期中考前满分冲刺之中等易错题-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

期中考前满分冲刺之中等易错题思维导图 【类型覆盖】 类型一、圆心角 1．如图，在中，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 3．如图，是的直径，，，则的大小为 ． 4．如图，经过五边形的四个顶点，若，所对的圆心角的度数为 ． 5．如图，是的直径，是的弦，于点． (1)下列结论正确的是___________；（填序号） ；；． (2)若，，则的长为___________． 6．如图1，，是的弦，且，连接，． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，，求的半径． 类型二、垂径定理 1．如图，是的弦，是的中点，交于点．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 2．中国的车轮制造，自古就有完备的标准体系．《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸，乘车之轮六尺有六寸……”如图，某学习小组通过以下方式探究某个残缺车轮的半径：在车轮上取两点，设所在圆的圆心为，经测量：弦，过弦的中点作交圆弧于点，且，则该车轮的半径等于（   ） A． B． C． D． 3．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点C是运行轨道的最低点，则点C到弦的距离为 ． 4．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水面宽度变为，则此时排水管水面上升了 ． 5．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.7m，地面入口宽为1.8m，求该门洞的半径． 6．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是多少？ 类型三、图形的旋转 1．如图，在中，，，．将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（　　） A．1 B． C．2 D． 2．如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．如图，在等边中，D为边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，则的周长是 ． 4．如图，中，，将绕点B逆时针旋转得到，若，则α为 ． 5．在中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得． (1)如图1，当时，连接，交于点．若平分，求证：； (2)如图2，连接，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，．若，当，时，请直接写出的值． 6．如图1，，，． (1)、相交于点． ①求证：； ②用含的式子表示的度数； (2)如图2，点、分别是、的中点，连接、，判断的形状，并加以证明； (3)如图3，在中，，，，以为直角边，为直角顶点作等腰，则 （直接写出结果）． 类型四、正多边形与圆 1．如图，将正五边形纸片沿折叠，得到，点C的对应点为点，的延长线交于点F，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，正六边形内接于，连接．则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，正六边形内接于，连接BD．则的度数是 ． 4．如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 5．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）—猜想—推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图①，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图②，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为 ▲ °． 对角线：…… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：_______． (2)如图③，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图④，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 6．【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数． 【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题： （1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）． ②原题中 ． 【深入思考】： （2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明． （3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系： （不写证明过程）． （4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．    类型五、圆中的阴影部分 1．如图，边长为2的正方形的中心和半径为2的的圆心重合，点E，F分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，点是的中点，以为圆心、为半径作弧，交于点，连接、若，，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在扇形中放置三个边长均为1的正方形方格，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，则图中阴影部分的面积为 ． 4．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转，此时点B到了点，则图中阴影部分的面积是 ． 5．已知是的直径，C为上一点，连接，过点O作于D，交弧于点E，连接，交于F． (1)如图1，求证：为的角平分线； (2)如图2，连接，若，①求的长；②求图中阴影部分的面积． 6．如图，是的内接三角形，是的直径，是的弦，且，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 类型六、二次函数的应用 1．生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一定温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性．现已知某种酶的活性值y（单位：）与温度x（单位：）的关系可以近似用二次函数来表示，则当温度最适宜时，该种酶的活性值为（    ） A．14 B． C．240 D．44 2．某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试，飞机着陆后滑行的距离（单位：m）关于滑行的时间（单位：s）的函数解析式是，则飞行着陆后停下来需滑行的时间是（    ） A．40秒 B．30秒 C．20秒 D．10秒 3．如图，要在空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形园地，矩形的一边靠教学楼25米的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形垂直于的一边为米，面积为平方米．写出与的函数关系式 ，自变量的取值范围是 ． 4．如图，一名男生推铅球，铅球进行高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离是 m． 5．初中生小红训练排球发球，球离手后的飞行轨迹如图．若球距地面的竖直高度y（单位：m）与距击球点的水平距离x（单位：m）之间的函数关系是：． (1)如图，第一次发球后，当排球飞行到距击球点水平距离为时，球恰好达到最大的竖直高度，求此次发球后，排球距击球点的水平距离的最大值； (2)如图，第二次发球后，排球距击球点的水平距离的最大值恰好与第一次相同，且，求此次发球后，排球距地面的竖直高度的最大值； (3)小红第三次发球后，排球飞行轨迹的形状恰与第二次相同，若排球距击球点的水平距离的最大值超过第一次，但不超过18米，直接写出b的取值范围：______________． 