专题14 对称图形--圆（压轴题，30题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（苏科版）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题14 对称图形--圆（压轴题，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，点C是上一动点，B为一定点，D随着C点移动而移动，为的垂直平分线，，若半径为2，点B到点A的距离为4，则在C点运动过程中，的最大值为 ． 3．（22-23九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，，点在射线上运动，连接交外接圆于，则的最小值为 ． 4．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为 ． 5．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，点是的中点，过点作交延长线于点，若，则点到点的最大距离为 ． 6．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，是的直径，，点A在上，，B为弧的中点，P是直径上一动点．则的最小值为 ． 三、解答题 7．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，形如量角器的半圆的直径，形如三角板的中，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动时间为，当时，半圆在的左侧，． (1)当　　时，与所在直线第一次相切；点到直线的距离为 ； (2)当为何值时，直线与半圆所在的圆相切； (3)当的一边所在直线与圆相切时，若与有重叠部分，求重叠部分的面积． 8．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图1，C，D是半圆上的两点，点P是直径上一点，且满足，则称是的“幸运角”，如图， (1)如图2，若弦，D是弧上的一点，连接交于点P，连接．求证：是的“幸运角”； (2)如图3，若直径，弦，的“幸运角”为，求的长． 9．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）已知圆E的半径为2，，，A，T分别为，中点，求： (1)； (2)． 10．（23-24九年级下·江苏徐州·自主招生）如图，半径为的圆形纸片的圆心为，是圆内一定点，且，把纸片折叠，折痕为，此时平行，且弧过点． (1)求弦的长度． (2)已知点在线段上，且满足对任意点在线段上，都有． ① 求线段的长度． ② 已知若是圆周上的动点，把纸片折叠使与重合，然后抚平纸片，折痕为（不与重合），证明：，，在直线的同侧． 11．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知在等边中，将线段绕点旋转，得到线段，连接，． (1)如图，将线段绕点顺时针旋转，若，则 ，四边形的面积为 ； (2)在图中依题意补全图形，并求的度数； 取的中点，连接，交直线于点，连接．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 12．（2023·江苏宿迁·模拟预测）在矩形中，，点、分别是边、上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处． (1)如图1，当与线段交于点时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连结交于点连结．求证：； (3)当时，在点由点移动到中点的过程中，直接写出点运动的路线长． 13．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知直线l与相离，垂直于直线l，垂点为点A，，与相交于点P，与相切于点B，的延长线交直线l于点C． (1)试判断线段与AC的数量关系，并说明理由； (2)若，求的长； (3)若在上存在唯一点Q，使是以为底边的等腰三角形，求的半径． (4)若在上存在点Q，使是以AC为底边的等腰三角形，求的半径r的取值范围． 14．（2023·江苏徐州·模拟预测）在中，，，D为的中点，E，F分别为，上任意一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，点E与点C重合，且的延长线过点B，若点P为的中点，连接，求的长； (2)如图2，EF的延长线交于点M，点N在上，且，求证：； (3)如图3，F为线段上一动点，E为的中点，连接，H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最小值． 15．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）综合与实践： 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系： ， ； (2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系： ； (4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则 ． 16．（2023·江苏盐城·模拟预测）(1)问题研究：如图1，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，均落在格点上，点在网格线上．以为直径的半圆的圆心为，在圆上找一点，使平分请用无刻度的直尺作图； (2)尝试应用：如图，是的直径，是切线，，交于点． 请用无刻度直尺作出的中点； (3)问题解决：请在(2) 尝试应用的条件下，解决以下问题： ①连接，判断与的位置关系并证明； ②若，求，与围成的图形面积． 17．（2024·江苏宿迁·模拟预测）数学课上老师出了这样一道题：如图①，已知线段和直线l，在直线l上找点P，使得，请用无刻度的直尺和圆规作出所有的点P．    【探索发现】（1）如图②，小明的作图方法如下： 第一步：分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧在上方交于点O； 第二步：连接； 第三步：以O为圆心，长为半径作，交l于点和． 则图中、即为所求的点． 请在图②中，连接、、、，并求证：． 【方法迁移】 如图③，在矩形的边上找点P，使得，请用无刻度的直尺和圆规在图③矩形的边上作出所有的点P．（不写作法，保留作图痕迹） 【深入探究】 （2）已知矩形，，，P为矩形边上的点，若满足的点P恰有两个，则m的取值范围______． （3）已知矩形，，，P为矩形内一点，且，则的最小值为______． 18．（2024·江苏常州·一模）对于平面直角坐标系中的任意点，点，如果满足，那么我们称这样点P、Q是“互为关联点”，a是点P或点Q的“关联距”．如图，的顶点，，．的圆心，半径是1．    (1)点的“关联距”是__________； (2)边上有一点D，若点D与点A是“互为关联点”，求点D的坐标； (3)N是上一个动点，若点N与边上一点是“互为关联点”，求点N的“关联距”a的取值范围． 19．（2024·江苏盐城·模拟预测）（1）问题研究：如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，点B在网格线上．以为直径的半圆的圆心为O，在圆上找一点E使平分，请用无刻度的直尺作图； （2）尝试应用：如图2，是的直径，是切线，，交于P点．请用无刻度直尺作出的中点D； （3）问题解决：请在（2）尝试应用的条件下，解决以下问题： ①连接，判断与的位置关系并证明； ②若，求，与围成的图形面积．    20．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）阅读理解：(1)【学习心得】小赵同学在学习完圆这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要有两种类型． ① 类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A(定点) 为圆心， (定长) 为半径作辅助圆，(请你在图1上画圆)则点C、D必在上，是的圆心角， 而是圆周角， 从而可容易得到 ． ② 类型二，“定角+定弦”：如图2，中，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵， ∴，∵，∴，∴ (定角)，∴ 点P在以 (定弦)为直径的上， 请你完成后面的过程． (2)【问题解决】如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点(点P不与B，C重合)，连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 ． (3)【问题拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P． ① 请你写出与的关系，并说明理由； ② 点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 21．