期中考前满分冲刺之优质压轴题-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、圆中最值 1．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为（  ） A．30 B．32 C．35 D．38 2．如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 3．如图，边长为 的等边三角形中，M 是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 4．如图，，是半径为的的两条弦，，，是直径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为 ． 5．已知以为直径的圆O，C为弧的中点，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，的最小值为 ． 6．如图，在中，，，，P为内部一点，连接、、，则的最小值是 ． 类型二、二次函数各项系数关系问题 1．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（    ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．抛物线 的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④若点，均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（　　）    A．2 B．3 C．4 D．5 3．二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③方程没有实数根；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中结论正确的是 ．（填序号） 5．已知二次函数的图象如图所示．有下列结论．①；②；③；④；⑤．其中，正确结论的是 ． 6．已知二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点A的坐标为，其图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦关于x的一元二次方程的两个根是，．其中正确的是 （填序号）． 类型三、二次函数增减性中的最值 1．在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（是常数，且）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象经过点，，．当时，该函数有最大值和最小值，则（　　） A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值 3．当时，二次函数的最小值是，则 ． 4．已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为，则的值为 ． 5．已知二次函数（a为常数）． (1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点； (2)当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式； (3)若二次函数图象对称轴为直线，该函数图象与x轴交于两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为的中点，过点M的直线l（直线l不过两点）与二次函数图象交于两点，直线与直线相交于点P． ①求证：点P在一条定直线上； ②若，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由． 6．我们不妨约定：若某函数图象上存在横纵坐标相等的点，则把该函数称为“和谐函数”，其图象上这一点，称为“和谐点”，例如：“和谐函数”，其“和谐点”为． (1)在下列关于x的函数中，是“和谐函数”的，请在相应的题目后面括号中打“√”． ①________； ②_______； ③________． (2)若点A、点B是“和谐函数”（其中）上的“和谐点”，且，求m的取值范围； (3)若“和谐函数”的图象上存在唯一的一个“和谐点”，且当时，n的最小值为k，求k的值． 类型四、旋转中的比值问题 1．如图，在平面直角坐标系中，点，点，将矩形绕点O顺时针旋转度得到矩形，线段与线段交于点P，线段与直线交于点Q．下列说法：①当点落在y轴上时， 坐标为；②当点落在上时，；③的面积最大值为；④当时，．其中正确的个数有（       ）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图．是等腰直角外一点，把绕点B顺时针旋转90°到，使点在内，已知，若连接，，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在等腰三角形中，，，在线段上有一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，当△为等腰三角形时，的值为 ． 4．如图，中，，P为边上一点．将线段绕点Р逆时针旋转角度α，得线段．    （1）若四边形是平行四边形，则 ． （2）当时， ． 5．如图1，在菱形中，，射线以点为旋转中心，从位置开始逆时针旋转，旋转角为，点E与点C关于成轴对称，连接并延长与交于点F，连接． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)当点为中点时，求此时旋转角的度数； (3)若，直接写出的值． 6．问题背景： （1）如图1，已知，均为等边三角形，若，，，求证：； 尝试应用： （2）如图2，已知中，，，为线段上一点，以为边作等边，连接，为线段的中点，连接，．求证：； 拓展创新： （3）已知中，，，为平面内一点，若，，请直接写出的值． 类型五、二次函数的交点问题 1．已知是抛物线上的两点，其对称轴是直线，若时，总有，同一坐标系中有，且抛物线与线段有两个不相同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到的新图像与直线有个交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数与x轴的交点是和，关于x的方程（其中）的两个解分别是和5，关于x的方程（其中）也有两个整数解，这两个整数解分别是 ． 4．新定义：对于三个数a、b、c，我们用表示这三个数中最大的数，如：．若直线与函数的图象有且只有2个交点，则b的取值范围为 ． 5．在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）经过点和，点在这个抛物线上，设点的横坐标为． (1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点的坐标． (2)点在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为．当是以为底的等腰三角形时，求的面积． (3)设点的坐标为，点的坐标为，点在坐标平面内，以为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出的取值范围． 6．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线（b为常数）的顶点坐标为，抛物线与y轴相交于点A，点P在此抛物线上，其横坐标m，该抛物线在A，P两点之间的部分（包括A，P两点）记为图象G． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当图象G与x轴有交点时，求m的取值范围； (3)设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为a，横坐标之差为b，当时，求m的值； (4)过点P作轴，交抛物线于点Q，连接，以和为邻边构造，若图象G与的边有交点（不包括的顶点），交点记为N，当的面积被直线分成的两部分时，直接写出m的值． 类型六、圆中压轴等角问题 1．如图，是的直径，弦于点，在上取一点，连接、、． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求弦的长． 2．如图，在中，为直径， 弦于点，连接． (1)如图1，求证： ； (2)如图2，连接，过点作于点，求证： ； (3)如图3，在（2）的条件下，点在弧上，，连接，，，求的长． 3．如图，已知四边形内接于，连接交于点E，且平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求证，是等边三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折得到的射线交线段于点M，交于点N，若，求线段的长． 4．已知内接于，于点． (1)如图，求证：； (2)如图，改变点的位置，延长依次交，于点，，若，求证：； (3)在（2）的条件下，连接并延长，交边于点，若，，求线段的长． 5．如图1，在中，是直径，弦，垂足为F． (1)求证：； (2)如图2，点G在上，且． ①求证：； ②若，，求的长． 6．如图，直径，垂足为点，连接，为线段上一点，连接，． (1)如图，求证∶； (2)如图，为弧上一点，，垂足为点，连接交于点，为中点，求证∶． 类型七、二次函数的新定义 1．我们定义：平面直角坐标系中点到x轴的距离称为点P的偏离距离，如的偏离距离为2．已知抛物线 与直线相交于不同的两点A，B，其中点A在y轴负半轴，且偏离距离为点 B的坐标为 其中a，b，c，m，n为实数， 且a，m不为0． (1)求c的值； (2)设抛物线 上偏离距离为0的两个点的横坐标分别为和，求的值； (3)若函数图象在上所有点的偏离距离的最大值记为d，如函数 在 上的最大偏离距离 求抛物线在上的最大偏离距离d的最小值． 2．我们定义：把叫做函数的伴随函数．比如：就是的伴随函数．数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数（的常数），若点在函数的图象上，则点也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于轴对称．解答下列问题： (1)的图象关于 轴对称； (2)直接写出函数的伴随函数的表达式 ； 在如图所示的平面直角坐标系中画出的伴随函数的大致图象； (3)若直线与的伴随函数图象交于、两点（点在点的上方），连接、，且的面积为12，求的值； 3．【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．    4．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点是函数图象的“阶方点”；点（）是函数图象的“1阶方点”． (1)在①；②；③三点中，是正比例函数图象的“1阶方点”的有 （填序号）； (2)若y关于x的一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值； (3)若函数图象恰好经过“n阶方点”中的点，则点称为此函数图象的“不动n阶方点”，若y关于x的二次函数的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”，且当时，q的最小值为t，求t的值． 5．定义：当（，为常数，）时，函数最大值与最小值之差恰好为，我们称函数是在上的“雅正函数”，“”的值叫做该“雅正函数”的“雅正值”． 【初步理解】 （1）试判断下列函数是在上的“雅正函数”为______．（填序号） ①；②；③． 【尝试应用】 （2）若一次函数（，为常数，）和反比例函数（为常数，）都是在上的“雅正函数”，求的值． 【拓展延伸】 （3）若二次函数是在（，为常数，）上的“雅正函数”，雅正值是3． ①求、的值； ②若该二次函数图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点为二次函数图象上一点，且点的横坐标为，点、点是线段上的两个动点（点在点的左侧），分别过点、点作轴的平行线交抛物线于点、点，如果，其中为常数．试探究：是否存在常数，使得为定值．如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．参考公式： 6．定义：在平面直角坐标系中有两个函数的图象，如果在这两个图象上分别取点，（为自变量取值范围内的任意数），都有点和点关于点成中心对称（这三个点可以重合），那么称这两个函数互为“中心对称函数”．例如：和互为“中心对称函数”． (1)如果点和点关于点成中心对称，那么三个数，，满足的等量关系是 ； (2)已知函数：① 和；②和；③和，其中互为“中心对称函数”的是_____ （填序号）； (3)已知函数的“中心对称函数”的图象与反比例函数 的图象在第一象限有两个交点，，且的面积为4． ①求的值； ②反比例函数的“中心对称函数”的图象在第一象限内是否存在最低点，若存在，直接写出反比例函数的“中心对称函数“的函数表达式和该函数图象在第一象限内最低点坐标；若不存在，请简要说明理由； (4)已知三个不同的点，，都在二次函数（，，为常数，且）的“中心对称函数”的图象上，且满足．如果恒成立，求的取值范围． 类型八、圆中的无刻度尺问题 1．请用无刻度尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． （1）如图1，点E是矩形ABCD边AD的中点过E画矩形的一条对称轴交BC于F； （2）如图2，正方形ABCD中，点E是AB的中点，在BC上找一点G，使得AG⊥DE； （3）如图3，在正六边形ABCDEF中．