精品解析：上海市上海师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期9月练习数学试卷

上师大附中2024-2025学年高三上9月数学练习卷 2024．09 一．填空题 1. 函数的最小正周期为______． 2. 已知全集为，集合，则________ 3. 函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________ 4. 函数，值域___________. 5. 若实数x，y满足，则的最小值为______． 6. 已知在R上为严格增函数，则实数a的取值范围是________ 7. 已知函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标依次是，则______. 8. 奇函数满足对任意都有，且，则________ 9. 智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是（其中，，），则________ 10. 若函数在上严格减，则正实数的取值范围是______ 11. 设定义在R上的函数满足，且当时，.若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是___________. 12. 设，若在区间上存在唯一a和唯一的b，使且成立，则的取值范围是________ 二．选择题 13. 函数单调减区间是（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 14. 设在处可导，下列式子与相等的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数满足恒成立，则（　　） A. 函数一定是奇函数 B. 函数一定是奇函数 C. 函数一定是偶函数 D. 函数一定是偶函数 16. 已知，在上的最小值为，最大值为，在上的最小值为，最大值为，有以下两个命题：①且的充要条件是，；②存在，使且；下列选项正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①②都正确 D. ①②都错误 三．解答题 17. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调区间； （2）已知，求的最值，并写出取得最值时x的值． 18. 已知函数，其中且． （1）若函数的图象过点，求不等式的解集； （2）若存在实数，使得，求的取值范围； 19. 经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足（其中，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求． （1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值． 20. 已知函数． （Ⅰ）当时，求函数的极值； （Ⅱ）讨论函数的单调性； （Ⅲ）令，若对任意的，，恒有成立，求实数k的最大整数． 21. 设，函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴． （1）求函数表达式； （2）函数，求函数在上值域； （3）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍后得到函数的图象，设，为正整数，且函数在区间内恰有个零点，求与的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上师大附中2024-2025学年高三上9月数学练习卷 2024．09 一．填空题 1. 函数的最小正周期为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用求出最小正周期. 【详解】的最小正周期为. 故答案为： 2. 已知全集为，集合，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用指数函数的单调性，得到，即可求解. 【详解】由，得到，即， 所以， 故答案：. 3. 函数（且）图象恒过定点P，则点P的坐标为________ 【答案】 【解析】 【分析】令，计算即可求解. 【详解】由题意知，令，得， 将代入解析式中，得， 则函数的图象恒定点，即. 故答案为： 4. 函数，值域是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，又，可求值域. 【详解】因为，所以， ， 所以函数，值域是. 故答案为： 5. 若实数x，y满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式可得． 【详解】，，当且仅当时，取等， 故答案为． 【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题． 6. 已知在R上为严格增函数，则实数a的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】对于，分时和时，去掉绝对值讨论即可. 【详解】当时，， 开口向上，对称轴为，对称轴右侧递增， 当时，， 开口向下，对称轴为，对称轴左侧递增， 所以在R上为严格增函数时，实数. 故答案为：. 7. 已知函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标依次是，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的性质，得到，求得，再由1与2的中点必为函数的最大值点，求得，即可求解. 