6．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此​抛物线篮球可准确落入篮圈． (1)求篮圈中心到地面的距离为多少米． (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ (3)篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案） 类型七、圆中折叠 1．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕的长为（    ） A． B． C．3 D． 2．已知点A，B，C在上，将圆沿着弦折叠交直径于点D若，则的长（    ） A． B． C． D． 3．如图，在扇形中，，，将扇形沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在弧的点D处，折痕交于点C，则弧的长为 （结果保留π）．    4．如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心．若，则的半径长是 ． 5．在扇形中，半径，点P在OA上，连结PB，将沿PB折叠得到． （1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B． ①求的度数． ②求AP的长． （2）如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长． 6．在矩形中，，点分别是边上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处． (1)如图，当与线段交于点时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，连接交于点连结．求证：； (3)当时，在点由点移动到中点的过程中，直接写出点运动的路线长． 类型八、圆内接四边形 1．如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，M，N是上的两个动点，且在弦AB的两侧，若的半径是，，则四边形面积的最大值是（    ） A． B．4 C． D． 3．如图，四边形为的内接四边形，，则的大小是 ． 4．四边形内接于，连接、、，若，则 ． 5．如图，四边形内接于，，，垂足为． (1)若，求的度数； (2)求证：． 6．阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多定理： 如图，四边形内接于，对角线，垂足为M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：∵，， ∴，． ∴． 又∵① ，（同弧所对的圆周角相等） ， ∴． ∴② ． … 任务： (1)材料中①处缺少的条件为______，②处缺少的条件为______； (2)根据材料，应用婆罗摩笈多定理解决下面试题： 如图，已知中，，，分别交于点D，E，连接交于点P．过点P作，分别交于点M，N．若，求的长． 类型九、旋转中的网格画图 1．在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转得到，点，，的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标； (3)求的面积． 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)若点是的边上的一点，将先向下平移格，再向右平移格，则平移后点的对应点的坐标为___________． (2)画出以点为旋转中心，顺时针旋转后得到的； (3)画出与关于点成中心对称的图形． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若和关于原点成中心对称，画出； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 4．如图，在所给的格点图形中． (1)画出向下平移4个单位后的； (2)画出关于点O成中心对称的图形； (3)画出绕点O顺时针旋转后的． 5．如图，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)请画出与关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)将绕原点顺时针旋转后得到，画出，并写出点的坐标． 6．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的顶点均在格点上． (1)画出将关于原点的中心对称图形． (2)将绕点顺时针旋转得到，画出． (3)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为____________． 类型十、树状图或列表法求概率 1．学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 2．有4张背面完全相同的卡片，其正面分别标有数字，0，1，2，将卡片的背面朝上，洗匀后，从中任意抽出1张，将卡片上的数字记录下来，放回洗匀后再从中任意抽出1张，同样将卡片上的数字记录下来． (1)求第一次抽出的卡片上数字是正数的概率； (2)小明、小亮做游戏，规则如下：若两次抽出的卡片上的数字的乘积为正数，则小明胜；若两次抽出的卡片上的数字的乘积为负数，则小亮胜．这个游戏规则对小明、小亮公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由． 3．在一个不透明的袋中只装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外都相同． (1)任意摸出一球，摸到黄球是______事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”） (2)从袋中任意摸出一个球，摸到黑球的概率是多少？ (3)现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概率是，请求出后来放入袋中的黑球的个数． 4．2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D，滨河体育队的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上． 将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是B（滑板）的概率是＿＿＿． (2)体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是B（滑板）和D（运动攀岩）的概率． 5．在一个盲盒中放有6个白球，7个黄球和若干个红球，这些球除颜色外完全相同，每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球，记下颜色再放回盲盒中，经过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右． (1)估计盲盒中大约有______个红球； (2)从盲盒中取出2个白球，2个黄球，1个红球放入到一个不透明的袋子中，从中同时随机摸出两个球，请用列表法或树状图法求摸到两个球颜色相同的概率． 6．有一张观看“我和我的祖国”的电影票，小胡和小明都想拥有，为此两人做了一个游戏，在一个不透明的纸箱里装有点数分别是1、2、3的纸牌各一张，三张纸牌的花色大小相同，游戏规则是：两人各摸纸牌一张，小胡先从纸箱里摸牌一张，记录好点数后放回，再由小明从纸箱里摸牌一张，若两人摸到纸牌的点数和为奇数时，小胡拥有电影票；若两人摸到纸牌的点数和为偶数时，则小明拥有电影票，这个拥有电影票的游戏规则对双方公平吗？请利用树状图或列表法说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之中等易错题思维导图 【类型覆盖】 类型一、圆心角 1．如图，在中，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系，由逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∴， ∴，故B不符合题意； ∴，故C不符合题意； ∵不一定为的中点， ∴不一定成立，故D符合题意； 故选D 2．