点G是AF上一点，在CD上找一点H，使得EH=BG； （4）如图4，在⊙O中，点D是劣弧AC的中点，点B是优弧AC上一点，在⊙O上找一点I，使得BI//AC． 2．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过格点A，B，C，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)如图（1），先画出圆心O．再画一条弦，使； (2)如图（2），先在圆上画点P，使，再在圆上画点Q，使． 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过格点A，B，点C为与格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)画出该圆的圆心O，并画弦，使平分； (2)先将弦绕点A顺时针旋转得到线段，再在圆上画点E，使． 4．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．是半圆的直径，A、B两点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，P是半圆与网格的交点，先画圆心O，再画弦，使平分； (2)在图2中，先画弦，使．再在直径上画点G，使 5．请用无刻度直尺在以下两个图中画出对应射线： (1)如图①，若，A、B在圆上，请画出对应的弧的中点D； (2)如图②，若存在正六边形，连接、、，请画出和的垂直平分线，两者交于，连接，问和的关系并证明． 6．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C，D都是格点，经过A， B，C三点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．    (1)在图1中，画出圆心O，P是与网格线的交点，画出将点P绕点A顺时针旋转的对应点Q； (2)在图2中，E是与网格线的交点，连接并延长，交于点F，在上画点M，使，连接，画的中点H． 类型九、二次函数与不等式 1．已知二次函数（a为常数，． (1)若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点． (2)若，求证：当时，． (3)若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，则的取值范围是． 2．已知函数（为常数，且）． (1)当，为一切实数时，判断函数值存在最大值还是最小值，并求出其最值； (2)将抛物线置于平面直角坐标系中，若点，，在抛物线上，且，求的取值范围． 3．2023年7月10日，习近平主席向全球共享发展行动论坛首届高级别会议致贺信中指出：“发展是人类社会的永恒主题，共享发展是建设美好世界的重要路径．”我们把函数与函数衍生出的函数称为“共享”函数． (1)请求出函数与函数的“共享”函数，并求出此“共享”函数的最小值； (2)若函数与函数的“共享”函数图象的顶点为A，与y轴的交点为B，此时由原点O与A，B三点组成的是以为底的等腰三角形，求点B的坐标； (3)若函数与函数的“共享”函数的图象过点，且满足，．求点离原点O的距离的取值范围． 4．抛物线，，是常数，． (1)若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式； (2)若抛物线与轴两个交点的横坐标为、，求证：； (3)若抛物线的对称轴为直线，函数图象过点，当时，求的最小值． 5．在平面直角坐标系中，点，在抛物线 上，设抛物线的对称轴为． (1)当，时， 求抛物线的解析式； 若直线与二次函数 的图象在 内恰有两个交点，求常数的取值范围； (2)若点在抛物线上，若，求的取值范围及的取值范围． 6．在平面直角坐标系中，对于不同的两点M，N，若点M到x轴、y轴的距离的较大值等于点N到x轴、y轴的距离的较大值，则称点M，N互为“距轴等点”． (1)在点、、中与点互为“距轴等点”的是_______. (2)已知点与点 ①若点A、B分别在直线和直线上，且点A与点B始终互为“距轴等点”，求m的取值范围． ②若点A在二次函数的图像上，点B在过点且垂直于y轴的直线l上，当点A、B互为“距轴等点”时，证明：． 类型十、二次函数与圆 1．如图（1），二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点．    (1)求二次函数的解析式和b的值． (2)在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接，作以为直径的圆．点是圆在x轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点E移动到点，线段的对应线段为，连接的延长线交直线于点N，求的值． 2．如图，二次函数的图像经过点，，交y轴于点C，点E为该二次函数图象上第一象限内一动点． (1)__________，__________； (2)如图①，连接与相交于点P，当的值最大时，求点E的坐标； (3)如图②，过点E作轴于H点，交直线于点F，以为直径的与交于点R，当周长最大时，求点E的坐标． 3．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，且与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）若经过三点，N是线段上的动点，求的取值范围． （3）点P是二次函数图像上位于第一象限内的一点，过点P作，交直线于点Q，若，求点P的坐标． 4．已知⊙C的半径为，点P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反演点的定义如下：若点在射线CP上，满足，则称点是点P关于⊙C的反演点．图1为点P及其关于⊙C的反演点的示意图． （1）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为6，⊙O与轴的正半轴交于点A． ①如图2，∠AOB＝135°，OB＝18，若点，分别是点A，B关于⊙O的反演点．则点的坐标是 ，点的坐标是 ； ②如图3，点P关于⊙O的反演点为点，点在正比例函数位于第一象限内的图象上，△的面积为，求点的坐标； （2）点P是二次函数的图象上的动点，以O为圆心，为半径作圆，若点P关于⊙O的反演点的坐标是，请直接写出的取值范围 5．如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C．且，若将绕点O逆时针旋转，所得的顶点E恰好与点A重合，且的面积为3． (1)求这个二次函数的关系式． (2)设这个二次函数图象的顶点为M，请在y轴上找一点P，使得的周长最小，并求出点P的坐标． (3)设这个函数图象的对称轴l交x轴于点N，问：A、M、C、D、N这5个点是否会在同一个圆上？若在同一个圆上，请求出这个圆的圆心坐标，并作简要说明；若不可能，请说明理由． 6．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)直接写出点的坐标 ；点的坐标 ；点的坐标 ； 直线的解析式为 ； (2)如图，过作交抛物线于，以为直径作圆，圆心为，圆与直线：交于抛物线对称轴右侧的点，点到直线的距离为，过作，垂足为，再过作，垂足为，求的值； (3)如图，为抛物线上一点，过作交抛物线于另一点，连接，并延长交于点，若点总在直线上运动，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、圆中最值 1．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为（  ） A．30 B．32 C．35 D．38 【答案】D 【分析】首先连接，，证明在以为圆心，2为半径的圆弧上，过作于，当G在上时，面积取最小值，此时四边形面积取最小值，再进一步解答即可． 【详解】解：连接，， ∵矩形， ∴，， ∵，为的中点， ∴， ∴在以为圆心，2为半径的圆弧上， 过作于， 当G在上时，面积取最小值，此时四边形面积取最小值， 四边形面积=三角形面积+三角形面积， 即四边形面积=三角形面积+24． 设圆弧交于，此时四边形面积取最小值， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 即四边形面积的最小值=． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，圆的确定，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹． 2．如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的性质和圆周角定理，在的上方，作，使得，连接，过点分别作于点于点．则，那么，点的运动轨迹是以为圆心，长为半径的在矩形内的部分，当点落在线段上时，的值最小，根据矩形的性质得，结合已知求得和，继而证明四边形是矩形，可知和，利用勾股定理可求得，即可求得． 【详解】解：如图，在的上方，作，使得，连接，过点分别作于点于点． ， 点的运动轨迹是以为圆心，长为半径的在矩形内的部分， 当点落在线段上时，的值最小， 四边形是矩形， ， ，， ， ，，， ，， ，， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ． 故选：A． 3．如图，边长为 的等边三角形中，M 是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转可以证明，可得，根据垂线段最短，当时，最短，即最短，由直角三角形的性质可求得线段长度的最小值． 【详解】解：如图，取的中点，连接，则， ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 即， ∴， ∵是等边三角形的高， ∴， ∴， 又∵旋转到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 根据垂线段最短，当时，最短，即最短， 此时， ∴， ∴． ∴线段长度的最小值是． 故选：B． 4．如图，，是半径为的的两条弦，，，是直径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，垂径定理，勾股定理，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．由于A、B两点关于对称，因而，即当B、C、P在一条直线上时，的最小，即的值就是的最小值． 【详解】解：连接，作垂直于于H． ∵，，是直径，，， ∴，，四边形是矩形， ∴，， ∴， ， 在中根据勾股定理得到， 即的最小值为． 故答案为：． 5．已知以为直径的圆O，C为弧的中点，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】以为斜边作等腰，则，连接，，，可求，可得点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的，当、、三点共线时，最小，，由，，即可求解． 【详解】解：如图所示，以为斜边作等腰，则，连接，，． ， 的直径为，C为的中点， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的， 当、、三点共线时，最小，， ， ， ； 的最小值为． 故答案：． 【点睛】本题考查了圆外一点到圆上一点的最小距离的典型线段最值问题，圆的基本性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，找出动点的运动轨迹是解题的关键． 6．如图，在中，，，，P为内部一点，连接、、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 将绕点A逆时针旋转得到，连接连接，，易证，因为，推出当P，F在直线上时，的值最小，求出的长即可解决问题． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，连接，． 由旋转的性质可知：，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当P，F在直线上时，的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 类型二、二次函数各项系数关系问题 1．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（    ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子的符号，由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，即可得出，，，从而求出，即可判断①；根据二次函数与轴的交点得出二次函数的对称轴为直线，，，计算即可判断②；根据当时，二次函数有最小值，即可判断③；根据即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴相交于点，， ∴二次函数的对称轴为直线，，， 由得：， ∵， ∴， ∴，即，故②错误； 当时，二次函数有最小值， 由图象可得，对任意实数m，， ∴对任意实数m，均成立，故③正确； ∵点，在抛物线上，且， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①③，共个， 故选：B． 2．抛物线 的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④若点，均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（　　）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系．