由． 题组C 培优拔尖练 23．定义：若两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则称这两个命题互为否命题．有下列四个命题：①“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则1﹣q有平方根”的逆命题；④“各边不相等的三角形的三个内角相等”的否命题．其中，属于真命题的是（　　） A．①②③ B．③④ C．①③ D．①④ 24．写出定理“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题． 25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E．求证：BC垂直且平分DE． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11课 逆命题和逆定理 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解逆命题、逆定理的概念. 2.会识别两个命题是不是互逆命题.会在简单情况下写出一个命题的逆命题. 3.了解原命题成立,其逆命题不一定成立. 4.理解线段的垂直平分线性质定理的逆定理的证明. ( 知识精讲 ) 知识点01 逆命题、逆定理 逆命题：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫互逆定理. 知识点02 线段的垂直平分线性质定理的逆定理 线段的垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. ( 能力拓展 )考点01 逆命题、逆定理 【典例1】写出下列命题的逆命题： （1）两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，那么这两条直线平行； （2）角平分线上的点到角的两边的距离相等； （3）若r2＝a，则r叫a的平方根； （4）如果a≥0，那么＝a． 【思路点拨】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．根据定义可写出上述命题的逆命题． 【解析】解：（1）两条平行线被第三条直线所截，这两条直线平行，同位角相等； （2）到角的两边的距离相等的点在角平分线上； （3）若r是a的平方根，那么r2＝a； （4）如果＝a，那么a≥0． 【点睛】本题考查逆命题的概念，关键是找到原命题的题设和结论，题设和结论互换，就可得到逆命题． 【即学即练1】写出下列命题的逆命题，并判断真假性． （1）直角三角形的两锐角互余； （2）若a＝b，则； （3）如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0； （4）两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定全等． 【思路点拨】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【解析】解：（1）直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，正确； （2）若a＝b，则的逆命题是若，则a＝b，正确； （3）如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0的逆命题是若a＞0，b＞0，则a+b＞0，正确； （4）两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定全等的逆命题是若两个图形全等，则这两个图形关于某条直线对称，错误； 【点睛】此题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 考点02 线段的垂直平分线性质定理的逆定理 【典例2】已知，如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AB垂直平分CD． 【思路点拨】连接CD，根据题意可得出△ADB≌△ACB，故BD＝BC，再由线段垂直平分线的性质即可得出结论． 【解析】证明：连接CD， 在△ADB与△ACB中， ， ∴△ADB≌△ACB（ASA）， ∴BD＝BC，AD＝CD， ∴AB垂直平分CD． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答此题的关键． 【即学即练2】如图，AC＝AD，BC＝BD，点E是线段AB上任意一点，连接CE，DE．求证：EC＝ED． 【思路点拨】连接CD，根据线段垂直平分线性质得出AB是线段CD的垂直平分线，即可推出EC＝ED． 【解析】证明：连接CD， ∵AC＝AD，BC＝BD， ∴A在线段CD的垂直平分线上，B在线段CD的垂直平分线上， 即AB是线段CD的垂直平分线， ∵E在AB上， ∴EC＝ED． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线定理的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．如果a＝b，那么a2＝b2 C．钝角三角形中有两个锐角 D．对顶角相等 【思路点拨】写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【解析】解：A、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题是真命题，符合题意； B、如果a＝b，那么a2＝b2的逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b，逆命题是假命题，不符合题意； C、钝角三角形中有两个锐角的逆命题是有两个锐角的三角形是钝角三角形，逆命题是假命题，不符合题意； D、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意； 故选：A． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大． 2．命题：“两直线平行，同位角相等”的逆命题为（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．两直线不平行，同位角不相等 C．同位角不相等，两直线不平行 D．两直线平行，同位角不相等 【思路点拨】根据逆命题的定义即可求解． 【解析】解：“两直线平行，同位角相等”的逆命题为：同位角相等，两直线平行， 故选A． 【点睛】本题考查了逆命题，熟练掌握基础知识是解题的关键． 3．已知下列命题：①若a≤0，则|a|＝﹣a；②如果两个角是直角，那么它们相等；③同位角相等，两直线平行； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等．其中逆命题为真命题的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】逆命题是以原命题的条件为结论，原命题的结论为条件的命题，再判断命题的真假即可． 