（2024九年级下·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，对于点P和线段，若线段或的垂直平分线与线段有公共点，则称点P为线段的融合点． (1)已知，， ①在点，，中，线段的融合点是 ； ②若直线上存在线段的融合点，求t的取值范围； (2)已知的半径为4，，，直线l过点，记线段关于l的对称线段为．若对于实数a，存在直线l，使得上有的融合点，直接写出a的取值范围． 22．（2024·江苏宿迁·一模）定义：对于平面内的两点、，若点是点绕点旋转度所得到的点，则称点是点关于点的旋转点；是旋转角，若旋转角小于，则称点是点关于点的锐角旋转点．如图1，点是点关于点的旋转点．    (1)已知点，点，在点，，中，是点关于点的锐角旋转点的是________． (2)已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角旋转点，求实数的取值范围． 23．（2024·江苏扬州·二模）如图，中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点，延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长和阴影部分的面积． 24．（2024·江苏徐州·三模）【问题情境】 如图，是外的一点，直线分别交于点、． 小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． 小红认为在图中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______； 【构造运用】 如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值． 【深度运用】 如图，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________． 25．（2024·江苏常州·二模）如图1，小明借助几何软件进行数学探究：中，，，是边的中点，是线段上的动点（不与点、点重合），边关于对称的线段为，连接． (1)当为等腰直角三角形时，的大小为______． (2)图2，延长，交射线于点． ①请问的大小是否变化？如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由． ②若，则的面积最大为______，此时______． 26．（2024·江苏南通·模拟预测）在平行四边形中，，连接，已知，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转为线段． (1)如图1，线段与线段的交点和点E重合，连接，求线段的长度； (2)如图2，点G为延长线上一点，连接交于点H，连接，若点H为线段的中点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长交于点P，连接，直接写出线段长度的最小值． 27．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：． 【初步探索】小明同学思考如下：将与点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题： （1）根据小明的思路，请你完成证明． （2）若圆的半径为8，则的最大值为________． 【类比迁移】如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值． 【拓展延伸】如图3所示，等腰，点、在圆上，，圆的半径为8，连接，则的最小值为_________（直接写答案）． 28．（2023·江苏常州·一模）如图1，将一个三角形纸板绕点逆时针旋转到达的位置，那么可以得到：，，，．（___________）图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学． (1)上述问题情境中“（________）”处应填理由：________________； (2)如图2，将一个半径为，圆心角为的扇形纸板绕点逆时针旋转到达扇形纸板的位置． ①请在图中作出点； ②如果，则在旋转过程中，点经过的路径长为______________； (3)如果将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少(如图3)？ 29．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段，在的上方画，尝试操作后思考： （1）这样的点A唯一吗？ （2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外），…小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． (1)该弧所在圆的半径长为______； (2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图2所示的弓形外部，我们记为，请你证明； (3)如图3，已知线段和直线l，在直线l上求作点P，使得，尺规作图，保留作图痕迹； (4)如图4，在边长为6的等边中，动点P在内部，且，连接，则的最小值为______． 30．（2024·江苏泰州·二模） 素材1：平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接围成的封闭图形称为四边形，其中作出一条边所在的直线，其余各边均在其同侧的四边形称为凸四边形，其余各边中有不在同侧的四边形称为凹四边形，换句话说就是，凸四边形的每个内角都小于，凹四边形中有内角大于． 素材2：我们把一组对角相等且只有一组对边相等的凸四边形称为F−四边形．小亮按下列步骤操作得到的四边形ABDE就是F−四边形： 第1步：画，，； 第2步：在边上取一异于B，C的点D，； 第3步；以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点； 第4步：连结、．    活动一：素材反思 思考1：素材2中操作的第2步中为什么要说明“”？ 任务1：在，，，在边上取一点D，，以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点，连结、．判断四边形是否为F−四边形，并说明理由； 思考2：素材2中操作的第1步中为什么要说明“”？ 任务2：在，，，在边上取一点D，，以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点，连结、．若四边形为F−四边形，求的取值范围；    活动二：图形应用 如图，四边形为F−四边形，，，且． 任务3：记的面积为S，直接写出S的取值范围．    14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题14 对称图形--圆（压轴题，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换等知识，如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H．证明，可得结论． 【详解】解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 2．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，点C是上一动点，B为一定点，D随着C点移动而移动，为的垂直平分线，，若半径为2，点B到点A的距离为4，则在C点运动过程中，的最大值为 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了勾股定理，正方形的性质和判定，垂直平分线的定义，圆中相关知识点，解题的关键是找到取得最大值时点C的位置． 过点作交所在直线于点，证明四边形是正方形，设，则，勾股定理得出，确定出时最大，求解即可； 【详解】解：过点作交所在直线于点， ∵为的垂直平分线， ， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， 设，则， 在中，， 故当最大时，最大， ∵， ∴时最大，即最大， 此时， 故答案为：． 3．（22-23九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，，点在射线上运动，连接交外接圆于，则的最小值为 ． 