熟练掌握二次函数图象开口方向，与坐标轴交点的特征，对称轴特征，是解题的关键． 根据二次函数图象与系数的关系．与坐标轴交点的特征，对称轴特征，一一判断即可． 【详解】∵抛物线对称轴是直线，经过， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①错误， ∵抛物线对称轴是直线，经过， 可知抛物线与x轴还有另外一个交点为， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴， 故②正确， ∵抛物线与x轴交于， ∴， 故③正确， ∵点，均在抛物线上，且当时，y随x的增大而减小， ∴； 故④错误， ∵， 故⑤正确． ∴正确的有②③⑤，共3个． 故选：B． 3．二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③方程没有实数根；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象获得有关信息，对要求的式子进行判断，以及二次函数与方程之间的转换是解题关键． 先通过开口及对称轴判断出，，再通过当时，，即可判断①；通过抛物线与轴的交点判断出，再与①结合，可判断②；将方程变形可得，解方程可看成二次函数时求的值，通过函数图象即可判断③；当时，函数的值一定小于时的函数值，列出不等式变形即可判断④． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向下，对称轴为，当时，， ∴，即， ∴，即 ∴，故①正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，变形可得，故②正确； 将方程变形可得， 解方程可看成二次函数时求的值， 由图可看出会有两个解，故③不正确； ∵当时，， 且当时，函数取得最大值， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的结论有①②④，共3个． 故选：B． 4．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中结论正确的是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】根据抛物线的开口向上，可判定，根据对称轴为直线，得到，确定，根据抛物线与y轴的交点在负半轴上，可得到，继而得到，判定①正确；根据当时，，结合抛物线的图象，得，可判定②错误；根据，结合抛物线的对称轴为得到，代入可得到，于是可判断③正确；根据题意，得时，函数取得最小值，且为，当时，函数值为，由此得到，整理得， 可判断④正确．解答即可． 本题考查了抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在负半轴上， ∴， ∴， 故①正确； ∵当时，， 结合抛物线的图象，得， 故②错误； ∵， ∵对称轴为 ∴， 代入可得到， ③正确； 根据题意，得时，函数取得最小值，且为， 当时，函数值为， 由此得到，整理得， 故④正确． 故答案为：①③④． 5．已知二次函数的图象如图所示．有下列结论．①；②；③；④；⑤．其中，正确结论的是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查二次函数图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 抛物线有两个交点，，①正确；抛物线开口、对称轴和y轴的交点可以判断出，，，②正确；③利用对称轴，即，替换掉，把代入函数，可得；③正确；④把代入后得到，其对应的值小于0，故④正确；把代入后相乘可得到，所以⑤错误． 【详解】解：抛物线与x轴有两个不同的交点，因此，故①正确； 抛物线开口向上，因此， 对称轴为，a、b异号，因此， 抛物线与y轴交在负半轴，因此，所以，故②正确； 由图象可知，当时，，又对称轴，即：，所以，故③正确； 当时，，因此④正确； 当时，，当时，， 所以，即，也就是，故⑤错误， 综上所述，正确结论有：①②③④． 故答案为：①②③④． 6．已知二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点A的坐标为，其图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦关于x的一元二次方程的两个根是，．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②③④⑥⑦ 【分析】根据抛物线的开口方向、与x轴交点个数、对称轴、增减性逐个进行判断，得出答案． 【详解】∵二次函数的图象开口向上，与y轴的交点在y轴负半轴上， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵二次函数的图象与x轴有两个不同的交点， ∴，故②正确； 根据图象可知，当时，， ∴，故③正确； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的坐标为， ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴，故⑤错误； 根据图象可知，当时，， ∴，故⑥正确； ∵二次函数的对称轴为直线，二次函数的图象与x轴的一个交点的坐标为， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为， ∴关于x的一元二次方程的两个根是，，故⑦正确． 综上所述，正确的有②③④⑥⑦． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握抛物线的对称性是解决问题的关键． 类型三、二次函数增减性中的最值 1．在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（是常数，且）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像性质，利用待定系数法和根的判别式建立方程求出二次函数解析式作出图像是解题的关键，根据完美点只有一个得到判别式等于0，再根据完美点为，可建立a，b的方程组，解方程组即可得到函数的解析式，画出函数的图形即可得到答案． 【详解】解：当时，， 整理得， 根据题意得， ∵二次函数经过点， ∴， 整理得， 解方程组得， ∴函数的解析式为：， 整理得：， 函数的图像如下：    ∵时，时，解得或，当时，， ∴， 故选：B． 2．已知二次函数的图象经过点，，．当时，该函数有最大值和最小值，则（　　） A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数图像上点的坐标特征，求得抛物线开口向下，对称轴为轴是解题的关键． 由题意可知对称轴为轴，则函数为，利用待定系数法求得，由当时，该函数有最大值和最小值，即可得出，，进一步求的， 得到的最小值为，无最大值． 【详解】二次函数的图象经过点，，， 对称轴为直线， ，， ， 把，代入得， 解得：． 当时，该函数有最大值和最小值， 时，取最大值， 时，取最小值， ， 又， 的最小值为，无最大值． 故选B． 3．当时，二次函数的最小值是，则 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查二次函数的性质与二次函数的最值，掌握二次函数的增减性是解题的关键．先求解抛物线的对称轴，判断抛物线的开口方向，再分三种情况讨论：①当，即时，②当，即，③当，即，再进一步解答即可； 【详解】解：的对称轴为直线，，抛物线的开口向上， ①当，即时，则时，， ∴， 解得：，不符合题意，舍去， ②当，即时，则时，， ∴； 解得：， ③当，即时，则时，， ∴ ∴， 解得：（舍去）． 综上所述，或． 故答案为：1或 4．已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，由，求出，然后分类讨论即可，熟练掌握二次函数的性质及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴最多有一个公共点， ∴， 解得：， 由， 当时，则时，取最小值， ∴，解得； 当时，则时，取最小值， ∴，解得，舍去； 当时，则时，取最小值， ∴， 无实数根； 故答案为：． 5．已知二次函数（a为常数）． (1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点； (2)当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式； (3)若二次函数图象对称轴为直线，该函数图象与x轴交于两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为的中点，过点M的直线l（直线l不过两点）与二次函数图象交于两点，直线与直线相交于点P． ①求证：点P在一条定直线上； ②若，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)①证明见解析；②或 【分析】（1）令，则，根据根的判别式求得，得到不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根，进而即可得证； （2）由二次函数的解析式得到图象对称轴为直线，最大值为4，判断，得到当时，y取得最小值，最小值为，根据二次函数的最大值与最小值之差为9，即可列出方程，求解后进行取舍即可解答； （3）①根据对称轴为直线，求得，得到二次函数解析式为．令，求得，令，求得，从而．设，采用待定系数法求得直线的解析式为．把点代入，得到．同理求得直线的解析式为，直线的解析式为．联立直线，，求得点．设点P所在的定直线的解析式为，代入点P的坐标可求得，从而得证点P在定直线上； ②根据，得到，化简得到，由①知，从而，分两种情况分别讨论： 当时或，根据①中的点P的横坐标可得，整理得，结合，即可求出m，n的值，进而得到，的值，从而得到直线l的解析式．同理可求出当时直线l的解析式，即可解答． 【详解】（1）证明：令，则， ∵， ∴不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根， ∴二次函数图象与x轴总有两个公共点． （2）解：由二次函数的解析式得， 函数图象对称轴为直线，最大值为4． ， ， ∴当时，y取得最小值，最小值为， ，解得或（舍去）， 二次函数的解析式为． （3）①证明：对称轴为直线， ∴ ∴二次函数解析式为． 令，则，解得或， 则， 令，则，则 ∴． 设，由题意知，且均不为0，2． 设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为．（记为①式） 又直线过点， ，即． 同理设直线的解析式为， 把代入得 解得， 直线的解析式为．（记为②式） 同理得直线的解析式为．（记为③式） 由②③式联立得， 解得 ． 若点P在一条定直线上，设点P所在直线解析式为，代入点P的坐标得 ，将①式代入化简得， 由对应系数相等得， ∴点P所在直线解析式为，即点P在一条定直线上． ②解：直线l的解析式为或 理由：， ∴， ， ， ， ∴， 由①知， ∴， ∴ 当时，，整理得． 又， ∴ 整理得， 解得（不符合题意，舍去）， ， ， 直线l的解析式为； 当时，，整理得． 又， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）， ， ∴直线l的解析式为． 综上所述，当时，直线l的解析式为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，二次函数与方程，二次函数与坐标轴的交点等，综合运用相关知识是解题的关键． 6．我们不妨约定：若某函数图象上存在横纵坐标相等的点，则把该函数称为“和谐函数”，其图象上这一点，称为“和谐点”，例如：“和谐函数”，其“和谐点”为． (1)在下列关于x的函数中，是“和谐函数”的，请在相应的题目后面括号中打“√”． ①________； ②_______； ③________． (2)若点A、点B是“和谐函数”（其中）上的“和谐点”，且，求m的取值范围； (3)若“和谐函数”的图象上存在唯一的一个“和谐点”，且当时，n的最小值为k，求k的值． 【答案】(1)②√；③√ (2) (3)或 【分析】（1）按照题意令，解方程，然后判断作答即可； （2）设，由题意知，，整理得，，则，，，，由，可得，计算求解即可； （3）由“和谐函数”的图象上存在唯一的一个“和谐点”可得，整理得，，则，即得，，关于的二次函数图象开口向下，对称轴为直线，分①当，即时，当时，n取最小值k，则，计算求出满足要求的解即可；②当，，即时，当时，n取最小值k，则，计算求出满足要求的解即可；③当，，即时，当时，n取最小值k，则，计算求出满足要求的解即可；④当，即时，当时，n取最小值k，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：①令，即，方程无解， ∴不是“和谐函数”； ②令，即，解得，， ∴是“和谐函数”； ③令，即，解得，或， ∴是“和谐函数”； 故答案为：②√；③√； （2）解：设， ∵点A、点B是“和谐函数”（其中）上的“和谐点”， ∴，整理得，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为； （3）解：∵“和谐函数”的图象上存在唯一的一个“和谐点” ∴，整理得，， ∴， 解得，， ∴关于的二次函数图象开口向下，对称轴为直线， ①当，即时， 当时，n取最小值k， ∴， 解得，（舍去），（舍去）； ②当，，即时， 当时，n取最小值k， ∴， 解得，，（舍去）； ③当，，即时， 当时，n取最小值k， ∴， 解得，，（舍去）； ④当，即时， 当时，n取最小值k， ∴， 解得，（舍去），（舍去）； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．理解题意，熟练掌握解一元一次方程，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，二次函数的图象与性质，二次函数的最值是解题的关键． 类型四、旋转中的比值问题 1．如图，在平面直角坐标系中，点，点，将矩形绕点O顺时针旋转度得到矩形，线段与线段交于点P，线段与直线交于点Q．下列说法：①当点落在y轴上时， 坐标为；②当点落在上时，；③的面积最大值为；④当时，．其中正确的个数有（       ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】如图1所示，当在上时，连接，由勾股定理得，由旋转的性质可得，即可判断①正确；如图2所示，当点落在上时，此时重合，由旋转的性质可得， ，证明，得到，即，可判断②错误；如图3所示，当在上方时，过点B作垂直于直线于E，在旋转过程中，一直再增大（直线逐渐远离点B），则当点落在上时，有最大值，最大值为1，则此时有最大值，最大值为；如图4所示，当在下方时，过点B作垂直于直线于E，在旋转过程中，一直再减小（直线逐渐靠近点B），可推出的最大值小于，据此可判断③正确；作，可知，然后根据面积相等得，可设，并表示，，，最后根据勾股定理，得，据此建立方程，解方程求出，则，可判断④错误． 【详解】解：∵四边形是矩形，点，点， ∴， 如图1所示，当在上时，连接， 在中，由勾股定理得， 由旋转的性质可得， ∴，故①正确；    如图2所示，当点落在上时，此时重合， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，故②错误； 如图3所示，当在上方时，过点B作垂直于直线于E， 在旋转过程中，一直再增大（直线逐渐远离点B），则当点落在上时，有最大值，最大值为1， ∴此时有最大值，最大值为；    如图4所示，当在下方时，过点B作垂直于直线于E， 在旋转过程中，一直再减小（直线逐渐靠近点B），则当点落在上时，有最大值，最大值为1 ∴此时有最大值，最大值为， 而线段与线段有交点，则当点落在上时，此时有最大值，即此时此时的最大值小于；    综上所述，最大值为，故③正确； 过点Q作于点H，连接，如图5所示，则．    ∵，， ∴． 设，则， ∴，． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴， ∴，故④错误； ∴正确的有2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形等等，正确根据题意画出对应的图形并作出辅助线是解题的关键． 2．如图．是等腰直角外一点，把绕点B顺时针旋转90°到，使点在内，已知，若连接，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，证明，得出，从而得出，证明为直角三角形，设，则，根据勾股定理求出，根据等腰直角三角形的性质，求出，即可得出答案． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵绕点顺时针旋转到， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形， 设，则， ∴， ∴， ∴， 故B正确． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，证明． 3．如图，在等腰三角形中，，，在线段上有一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，当△为等腰三角形时，的值为 ． 【答案】或 【分析】过作于点，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求出，再分类讨论：当时，当时，当时，利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识求解即可． 【详解】解：如图，过作于点， ，， ， ， ， ， ， 当时， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ； 当时，如图， ， ， ，， ，， ，即， 解得：， ， ， ，， ， ，即， 解得：， ， ， ； 当时，则，， 又，在， 此时，、重合，、重合，线段不存在； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关知识并分类讨论． 4．如图，中，，P为边上一点．将线段绕点Р逆时针旋转角度α，得线段．    （1）若四边形是平行四边形，则 ． （2）当时， ． 【答案】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再由旋转的性质得到，由，利用勾股定理求出，从而得到，即可求解； （2）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，证明，得到，再根据，得到，从而得到，推出，再由旋转的性质结合，得到，易证，得到，再根据旋转的性质得到，从而得到，即可求出结果． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， ， 由旋转的性质得到， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由旋转的性质得， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 5．如图1，在菱形中，，射线以点为旋转中心，从位置开始逆时针旋转，旋转角为，点E与点C关于成轴对称，连接并延长与交于点F，连接． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)当点为中点时，求此时旋转角的度数； (3)若，直接写出的值． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）先由菱形的性质得到，再由轴对称的性质得到，，则，由等边对等角得到，，求出得到，即可得到是等边三角形． （2）先证明，，得到，，进而可得，再证明得到，推出与重合，由得到平分，则旋转角； （3）分当在点同侧时，当在点异侧时，两种情况画出对应的图形，讨论求解即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 如图所示，连接 四边形是菱形， ， 关于对称， ，， ， 在四边形中， 又 是等边三角形． （2）解：连接， 为中点， ， 又是等边三角形， ， ，， ，， ， ， 在菱形中，， ， ， ， 又， 与重合， ， 平分， 旋转角； （3）解：当在点同侧时，过点作与点， ， ∴可设，，， ， ， ， 由轴对称的性质可得 ∴在中，， ， 和是等边三角形， ，，， ∴， ∴， ， 在中，， ， ； 当在点异侧时，过点作与点， ， ∴可设设，，， ， ， ， 同理可得， ∴， ， 和是等边三角形， ，，， ∴， ∴， 在中，， ， ． 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 6．问题背景： （1）如图1，已知，均为等边三角形，若，，，求证：； 尝试应用： （2）如图2，已知中，，，为线段上一点，以为边作等边，连接，为线段的中点，连接，．求证：； 拓展创新： （3）已知中，，，为平面内一点，若，，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的值为或． 【分析】（1）由，，，利用证明即可； （2）将绕点旋转，得到，连接，，则旋转角，可得到四边形是平行四边形，则，，即可求证； （3）分两种情况讨论：①当点在三角形内部时，将绕点顺时针旋转，得到，可得，过点作，设，则，可得，，则；①当点在三角形外部时，将绕点顺时针旋转，得到，可得，设，则，由①可知则，则． 【详解】（1）证明：，均为等边三角形， ，，， ， ， ； （2）证明：如图2，将绕点旋转，得到，连接，，则旋转角， ，， ， ∵，， ， ， ∵，， ，， ， 四边形是平行四边形，点是的中点， 点是平行四边形对角线的交点， ， ∵， ，在中， ； （3）解：①当点在三角形内部时，如图3，将绕点顺时针旋转，得到， ，， ，， ， ， ， 过点作交于，设，则， ， ， ， ， ， ； ②当点在三角形外部时，如图4，将绕点顺时针旋转，得到， ，， ，， ， ， ， 设，则，由①可知， 在中，，则， ， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形旋转的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 类型五、二次函数的交点问题 1．已知是抛物线上的两点，其对称轴是直线，若时，总有，同一坐标系中有，且抛物线与线段有两个不相同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象上的点的特征等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． 先利用待定系数法求出的解析式，根据二次函数的性质得出时，，且，进一步利用求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵是抛物线上的两点，其对称轴是直线，若时，总有， ∴， ∵抛物线与线段有两个不相同的交点， ∴时，，且抛物线与直线有交点， ∴，解得：； 令，整理得：， ∵， ∴， ∴． 故选C． 2．将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到的新图像与直线有个交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与轴的交点：把求二次函数（、、是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，即可得解．掌握抛物线与轴交点坐标的求法及抛物线与直线交点坐标的求法是解题的关键．也考查了二次函数图像与几何变换． 【详解】解：对抛物线， 当时，得：， 解得：或， ∴抛物线与轴的交点为、， ∵将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变， ∴新图像中当时，解析式为，即，如图， 当直线经过点时，此时直线与新函数图像有个交点， 把代入直线，解得：， 将直线向下平移时，有个交点， 当与直线有一个交点时，此时直线与新函数图像有个交点， 整理得：， ∴， 解得：， 综上所述，新图像与直线有个交点时，的取值范围是． 故选：C． 3．已知二次函数与x轴的交点是和，关于x的方程（其中）的两个解分别是和5，关于x的方程（其中）也有两个整数解，这两个整数解分别是 ． 【答案】0和4 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程．解决问题的关键是画出图象，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系． 先确定二次函数与x轴和直线的交点，画出大致图象，然后根据二次函数与的交点位置，判断两个根的大小范围即可求解． 【详解】解：由题意可知二次函数与x轴的交点分别为和， 与的交点分别为和， 设与的交点分别为和， ∵， ∴直线在x轴和直线之间， 如图所示： 由图可知，， 又，q都为整数， ∴，， 故答案为：0和4． 4．新定义：对于三个数a、b、c，我们用表示这三个数中最大的数，如：．若直线与函数的图象有且只有2个交点，则b的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查在新定义下直线与抛物线相交的问题，根据题意得知是直线与抛物线相交是解决本题的前提，分类讨论思想的运用是解题的关键．求得、点的坐标，根据题意，分三种情况说明从而求解． 【详解】解：如图，    ①直线经过得，则， ②解得或， ， 代入得，， 解得， ③直线与抛物线相切时，则，即， 则 ， 解得：． 故答案为：或． 5．在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）经过点和，点在这个抛物线上，设点的横坐标为． (1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点的坐标． (2)点在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为．当是以为底的等腰三角形时，求的面积． (3)设点的坐标为，点的坐标为，点在坐标平面内，以为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)； (3)或 【分析】本题考查矩形的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）用待定系数法求出抛物线解析式，再将抛物线解析式化成顶点式，即可求解； （2）①先根据等腰三角形的性质求出A、B、C三点坐标，再根据三角形面积公式和三点共线，求解即可； （3）分情况分别画出图形求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得 ，解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为：， ∵， ∴顶点C的坐标为； （2）解：当时，， ∴, 当是以为底的等腰三角形时， 则， 又∵点C在抛物线对称轴上， ∴点A、点B关于直线对称， ∴， ∵点A的横坐标为m， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵点都在直线上， ∴三点共线， ∴的面积即为的面积， ∴的面积为； （3）解：①当时，则，，如图， 此时矩形与抛物线有3个交点； ②当时时，则，，如图， 此时矩形与抛物线只有2个交点； ③当时时，则，如图， 此时矩形与抛物线只有2个交点； ④当时有时，则，，如图， 此时矩形与抛物线只有2个交点； ⑤当时有时，则-，如图， 此时矩形与抛物线有3个交点； ⑥当时有时，则，如图， 此时矩形与抛物线只有2个交点； 综上，当或时，抛物线与矩形有3个交点． 