【解析】解：①“若a≤0，则|a|＝﹣a，”逆命题是“若|a|＝﹣a，则a≤0”，是真命题，所以①符合题意； ②“如果两个角是直角，那么它们相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是直角”是假命题，所以②不符合题意； ③“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”，是真命题，所以③符合题意； ④“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题“如果两个数的平方相等，那么这两根数也相等”是假命题，所以④不符合题意． 所以符合题意的有①③． 故选：B． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是理解逆命题的定义，属于中考常考题型． 4．下列选项中，有逆定理的是（　　） A．等腰三角形是轴对称图形 B．同角的补角相等 C．三边对应相等的两个三角形全等 D．对顶角相等 【思路点拨】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假即可． 【解析】解：A．等腰三角形是轴对称图形的逆命题为：轴对称图形是等腰三角形，此逆命题为假命题，所以A选项没有逆定理，不符合题意； B．同角的补角相等的逆命题为：如果两个角的补角相等，那么这两个角是同一个角，此逆命题为假命题，所以B选项没有逆定理，不符合题意； C．三边对应相等的两个三角形全等的逆命题为：全等的两个三角形的三边对应相等，此逆命题为真命题，所以C选项有逆定理，符合题意； D．对顶角相等的逆命题为：相等的角为对顶角，此命题为假命题，所以D选项没有逆定理，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 5．关于原命题“如果a＝b，那么a2＝b2”和它的逆命题“如果a2＝b2，那么a＝b”，下列说法正确的是（　　） A．原命题是真命题，逆命题是假命题 B．原命题、逆命题都是真命题 C．原命题是假命题，逆命题是真命题 D．原命题，逆命题都是假命题 【思路点拨】写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【解析】解：原命题“如果a＝b，那么a2＝b2”是真命题； 它的逆命题“如果a2＝b2，那么a＝b”，错误，是假命题； ∴原命题为真命题，逆命题为假命题， 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大． 6．下列定理中，没有逆定理的是（　　） A．两直线平行，同旁内角互补 B．线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 C．两个全等三角形的对应角相等 D．在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 【思路点拨】写出各个定理的逆命题，判定真假即可． 【解析】解：A、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，正确，不符合题意； B、逆命题为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，不符合题意； C、逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，错误，符合题意； D、逆命题为：角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大． 7．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 　同位角相等，两直线平行　． 【思路点拨】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题． 【解析】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等． ∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 8．“对顶角相等”的逆命题是 　如果两个角相等，那么这两个角是对顶角　．（用“如果…那么…”的形式写出） 【思路点拨】交换原命题的题设和结论即可得到原命题的逆命题． 【解析】解：命题“对顶角相等．”的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 【点睛】本题考查的是命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 9．写出命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题：　如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等　． 【思路点拨】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【解析】解：命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的题设是“如果两个实数相等”，结论是“那么它们的绝对值相等”，故其逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 10．命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是 　如果a2＝b2，那么a＝b　，该逆命题是 　假　（填“真”或“假”）命题． 【思路点拨】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据实数的乘方法则判断即可． 【解析】解：命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b，逆命题是假命题， 故答案为：如果a2＝b2，那么a＝b；假． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 11．命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 　真　命题．（填“真”或“假”） 【思路点拨】根据题意写出逆命题后判断正误即可． 【解析】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，逆命题是真命题； 故答案为：真． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出所有命题的逆命题，难度不大． 12.写出下列两个定理的逆命题，并判断真假 （1）在一个三角形中，等角对等边． （2）四边形的内角和等于360°． 【思路点拨】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论． 【解析】解：（1）逆命题：在一个三角形中，等边对等角．真命题． （2）内角和等于360°的多边形是四边形．真命题． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 13.