【答案】1 【分析】如图，连接，首先证明，由此推出点在以为圆心，为半径的上运动（是等腰直角三角形，，），连接交于，此时的值最小． 【详解】连接，则， ∵， ∴点在以为弦的一段圆弧上运动，圆心角为， 设圆心为，连接， 则为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴（当且仅当是与圆弧的交点时取等号）， ∴线段的长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题，学会用转化的思想思考问题． 4．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，如图，连接， 取的中点， 连接，， ，，，，利用三角形中位线定理求出，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，则 ，求出 的最大值，可得结论，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用参数解决问题，熟练掌握知识点的应用． 【详解】如图， 连接， 取的中点， 连接，， ，，，， ∵点、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则， ∵， ∴最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 5．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，点是的中点，过点作交延长线于点，若，则点到点的最大距离为 ． 【答案】6 【分析】连接，根据斜边上的中线得到，进而得到最大时，最大，延长至点，使，连接，易证，得到，进而得到，推出三点共圆，设圆心为，连接，，得到，垂径定理结合含30度角的直角三角形的性质，求出的长，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵点是的中点，， ∴，， ∴当最大时，最大， 延长至点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∵，， ∴三点共圆， 设圆心为，连接，，则：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最大值为6， ∴点到点的最大距离为6； 故答案为：6． 【点睛】本题考查斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是构造全等三角形，确定点的运动轨迹． 6．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，是的直径，，点A在上，，B为弧的中点，P是直径上一动点．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，最短路径问题，熟练掌握圆周角定理，即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，是解答本题的关键． 作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点，然后根据垂径定理得到，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点． 此时最小，且等于的长. 连接, ， ∴， ∴弧的度数是， 则弧的度数是 ， 根据垂径定理得弧的度数是：， 则 又， 则 故答案为：． 三、解答题 7．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，形如量角器的半圆的直径，形如三角板的中，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动时间为，当时，半圆在的左侧，． (1)当　　时，与所在直线第一次相切；点到直线的距离为 ； (2)当为何值时，直线与半圆所在的圆相切； (3)当的一边所在直线与圆相切时，若与有重叠部分，求重叠部分的面积． 【答案】(1)1， (2)当t为4秒或16秒时，直线AB与半圆O所在的圆相切 (3)或 【分析】（1）求出路程的长，即可以求时间，作到的距离，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半可以得：； （2）根据到的距离为，圆的半径为，所以与重合，即当点运动到点时，半圆与的边相切，秒；当点运动到点的右侧时，且，过作，交直线于，在中，求出的长度，进行求解即可； （3）有两种情况：①当半圆与边相切于时，如图2，重叠部分的面积是半圆面积的一半；②当半圆与相切于时，如图4，连接，重叠部分的面积是扇形的面积的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 当时，与所在直线第一次相切； 如图1，过作于， 中， ，， ， 故答案为：1，； （2）如图2，过作于， 同理（1）得：， 当直线与半圆所在的圆相切时， 又圆心到的距离为6，半圆的半径为6， 且圆心又在直线上， 与重合， 即当点运动到点时，半圆与的边相切， 此时，点运动了，所求运动时间； 如图3，当点运动到点的右侧时，且，过作，交直线于， 在中，，则， 即与半圆所在的圆相切，此时点运动了， 所求运动时间， 综上所述，当为4秒或16秒时，直线与半圆所在的圆相切； （3）有两种情况： ①当半圆与边相切于时，如图2， 重叠部分的面积； ②当半圆与相切于时，如图4，连接， ， 与重合，与重合， ， ， ， 过作于， ， ， 由勾股定理得：， ， 此时重叠部分的面积； 综上所述，重叠部分的面积为或． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，扇形面积的求解，含30度角的直角三角形的特征，分情况求解，准确作出辅助线是解答本题的关键． 8．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图1，C，D是半圆上的两点，点P是直径上一点，且满足，则称是的“幸运角”，如图， (1)如图2，若弦，D是弧上的一点，连接交于点P，连接．求证：是的“幸运角”； (2)如图3，若直径，弦，的“幸运角”为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据定义，证明即可． （2）连接，，证明，利用勾股定理求的长即可． 【详解】（1） 解：∵是直径，， ∴平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的“幸运角”． （2） 如图，连接，， ∵的“幸运角”为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为． 【点睛】本题考查了新定义，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握定理是解题的关键． 9．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）已知圆E的半径为2，，，A，T分别为，中点，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆综合题，属于初中竞赛题，难度较大，熟练掌握中线长定理是解题的关键． （1）运用中线长定理即可得解； （2）根据三角形三边关系可直接得解． 【详解】（1）如图，连接，， ∵T是的中点，E为圆心， ∴， ∵，是斜边上的中线， ∴， ∴ ∴，即， ∵ ∴ ∴ ∴； （2）由（1）知， ∴． 10．（23-24九年级下·江苏徐州·自主招生）如图，半径为的圆形纸片的圆心为，是圆内一定点，且，把纸片折叠，折痕为，此时平行，且弧过点． (1)求弦的长度． (2)已知点在线段上，且满足对任意点在线段上，都有． ① 求线段的长度． ② 已知若是圆周上的动点，把纸片折叠使与重合，然后抚平纸片，折痕为（不与重合），证明：，，在直线的同侧． 【答案】(1) (2)①，②见详解 【分析】（1）作F关于的对称点，则是的垂直平分线，由勾股定理得，则，过点O作，可得四边形是矩形，则，则中，运用勾股定理求得，由垂径定理即可求得； （2）①作F关于的对称点，连接，显然点为与的交点，过点作，记交于点，可证明，则，故；②假设点将点三点中点分割在一侧，点在另一侧，则与线段相交，交点记为点，连接，由题意得，则在中，，即，即，与矛盾，故假设不成立，同理可证明其余情况． 【详解】（1）解：如图：作F关于的对称点， ∵把纸片折叠，折痕为，此时平行，且弧过点， ∴一定在上 连接，与交于一点 ∴是的垂直平分线 ∴在中， ∴ 则 过点O作 ∴ ∵平行， ∴ ∴四边形是矩形 ∴ 则在中， ∴， ∵，经过圆心， ∴ （2）解：作F关于的对称点，连接， ∴， ∴ ∵， ∴点为与的交点， 过点作，记交于点， 由（1）知， 而由对称得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②假设点将点三点中点分割在一侧，点在另一侧，则与线段相交，交点记为点，连接， 由题意得， 则在中，， ∴， 即，与矛盾， 故假设不成立， 同理可证，点和点分别位于两侧以及点和点位于两侧都不成立， ∴综上可得：，，在直线的同侧． 