如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间等分关系，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意正确作出辅助线．如图，取弧的中点，连接，．证明，再利用三角形的三边关系解决问题． 【详解】解：如图，取弧的中点，连接，． ，， ， ， ， ． 故选：B． 3．如图，是的直径，，，则的大小为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到，再由平角的定义即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，经过五边形的四个顶点，若，所对的圆心角的度数为 ． 【答案】40 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．连接，如图，利用等腰三角形的性质得，则根据三角形内角和定理得到，则，于是得到的度数为． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 即所对的圆心角的度数为， 故答案为：40． 5．如图，是的直径，是的弦，于点． (1)下列结论正确的是___________；（填序号） ；；． (2)若，，则的长为___________． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据垂径定理进行求解； （）根据垂径定理得到，，，再根据勾股定理可求出，进而即可解答； 本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵是的直径，， ∴，，故正确， ∴，故正确， 而②不一定正确， 故选：； （2）∵， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 6．如图1，，是的弦，且，连接，． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)13 【分析】本题考查了圆心角，弧，弦之间的关系以及垂径定理，解题的关键是熟练掌握相关基本知识． （1）欲证明，只要证明即可； （2）过点O作于点E，交于点F，连接，根据 得出，在中利用勾股定理求出，设的半径为r，则，利用勾股定理求出r即可． 【详解】（1）证明：， ， ，即， ； （也可通过证明三角形全等解决） （2）解：如图，过点作于点，交于点F，连接，， ，， 又，， ， ， 在中，， 设的半径为，中，， ， 解得，即的半径为13． 类型二、垂径定理 1．如图，是的弦，是的中点，交于点．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出是的垂直平分线是解答此题的关键． 连接，由垂径定理得，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵C是的中点， ∴， 在中，，， ， 由勾股定理可得，，则， 即的半径为 故选：B 2．中国的车轮制造，自古就有完备的标准体系．《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸，乘车之轮六尺有六寸……”如图，某学习小组通过以下方式探究某个残缺车轮的半径：在车轮上取两点，设所在圆的圆心为，经测量：弦，过弦的中点作交圆弧于点，且，则该车轮的半径等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，正确做出辅助线是解题关键．连接，设的半径为，根据垂径定理可得三点共线，进而可得，，在中，由勾股定理得解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如图，连接，设的半径为， ∵为的中点且， ∴三点共线， ∴，， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 即该车轮的半径等于． 故选：D． 3．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点C是运行轨道的最低点，则点C到弦的距离为 ． 【答案】2米 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，由垂径定理得（米，再由勾股定理得（米，然后求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点， 由题意得：米，， （米，， （米， 米， 故答案为：2米． 4．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水面宽度变为，则此时排水管水面上升了 ． 【答案】10或70 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理的运用，解题的关键是垂径定理，易错点是分类讨论水面在直径是下方和上方． 根据半径为，则直径为；又根据水面宽度为，则有两种情况，水面在水面平行的直径下方，过点作于点；水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点，根据垂径定理，勾股定理，即可求出． 【详解】连接 ∵ ∴圆的直径为 ∴水面在水面平行的直径下方 ∴过点作于点 ∴且与交于点 ∵， ∴， ∴在直角三角形中， ∴ ∴； 在直角三角形中， ∴ ∴ ∴上升的距离为 水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点 同理可得，上升的距离为：． 故答案为：10或70． 5．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.7m，地面入口宽为1.8m，求该门洞的半径． 【答案】该门洞的半径为． 【分析】本题主要考查垂径定理的应用．设半径为，根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设圆的半径为， 由题意可知，，，， 中，，即， 解得． 答：该门洞的半径为． 6．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是多少？ 【答案】米 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接，交于点D，再由勾股定理得，然后计算即可求解． 【详解】解：连接，交于点D，如图， 即， ∵点C为运行轨道的最低点，， ∴，， 由勾股定理，得， 即， ∴， 故点C到弦所在直线的距离是米． 类型三、图形的旋转 1．如图，在中，，，．将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】如图，过作于，求解，，结合旋转的性质证明，，，可得为等边三角形，求解，再利用含角的直角三角形的性质及勾股定理即可得答案． 【详解】解：如图，过作于， 由，， ， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， ∴， ∴， ∴， ∴A到的距离为1． 故选：A． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 2．如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定，本题关键是熟练掌握旋转图形的性质．根据旋转的性质可得，可得是等边三角形．可得的长． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， 故选：A． 3．如图，在等边中，D为边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，则的周长是 ． 【答案】38 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由旋转的性质可得，可得是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】解：绕点B逆时针旋转，得到， ， ， 是等边三角形， ， 的周长， 故答案为：38． 4．如图，中，，将绕点B逆时针旋转得到，若，则α为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 利用旋转的性质求出的度数，再根据平行得到即可求解计算． 【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得到，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．