【详解】因为函数与直线的三个相邻交点的横坐标依次是， 可得函数的最小正周期为，解得， 结合三角函数的性质，可得1与2的中点必为函数的最大值点， 且2与4的中点必为函数的最小值点， 可得，解得， 因为，所以 故答案为：. 8. 奇函数满足对任意都有，且，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数周期性和奇偶性即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为为奇函数，所以， 即，则有， 所以函数是以4为周期的周期函数， 所以， 因为奇函数的定义域为，所以， 在中，令，则有，所以， 在中，令，则有，所以， 所以， 故答案为：. 9. 智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是（其中，，），则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合余弦型函数的性质进行求解即可. 【详解】由于抵消噪声，所以振幅没有改变，周期没有改变，即，， 即，要想抵消噪声，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是， 即，又因为，所以令，即， 故答案为：. 10. 若函数在上严格减，则正实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦函数的单调性求参数取值范围即可. 【详解】设函数的最小正周期为. 因为，所以. 又因为函数在上严格减， 所以且，， 即且，， 所以且，， 所以当时，；当时，， 所以正实数的取值范围是：. 故答案为： 11. 设定义在R上的函数满足，且当时，.若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，根据给定的函数解析式，结合等式关系，拓展其他区间的函数解析式，利用二次函数的性质，可得答案. 【详解】，且当时，恒成立， ，易知当时，则恒成立， 当，即时，恒成立， 当，即时，，不满足恒成立， 解不等式，，在上的解集为， 综上所述，当时，恒成立，实数的最小值为. 故答案为：. 12. 设，若在区间上存在唯一的a和唯一的b，使且成立，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合正余弦函数的性质可得，再借助图形分类讨论求出的范围. 【详解】令，则存在且使， 由区间长度为，得必须满足，则， 因此区间的左端点， 如图，有两种可能：内含有或， 第一类，含A、E：且，则； 第二类，含B、F：且，则. 所以的取值范围是. 故答案为： 二．选择题 13. 函数的单调减区间是（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 【答案】D 【解析】 【分析】由正切函数的诱导公式变形后结合单调性即可求出； 【详解】， 令，， 解得， 所以函数的单调减区间是（）， 故选：D. 14. 设在处可导，下列式子与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数的定义，将各选项中的式子化简，即可判断出答案. 【详解】对于A，,A错误； 对于B，，B正确； 对于C, ，C错误； 对于D，，D错误， 故选：B 15. 已知函数满足恒成立，则（　　） A. 函数一定是奇函数 B. 函数一定是奇函数 C. 函数一定是偶函数 D. 函数一定是偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数图象的性质得：函数满足恒成立，得函数的图象关于直线对称，即函数一定为偶函数，得解． 【详解】由函数满足恒成立， 得函数的图象关于直线对称， 即函数一定为偶函数， 故选D． 【点睛】本题考查了三角函数图象的性质及函数图象的平移，熟记性质是关键，属中档题． 16. 已知，在上的最小值为，最大值为，在上的最小值为，最大值为，有以下两个命题：①且的充要条件是，；②存在，使且；下列选项正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①②都正确 D. ①②都错误 【答案】B 【解析】 【分析】通过举特例可判断选项正误. 【详解】注意到当时，在上的最小值为，最大值为1； 在上的最小值为，最大值为1，但不满足，这个形式，故①错误； 又注意到当时，在上，当时，取最小值，时，取最大值； 在上，当时，取最小值，时，取最大值；满足且，故②正确. 故选：B 三．解答题 17. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调区间； （2）已知，求的最值，并写出取得最值时x的值． 【答案】（1），严格增区间为，严格减区间 （2）时取得最小值，时取得最大值1 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简整理函数的表达式为，然后即可求出周期和单调区间； （2）由（1）知，当时，，结合余弦函数的图象与性质，即可求得的最值，及取得最值时x的值． 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期， 令，解得， 令，解得， 所以的严格增区间为，严格减区间为. 【小问2详解】 当时，， 当，即时， ， 当，即时，， 即时取得最小值，时取得最大值1. 18. 已知函数，其中且． （1）若函数的图象过点，求不等式的解集； （2）若存在实数，使得，求的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入点坐标计算求出，根据定义域和单调性即可求出的解集； （2）根据的定义域将问题转化为时，有解，再结合分离常数法和换元，最后借助一元二次函数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 ，则， ， ， ， ，定义域为， 要解不等式，则， ． 