【点睛】本题考查了折叠的性质，垂直平分线的性质定理，勾股定理，矩形的判定与性质，三角形的三边关系等知识点，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 11．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知在等边中，将线段绕点旋转，得到线段，连接，． (1)如图，将线段绕点顺时针旋转，若，则 ，四边形的面积为 ； (2)在图中依题意补全图形，并求的度数； 取的中点，连接，交直线于点，连接．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)，； (2)；，理由如下见解析． 【分析】（）由是等边三角形，，，证明，，则，，由即可求解，由旋转可知，，则， 同理可得:，然后利用角度和差即可求解； （）设， 则，进而表示出和，进一步得出结果； 在上截取，连接，设则，，根据等腰三角形的性质得，，则，，再证明共圆，根据圆周角定理的，，从而证明是等边三角形，最后，根据全等三角形的性质和线段和差即可求证． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角度和差，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，圆周角定理等知识，掌握知识点的应用及正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 设，交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 同理可得:， ∴， 故答案为：，； （2）如图， 设，则， ∵， ∴， ， ∴； ，理由如下： 如图， 在上截取，连接， 设则，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴共圆， 如图， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．（2023·江苏宿迁·模拟预测）在矩形中，，点、分别是边、上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处． (1)如图1，当与线段交于点时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连结交于点连结．求证：； (3)当时，在点由点移动到中点的过程中，直接写出点运动的路线长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，翻折变换的性质，等腰三角形的判定，弧长公式以及解直角三角形等知识，本题综合性强，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）由平行线的性质得，由翻折的性质得，则，即可得出结论； （2）同（1）易证，由AAS证得，得出，由等腰三角形三线合一的性质即可得出结论； (3)证出，得，再证点运动的路径是以为圆心，以为半径的弧，求出，再求出，，利用弧长公式运算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由翻折的性质得：， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 由翻折的性质得：， ∴， ∴， ∵，， ∴（AAS）， ∴， ∴； （3）解：连接，交于，连接，如图3所示： 同（2）：， ∴， ∵四边形是矩形， ∴点为、的交点，且， 由折叠的性质得：，， 又∵， ∴（SAS）， ∴， 当点由点移动到中点时，则点移动到的中点，点落在点处， ∴点运动的路径是以为圆心，以为半径的弧， 在中，， ∴， ∴， ∴， 过点作于， 则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴点G运动的路径的长． 13．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知直线l与相离，垂直于直线l，垂点为点A，，与相交于点P，与相切于点B，的延长线交直线l于点C． (1)试判断线段与AC的数量关系，并说明理由； (2)若，求的长； (3)若在上存在唯一点Q，使是以为底边的等腰三角形，求的半径． (4)若在上存在点Q，使是以AC为底边的等腰三角形，求的半径r的取值范围． 【答案】(1)，理由见详解 (2) (3) (4) 【分析】（1）连接，根据切线的性质和垂直得出，推出，，求出，根据等腰三角形的判定推出即可； （2）延长交于，连接，设圆半径为r，则设圆半径为，则，，根据勾股定理结合推出，求出r，即可得出的值． （3）作线段的垂直平分线，作，可得出由再由圆与直线有唯一交点，即，即可求出r． （4）根据已知得出Q在的垂直平分线上，作线段的垂直平分线，作，求出，求出r范围，再根据相离得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接． ∵切于，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）延长交于，连接， 设圆半径为，则，， 则， ， ∵ ∴， 解得：， ∴， （3）作线段的垂直平分线，作， 则可以推出 由∵圆与直线有唯一交点， ∴， 解得：， 即圆的半径为5． （4）作出线段的垂直平分线，作， 则可以推出 又∵圆与直线有交点， ∴， ， ， ， ∴， 又∵圆与直线相离， ∴， 即． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力．本题综合性比较强，有一定的难度． 14．（2023·江苏徐州·模拟预测）在中，，，D为的中点，E，F分别为，上任意一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，点E与点C重合，且的延长线过点B，若点P为的中点，连接，求的长； (2)如图2，EF的延长线交于点M，点N在上，且，求证：； (3)如图3，F为线段上一动点，E为的中点，连接，H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最小值． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据已知条件可得为的中点，证明，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解； （2）过点作交的延长线于点，证明，，可得，进而根据，即可得出结论， （3）根据（2）可知，当点在线段上运动时，点在平行于的线段上运动，根据题意作出图形，根据点到圆上的距离求最值即可求解． 【详解】（1）如图，连接 将线段绕点E顺时针旋转得到线段， 是等腰直角三角形， P为的中点， ， ， ， ，D为的中点，， ，， ， 在中，； （2）如图，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在与中，   ， ， ， ， 又，，   ， ， ， ， ，   又， ， ， ， ， ， ， ； （3）由（2）可知， 则当点在线段上运动时，点在平行于的线段上运动， 将沿翻折至所在平面内，得到， E为的中点， ， ， 则点在以为圆心为半径的圆上运动，当三点共线时，最小， 如图，当运动到与点重合时，取得最小值，． 如图，当点运动到与点重合时，取得最小值， 此时，则． 综上所述，的最小值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，全等三角形的性质与判定，轴对称线的性质，点到圆上一点距离最值问题，正确的添加辅助线是解题的关键． 15．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）综合与实践： 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系： ， ； (2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系： ； (4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则 ． 【答案】(1)， (2)，，理由见解析 (3) (4)或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明即可得出结论； （4）根据直角所对的圆周角是直角，先找到点，利用勾股定理计算出，再利用第（3）小题的结论得到三角形的高，的面积即可求出． 