在中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得． (1)如图1，当时，连接，交于点．若平分，求证：； (2)如图2，连接，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，．若，当，时，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析； (3) 【分析】（1）连接，先证明，继而得到在和中，由三角形内角和得，，而，故，那么； （2）作辅助线，延长至点，使，连接，在中，根据三角形的中位线，得出，再根据条件证明：，于是猜想得以证明； （3）如图， 延长至点，使得，连接，显然为等边三角形，则，，同（2）得，则，可得垂直平分，因此，可证明是等边三角形，那么，证明以及，则，设，则在等腰中，由勾股定理得，则，由勾股定理逆定理可得，则，则，过点作于点，在上取点，使得，角度推导得到，故，在中，，那么，同上可求，由等腰三角形可得，故，则． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ， ， ， ， ， 由旋转得， 在和中，， ， ∴， ， 平分， ， 在和中，由三角形内角和得，， ， ， ∴； （2）解： 如图2，延长至点，使，则，连接． 是的中点， ． ， ， ， 在和中，， ， ， ； （3）解：如图3， 延长至点，使得，连接， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 同（2）可得，，， ∵， ∴， 同（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴平分， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ， ， 由旋转的性质得：， 是等边三角形， ， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则在等腰中，由勾股定理得, 而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，在上取点，使得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 同上可求, ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了图形的旋转、等边三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，勾股定理解三角形，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于构造全等三角形合理解决特殊角的构造． 6．如图1，，，． (1)、相交于点． ①求证：； ②用含的式子表示的度数； (2)如图2，点、分别是、的中点，连接、，判断的形状，并加以证明； (3)如图3，在中，，，，以为直角边，为直角顶点作等腰，则 （直接写出结果）． 【答案】(1)①见解析；② (2)为等腰三角形． (3)5 【分析】（1）①由“”可证，可得； ②由三角形内角和定理可求解； （2）由“”可证，可得，可得结论； （3）将绕着点逆时针旋转得到，连接，，根据旋转的性质得到，，，可得出是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）①证明：如图1，， ， 在和中， ， ， ； ②解：如图1，， ， ， ， ； （2）解：为等腰三角形，理由如下： 如图2，由（1）可得，， ，的中点分别为点、， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等腰三角形； （3）解：将绕着点逆时针旋转得到，连接，， 则，，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理等，运用旋转的性质构造全等三角形是解题的关键． 类型四、正多边形与圆 1．如图，将正五边形纸片沿折叠，得到，点C的对应点为点，的延长线交于点F，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角和，折叠的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正多边形的内角和，折叠的性质，三角形内角和定理是解题的关键．由正五边形纸片，可得，由，可得，由折叠的性质可知，，，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵正五边形纸片， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， 故选：B． 2．如图，正六边形内接于，连接．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正多边形和圆，熟记多边形的中心角是解题的关键． 根据正六边形的性质得出，再根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵六边形为正六边形， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．如图，正六边形内接于，连接BD．则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是判断出是等腰三角形，属于中考常考题型．求出，利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：在正六边形中，， ， ， 故答案为：． 4．如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出是解决问题的关键． 连接，由正六边形的性质得出，由圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵多边形是正六边形， ， ， ， 故答案为：． 5．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）—猜想—推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图①，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图②，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为 ▲ °． 对角线：…… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：_______． (2)如图③，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图④，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)240 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】（1）六边形内角和为，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和为； （2）连接，，通过全等很容易证出； （3）作、、的垂直平分线，在圆内线上取一点或者圆外取一点都行，切记不能取圆上，否则就是正六边形了． 【详解】（1）解：∵六边形内角和为，且，， ∴等边半正六边形相邻两个内角的和为， 故答案为：240； （2）解：． 理由如下：连接，． 六边形是等边半正六边形． ，． ． ． 在与中， ， ． ； （3）解：如图，六边形即为所求（答案不唯一）． 作法一：作法二：． 【点睛】本题主要考查圆综合题，以等边半正六边形为背景，理解题意以及掌握圆和多边形的相关性质是解题关键． 6．【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数． 【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题： （1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）． ②原题中 ． 【深入思考】： （2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明． （3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系： （不写证明过程）． （4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．    