6．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线（b为常数）的顶点坐标为，抛物线与y轴相交于点A，点P在此抛物线上，其横坐标m，该抛物线在A，P两点之间的部分（包括A，P两点）记为图象G． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当图象G与x轴有交点时，求m的取值范围； (3)设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为a，横坐标之差为b，当时，求m的值； (4)过点P作轴，交抛物线于点Q，连接，以和为邻边构造，若图象G与的边有交点（不包括的顶点），交点记为N，当的面积被直线分成的两部分时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或4 (4)3或 【分析】（1）将点代入函数解析式求出b的值，即可求函数的解析式； （2）先求函数图象与x轴的交点，再由题意可求m的取值范围； （3）分，，，四种情况讨论，并分别求出a，b的值，再结合，解方程即可； （4）根据对称性求出Q点坐标，根据平移的性质，求出M点坐标，再分，，，四种情况讨论，结合平行四边形的性质，分别求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， ， ， 抛物线对应的函数表达式为； （2）当时，， ， 当时，， 解得，， 图象G与x轴有交点， 或， （3）解：点P在此抛物线上，其横坐标m， ， 当时，，， ， ， 解得：或（舍）， 当时，， ， ， 解得：（舍）或（舍）， 当时，， ， 不符合题意， 当时，，， ， ， 解得：（舍）或， 综上所述，m的值为或4． （4），对称轴为， Q点横坐标为， 当时，， ， 四边形是平行四边形， ， 向右平移个单位长度得到， ， 当时，即P点在下方， 当N是的中点时，直线分的面积为的两部分， ， 把代入得，， 解得（舍）或， 当和时，图象G与的边无交点； 当时，点P在上方， 当N是的中点时，直线分的面积为的两部分， ， 把代入得， 解得（舍）或， 综上所述，m的值为3或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，平移的性质，平行四边形的性质，熟练运用分类讨论及数形结合思想是解题的关键． 类型六、圆中压轴等角问题 1．如图，是的直径，弦于点，在上取一点，连接、、． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆的性质及应用，涉及勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理、圆周角定理等圆的性质及熟练运用勾股定理； （1）连接，根据弦直径，可得，即，又，即可得； （2）连接，由的半径为5，，得，，，根据，得，在中，即可得． 【详解】（1）证明：连接，如图： 弦直径， ， ， ， 又（圆周角定理）， ； （2）解：连接，如图： 的半径为5，， ，，， ， ， 在中，， ． 2．如图，在中，为直径， 弦于点，连接． (1)如图1，求证： ； (2)如图2，连接，过点作于点，求证： ； (3)如图3，在（2）的条件下，点在弧上，，连接，，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)证明过程见详解 (3)的长为 【分析】（1）根据垂径定理可得，由此可证，根据全等三角形的性质即可求证； （2）连接，根据垂径定理可得点是中点，由此可得是中位线，可得，由（1）可得，根据弦、弧的关系，可得，由此即可求证； （3）根据题意，连接，根据圆的基础知识，可证，可得，运用勾股定理可得的值，在中可求出的值，的值，由（2）的结论可得的值． 【详解】（1）证明：∵是直径，弦， ∴，且， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， ∵是直径， ∴，，， ∴，点是的中点，且点是的中点， ∴，即， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接， 由（1）可知，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 由（2）可得，， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握垂径定理，圆周角定理，直径所对圆周角为直角，三角形中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用是解题的关键． 3．如图，已知四边形内接于，连接交于点E，且平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求证，是等边三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折得到的射线交线段于点M，交于点N，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)10． 【分析】题目主要考查圆与三角形综合问题，包括圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得，再由圆周角定理及等量代换得出，利用等角对等边即可证明； （2）根据圆周角定理得出，再由等量代换确定，根据等边三角形的判定即可证明； （3）设，根据等边三角形的性质及圆周角定理，利用全等三角形的判定得出，结合图形，根据其性质求解即可． 【详解】（1）证明：平分， ， 弧弧， ， 弧弧， ， ， ； （2）证明：如图：弧弧， ，且， ， ， 且， 为等边三角形； （3）解：如图：设， 为等边三角形， ， ， 弧弧， ， ， 弧弧， ， 弧弧， ， ， ， ， ， ， 在上截取，且， 是等边二角形， ， ，且， ， ， ． 4．已知内接于，于点． (1)如图，求证：； (2)如图，改变点的位置，延长依次交，于点，，若，求证：； (3)在（2）的条件下，连接并延长，交边于点，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查圆的综合题，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识，添加辅助线，借助特殊四边形解决问题； （1）如图1中，延长交 于，连接．首先证明，由即可证明． （2）由（1）可知，，由，推出，推出，推出； （3）如图中，连接、，首先证明四边形是平行四边形，得出四边形是菱形，则，由勾股定理求出半径，进而求解； 【详解】（1）证明：如图中，延长交于，连接． 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：由可知，， ， ， ， ， ． （3）解：如图中，连接、、． 由可知， ， ，，， ，， 在和中， ， ≌， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，垂足为， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ． 5．如图1，在中，是直径，弦，垂足为F． (1)求证：； (2)如图2，点G在上，且． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）先根据垂径定理得到，再根据圆心角、弧、弦的关系由得到，所以，从而得到结论； （2）①连接、，如图，根据圆周角定理得到，再证明，则可判断四边形为平行四边形，所以，然后利用得到； ②设，则，则利用为的中位线得到，再根据平行四边形的性质得到，所以，则在中利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ； （2）①证明：连接、，如图， ， ， ， ∵为直径， ， ， ， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ， ， ； ②解：设，则， ， ∴为的中位线， ， ∵四边形为平行四边形， ， ， 在中， ∵， ， 整理得， 解得(舍去)， 即的长为1． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理、三角形中位线定理，平行四边形的性质和判定，勾股定理和圆心角、弧、弦的关系． 6．如图，直径，垂足为点，连接，为线段上一点，连接，． (1)如图，求证∶； (2)如图，为弧上一点，，垂足为点，连接交于点，为中点，求证∶． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）连接，由垂径定理得，即得，由圆周角定理得，进而得，即可得到，得到，即可求证； （）过点作于，则，可得四边形为矩形，得到，再证明，得到，即得，进而即可求证； 本题考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点作于，则，， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点为中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 类型七、二次函数的新定义 1．我们定义：平面直角坐标系中点到x轴的距离称为点P的偏离距离，如的偏离距离为2．已知抛物线 与直线相交于不同的两点A，B，其中点A在y轴负半轴，且偏离距离为点 B的坐标为 其中a，b，c，m，n为实数， 且a，m不为0． (1)求c的值； (2)设抛物线 上偏离距离为0的两个点的横坐标分别为和，求的值； (3)若函数图象在上所有点的偏离距离的最大值记为d，如函数 在 上的最大偏离距离 求抛物线在上的最大偏离距离d的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，一元二次方程根与系数的关系，以及二次函数的图象和性质． （1）根据题意得出点A的坐标，将其代入，即可求出c的值； （2）先得出该直线的解析式为，把代入得出，则，把代入得出，进而得出，最后根据一元二次方程根与系数的关系，即可解答； （3）根据题意得出抛物线为，则y有最小值，当时，，当时，，令，，，画出的函数图象，根据图象，即可解答． 【详解】（1）解：∵点A在y轴负半轴，且偏离距离为 ∴， 把代入得：； （2）解：把代入得：， ∴该直线的解析式为， 把代入得：， 整理得：， ∵点A和点B为不同两点，点A在y轴上， ∴， ∴， 把代入得：， 整理得：， 把代入得：， ， ， ， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∵抛物线 上偏离距离为0的两个点在x轴上， ∴和为方程的两根， ∴； （3）解：∵，， ∴抛物线为， ∵， ∴， 当时，， 当时，， 令，，， 画出的函数图象如图所示： 由图可知，当时，d取最小值． 2．我们定义：把叫做函数的伴随函数．比如：就是的伴随函数．数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数（的常数），若点在函数的图象上，则点也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于轴对称．解答下列问题： (1)的图象关于 轴对称； (2)直接写出函数的伴随函数的表达式 ； 在如图所示的平面直角坐标系中画出的伴随函数的大致图象； (3)若直线与的伴随函数图象交于、两点（点在点的上方），连接、，且的面积为12，求的值； 【答案】(1) (2)①；②见解析 (3) 【分析】（1）根据点和点都在的图象上即可得解； （2）①由伴随函数的定义即可得出答案；②描点连线画出函数图象即可； （3）由，消去得到，由一元二次方程根与系数的关系，，推出，求出，再由，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点和点都在的图象上， ∴的图象关于轴对称； （2）解：①由伴随函数的定义可得：函数的伴随函数的表达式； ②在中， 当时，； 当时，， 当时，， 描点连线绘制函数图象如下： （3）解：如图： 由，消去得到， ∴，， ∴， 在中，令，则， 解得， ∴， ∴，即， 解得：． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质、一次函数的性质、伴随函数的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 3．【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．    【答案】（1）2；；（2）①；②或 【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键． （1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解； ②根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果． 【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：，， 解得：，， 故答案为：2；； （2）①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得：， ∴； ②∵与x轴有两个不同的交点，， 由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图像上滑动， 顶点为， 当时， 解得：或， 抛物线与x轴交两个点， 当顶点在下方时，抛物线有两个交点，， ∵若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． ∴在 上， 当顶点在下方时，； 综上可得：或． 4．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点是函数图象的“阶方点”；点（）是函数图象的“1阶方点”． (1)在①；②；③三点中，是正比例函数图象的“1阶方点”的有 （填序号）； (2)若y关于x的一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值； (3)若函数图象恰好经过“n阶方点”中的点，则点称为此函数图象的“不动n阶方点”，若y关于x的二次函数的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”，且当时，q的最小值为t，求t的值． 【答案】(1)②③ (2)3或 (3)或 【分析】（1）根据定义进行判断即可； （2）在以O为中心，边长为4的正方形中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可； （3）由题意知，点在直线上，由的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”时，有两个相等实数根，则，即，当时，q的最小值为t，若，则q的最小值为，即，计算求出满足要求的解即可；当时，若，则q取最小值，即，计算求出满足要求的解即可；当时，若，则q取最小值，即，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：由题意知，到x轴距离为2，不符合题意， 到两坐标轴的距离都等于0，符合题意， 到x轴距离为1，到y轴距离为，符合题意， 故答案为：②③． （2）解：∵， ∴函数经过定点， 如图1，以O为中心，作边长为4的正方形，    由题意知，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个， 由图可知，， ∵一次函数y=ax-3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个， ∴当直线经过点时，， 解得，此时图象的“2阶方点”有且只有一个， 如图2，    当直线经过点时，， 解得，此时图象的“2阶方点”有且只有一个， 综上所述：a的值为3或． （3）解：由题意知，点在直线上， ∵的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”时， ∴有两个相等实数根， ∴，即， ∵当时，q的最小值为t， 若，则q的最小值为，即， 解得，不符合题意． 当时，若，则q取最小值，即， 解得或（舍）， 当时，若，则q取最小值，即， 解得或（舍）， 综上所述，t的值为或． 【点睛】本题考查点到坐标轴的距离，一次函数解析式，二次函数的综合应用，一元二次方程根的判别式．熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的关键． 5．定义：当（，为常数，）时，函数最大值与最小值之差恰好为，我们称函数是在上的“雅正函数”，“”的值叫做该“雅正函数”的“雅正值”． 【初步理解】 （1）试判断下列函数是在上的“雅正函数”为______．（填序号） ①；②；③． 【尝试应用】 （2）若一次函数（，为常数，）和反比例函数（为常数，）都是在上的“雅正函数”，求的值． 【拓展延伸】 （3）若二次函数是在（，为常数，）上的“雅正函数”，雅正值是3． ①求、的值； ②若该二次函数图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点为二次函数图象上一点，且点的横坐标为，点、点是线段上的两个动点（点在点的左侧），分别过点、点作轴的平行线交抛物线于点、点，如果，其中为常数．试探究：是否存在常数，使得为定值．如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．参考公式： 【答案】（1）②③;（2）；（3）①，；②存在， 【分析】（1）由新定义即可求解； （2）对于反比例函数，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，则，同理可得：，解得：，即可求解； （3）①当时，取得最大值为：，当时，取得最小值为：，即可求解； ②求出，，由，得到，进而求解． 【详解】解：（1）由题意得：， 对于①当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，则最大值与最小值之差为，不符合题意； 对于②当时，取得最大值为，当时，取得最小值为3，则最大值与最小值之差为，符合题意； 对于③当时，取得最大值为，当时，取得最小值为2020，则最大值与最小值之差为，符合题意； 故答案为：②③； （2）， 对于反比例函数，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为， 则， 解得：； 对于一次函数， 同理可得：， 解得：， ； （3）①由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，取得最大值为：， 当时，取得最小值为：， 则， 解得：，； ②在抛物线中，令， ∴ 令， 解得， ∵点在点的左边， ∴ 把代入得 ∴ 过点作轴于点，， 在中，． 过点作轴交的延长线于点，交轴于点，设，，则，，，， ，， ，则， 即： ， 则 ， 为常数，要使得为常数，则， ． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的反比例函数的性质、面积的计算、新定义等，理解新定义是解题的关键． 6．定义：在平面直角坐标系中有两个函数的图象，如果在这两个图象上分别取点，（为自变量取值范围内的任意数），都有点和点关于点成中心对称（这三个点可以重合），那么称这两个函数互为“中心对称函数”．例如：和互为“中心对称函数”． (1)如果点和点关于点成中心对称，那么三个数，，满足的等量关系是 ； (2)已知函数：① 和；②和；③和，其中互为“中心对称函数”的是_____ （填序号）； (3)已知函数的“中心对称函数”的图象与反比例函数 的图象在第一象限有两个交点，，且的面积为4． ①求的值； ②反比例函数的“中心对称函数”的图象在第一象限内是否存在最低点，若存在，直接写出反比例函数的“中心对称函数“的函数表达式和该函数图象在第一象限内最低点坐标；若不存在，请简要说明理由； (4)已知三个不同的点，，都在二次函数（，，为常数，且）的“中心对称函数”的图象上，且满足．如果恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)②③ (3)①；② (4) 【分析】（1）根据中心对称的性质，得点为点和点连线的中点，即可得到； （2）由（1）得当时，函数和互为“中心对称函数”，分别将①，②，③组内的两函数相加，若结果为，则互为“中心对称函数”，由此即可得出答案； （3）先求出函数的“中心对称函数”是，由，为函数与反比例函数的图象在第一象限的两个交点，可设，，再利用割补法求三角形面积得，进而得，再将的代数式代入点坐标，根据反比例函数的值相等，得，求解即可得点的坐标，进而得的值，然后求出的“中心对称函数”为，根据不等式公式可得当时，，当时，在第一象限内的值最小，求解即可得该函数在第一象限内最低点坐标； （4）由“中心对称函数”的定义得的“中心对称函数”为，根据，都在的图象上，可得，，再根据，将，的代数式代入不等式，得，结合，将不等式化简变形得，再根据点，的纵坐标相等，得抛物线的对称轴为，即，即可得到的取值范围为，然后令，化为顶点式为，根据二次函数的增减性即可得的取值范围． 【详解】（1）解：点和点关于点成中心对称， ， 故答案为：． （2）解：①令，， ， 和不互为“中心对称函数”， ②令， ， 和互为“中心对称函数”， ③令和， ， 和互为“中心对称函数”， 故答案为：②③． （3）解：函数的“中心对称函数”是， 如图，令函数与轴，轴的交点分别为，， 令，则，故， 令，则，得，故， 点，为函数与反比例函数的图象在第一象限的两个交点， 设，， ，的面积为4， ， ， ， ， 解得，， ， ， ， 的“中心对称函数”为， 当时，， ，即时，的值最小， 的函数图象在第一象限内最低点坐标为． （4）解：的“中心对称函数”为， ，都在的图象上， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点，的纵坐标相等， 抛物线的对称轴为，即， ， ， ， 令， 当时，随的增大而减小， 时，，即， 恒成立， ． 【点睛】本题综合考查了中心对称的性质，二次函数的图象与性质，反比例函数与一次函数交点问题，不等式的求解，解题关键是读懂题意，理解“中心对称函数”的定义，利用中心对称的性质找到的等量关系，利用割补法求三角形面积，确定反比例函数图象与直线的交点坐标，及待定系数法求函数解析式，掌握不等式的性质，利用二次函数的对称性求对称轴及利用二次函数的增减性求最值． 类型八、圆中的无刻度尺问题 1．请用无刻度尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． （1）如图1，点E是矩形ABCD边AD的中点过E画矩形的一条对称轴交BC于F； （2）如图2，正方形ABCD中，点E是AB的中点，在BC上找一点G，使得AG⊥DE； （3）如图3，在正六边形ABCDEF中．点G是AF上一点，在CD上找一点H，使得EH=BG； （4）如图4，在⊙O中，点D是劣弧AC的中点，点B是优弧AC上一点，在⊙O上找一点I，使得BI//AC． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析； 【分析】（1）连接AC和BD，通过矩形的对角线找到矩形的中心，连接E和中心做线段即可； （2）连接BD和EC交点于O，根据轴对称的性质可得到，因此，可证出和，因此AG⊥DE，G即为所求； （3）连接AD和FC交于点O，连接GO并延长交CD于H，连接EH，由轴对称的性质可得到，故，H即为所求； （4）连接CB，再连接DO并延长交BC于点P，连接AP并延长交圆于点I，由垂径定理即可征得，，可得到，I即为所求； 【详解】如图所示： 【点睛】本题主要考查了直尺作图的方法以及一些常用平面几何结论，其中涉及到了轴对称的性质，全等三角形的性质和判定，垂径定理，平行线的判定等知识点，灵活运用各性质找到关键点是解题的关键． 2．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过格点A，B，C，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)如图（1），先画出圆心O．再画一条弦，使； (2)如图（2），先在圆上画点P，使，再在圆上画点Q，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点、、、，连接、交于点，连接并延长交于圆上于点，连接并延长交于圆上于，连接，即为所求； （2）取格点，连接并延长交圆上于点，连接，延长交网格于点，连接，将向左上方平移，使得点平移到点，点平移到点，连接并延长交圆上于，点、点即为所求． 【详解】（1）解：取格点、、、，连接、交于点，连接并延长交于圆上于点，连接并延长交于圆上于，连接，即为所求， ， 由图可得：， 由圆周角定理可得，、为圆的直径，故、的交点即为圆心， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）解：取格点，连接并延长交圆上于点，连接，延长交网格于点，连接，将向左上方平移，使得点平移到点，点平移到点，连接并延长交圆上于，点、点即为所求 ， 由网格的特点可得，即， 由平移的性质可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∴，即． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图，圆周角定理，平行四边形的判定与性质，平移的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过格点A，B，点C为与格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)画出该圆的圆心O，并画弦，使平分； (2)先将弦绕点A顺时针旋转得到线段，再在圆上画点E，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）为圆的直径，根据对称性知与格线的交点O为圆心；P为中点，根据垂径定理推论得，平分，根据圆周角定理得，平分； （2），由可得所在的两个直角三角形全等，得到；根据与对称，得到． 【详解】（1）如图，取圆与格线交点N， 连接交格线于点O，O即为圆心； 连接，交格线于点P， 作射线交于点D， 连接， 即为作求作； （2）如图，取与格线交点N， 连接交一条格线于点F， 线段即为所求作； 取与上方的一条格线交点E， 连接， 线段即为所求作． 【点睛】本题主经考查了网格作图．熟练掌握圆周角定理及其推论，垂径定理，旋转性质，全等三角形的判定和性质，圆的对称性，是解决问题的关键． 4．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．是半圆的直径，A、B两点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，P是半圆与网格的交点，先画圆心O，再画弦，使平分； (2)在图2中，先画弦，使．再在直径上画点G，使 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取的中点即为圆心O，取半圆与网格的交点D，连接，则平分． （2）取格点C，点O为圆心，连接，交于点F，连接，则；连接并延长，取格点Q，连接并延长，交的延长线于点P，连接交于点M，连接并延长，交于点G，则． 【详解】（1）解：如图，取的中点即为圆心O，取半圆与网格的交点D，连接，则平分． 连接，，， 根据图可知的半径为2， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 同理可得：为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴则平分． （2）解：取格点C，点O为圆心，连接，交于点F，连接，则；连接并延长，取格点Q，连接并延长，交的延长线于点P，连接交于点M，连接并延长，交于点G，则． ∵，， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了格点作图，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等的判定方法． 5．请用无刻度直尺在以下两个图中画出对应射线： (1)如图①，若，A、B在圆上，请画出对应的弧的中点D； (2)如图②，若存在正六边形，连接、、，请画出和的垂直平分线，两者交于，连接，问和的关系并证明． 【答案】(1)见详解 (2)作图见详解，平分 【分析】本题考查了复杂作图，圆周角定理，掌握菱形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据“在同圆中，相等的圆周角所对的弧相等”进行作图； （2）先画出图形，再根据菱形的性质进行证明． 【详解】（1）如图1，作的平分线交圆于，点即为所求． （2），即为所求；平分． 理由：正六边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 是菱形， ∴平分． 6．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C，D都是格点，经过A， B，C三点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．    (1)在图1中，画出圆心O，P是与网格线的交点，画出将点P绕点A顺时针旋转的对应点Q； (2)在图2中，E是与网格线的交点，连接并延长，交于点F，在上画点M，使，连接，画的中点H． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】取格点M，连接，和，作直线，根据格点知，根据矩形的性质可得点O即为圆心；连接延长交于点N，连接和，交于点Q，可证明，有，结合，直径所对的圆周角为直角即可知点Q即为所求； 取格点M，连接，分别与交于点G和点K，则，，根据垂径定理知，，可证，有，即可判定；连接，延长交于点H，连接，根据圆周角定理可得，进一步证得，则，则，结合三线合一即可证明即可． 【详解】（1）解：如图，取格点M，连接，和，作直线，根据格点知，，根据矩形的性质可得点O即为圆心；    连接延长交于点N，连接和，交于点Q， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴点Q即为所求； （2）解：取个点M，连接，分别与交于点G和点K，如图， 则，， 根据垂径定理知，， ∴， ∴， ∴，    连接，延长交于点H，连接，如图， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， 则点H为的中点． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、直径所对的圆周角为直角、平行线的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是找到所需的格点，再结合三角形和圆的性质求解． 类型九、二次函数与不等式 1．已知二次函数（a为常数，． (1)若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点． (2)若，求证：当时，． (3)若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，则的取值范围是． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）证明即可解决问题． （2）将代入函数解析式，进行证明即可． （3）先求得对称轴为直线，顶点坐标为，再对和进行分类讨论即可． 【详解】（1）证明：因为， 又因为， 所以，， 所以， 所以该函数的图象与轴有两个公共点． （2）证明：将代入函数解析式得， ， 所以抛物线的对称轴为直线，开口向下． 则当时， 随的增大而增大， 又因为当时，， 所以． （3）对称轴为直线，顶点坐标为， ①当时，抛物线开口向上，要保证二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴下方，时，，时，， 即，解得： ②当时，抛物线开口向下，要保证二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴上方，时，，时 即，解得， 综上，当或时，二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点）， 故答案为：或． 2．已知函数（为常数，且）． (1)当，为一切实数时，判断函数值存在最大值还是最小值，并求出其最值； (2)将抛物线置于平面直角坐标系中，若点，，在抛物线上，且，求的取值范围． 【答案】(1)函数值存在最小值，最小值为3； (2) 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）配成顶点式，根据二次函数的性质即可求解； （2）配成顶点式，得到顶点坐标为，求得，判断得到是最低点，求得，将代入解析式，求得或，再分情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：当时，函数为， ∴， ∵， ∴， ∴函数值存在最小值，最小值为3； （2）解：对于函数， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴在顶点的上方， ∴点是最低点， ∴抛物线开口向上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， 当时，， 解得， 此时，点和点都在抛物线对称轴的右侧，随的增大而增大， ∴， 解得； 当时，， 解得， 此时，点和点都在抛物线对称轴的左侧，随的增大而减少， ∴， 解得； 综上，的取值范围是． 3．2023年7月10日，习近平主席向全球共享发展行动论坛首届高级别会议致贺信中指出：“发展是人类社会的永恒主题，共享发展是建设美好世界的重要路径．”我们把函数与函数衍生出的函数称为“共享”函数． (1)请求出函数与函数的“共享”函数，并求出此“共享”函数的最小值； (2)若函数与函数的“共享”函数图象的顶点为A，与y轴的交点为B，此时由原点O与A，B三点组成的是以为底的等腰三角形，求点B的坐标； (3)若函数与函数的“共享”函数的图象过点，且满足，．求点离原点O的距离的取值范围． 【答案】(1)，最小值为 (2) (3)当时，且；当时， 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、坐标与图形、等腰三角形的定义、不等式的性质等知识，理解题中定义，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）根据题中定义得到“共享”函数，然后根据二次函数的性质求解最小值即可； （2）先得到“共享”函数为，进而得到顶点A坐标为，点B坐标为，根据等腰三角形的定义和两点坐标距离公式列方程求得m值即可求解； （3）先得到“共享”函数为，进而得到，则，利用两点坐标距离公式得到，利用不等式的性质求得，分和两种情况，求得的取值范围，然后利用二次函数的图象与性质求解的取值范围，进而可求解． 【详解】（1）解：根据题意，函数与函数的“共享”函数是， 由知，当时，y有最小值为， 即此“共享”函数的最小值为； （2）解：由题意，函数与函数的“共享”函数为， 由得顶点A坐标为， 当时，，则点B坐标为， ∵点O与A，B三点组成的是以为底的等腰三角形， ∴，即， ∴， 解得， ∴， ∴点B的坐标为； （3）解：由题意，函数与函数的“共享”函数为， ∵该函数的图象过点， ∴，即， ∵， ∴，，， 由得得， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，即， ∴， 当时，， ∵当时，， 当时，， 当时，， 且，， ∴， ∵， ∴， ∴且； 当时，或， ∵当时，， 当时，， ∵，， ∴， 即， 综上，点离原点O的距离的取值范围为当时，且；当时，． 4．抛物线，，是常数，． (1)若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式； (2)若抛物线与轴两个交点的横坐标为、，求证：； (3)若抛物线的对称轴为直线，函数图象过点，当时，求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1.5 【分析】（1）由可知图象过，则图象不过点，将点，代入抛物线，即可解答； （2）根据根与系数的关系即可得证； （3）将代入得①，根据抛物线的对称轴为直线，可得，整理得②，由①②得到，整理得到，，根据题意，将，代入得，即可解答． 【详解】（1）解：， 图象过， 图象不过点， 将点，代入抛物线， 得， 解得， ； （2）证明：抛物线与轴两个交点的横坐标为、， ，， ， ， ， ； （3）解：将代入得①， 抛物线的对称轴为直线， ， ②， 由①②得到， ， ， ， ， ． 且， ，， ，，， ， ， 将，代入得， 当时，符合， 有最小值1.5． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，主要考查了待定系数法求解析式，一元二次方程根与系数的关系，二次函数图象的性质，最值问题，掌握二次函数的相关性质是解题的关键． 5．在平面直角坐标系中，点，在抛物线 上，设抛物线的对称轴为． (1)当，时， 求抛物线的解析式； 若直线与二次函数 的图象在 内恰有两个交点，求常数的取值范围； (2)若点在抛物线上，若，求的取值范围及的取值范围． 【答案】(1)；； (2)；． 【分析】（）由，，则将，代入即可求解； 当经过点时，直线与抛物线在内恰有两个交点，则，解得：，又由，得，然后转换为一元二次方程根的判别式即可求解； （）当时，，则抛物线与轴交点坐标为，故抛物线与轴交点关于对称轴的对称点坐标为，由，所以当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当点，点，均在对称轴的右侧时，，然后分当点，点，均在对称轴的右侧时，，当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，讨论即可； 本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴． 将，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； 如图，当经过点时，直线与抛物线在内恰有两个交点， 则，解得：， 又由，得， 当时，， ∴图象在 内恰有两个交点时，的取值范围为； （2）当时，， ∴抛物线与轴交点坐标为， ∴抛物线与轴交点关于对称轴的对称点坐标为． ∵， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当点，点，均在对称轴的右侧时，， ∵，， ∴，即（与矛盾，舍去）， 当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点 在对称轴的右侧，， 此时点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴，解得：， ∵，， ∴，即， ∴的取值范围是：， ∵，，对称轴为， ∴， ∴，解得：， ∴的取值范围为，的取值范围为． 6．在平面直角坐标系中，对于不同的两点M，N，若点M到x轴、y轴的距离的较大值等于点N到x轴、y轴的距离的较大值，则称点M，N互为“距轴等点”． (1)在点、、中与点互为“距轴等点”的是_______. (2)已知点与点 ①若点A、B分别在直线和直线上，且点A与点B始终互为“距轴等点”，求m的取值范围． ②若点A在二次函数的图像上，点B在过点且垂直于y轴的直线l上，当点A、B互为“距轴等点”时，证明：． 【答案】(1)， (2)①m的取值范围为或；②见解析 【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，理解题意，能进行分类讨论是解题的关键． （1）根据定义，逐一判断即可； （2）①求出直线和直线的交点横坐标和直线和直线的交点横坐标，结合图象即可解答； ②根据的大小不同，分类讨论，逐一论证即可． 