【详解】（1）解：和都是等腰三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2）解：，， 理由如下： 和都是等腰三角形， ，， ， ，即， ， ， ， ，， ， ； （3）解：和都是等腰直角三角形， ，，， ，即， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：； （4）解：如图，连接，以为直径作圆， ， 由题意，2满足条件的点、，则，， 正方形中，， ， ， 连接，作于，在上截取， ，， ， ，， ， 由（3）可得：， ， ， 同理可得：， 综上所述，的面积为或， 故答案为：或． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等腰直角三角形的性质、圆周角定理，三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 16．（2023·江苏盐城·模拟预测）(1)问题研究：如图1，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，均落在格点上，点在网格线上．以为直径的半圆的圆心为，在圆上找一点，使平分请用无刻度的直尺作图； (2)尝试应用：如图，是的直径，是切线，，交于点． 请用无刻度直尺作出的中点； (3)问题解决：请在(2) 尝试应用的条件下，解决以下问题： ①连接，判断与的位置关系并证明； ②若，求，与围成的图形面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①与相切，证明见解析；② 【分析】本题考查了作图，特殊四边形的证明，圆的切线的判定，与圆有关的面积计算； （1）先找到正方形的对角线的交点、，连接交线段于一点，连接并延长交半圆于点，点即为所求的点； （2）连接并延长交圆于一点，连接、交于点，连接并延长交于点，则即为的中点； （3）①与相切，证明四边形是矩形即可； ②先说明四边形是正方形，则所求面积等于． 【详解】解：如图1，先找到正方形的对角线的交点、，连接交线段于一点，连接并延长交半圆于点，点即为所求的点． 证明如下： 正方形的对角线的交点为、， 是的中点， 是的中点， 是的中点， 是线段的中点， ， ， ， ， ， 平分； （2）连接并延长交圆于一点，连接、交于点，连接并延长交于点，则即为的中点． 证明如下： 是切线， ， ， 是等腰直角三角形， 是的直径， ， ， 是中点， 是中点， ， 、是直径， ， ， 四边形是平行四边形， 是、的交点， 是的中点， ， ， 是的中点； （3）①与相切． 证明：由（2）知，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 与相切； ②由①知四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ． 17．（2024·江苏宿迁·模拟预测）数学课上老师出了这样一道题：如图①，已知线段和直线l，在直线l上找点P，使得，请用无刻度的直尺和圆规作出所有的点P．    【探索发现】（1）如图②，小明的作图方法如下： 第一步：分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧在上方交于点O； 第二步：连接； 第三步：以O为圆心，长为半径作，交l于点和． 则图中、即为所求的点． 请在图②中，连接、、、，并求证：． 【方法迁移】 如图③，在矩形的边上找点P，使得，请用无刻度的直尺和圆规在图③矩形的边上作出所有的点P．（不写作法，保留作图痕迹） 【深入探究】 （2）已知矩形，，，P为矩形边上的点，若满足的点P恰有两个，则m的取值范围______． （3）已知矩形，，，P为矩形内一点，且，则的最小值为______． 【答案】（1）见解析；方法迁移：见解析；（2）且；（3）8 【分析】（1）根据尺规作图可知是等边三角形，，利用圆周角定理可知； 方法迁移：作的垂直平分线，交于点M，在上截取，以O为圆心，为半径作，与、的交点为P （2）当过点A和D时，，当与相切于点E时，只有一个交点，计算得，即可求得； （3）以为斜边在的下方作等腰直角三角形，以为圆心，为半径作，连接，证明点P在圆O上，则当点P在线段上时，最短，在中，，，，即可求得的最小值为 【详解】解：（1）∵， ∴是等边三角形， ∴， 根据圆周角定理可知：；    方法迁移：尺规作图如下： 作的垂直平分线，交于点M，在上截取，以O为圆心，为半径作，与、的交点为P；    （2）如下图所示：    当过点A和D时，， 当与相切于点E时，只有一个交点， ∵， ∴， ∴满足的点P恰有两个时，m的取值范围且， 故答案为：且； （3）以为斜边在的下方作等腰直角三角形，以为圆心，为半径作，连接，在优弧上取一点H，连接， ∴， ∴， ∴四点共圆，即点P在圆O上， ∴当点P在线段上时，最短，    作交的延长线于点F， 在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的作法，勾股定理，一点到圆上一点距离的最值问题，矩形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握圆周角和圆心角之间的关系 18．（2024·江苏常州·一模）对于平面直角坐标系中的任意点，点，如果满足，那么我们称这样点P、Q是“互为关联点”，a是点P或点Q的“关联距”．如图，的顶点，，．的圆心，半径是1．    (1)点的“关联距”是__________； (2)边上有一点D，若点D与点A是“互为关联点”，求点D的坐标； (3)N是上一个动点，若点N与边上一点是“互为关联点”，求点N的“关联距”a的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据“关联距”的定义求解即可； （2）利用待定系数法求出直线解析式为，设，根据点D与点A是“互为关联点”，，得到，解方程即可得到答案； （3）同理可得直线解析式为，设是线段上一点，则；设是线段上一点，则；设是线段上一点，则；如图所示，设直线与相切于T，过点M分别作x轴，y轴的平行线，交直线于P、Q，求出，证明，推出点T为中点，则点T的坐标为，再由，可得，解得或，设是上一点，则，据此可得． 【详解】（1）解：∵， ∴点的“关联距”是2， 故答案为：2； （2）解：设直线解析式为， 把，代入中得， ∴， ∴直线解析式为， 设， ∵点D与点A是“互为关联点”，， ∴， ∴， ∴； （3）解：同理可得直线解析式为， 设是线段上一点，则； 设是线段上一点，则， ∵， ∴； 设是线段上一点，则， ∵， ∴； 如图所示，设直线与相切于T，过点M分别作x轴，y轴的平行线，交直线于P、Q， ∴， ∴， ∴， 由切线的性质可得， ∴点T为中点， ∴点T的坐标为， ∵的半径为1，即， ∴， 解得或， 设是上一点， ∴， ∴．    【点睛】本题考查了一次函数的性质，直线与圆的位置关系，坐标与图形，勾股定理，解题的关键是理解题意，图象法解决问题． 19．（2024·江苏盐城·模拟预测）（1）问题研究：如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，点B在网格线上．以为直径的半圆的圆心为O，在圆上找一点E使平分，请用无刻度的直尺作图； （2）尝试应用：如图2，是的直径，是切线，，交于P点．请用无刻度直尺作出的中点D； （3）问题解决：请在（2）尝试应用的条件下，解决以下问题： ①连接，判断与的位置关系并证明； ②若，求，与围成的图形面积．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①与相切，证明见解析；② 【分析】本题考查了作图，特殊四边形的证明，圆的切线的判定，与圆有关的面积计算； （1）先找到正方形的对角线的交点、，连接交线段于一点，连接并延长交半圆于点，点即为所求的点； （2）连接并延长交圆于一点，连接、交于点，连接并延长交于点，则即为的中点； （3）①与相切，证明四边形是矩形即可； ②先说明四边形是正方形，则所求面积等于． 【详解】解：（1）如图1，先找到正方形的对角线的交点、，连接交线段于一点，连接并延长交半圆于点，点即为所求的点． 证明如下： 正方形的对角线的交点为、， 是的中点， 是的中点， 是的中点， 是线段的中点， ， ， ， ， ， 平分； （2）连接并延长交圆于一点，连接、交于点，连接并延长交于点，则即为的中点． 证明如下： 是切线， ， ， 是等腰直角三角形， 是的直径， ， ， 是中点， 是中点， ， 、是直径， ， ， 四边形是平行四边形， 是、的交点， 是的中点， ， ， 是的中点； （3）①与相切． 证明：由（2）知，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 与相切； ②由①知四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ． 