下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？ （1）两条直线平行，同位角相等； （2）如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数； （3）等边三角形是锐角三角形； （4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 【思路点拨】（1）交换命题的题设与结论得到逆命题，然后根据平行线的判定方法可判断此逆命题为真命题； （2）交换命题的题设与结论得到逆命题，然后根据有理数的性质可判断此逆命题为假命题； （3）交换命题的题设与结论得到逆命题，然后根据等边三角形的判定方法可判断此逆命题为假命题； （4）交换命题的题设与结论得到逆命题，然后根据线段垂直平行线定理的逆定理可判断此逆命题为真命题． 【解析】解：（1）“两条直线平行，同位角相等”的逆命题为“同位角相等，两直线平行”，此逆命题为真命题； （2）“如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数”的逆命题为“如果两个实数的积是正数，那么两个实数都是正数”，此逆命题为假命题； （3）“等边三角形是锐角三角形”的逆命题为“锐角三角形是等边三角形”，此逆命题为假命题； （4）“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题为“到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，此逆命题为真命题． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题． 14.写出下列命题的逆命题，并指出其真假； （1）若ab＝0，则a＝0； （2）如果a，b都是偶数，那么a+b是偶数； （3）两个锐角的和是钝角； （4）直角三角形的两个锐角互余； （5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等． 【思路点拨】（1）利用有理数的乘法运算性质判断得出即可； （2）利用有理数的加减法运算性质求出即可； （3）利用锐角以及钝角的定义分析求出即可； （4）利用直角三角形的性质分析得出即可； （5）利用平行线的判定方法进而得出即可． 【解析】解：（1）若ab＝0，则a＝0，逆命题是：如果a＝0，则ab＝0，是真命题； （2）如果a，b都是偶数，那么a+b是偶数，逆命题是：如果a+b是偶数，那么a，b都是偶数，是假命题； （3）两个锐角的和是钝角，逆命题是：如果两个角的和是钝角，那么这两个角是锐角，是假命题； （4）直角三角形的两个锐角互余，逆命题是：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形，是真命题； （5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等，逆命题是：如果同位角相等，那么两条直线被第三条直线所截，是真命题． 【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确把握相关定义是解题关键． 15.下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）内错角相等，两直线平行； （3）对顶角相等． 【思路点拨】（1）、（2）、（3）分别写出各个命题的逆命题，判断即可． 【解析】解：（1）等腰三角形的两个底角相等的逆命题是两个角相等的三角形是等腰三角形，正确，有逆定理； （2）内错角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，内错角相等；正确，有逆定理； （3）对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，错误，没有逆定理． 【点睛】本题考查的是互逆命题及互逆定理的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 16.已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上，求证：EB＝EC． 【思路点拨】根据线段的垂直平分线的判定定理可知AD是线段BC的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质可知EB＝EC． 【解析】解：∵AB＝AC，DB＝DC， ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∵点E在AD上， ∴EB＝EC． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等和到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． 题组B 能力提升练 17．下列命题：①若|a|＞|b|，则a＞b；②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；③等边三角形的三个内角都相等；④全等三角形的对应角相等．以上命题的逆命题是真命题的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【思路点拨】分别写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【解析】解：①若|a|＞|b|，则a＞b的逆命题为若a＞b，则|a|＞|b|，错误，为假命题，不符合题意； ②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等的逆命题为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题，符合题意； ③等边三角形的三个内角都相等的逆命题为三个角相等的三角形是等边三角形，正确，是真命题，符合题意； ④全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，为假命题，不符合题意． 真命题有2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题． 18．请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题：　两个角相等三角形是等腰三角形　． 【思路点拨】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题． 【解析】解：∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， ∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个底角相等三角形是等腰三角形”， 故答案为：两个角相等三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查了逆命题的概念，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，难度适中． 19．命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是　到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上　． 【思路点拨】把原命题的题设与结论交换得到逆命题． 【解析】解：命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上， 故答案为：到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够区分原命题的题设和结论，难度不大． 20．写出命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行”的逆命题：　在同一平面内，两条平行的直线垂直于同一直线　． 【思路点拨】交换原命题的题设和结论即可． 【解析】解：命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行”的逆命题为：在同一平面内，两条平行的直线垂直于同一直线． 故答案为：在同一平面内，两条平行的直线垂直于同一直线． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握区分命题的题设和结论． 21.已知，如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于点D，求证：点D在BC的垂直平分线上． 【思路点拨】由在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，易得∠DBC＝∠C，即可得DB＝DC，继而证得结论． 【解析】证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠DBC， ∵在△ABC中，∠ABC＝2∠C， ∴∠C＝∠DBC， ∴DB＝DC， ∴点D在BC的垂直平分线上． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 22.阅读下列材料，并完成相应的任务． 尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题，在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形． 如图①，在△ABC中，AB＝AC，小明用尺规作底边BC的垂直平分线的过程如下： ①以点A为圆心，小于AB长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E； ②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线AP，则AP垂直平分BC. （1）根据小明的作图方法，如图①，他得出“AP垂直平分BC”的依据是 　等腰三角形三线合一的性质　； （2）如图②，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，求作对角线BD的垂直平分线，小明只用无刻度直尺作直线AC，就得到对角线BD的垂直平分线，请你帮助小明说明理由． 【思路点拨】（1）由等腰三角形三线合一的性质，即可得到答案； （2）由等腰三角形得到性质推出∠ABC＝∠ADC，得到∠CBD＝∠CDB，推出CB＝CD，由线段垂直平分线性质定理的逆定理即可推出AC垂直平分AC． 【解析】解：（1）他得出“AP垂直平分BC”的依据是等腰三角形三线合一的性质， 故答案为：等腰三角形三线合一的性质． （2）∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB， ∴∠CBD＝∠CDB， ∴CB＝CD， ∴C在BD的垂直平分线上， ∵AB＝AD， ∴A在AC的垂直平分线上， ∴AC垂直平分BD． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线性质定理的逆定理． 题组C 培优拔尖练 23．定义：若两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则称这两个命题互为否命题．有下列四个命题：①“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则1﹣q有平方根”的逆命题；④“各边不相等的三角形的三个内角相等”的否命题．其中，属于真命题的是（　　） A．①②③ B．③④ C．①③ D．①④ 【思路点拨】根据逆命题，否命题的定义一一判断即可． 【解析】解：①“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题，是真命题， ②“全等三角形的面积相等”的否命题，是假命题． ③“若q≤1，则1﹣q有平方根”的逆命题，是真命题， ④“各边不相等的三角形的三个内角相等”的否命题．是假命题， 故选：C． 【点睛】本题考查命题，逆命题否命题等知识，解题的关键是理解逆命题，否命题的定义，属于中考常考题型． 24．写出定理“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题． 【思路点拨】首先利用逆命题的定义写出原命题的逆命题；接下来利用等腰三角形的判定对逆命题进行证明即可． 【解析】解：逆命题：一边上的高线与中线互相重合的三角形是等腰三角形． 已知：如图，AD是△ABC的BC边上的中线和高线． 求证：△ABC是等腰三角形． 证明：∵AD是BC 边上的中线， ∴BD＝CD． ∵AD是BC边上的高线， ∴AD⊥BC． 即∠ADB＝∠ADC＝90°． ∵AD＝AD，∠ADB＝∠ADC＝90°，BD＝CD， ∴△ABD≌△ACD， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． 【点睛】本题考查的是命题与逆命题、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定等知识，掌握逆命题的概念，证明三角形全等是解题的关键． 25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E．求证：BC垂直且平分DE． 【思路点拨】证明出△DBP≌△EBP，即可证明BC垂直且平分DE． 【解析】证明：在△ADC中，∠DAH+∠ADH＝90°，∠ACH+∠ADH＝90°， ∴∠DAH＝∠DCA， ∵∠BAC＝90°，BE∥AC， ∴∠CAD＝∠ABE＝90°． 又∵AB＝CA， ∴在△ABE与△CAD中， ∴△ABE≌△CAD（ASA）， ∴AD＝BE， 又∵AD＝BD， ∴BD＝BE， 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∠BAC＝90°，AB＝AC， 故∠ABC＝45°． ∵BE∥AC， ∴∠EBD＝90°，∠EBF＝90°﹣45°＝45°， ∴△DBP≌△EBP（SAS）， ∴DP＝EP， 即可得出BC垂直且平分DE． 【点睛】此题关键在于转化为证明出△DBP≌△EBP．通过利用图中所给信息，证明出两三角形全等，而证明全等可以通过证明角相等和线段相等来实现． 学科网（北京）股份有限公司 $$