【答案】（1）①见解析；②；（2），证明见解析；（3），证明见解析；（4）； 【分析】（1）①利用垂直平分线定义即可作出正方形；②利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到结论； （2）根据题意过点C作交于E，利用圆周角定理得到，再判定，证明出和是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形三边关系即可； （3）根据题意过点B，作，在上截取，连接，再证明，再利用含的直角三角形三边关系即可得到本题答案； （4）根据题意以为边，作正方形，连接，设，则，，再分别在和和中应用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】 解：（1）①如图所示，作直径的垂直平分线交于点A，C，则四边形是正方形；    ②如图所示，    ， 故答案为：． （2），证明如下： 如图，过点C作交于E，    ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴（ASA）， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 如图所示，过点C作交于F，    同理可得是等腰直角三角形，， ∴，； （3）， 如图，过点B，作，在上截取，连接，    ∵，， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （4）如图，以为边，作正方形，连接，， 根据（1）可得P在上，则，    ∴， 设，则，， 在中，， 在中，， 在 中，， ∴， 解得 （负值舍去）， ∴， ∴矩形的面积为． 【点睛】本题考查角平分线定义及画法，圆周角定理，全等三角形判定及性质，等腰三角形判定及性质，勾股定理，含的直角三角形三边关系．掌握圆周角定理是关键． 类型五、圆中的阴影部分 1．如图，边长为2的正方形的中心和半径为2的的圆心重合，点E，F分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆的性质，正方形的性质，求不规则的图形的面积，延长，分别交于M，N，阴影部分的面积就是圆的面积减去正方形的面积的差的四分之一，据此求解即可． 【详解】如图，延长，分别交于M，N， 阴影部分的面积为：． 故选：B． 2．如图，在菱形中，点是的中点，以为圆心、为半径作弧，交于点，连接、若，，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定、菱形的性质、扇形的面积计算等知识点，求得和扇形的面积是解题的关键． 如图：连接，根据菱形的性质求出和，求出长，再根据三角形的面积和扇形的面积求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，E为的中点， ∴，是等边三角形，， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴阴影部分的面积． 故选：A． 3．如图，在扇形中放置三个边长均为1的正方形方格，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．连接，先根据正方形的性质可得，扇形的半径，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：，扇形的半径， 则图中阴影部分的面积为 ， 故答案为：． 4．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转，此时点B到了点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算，根据阴影部分的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积以为直径的半圆的面积，即可求解． 【详解】解：阴影部分的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积， 则阴影部分的面积是：， 故答案为：． 5．已知是的直径，C为上一点，连接，过点O作于D，交弧于点E，连接，交于F． (1)如图1，求证：为的角平分线； (2)如图2，连接，若，①求的长；②求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①AE= 6；② 【分析】（1）首先由圆周角定理得到，推出，得到，等边对等角，得到，即可得证； （2）①，推出，进一步得到，求出，进而推出，等边对等角以及含30度角的之间三角形的性质，求出的长，即可得解； ②首先求出，证明出为等边三角形，然后利用代数求解即可． 【详解】（1）证明：如图1中，    ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故为的角平分线； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②由①，得：， 又 ∴为等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，求扇形面积，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 6．如图，是的内接三角形，是的直径，是的弦，且，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理及弓形面积计算， ()由圆周角定理得出，得出，由得出 ，由圆周角定理得出 ，即可得出结论； ()连接，，可证明，，得到，利用勾股定理可求得，再由分割法可求得阴影部分的面积； 熟练掌握圆周角定理及分割法计算弓形面积是解题的关键． 【详解】（1）证明:∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）如图，连接，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ， ． 类型六、二次函数的应用 1．生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一定温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性．现已知某种酶的活性值y（单位：）与温度x（单位：）的关系可以近似用二次函数来表示，则当温度最适宜时，该种酶的活性值为（    ） A．14 B． C．240 D．44 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意把解析式化为顶点式求出顶点的纵坐标即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵在最适宜温度时，酶的活性最强， ∴当温度最适宜时，该种酶的活性值为240， 故选：C． 2．某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试，飞机着陆后滑行的距离（单位：m）关于滑行的时间（单位：s）的函数解析式是，则飞行着陆后停下来需滑行的时间是（    ） A．40秒 B．30秒 C．20秒 D．10秒 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的实际运用，由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当s取得最大值时，t也取得最大值，即为飞行着陆后停下来需滑行的时间． 【详解】解：， 当时，s取最大值， 即飞行着陆后停下来需滑行的时间为20秒， 故选C． 3．如图，要在空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形园地，矩形的一边靠教学楼25米的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形垂直于的一边为米，面积为平方米．写出与的函数关系式 ，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用、矩形的周长和面积公式，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先用x表示出矩形的长，再利用矩形的面积公式得出y与x的函数关系式，再结合矩形的性质与墙的长度列不等式组解题即可； 【详解】解：由题意，设矩形垂直于的一边为米，则矩形的长为米， 则矩形的面积， 即y与x的函数关系式为； ∴， 解得：； 故答案为：， 4．如图，一名男生推铅球，铅球进行高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离是 m． 【答案】11 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，铅球落地时，，故由题意可得关于x的方程，解得x的值并根据问题的实际意义作出取舍即可． 【详解】由题意得：，即，解得： ∴他将铅球推出的距离是 故答案为：11． 5．初中生小红训练排球发球，球离手后的飞行轨迹如图．若球距地面的竖直高度y（单位：m）与距击球点的水平距离x（单位：m）之间的函数关系是：． (1)如图，第一次发球后，当排球飞行到距击球点水平距离为时，球恰好达到最大的竖直高度，求此次发球后，排球距击球点的水平距离的最大值； (2)如图，第二次发球后，排球距击球点的水平距离的最大值恰好与第一次相同，且，求此次发球后，排球距地面的竖直高度的最大值； (3)小红第三次发球后，排球飞行轨迹的形状恰与第二次相同，若排球距击球点的水平距离的最大值超过第一次，但不超过18米，直接写出b的取值范围：______________． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查二次函数的实际问题，运用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）运用待定系数法求出函数解析式，然后令，求出铅球推出的水平距离即可； （2）运用待定系数法求出函数解析式，配方为顶点式写出最大值即可； （3）把代入（2）中的解析式，求出b值，结合题意写出取值范围即可． 【详解】（1）解：设， ∴， 又， ∴， 解得， ∴， 令，则， 解得，（舍去）， ∴此次发球后，排球距击球点的水平距离的最大值为； （2）解：根据题意，得， 把代入，得， 解得， ∴， ∴此次发球后，排球距地面的竖直高度的最大值为； （3）解：由题意知：抛物线的解析式为， 当经过时，， 解得， ∵推出的水平距离超过第一次，但不足18米， ∴． 6．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此​抛物线篮球可准确落入篮圈． (1)求篮圈中心到地面的距离为多少米． (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ (3)篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案） 【答案】(1)3.05米； (2)0.2米； (3)1米； 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数图象上点坐标的特征． （1）求出篮圈中心的横坐标为，在中，令可得篮圈中心到地面的距离为3.05米；（2）设球出手时，他跳离地面的高度是米，知出手点坐标为，故，解出的值可得答案； （3）在中，令得（舍去）或，即知两名运动员之间的距离不能超过1米． 【详解】（1）解：根据已知可得，篮圈中心的横坐标为， 在中，令得， 篮圈中心的纵坐标为3.05， 篮圈中心到地面的距离为3.05米； （2）解：设球出手时，他跳离地面的高度是米，则出手点坐标为， ， 解得， 球出手时，他跳离地面的高度是0.2米； （3）解：在中，令得：， 解得（舍去）或， ， 两名运动员之间的距离不能超过1米． 类型七、圆中折叠 1．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，过点O作于点D，连接，由题可得，，再根据勾股定理可得，从而求得的长． 【详解】如图，过点O作于点D，连接． 根据题意，得，． 在中，由勾股定理，得， ． 故选：D． 2．已知点A，B，C在上，将圆沿着弦折叠交直径于点D若，则的长（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理、割线长定理的应用，掌握此类问题的辅助线的作法是解题的关键； 根据题意作线段关于的对称线段，交圆于点，然后利用勾股定理和割线定理解答即可． 【详解】解：如图所示：作线段关于的对称线段，交圆于点 为圆的直径， ， ， 由对称轴的性质可知：，，， ， 由割线定理可知：， 即， 解得：， ， 故选：C． 3．如图，在扇形中，，，将扇形沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在弧的点D处，折痕交于点C，则弧的长为 （结果保留π）．    【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，弧长公式以及翻折变换的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意证明是等边三角形，求出，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， 是由翻折得到， ，， 是等边三角形， ， ， ． 弧的长． 故答案为：．    4．如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心．若，则的半径长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、垂径定理、中位线的定义与性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点、作辅助线推理是解题的关键． 过点作于点，交于点，连接，根据折叠的性质，得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，则，证明为等边三角形，得出，由、垂径定理得出，推出，根据含角的直角三角形的性质得出，由，，推出是的中位线，根据中位线的性质得出，由得出答案即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，连接， ∵弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴，即的半径长是． 故答案为：． 5．在扇形中，半径，点P在OA上，连结PB，将沿PB折叠得到． （1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B． ①求的度数． ②求AP的长． （2）如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长． 【答案】（1）①60°；②；（2） 【分析】(1)根据图像折叠的性质，确定角之间的关系，通过已知的角度来间接求所求角的角度；求的长，先连接，先在中，求出；再在中，求出即可得到答案； （2）要求的长，扇形的半径已知，就转化成求的度数，连接，通过条件找到角之间的等量关系，再根据三角形内角和为，建立等式求出，最后利用弧长的计算公式进行计算． 【详解】解：（1）①如图1，为圆的切线． 由题意可得，，． ， ②如图1，连结，交BP于点Q．则有． 在中，． 在中，， ． （2）如图2．连结OD．设． ∵点D为的中点． ． 由题意可得，． 又 ，，解得． ． 【点睛】本题考查了求线段的长度和弧长的长度问题，解题的关键是：根据题目中的条件，找到边角之间的等量关系，通过等量代换的思想间接求出所需要求的量． 6．在矩形中，，点分别是边上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处． (1)如图，当与线段交于点时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，连接交于点连结．求证：； (3)当时，在点由点移动到中点的过程中，直接写出点运动的路线长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）由平行线的性质得，由翻折的性质得，则，即可得出结论； （）同（）易证，由证得，得出，由等腰三角形三线合一的性质即可得出结论； （）证出，得，再证点运动的路径是以为圆心，以为半径的弧，求出，再求出，，利用弧长公式运算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由翻折的性质得：， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 由翻折的性质得：， ∴， ∴， ∵，， ∴（）， ∴， ∴； （3）解：连接，交于，连接，如图所示， 同（）得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴点为的交点，且， 由折叠的性质得：，， 又∵， ∴（）， ∴， 当点由点移动到中点时，则点移动到的中点，点落在点处， ∴点运动的路径是以为圆心，以为半径的弧， 在中，， ∴， ∴， ∴， 过点作于， 则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ∴， ∴点G运动的路径的长． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，弧长公式以及解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 类型八、圆内接四边形 1．如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的内接四边形对角互补，计算解答即可． 本题考查了圆的内接四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形． ∴． ∵， ∴． 故选：C． 2．如图，M，N是上的两个动点，且在弦AB的两侧，若的半径是，，则四边形面积的最大值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，找到使四边形面积最大的点M与点N的位置是解题的关键． 过点O作于点C，交于D，E两点．连接，先证明，得到为等腰直角三角形，求出的长，然后利用，得出当M点运动到D点，N点运动到E点，四边形面积最大值，由此计算，即得答案． 【详解】如图，过点O作于点C，交于D，E两点．连接， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵． ∴当点M到的距离最大时，的面积最大；当点N到的距离最大时．的面积最大．即点M运动到点D，点N运动到点E． 此时四边形面积的最大值 ． 故选D． 3．如图，四边形为的内接四边形，，则的大小是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆的内接四边形互补，以及圆周角定理，由题意得，根据即可求解． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴ 故答案为： 4．四边形内接于，连接、、，若，则 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，掌握圆的相关性质是解题关键．根据圆内接四边形对角互补，得到，再由圆周角定理，得到，然后利用等边对等角的性质求解即可． 【详解】解：四边形内接于，， ， ， ， ， 故答案为： 5．如图，四边形内接于，，，垂足为． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，垂径定理等知识，熟练掌握垂径定理和圆内接四边形的性质是解题的关键． （1）根据垂径定理得到垂直平分，，则，利用圆内接四边形的性质即可得到答案； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到，再根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：延长交于点H， ∵， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ， 四边形是的内接四边形， ， （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ； 6．阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多定理： 如图，四边形内接于，对角线，垂足为M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：∵，， ∴，． ∴． 又∵① ，（同弧所对的圆周角相等） ， ∴． ∴② ． … 任务： (1)材料中①处缺少的条件为______，②处缺少的条件为______； (2)根据材料，应用婆罗摩笈多定理解决下面试题： 如图，已知中，，，分别交于点D，E，连接交于点P．过点P作，分别交于点M，N．若，求的长． 【答案】(1)①；② (2)1 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边的性质，关键是能熟练应用圆的有关性质，掌握相应角的定义和计算是关键． （1）根据圆周角定理和等角对等边的性质可得结论； （2）应用（1）的结论，圆内接四边形的性质，可求解．． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，． ∴． 又∵，（同弧所对的圆周角相等） ， ∴． ∴． … 故答案为：①；②； （2）解：四边形是内接四边形， ， ， ，即， ， ， ， ， ． 类型九、旋转中的网格画图 1．在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转得到，点，，的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2)点的坐标 (3) 【分析】本题考查作图旋转变换、坐标与图形、网格中求三角形面积等，解题的关键是掌握旋转变换的性质． （1）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）由（1）中的作图，根据点的位置写出坐标即可； （3）利用网格求三角形面积即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：由（1）可知，点的坐标； （3）解：如图所示： ． 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)若点是的边上的一点，将先向下平移格，再向右平移格，则平移后点的对应点的坐标为___________． (2)画出以点为旋转中心，顺时针旋转后得到的； (3)画出与关于点成中心对称的图形． 【答案】(1)； (2)画图见解析； (3)画图见解析． 【分析】（）根据平移方式，横坐标加，纵坐标减计算即可求解； （）根据题意画出绕点顺时针旋转后得到； （）根据关于原点对称的两个点横纵坐标互为相反数先写出的三个顶点，再画出即可； 本题考查了直角坐标系中的平移问题，旋转作图，中心对称作图，以及写出直角坐标系中点的坐标等知识，掌握点的平移规律、旋转作图与中心对称作图是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得：点先向下平移格，再向右平移格， ∵ ∴，即， 故答案为：； （2）如图，即为所求； （3）∵与关于点成中心对称的图形，，， ∴，，， ∴即为所求． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若和关于原点成中心对称，画出； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析；点的坐标为． 【分析】此题考查了中心对称和旋转的作图， （1）找到关于原点成中心对称的对应点，顺次连接即可； （2）找到绕点顺时针旋转得到的对应点，顺次连接即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求，点的坐标为． 4．如图，在所给的格点图形中． (1)画出向下平移4个单位后的； (2)画出关于点O成中心对称的图形； (3)画出绕点O顺时针旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换、作图-旋转变换，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ； （2）解：如图，即为所求， ； （3）解：如图，即为所求， ． 5．如图，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)请画出与关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)将绕原点顺时针旋转后得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)图形见解析， (2)图形见解析， 【分析】本题考查作图-旋转变换、画关于原点对称图形、写出直角坐标系中点的坐标，准确作图是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）如图，即为所求， 由图可得，点的坐标为； （2）如图，即为所求， 由图可得，点的坐标为． 6．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的顶点均在格点上． (1)画出将关于原点的中心对称图形． (2)将绕点顺时针旋转得到，画出． (3)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为____________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了作图−旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得点的位置． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，根据旋转的性质可得，旋转中心为和垂直平分线的交点，图中点即为旋转中心， ∴， 故答案为：． 类型十、树状图或列表法求概率 1．学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】(1) (2)树状图见解析，该游戏对双方公平 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， ∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为， ∴小明和小红获胜的概率相同， ∴该游戏对双方公平． 2．有4张背面完全相同的卡片，其正面分别标有数字，0，1，2，将卡片的背面朝上，洗匀后，从中任意抽出1张，将卡片上的数字记录下来，放回洗匀后再从中任意抽出1张，同样将卡片上的数字记录下来． (1)求第一次抽出的卡片上数字是正数的概率； (2)小明、小亮做游戏，规则如下：若两次抽出的卡片上的数字的乘积为正数，则小明胜；若两次抽出的卡片上的数字的乘积为负数，则小亮胜．这个游戏规则对小明、小亮公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由． 【答案】(1)； (2)不公平，理由见详解 【分析】本题考查了概率及利用列表法求概率判断游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．掌握概率的求法是解题关键，即如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中m种结果，那么事件A发生的概率是． （1）列举出所有可能数，再利用概率公式即可求出概率； （2）利用列表法列举所有可能的结果，再利用概率公式求出两人的获胜概率即可得出答案． 【详解】（1）解：第一次抽取卡片共有4种等可能的结果，其中卡片上数字是正数的结果有2种， ∴第一次抽取的卡片上数字是正数的概率是； （2）解：列表如下： 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 4 由表可知，共有16种等可能结果，其中结果为负数的有4种结果，结果为正数的有5种结果， 所以小亮获胜的概率，小明获胜的概率， ∴此游戏不公平． 3．在一个不透明的袋中只装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外都相同． (1)任意摸出一球，摸到黄球是______事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”） (2)从袋中任意摸出一个球，摸到黑球的概率是多少？ (3)现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概率是，请求出后来放入袋中的黑球的个数． 【答案】(1)不可能 (2) (3)后来放入袋中的黑球个数为18个 【分析】本题考查了随机事件与不可能事件的定义、简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键． （1）根据随机事件和不可能事件的定义即可得； （2）利用黑球的数量除以袋子中球的总数量即可得； （3）设后来放入袋中的黑球个数为个，则袋子中黑球的个数为个，球的总数量为个，利用概率公式建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：因为一个不透明的袋中装有2个白球，3个黑球，5个红球，每个球除颜色外都相同， 所以从中任意摸出一个球，摸到黄球是不可能事件， 故答案为：不可能． （2）解：从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为， 答：从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为． （3）解：设后来放入袋中的黑球个数为个，则袋子中黑球的个数为个，球的总数量为个， 由题意得：， 解得， 经检验，是分式方程的解， 答：后来放入袋中的黑球个数为18个． 4．2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D，滨河体育队的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上． 将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是B（滑板）的概率是＿＿＿． (2)体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是B（滑板）和D（运动攀岩）的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率公式及用列表或画树状图的方法求概率, 正确画出树状图是解题的关键． （1）直接运用概率公式求解即可； （2）先画出树状图，可知共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是共“B”和“D”的结果有2种，最后由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：小明想从中随机抽取一张，恰好抽到是B（滑板）的概率是； 故答案为: ． （2）解：画树状图如下： ， 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“B”和“D”的结果数为2， 体育老师抽到的两张卡片恰好是B（滑板）和D（运动攀岩）的概率． 5．在一个盲盒中放有6个白球，7个黄球和若干个红球，这些球除颜色外完全相同，每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球，记下颜色再放回盲盒中，经过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右． (1)估计盲盒中大约有______个红球； (2)从盲盒中取出2个白球，2个黄球，1个红球放入到一个不透明的袋子中，从中同时随机摸出两个球，请用列表法或树状图法求摸到两个球颜色相同的概率． 【答案】(1)7 (2)摸到两个球颜色相同的概率为 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，树状图法或列表法求解概率，用频率估计概率： （1）根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到白球的概率为，据此求出总的总数即可得到答案。 （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到摸到两个球颜色相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵经过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右， ∴摸到白球的概率为， ∴盒中球的总个数约为（个）， ∴估计盲盒中红球大约有（个）， 故答案为：7； （2）解：分别用A、B表示两个白球，C、D表示两个黄球，E表示红球，列表如下： 由表知，共有20种等可能结果，其中摸到两个球颜色相同的有4种结果， ∴摸到两个球颜色相同的概率为． 6．有一张观看“我和我的祖国”的电影票，小胡和小明都想拥有，为此两人做了一个游戏，在一个不透明的纸箱里装有点数分别是1、2、3的纸牌各一张，三张纸牌的花色大小相同，游戏规则是：两人各摸纸牌一张，小胡先从纸箱里摸牌一张，记录好点数后放回，再由小明从纸箱里摸牌一张，若两人摸到纸牌的点数和为奇数时，小胡拥有电影票；若两人摸到纸牌的点数和为偶数时，则小明拥有电影票，这个拥有电影票的游戏规则对双方公平吗？请利用树状图或列表法说明理由． 【答案】不公平，理由见详解 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，再根据概率公式求出小胡和小明拥有电影票的概率，然后进行比较即可得出答案． 【详解】解：根据题意画图如下，    共有9种等可能的情况数，其中两人摸到纸牌的点数和为奇数有4种情况，两人摸到纸牌的点数和为偶数有5种情况， 则小胡拥有电影票的概率是，小明拥有电影票的概率是， ∵， ∴这个拥有电影票的游戏规则对双方不公平． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$