20．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）阅读理解：(1)【学习心得】小赵同学在学习完圆这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要有两种类型． ① 类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A(定点) 为圆心， (定长) 为半径作辅助圆，(请你在图1上画圆)则点C、D必在上，是的圆心角， 而是圆周角， 从而可容易得到 ． ② 类型二，“定角+定弦”：如图2，中，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵， ∴，∵，∴，∴ (定角)，∴ 点P在以 (定弦)为直径的上， 请你完成后面的过程． (2)【问题解决】如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点(点P不与B，C重合)，连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 ． (3)【问题拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P． ① 请你写出与的关系，并说明理由； ② 点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 【答案】（1）①；②2；（2）2；（3）①；② 【分析】（1）①点B、C、D都在上，根据，得；②； （2）连接，求出，由轴对称知，根据，得到的值最小为2； （3）①根据正方形性质，结合．证明，得到，推出，即得；②根据，知在点E运动时，点P从点D开始运动到正方形对角线交点O，得点P是在以为直径的上运动，路径长为的周长，为． 【详解】（1）①∵，， ∴点B、C、D都在上， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 点P在以 (定弦)为直径的上， ∴当点，，三点共线时，的长最小 ， ∴， ∴长的最小值为； （2）连接， ∵矩形中，，， ∴， 由轴对称知， ∵， ∴当点M在上时，的值最小， 最小值为：； 故答案为：2； （3）①．理由： ∵正方形中，，且． ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴点P在以为直径的上运动， 当点E从点D开始运动到点C时， 点P也随之从点D开始运动到正方形对角线交点O， ∴由对称性知，点P运动的路径长为的圆周长， ∴． 故点P的运动路径长为：． 【点睛】本题主要考查了圆和三角形、四边形综合．熟练掌握圆周角定理及其推论，矩形、正方形性质，全等三角形判定和性质，勾股定理解直角三角形，轴对称性质，三角形外角性质，三角形三边关系，圆周长（或弧长）公式，是解决问题的关键． 21．（2024九年级下·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，对于点P和线段，若线段或的垂直平分线与线段有公共点，则称点P为线段的融合点． (1)已知，， ①在点，，中，线段的融合点是 ； ②若直线上存在线段的融合点，求t的取值范围； (2)已知的半径为4，，，直线l过点，记线段关于l的对称线段为．若对于实数a，存在直线l，使得上有的融合点，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①分别求出的线段垂直平分线与x轴的交点为，直线的垂直平分线与x轴的交点为，直线的垂直平分线与x轴的交点为，再根据定义判断即可； ②线段的融合点在以A、B为圆心，为半径的圆及内部，当与圆有交点时，直线上存在线段的融合点； （2）由（1）可知，的融合点在以为圆心，为圆心的圆及内部，圆O与圆、圆的公共区域为以O为圆心2为半径，以T为圆心的圆环与圆O有交点，临界情况是圆内含时，当时，a的最大值为，最小值为，当时，a的最大值为，最小值为，由此可求a的取值范围为或． 【详解】（1）①∵，， ∴的线段垂直平分线与x轴的交点为， ∴是线段的融合点； ∵，， 设直线的垂直平分线与x轴的交点为， ∴， 解得， ∴直线的垂直平分线与x轴的交点为， ∴不是线段的融合点； ∵，， 设直线的垂直平分线与x轴的交点为， ∴， 解得， ∴直线的垂直平分线与x轴的交点为， ∴是线段的融合点； 故答案为：； ②线段的融合点在以A、B为圆心，为半径的圆及内部， ∵，， ∴， 当与圆相切时，或， ∴时，直线上存在线段的融合点； （2）由（1）可知，的融合点在以为圆心，为圆心的圆及内部， ∵，， ∴， ∵上有的融合点， ∴与圆有交点， ∴与圆、圆的公共区域为以O为圆心2为半径，以T为圆心的圆环与圆O有交点，临界情况是圆内含时， 当时，a的最大值为，最小值为， ∴； 当时，a的最大值为，最小值为， ∴； 综上所述：a的取值范围为或． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握线段垂直平分线的性质，切线的性质，勾股定理，弄清定义，根据题意能够确定线段的融合点的轨迹是解题的关键． 22．（2024·江苏宿迁·一模）定义：对于平面内的两点、，若点是点绕点旋转度所得到的点，则称点是点关于点的旋转点；是旋转角，若旋转角小于，则称点是点关于点的锐角旋转点．如图1，点是点关于点的旋转点．    (1)已知点，点，在点，，中，是点关于点的锐角旋转点的是________． (2)已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角旋转点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角旋转点的定义，圆的知识，解题的关键是学会找特殊点，特殊位置解决问题． （1）根据锐角旋转点的定义，进行解答，即可； （2）以原点为圆心，为半径，作，交正半轴于点，当经过点时，；求出的值；当经过点时，则，则点；当时，绕点逆时针旋转锐角时，点一定落在某条直线上， 当与相切且切点在第四象限时，连接，此时时，有最小值，根据勾股定理，求出，再根据等面积法，即可． 【详解】（1）∵点，点， ∴， ∵点，，， ∴，，， ∴， 如图：， ∴是点关于点的锐角旋转点． 故答案为：．    （2）以原点为圆心，为半径，作，交正半轴于点， ∵点， ∴， 当经过点时，； ∴， 当经过点时，则 ∴点； 当时，绕点逆时针旋转锐角时，点一定落在某条直线上， 当与相切且切点在第四象限时，连接，此时时，有最小值， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴实数的取值范围为：．    23．（2024·江苏扬州·二模）如图，中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点，延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长和阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，阴影部分的面积为 【分析】（1）如图1，连接，由，根据“等边对等角”得，已知，即可得，根据“同位角相等，两直线平行”得，根据，可得，即可证得结论； （2）过圆心作，垂足为点，连接，根据垂径定理，则得，进而得到，再根据矩形的判定“有三个角是直角的四边形是矩形”，证得四边形是矩形，得到，再根据全等三角形判定“边角边”，证得，得到，，易证得，是等边三角形，结合特殊三角函数值即可计算出的值，的值，然后计算出扇形的面积，的面积，的面积，最后根据阴影部分面积=的面积+的面积-扇形的面积，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图1，连接， 以为直径的交于点， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线． （2）解：如图2，过圆心作，垂足为点，连接， ，， ， ， ， ，，， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ，，， ． 【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理推论，切线的判定定理，垂径定理，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相关知识，灵活应用平行线的判定与性质，证得，合理添加辅助线，构造全等三角形，得到对应边角关系，及利用割补法求阴影部分面积． 24．（2024·江苏徐州·三模）【问题情境】 如图，是外的一点，直线分别交于点、． 小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． 