又在定义域内是严格增函数， 由，则，解得． 综上所述，不等式的解集为． 【小问2详解】 的定义域为，则在方程中，应满足， 由，解得，问题转化为时，方程有实数解． 又，则， 即． 为严格单调函数， ， ，两边同除以得． 令，由，则， 在有解． 又在上严格增函数， ，即， 又，则. 19. 经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足（其中，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求． （1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值． 【答案】（1）（）；（2）当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为万元；当时，促销费用投入万元,厂家的利润最大，为万元. 【解析】 【分析】（1）根据产品的利润销售额产品的成本建立函数关系； （2）利用导数可求出该函数的最值． 【详解】（1）由题意知，， 将代入化简得：（）； （2）， （ⅰ）当时， ①当时，，所以函数在上单调递增， ②当时，，所以函数在上单调递减， 从而促销费用投入万元时，厂家的利润最大； （ⅱ）当时，因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增，故当时，函数有最大值， 即促销费用投入万元时，厂家的利润最大. 综上，当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为万元； 当时，促销费用投入万元，厂家利润最大，为万元. 【点睛】本题考查函数模型的选择与应用以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于综合题. 20. 已知函数． （Ⅰ）当时，求函数的极值； （Ⅱ）讨论函数的单调性； （Ⅲ）令，若对任意的，，恒有成立，求实数k的最大整数． 【答案】（Ⅰ）函数有极小值1，无极大值； （Ⅱ）分类讨论，详见解析；（Ⅲ）7． 【解析】 【分析】（Ⅰ）对函数进行求导，根据导函数的正负性判断其单调性，结合极值的定义进行求解即可； （Ⅱ）对函数进行求导，根据导函数的正负性分类讨论判断其单调性即可； （Ⅲ）根据（Ⅱ）求出函数在时的最小值，结合任意性的定义， 问题对任意的，，恒有成立可以转化为， 然后进行常变量分离，构造新函数，对新函数进行求导，结合新函数的单调性进行求解即可. 【详解】（Ⅰ）因为，所以，函数的定义域为. ， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以函数有极小值，其值为， 函数没有极大值. 即函数有极小值1，无极大值； （Ⅱ）函数的定义域为，． （1）当时， ，在上单调递增． （2）当时，，，单调递减， ，，单调递增． 综上所述：当时，在上单调递增， 当时，，单调递减，，单调递增； （Ⅲ）由（Ⅱ）知， 恒成立，则只需恒成立， 则， ， 令，则只需， 则， ，，单调递减， ，，单调递增， ， 即，， 的最大整数为7． 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性和极值，考查了利用导数解决不等式恒成立问题，考查了构造法，考查了数学运算能力. 21. 设，函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴． （1）求函数的表达式； （2）函数，求函数在上的值域； （3）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍后得到函数的图象，设，为正整数，且函数在区间内恰有个零点，求与的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）由函数的最小正周期得，由是其图象的一条对称轴得，进而求出函数的表达式； （2）求出，求导，利用导数求出的单调区间和极值，最后求出最大值和最小值，即可得到函数在上的值域； （3）根据题意得，进而整理得，在区间内恰有个零点，令，得，根据判别式得关于的二次方程必有两不等实根且异号，再分①，，②，，③，，④时， ，四种情况讨论求解即可. 小问1详解】 由题意，得，． 因为直线是函数图象的一条对称轴， 所以，得， 又，可得， 因此，． 【小问2详解】 由（1）得，则，因为， 当时，，则函数在单调递增， 当时，，则函数在单调递减， 当时，，则函数在单调递增， 故当时，函数取得极大值， 故当时，函数取得极小值 又， 因为 故函数在上的最大值为，最小值为， 所以在上的值域为 【小问3详解】 由题意，． 因为． 当时，即． 令，且． 关于的方程，其判别式，设该方程的两个不相等的实数根为，有． ①当且时，方程和在区间上均有偶数个实数根， 从而关于的方程在区间上也有偶数个实数根，不合题意． ②当且时，类似于情形①可得，不合题意． ③当时，，此时． 方程区间上有一个实数根，方程在区间上有两个实数根， 故方程在区间上有三个实数根． 因为，所以方程在区间上有个实数根． 又方程在区间上只有一个实数根，而在区间上无实数根， 方程在区间上无实数根，而在区间上有两个实数根， 故方程在区间上有个实数根，此时． ④当时，，此时． 类似于情形③，可知方程在区间上有个实数根， 在区间上有个实数根，不合题意． 综上，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$