【详解】（1）解：点到x轴、y轴的距离的较大值为， 到x轴、y轴的距离的较大值为， 点与点互为“距轴等点”； 到x轴、y轴的距离的较大值为， 点不与点互为“距轴等点”； 到x轴、y轴的距离的较大值为， 点与点互为“距轴等点”； 故答案为：，； （2）解：①如图， 当时， 解得：， 点的横坐标为2， 当时， 解得：， 由图可知：当时，点到x轴、y轴的距离的较大值为m，点到x轴、y轴的距离的较大值为m， ∴点A与点B始终互为“距轴等点”， 当时，点到x轴、y轴的距离的较大值为，点到x轴、y轴的距离的较大值为，且， ∴点A与点B不互为“距轴等点”， 点的横坐标为， 当时，点到x轴、y轴的距离的较大值为，点到x轴、y轴的距离的较大值为， ∴点A与点B始终互为“距轴等点”， ∴m的取值范围为或． ②将点代入，得， ∴， ∵点在过点且垂直于y轴的直线l上， ， ， ， ∵函数与直线l都是以y轴为对称轴的轴对称图形， ∴不妨先设， 当时，， 当时，点到x轴、y轴的距离的较大值为， ∴点A与点B不互为“距轴等点”（舍）， 第二种情况：当时， 点到x轴、y轴的距离的较大值为，点到x轴、y轴的距离的较大值为， ，互为“距轴等点”， 此时符合， 第三种情况：当时，点到x轴、y轴的距离的较大值为， ∵点A与点B为“距轴等点”， ∴且， ∴且， 综上：且时，点A与点B互为“距轴等点”， ， ∴且， ∴； 当时，同上； 当时，，点A与点B不互为“距轴等点”（舍）； 综上：． 类型十、二次函数与圆 1．如图（1），二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点．    (1)求二次函数的解析式和b的值． (2)在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接，作以为直径的圆．点是圆在x轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点E移动到点，线段的对应线段为，连接的延长线交直线于点N，求的值． 【答案】(1) (2)不存在，见解析 (3)1 【分析】（1）将点的坐标代入得到二元一次方程组求解可得的值，可确定二次函数的解析式，再令，解关于的一元二次方程可得点的坐标，从而确定的值； （2）设，根据，可得，根据，可确定方程无实数根，即可作出判断； （3）根据对称的性质和点的坐标可得，根据等腰三角形的性质及判定可得，再根据为圆的直径，可得，然后分两种情况：①当点与点不重合时，由平移的性质可得四边形是平行四边形，从而得到，再证明，可得，可得的值；②当点与点重合时，此时点与点重合，可得，代入可得结论． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，得：， 解得：， ， ∴二次函数的解析式为； （2）解：不存在．理由如下： 如图，设，   ， ， ∵点在二次函数位于轴上方的图象上，且， ， 整理得：， ， ∴方程无实数根， ∴不存在符合条件的点； （3）解：如图，设交轴于点，   ， ， ∵点与点关于原点对称， ， ， ， ， ∵为圆的直径， ， ∵平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为， ①当点与点O不重合时， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 又， 在和中， ， ， ， ， ； ②当点与点重合时，此时点与点重合， ， ， 综上所述，的值为1． 【点睛】本题考查用待定系数法确定二次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的应用，直径所对的圆周角为直角，对称和平移的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点，运用了分类讨论的思想．找到全等三角形是解题的关键． 2．如图，二次函数的图像经过点，，交y轴于点C，点E为该二次函数图象上第一象限内一动点． (1)__________，__________； (2)如图①，连接与相交于点P，当的值最大时，求点E的坐标； (3)如图②，过点E作轴于H点，交直线于点F，以为直径的与交于点R，当周长最大时，求点E的坐标． 【答案】(1)2，3 (2)点E的坐标为 (3)点E的坐标 【分析】（1）根据题意，利用交点式求得函数表达式即可求解； （2）先求得，，由，根据二次函数的性质求解即可； （3）先判断出为等腰直角三角形，故当周长最大时，的长最大，求解直线的表达式为，设，且，则，，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点，， ∴， ∴，， 故答案为：2，3； （2）解：当时，，则， ∴， ∵，， ∴，， 由题意，设，且， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时，故点E坐标为； （3）解：∵，， ∴， ∵以为直径的与交于点R， ∴， ∵过点E作轴于H点，交直线于点F， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 故当周长最大时，的长最大， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 根据题意，设，且，则， ∴， ∵， ∴当时，最大，又， ∴当周长最大时，点E的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、坐标与图形、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 3．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，且与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）若经过三点，N是线段上的动点，求的取值范围． （3）点P是二次函数图像上位于第一象限内的一点，过点P作，交直线于点Q，若，求点P的坐标． 【答案】（1）抛物线的表达式为；（2）的取值范围为： ；（3）故点P坐标为（1，4）或（2，3）． 【分析】（1）抛物线经过点两点代入求解即可， （2）根据题意得出是的外接圆，确定点M为线段AB，BC垂直平分线的交点，分别求出线段AB，BC垂直平分线表达式再求出圆心M坐标即可， （3）先求出AC的函数表达式，再求出BC函数表达式，根据，交直线于点Q，，设出点P，Q坐标，根据列方程求解即可； 【详解】（1）∵抛物线经过点两点， ∴把点代入得： ， 解得： ， 故抛物线的表达式为； （2）∵经过三点， 即是的外接圆， 故点M为线段AB，BC垂直平分线的交点， ∵点， ∴线段AB垂直平分线表达式为： ， 由抛物线的表达式为知点C坐标为：（0，3）， ∴线段BC中点P坐标为： ， 又∵， ∴OC=OB， ∴线段BC垂直平分线即为直线OP， 解得： ， ∴点M坐标即为：（1，1）， ∵N是线段上的动点， ∴当N在点B，点C时MN最大，在点P时MN最小， 即当N在点B，点C时， ， 当N在点P时， ， ∴的取值范围为： ； （3）由（1）知， 设AC的函数表达式为： ， 把点A，C代入解得： ， 设BC表达式为：， 把点B，C坐标代入解得： ， ∵，交直线于点Q， 过P作x轴的垂线，过Q作QF垂直PF（如图）， ∵，CO∥PF ∴ ， ∴， ∵AO=1，OC=3 ∴， ∴设， ∴ 解得： ， 当时，点P为（1，4）， 当时，点P为（2，3）， 故点P坐标为（1，4）或（2，3）． 【点睛】此题考查二次函数相关知识，涉及到三角形外接圆，三角形相似相关知识，及函数上有关动点的线段取值范围，有一定难度． 4．已知⊙C的半径为，点P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反演点的定义如下：若点在射线CP上，满足，则称点是点P关于⊙C的反演点．图1为点P及其关于⊙C的反演点的示意图． （1）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为6，⊙O与轴的正半轴交于点A． ①如图2，∠AOB＝135°，OB＝18，若点，分别是点A，B关于⊙O的反演点．则点的坐标是 ，点的坐标是 ； ②如图3，点P关于⊙O的反演点为点，点在正比例函数位于第一象限内的图象上，△的面积为，求点的坐标； （2）点P是二次函数的图象上的动点，以O为圆心，为半径作圆，若点P关于⊙O的反演点的坐标是，请直接写出的取值范围 【答案】（1）①（6，0）；（，）；②（，）；（2） 【分析】（1）①根据反演点的定义求出OB＇的长即可解决问题；②过点作E⊥x轴于点E，如图中，求出OF、PF即可解决问题； （2）①当点P是抛物线顶点(1，-4)时，作PE⊥x轴于E，过反演点作F⊥x轴于F，求出点的纵坐标即可；②当P点坐标为(4，5)时，求出反演点的纵坐标，即可解决问题． 【详解】解：（1）①如下图中， ∵OA·OA＇=62， ∵OA=6， ∴OA＇=6， ∴A ＇(6，0)， ∵OB·OB＇=62， ∵OB＝18， ∴OB＇ =2， ∵∠AOB= 135°， ∴∠COB=45°， ∴作CB＇⊥CO， ∴CB＇= CO=2×sin45°=， ∵点B＇在第二象限， ∴B＇(， )， 故答案为：A ＇(6，0)，B＇(， )． ②过点P＇作P＇E⊥x轴于点E，如下图中， ∵S△OAP＇=·OA·P＇E=6 ， ∴P＇E=2， ∵点P＇在正比例函数y=x位于第一象限内的图象上， ∴y P＇=2， ∴xP＇=2 ∴O P＇=4，∠P＇OE=60°      ∵点P关于O的反演点是P＇点， ∴ OP＇OP= 62， ∴ OP=9 过点P作PF⊥x轴于点F， ∴OF= ，PF= ∴点P的坐标为P（，）． （2）如下图： 当点P是抛物线顶点(1，- 4)时，作PE⊥x轴于E，过反演点P＇作P＇F⊥x轴于F， ∵OP=，r=， ∴OP＇= ， ∵ PE// P＇F， ∴ ∴ =1， ∴n=-1， 当P点坐标为(4，5)时，同法可得反演点的纵坐标 n= 综上所述，-1≤n≤． 【点睛】本题考查二次函数综合题、圆、勾股定理，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线． 5．如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C．且，若将绕点O逆时针旋转，所得的顶点E恰好与点A重合，且的面积为3． (1)求这个二次函数的关系式． (2)设这个二次函数图象的顶点为M，请在y轴上找一点P，使得的周长最小，并求出点P的坐标． (3)设这个函数图象的对称轴l交x轴于点N，问：A、M、C、D、N这5个点是否会在同一个圆上？若在同一个圆上，请求出这个圆的圆心坐标，并作简要说明；若不可能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得，设，根据的面积为3可得出，解方程即可求得A、C的坐标，然后根据待定系数法求得抛物线的解析式即可； （2）根据轴对称的性质和两点之间线段最短，作出M关于y轴的对称点G为，求得直线的解析式，进而求得直线与y轴的交点，即为所求的P点； （3）先求得A、M、N三点所在的圆的直径为，求得圆心的坐标，然后分别求得圆心到C、D的距离，可判定5点共圆，A、M、N三点所在圆的圆心就是5点所在圆的圆心． 【详解】（1）解：由题意得，， 设， 的面积为3， ，即， 解得，（舍去）， ，， 将，，代入， 可得，解得， 这个二次函数的关系式为． （2）解：， 顶点M的坐标为， 如图，作点M关于y轴的对称点G，连接， 点G的坐标为， ， ，当点A，P，G共线时，等号成立， 直线与y轴的交点，即为所求的P点， 设直线的解析式为， 将和代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 把代入，得 点P的坐标． （3）解：， A、M、N三点所在的圆的直径为， A、M、N的外接圆的半径为， 设的中点为Q，则， ，， ，， C、D在 A、M、N的外接圆上， A、M、C、D、N这5个点是在同一个圆上，其圆心坐标为为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，利用轴对称求最短路径，求一次函数解析式，勾股定理，直角三角形的外接圆等，有一定难度，解第2问的关键是利用轴对称的性质，解第3问的关键是判断A、M、N三点所在的圆的圆心． 6．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)直接写出点的坐标 ；点的坐标 ；点的坐标 ； 直线的解析式为 ； (2)如图，过作交抛物线于，以为直径作圆，圆心为，圆与直线：交于抛物线对称轴右侧的点，点到直线的距离为，过作，垂足为，再过作，垂足为，求的值； (3)如图，为抛物线上一点，过作交抛物线于另一点，连接，并延长交于点，若点总在直线上运动，求的值． 【答案】(1)，，，； (2)； (3)． 【分析】（）由二次函数的性质即可出，，，然后设直线解析式为即可求解； （）过作于点，则，由（）得直线解析式为，则直线解析式为，求出，又是中点，故有，由勾股定理得：，则，然后代入； （）设解 析 式 为：，联 立 ，则， 同理，设解析式为，联立和联立，可得，解出； 本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数与二次函数的综合，勾股定理，圆的有关性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）由得，当时，即， 解得：，， ∴，， 当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 故答案为：，，，； （2）如图，过作于点，则， 由（）得直线解析式为， ∵，， ∴直线解析式为， 联立：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴，则， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴； （3）设解 析 式 为：， 联 立 ， ∴， 设解析式为， 联立， ∴ ， 设解析式为， 联立， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立，可得， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$