小红认为在图中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______； 【构造运用】 如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值． 【深度运用】 如图，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________． 【答案】问题情境：正确，理由见解析；直接运用：；构造运用：；深度运用： 【分析】问题情境∶根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； 直接运用∶取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小，由勾股定理得，从而即得解； 构造运用：由折叠知，进而得点，，都在以为直径的圆上．如图，以点为圆心，为半径画，连接．当长度取最小值时，点在上，过点作于点，根据菱形的性质及勾股定理即可得解； 深度运用：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接，证明，得，点在以为直径的半圆上，进而利用 勾股定理及三角形的两边之和大于第三边即可得解． 【详解】解：问题情境∶小红的说法正确， 在圆О上任意取一个不同于点的点，连接、， ∵在中，>， ∴>，即>． ∴线段是点Р到圆О上各点的距离中最长的线段． ∴小红的说法正确； 直接运用∶取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小， ∵，， ∴，， ∴， ∴的最小值为 故答案为：． 构造运用：由折叠知， ∵是的中点， ∴， ∴点，，都在以为直径的圆上．如图，以点为圆心，为半径画，连接． 当长度取最小值时，点在上， 过点作于点， ∵在边长为的菱形中， ，为中点， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∴， ； 深度运用：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴，，即， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为直径的半圆上， ∵是的中点，， ∴，， ∴， ∴根据三角形的两边之和大于第三边可得的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，勾股定理，等边三角形的性质，圆周角定理的推论以及三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理，等边三角形的性质，圆周角定理的推论以及三角形的三边关系是解题的关键． 25．（2024·江苏常州·二模）如图1，小明借助几何软件进行数学探究：中，，，是边的中点，是线段上的动点（不与点、点重合），边关于对称的线段为，连接． (1)当为等腰直角三角形时，的大小为______． (2)图2，延长，交射线于点． ①请问的大小是否变化？如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由． ②若，则的面积最大为______，此时______． 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】（1）求出，由轴对称的性质得到，再由即可求得答案； （2）①设的大小为则由等腰三角形的性质即可得出答案； ②由题意可得点在以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，过点作于，交优弧于点，连接，当时，即点位于点时，的面积最大，利用解直角三角形可得面积最大值；过点作于，则，，，，得出，再由，即可求得． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形， ， ， ， 边关于对称的线段为， ， ； 故答案为：； （2）的大小不变，始终为． 设的大小为则 关于的对称线段为， ， ＝＝ ， 是的外角， ； ②由①知：， ， 点在以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，如图，过点作于，交优弧于点，连接， 当时，即点位于点时，的面积最大， 弦， ，即垂直平分， ，， ， ， ， ，， ， 面积最大值是； 此时，点的位置如图所示，过点作于， 则，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，圆的性质，解直角三角形等，正确地作出辅助线是解题的关键． 26．（2024·江苏南通·模拟预测）在平行四边形中，，连接，已知，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转为线段． (1)如图1，线段与线段的交点和点E重合，连接，求线段的长度； (2)如图2，点G为延长线上一点，连接交于点H，连接，若点H为线段的中点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长交于点P，连接，直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)证明，见解析 (3)最小值为 【分析】（1）延长，过点作于点，过点作于点，过点作于点，于点，根据题意，则是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，根据平行四边形的性质，则，，推出，是等腰直角三角形；根据全等三角形的判定，则，则，，求出；根据矩形的判定，则四边形是矩形，求出，，最后根据勾股定理，即可． （2）连接、、，根据平行四边形的性质和旋转的性质，则，推出、、、四点共圆，则在的延长线上，得到，根据全等三角形的判定，则，则；再根据平行四边形的判定，则四边形是平行四边形，推出；根据全等三角形的判定，则，得，再根据是等腰直角三角形，则，最后根据，即可； （3）连接、、、，根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质，则，根据勾股定理，求得，根据，即可． 【详解】（1）延长，过点作于点，过点作于点，过点作于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，，，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转为线段， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． （2）连接、、， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 由（1）得，，， ∴， ∴点、、、四点共圆， ∴， ∴点在的延长线上， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）连接，，，， 由（2）得，，点为的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵（当且仅当点在线段上时等号成立）， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形，全等三角形，勾股定理，圆内接四边形性质，平行四边形的知识，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的运用，矩形的判定和性质． 27．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：． 【初步探索】小明同学思考如下：将与点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题： （1）根据小明的思路，请你完成证明． （2）若圆的半径为8，则的最大值为________． 【类比迁移】如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值． 【拓展延伸】如图3所示，等腰，点、在圆上，，圆的半径为8，连接，则的最小值为_________（直接写答案）． 【答案】初步探索：（1）证明见解析；（2）16；类比迁移：；拓展延伸： 【分析】初步探索：（1）由旋转得，，，则，所以、、三点在同一条直线上，再证明是等边三角形，则； （2）当是的直径时，，此时的值最大，所以的最大值是16； 类比迁移：先由证明是的直径，且圆心在上，则，，再证明、、三点在同一条直线上，则，当是的直径时，，此时的值最大，则，即可求得周长的最大值是； 拓展延伸：连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，先求得，再连接、，证明≌，得，所以，则，所以的最小值为． 【详解】解：初步探索：（1）证明：由旋转得，，，， ， ， 、、三点在同一条直线上， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）是的弦，且的半径为8， 当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16， 的最大值是16， 故答案为：16． 类比迁移：如图，，，   是的直径，且圆心在上， ，， 将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，则，，， ， ， 、、三点在同一条直线上， ， ， 当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16， 的最大值为， 的最大值为， 周长的最大值是． 拓展延伸：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，   ∴，， ， 连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 28．（2023·江苏常州·一模）如图1，将一个三角形纸板绕点逆时针旋转到达的位置，那么可以得到：，，，．（___________）图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学． (1)上述问题情境中“（________）”处应填理由：________________； (2)如图2，将一个半径为，圆心角为的扇形纸板绕点逆时针旋转到达扇形纸板的位置． ①请在图中作出点； ②如果，则在旋转过程中，点经过的路径长为______________； (3)如果将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少(如图3)？ 【答案】(1)旋转前后对应边相等，对应角相等 (2)①作图见详解；② (3) 【分析】（1）根据旋转的性质即可求解； （2）①根据旋转中心在对应点连线的垂直平分线的交点处即可求解；②根据弧长公式的计算方法即可求解； （3）如图所示，连接交于点，连接交于点，连接，，根据旋转的性质可得，，可求出，再根据，，阴影部分的面积为，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据旋转的性质可得，旋转前后对应边相等，对应角相等， ∴应填理由为：旋转前后对应边相等，对应角相等， 故答案为：旋转前后对应边相等，对应角相等； （2）解：①根据旋转中心为对应点连线的垂直平分线的交点，作图如下： ②如图所示，点绕点逆时针旋转得到， ∴，，且， ∴在中，， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示，连接交于点，连接交于点，连接，， ∵点为中点， ∴， 根据旋转的性质得，，，， 在中，，， ∴，则，则， 在中，，， ∴，则， ∴， ∴，， ∴阴影部分， 根据旋转的性质，同理，，， ∴阴影部分， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，旋转中心的确定，弧长公式的计算，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，特殊角的三角函数的计算方法，掌握旋转的性质，弧长的计算方法，不规则图形面积的计算方法是解题的关键． 29．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段，在的上方画，尝试操作后思考： （1）这样的点A唯一吗？ （2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外），…小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． (1)该弧所在圆的半径长为______； (2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图2所示的弓形外部，我们记为，请你证明； (3)如图3，已知线段和直线l，在直线l上求作点P，使得，尺规作图，保留作图痕迹； (4)如图4，在边长为6的等边中，动点P在内部，且，连接，则的最小值为______． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)图见解析 (4) 【分析】（1）过点作，交圆弧于点，连接，圆周角定理，得到为该弧所在圆直径，，进而求出的长即可； （2）设与圆弧交点为，连接，圆周角定理，得到，三角形的外角的性质，得到，即可得证； （3）过点作，在上截取，连接，作的中垂线，交于点，以为圆心，的长为半径画圆，与直线的交点，即为点； （4）以为边，在的下方作等边，构造的外接圆，连接，得到，证明点在上，垂直平分，利用三线合一和含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进一步求出的长，即可． 【详解】（1）解：过点作，交圆弧于点，连接， 则：为该弧所在圆直径，， ∴， ∴该弧所在圆的半径为； 故答案为：2； （2）设与圆弧交点为，连接，则：， ∵是的一个外角， ∴， ∴； （3）如图：点即为所求； 由作图可知：为等腰直角三角形， ∴， 由同弧所对的圆周角相等，得到； （4）解：以为边，在的下方作等边，构造的外接圆，连接，则：，，， ∴，， ∴点在上， ∴， ∵等边三角形 ∵， ∴垂直平分，， ∵， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外接圆，四点共圆，等边三角形的性质，三线合一，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，尺规作垂线，线段和圆等知识点，熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键． 30．（2024·江苏泰州·二模） 素材1：平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接围成的封闭图形称为四边形，其中作出一条边所在的直线，其余各边均在其同侧的四边形称为凸四边形，其余各边中有不在同侧的四边形称为凹四边形，换句话说就是，凸四边形的每个内角都小于，凹四边形中有内角大于． 素材2：我们把一组对角相等且只有一组对边相等的凸四边形称为F−四边形．小亮按下列步骤操作得到的四边形ABDE就是F−四边形： 第1步：画，，； 第2步：在边上取一异于B，C的点D，； 第3步；以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点； 第4步：连结、．    活动一：素材反思 思考1：素材2中操作的第2步中为什么要说明“”？ 任务1：在，，，在边上取一点D，，以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点，连结、．判断四边形是否为F−四边形，并说明理由； 思考2：素材2中操作的第1步中为什么要说明“”？ 任务2：在，，，在边上取一点D，，以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点，连结、．若四边形为F−四边形，求的取值范围；    活动二：图形应用 如图，四边形为F−四边形，，，且． 任务3：记的面积为S，直接写出S的取值范围．    【答案】任务1：四边形不是F−四边形，理由见解析；任务2：，且；任务3：且 【分析】任务1：当时，根据作图可得，，再根据F−四边形的定义，即可判断答案； 任务2：设，列不等式及求解，即得答案； 任务3：以点M为圆心长为半径画弧，交的延长线于点G，连结，过点M作于点H，先证明，得到，再根据变化过程中的临界位置可知，分别对两个临界位置求面积，并注意的情况，即可得到答案． 【详解】任务1： 四边形不是F−四边形； 理由：当时，根据作图可得，，， ∴四边形是平行四边形，此时有两组对边相等，与题中只有一组对边相等不符， 所以不是F−四边形； 任务2： 当时，易得， ， ， 设， ， 又作图可得，， 又， ， ，， 凸四边形的每一个内角都小于， ， ， ， ， ， 综上，且；    任务3： 且． 理由如下： 以点M为圆心长为半径画弧，交的延长线于点G，连结，过点M作于点H，      则， ， ， ， P，G，Q，M四点共圆， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 四边形为F−四边形， ，， 由图a和图b中的位置可知， 在图a中， ， ， ， ， ， ， 在图b中， ， ， 当点P在的中点时，， 此时，不符合题意， S的取值范围是且．      【点睛】本题考查了动态几何问题，圆周角、弧、弦之间的关系，平行四边形的判定与性质，一元一次不等式的应用，全等三角形的判定与性质，几何最值问题等知识，应用一元一次不等式解题及添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ $$