专题09 圆周角（六大题型，40题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（苏科版）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题09 圆周角（六大题型，40题） 目录 题型一：圆周角定理 1 题型二：同弧或等弧所对的圆周角相等 4 题型三：半圆（直径）所对的圆周角是直角 5 题型四：90度的圆周角所对的弦是直径 7 题型五：已知圆内接四边形求角度 10 题型六：求四边形外接圆的直径 11 一、题型一：圆周角定理 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是弦，半径于点C，为直径，，线段长为（    ） A． B．8 C． D． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连接．若，，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，内接于，A为劣弧的中点，，为的直径，连接，若，则的长为 ． 4．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）在中，直径，是圆上除外的一点，分别是的中点，是弦的中点，则的取值范围是 ． 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的直径，是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 6．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的外接圆，平分并交于点，分别连接． (1)与相等吗？为什么？ (2)若弧的度数与弧的度数之比为，求的度数． 7．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，为外接圆的直径，，垂足为点F，的平分线交于点E，连接，． (1)求证：； (2)请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以为半径的圆上？并说明理由． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，，是半圆上的两点，点是直径上一点，且满足，则称是的“相望角”，如图， (1)如图2，若弦，是弧上的一点，连接交于点，连接．求证：是的“相望角”； (2)如图3，若直径，弦，的“相望角”为，求的长． 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，为的内接三角形，，，点为弧上一点，连接． (1)如图1，当时，垂足为，连接并延长分别交，于点． ①______； ②求证：． (2)如图，若与不垂直，过点作，垂足为，连接，如果，求线段的长． 10．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）按照下列要求作出图形(不写作法，保留作图痕迹) (1)尺规作图：将图1中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．画出该轮的圆心； (2)如图2，矩形的顶点A在圆上，顶点B，C，D在圆内．请仅用无刻度的直尺画出图2中的圆心O． 二、题型二：同弧或等弧所对的圆周角相等 11．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点．连接，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 12．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，中，是直径，是弦，若，则等于（  ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知以为直径的圆O，C为弧的中点，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，的最小值为 ． 14．（2024·江苏无锡·三模）如图所示，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则等于 ． 15．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知：是的直径，是上一点，，垂足为，，交的延长线于点，延长交于点．求证：． 三、题型三：半圆（直径）所对的圆周角是直角 16．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，已知四边形中，，，，则 ． 17．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，内接于，是的直径，于点，连接，半径，连接，于点若，则的长为 ． 18．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，，分别是的直径和弦，于点，连接、，，，求的长． 19．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形内接于，D是弧的中点，延长到点E，使，连接，． (1)求证：． (2)若，求的半径， 20．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知：如图，在中，，以为直径的与边相交于点，，垂足为点E． (1)求证：点是的中点； (2)若，则的长______．（直接写答案） 21．（2024九年级上·江苏·专题练习）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径． (1)如图①，在损矩形中，，则该损矩形的直径是线段 ． (2)在图①中线段上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以点P为圆心的同一个圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．（尺规作图不要求写作法，但要保留作图痕迹） 22．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，C是以为直径的半圆O上的一点，平分交半圆O 于点D，交射线于点E (1)求证： (2)若，当时，四边形的面积为______ 23．（2024·江苏南京·三模）尺规作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图，已知直线同侧有两点，，在直线上确定一点，使得； (2)如图，已知直线同侧有两点，，在直线上确定一点，使得． 四、题型四：90度的圆周角所对的弦是直径 24．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心，直线、分别经过点、，且．若直线关于对称的直线为，直线关于对称的直线为，直线、交于点，则的最大值为 ． 25．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是 ． 26．（2024·江苏扬州·三模）如图，在直角坐标系中，，是上一点，B是y正半轴上一点，且，，垂足为，则的最小值为 ． 27．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）[学习心得] （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C、D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则______． [初步运用] （2）如图2，在四边形中，，，则______°； [方法迁移] （3）如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）①如图4①，已知矩形，，，M为边上的点，若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为______． ②如图4②，在中，，是边上的高，且，．求的长． 28．（2024·江苏泰州·三模）定理：直径所对的圆周角是直角． (1)写出此定理的逆命题； (2)判断此定理的逆命题是否为真命题，如果是真命题，请写出已知、求证并证明；如果不是真命题，请说明理由． 29．（2024·江苏淮安·一模）如图，在方格纸中，A、B、C三点在圆上，且均为格点，点F是圆与格线的交点，仅用无刻度的直尺按要求完成做图． (1)请在图①作出该圆的圆心O (2)请在图②优弧上确定一点P，使 30．（2024·江苏南京·二模）千姿百态的桥 问题：景区计划在半径为的人工湖上修建景观桥，为容纳更多游客赏景休闲，需要景观桥长度最大．现有以下三种设计方案，分别求出每种设计方案中桥长的最大值，景观桥的宽度忽略不计． “型” （1）如图①，若点，，，在上，则的最大值为　　； “型” （2）如图②，若点，，在上，且．求的最大值； “型” （3）如图③，若点，，在上，且，垂足为，则的最大值为　　． 五、题型五：已知圆内接四边形求角度 31．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形内接于，交的延长线于点，若平分，，，则的长为（    ）． A．2 B．3 C． D． 32．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，等边三角形中，为边上一动点，，垂足分别为则的最小值为 ． 33．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，连接，E为延长线上一点，且平分． (1)如图①，若，求证：为等边三角形； (2)如图②，若，求的半径． 34．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是等边的外接圆，P点是劣弧上的一个动点(不与点A，B 重合)． (1)求的度数； (2)若，，求的长； (3)若，点P在劣弧上运动的过程中， ①的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围． ②试探究的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围． 35．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知内接于圆．求证：四边形是矩形． 六、题型六：求四边形外接圆的直径 36．（22-23九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接作，垂足为F，连接．则长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 37．（22-23九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 38．（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知，如图，，点A，B为射线，上的动点，且，在的内部、的外部有一点P，且，，则线段的取范围 ． 39．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：    (1)如图1，点、、在上，点在外，线段、与交于点、，试猜想______（请填“”、“”或“”）， (2)如图2，点、、在上，点在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； (3)如图3，凸四边形中，对角线长为8，，，则四边形面积的最大值是______. 40．（22-23九年级上·江苏连云港·期中）定义：能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆． (1)如图①，线段，则线段的最小覆盖圆的半径为_________； (2)如图②，中，，，，请用尺规作图，作出的最小覆盖圆（保留作图痕迹，不写作法）．此最小覆盖圆的半径为_________； (3)如图③，矩形中，，，则矩形的最小覆盖圆的半径为_________；若用两个等圆完全覆盖该矩形，那么这两个等圆的最小半径为_________． 2 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题09 圆周角（六大题型，40题） 目录 题型一：圆周角定理 1 题型二：同弧或等弧所对的圆周角相等 15 题型三：半圆（直径）所对的圆周角是直角 19 题型四：90度的圆周角所对的弦是直径 29 题型五：已知圆内接四边形求角度 42 题型六：求四边形外接圆的直径 51 一、题型一：圆周角定理 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是弦，半径于点C，为直径，，线段长为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理、圆周角定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．先根据垂径定理求出的长，设的半径为，在中利用勾股定理求出的值，易得，连接，由是直径，根据圆周角定理得到，利用是的中位线得到，然后在中利用勾股定理可计算出． 【详解】解：连接，如图， 弦，， ， 设的半径， ， 在中， ， 解得：， ； ，， ， 是直径， ， 是的中位线， ， 在中，． 故选：D 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】延长交于点D，过点B作于点H，连接，先根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，得到，即，然后根据直径所对的圆周角是直角，得到，利用勾股定理求出的长，进一步求出和的长，再根据等腰三角形三线合一性质，得到，由此即得答案． 【详解】解：延长交于点D，过点B作于点H，连接， 和是圆周角所对的弧， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了圆弧的翻折，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关定理及性质是解答本题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，内接于，A为劣弧的中点，，为的直径，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系．先根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，接着根据圆周角定理得到，，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长． 【详解】解：为劣弧的中点， ， ， ， ， 为的直径， ，则 在中，， ∴， ． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）在中，直径，是圆上除外的一点，分别是的中点，是弦的中点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的三边关系，由圆周角定理可得，，即得，利用勾股定理可得，再根据三角形的三边关系得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，， ∵分别是的中点， ∴，， ∴，， ∵是直径， ∴， 即， ∴， ∵直径， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的直径，是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）连接．首先证明，推出即可解决问题； （2）连接，根据，只要求出即可． 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ，即， ，则垂直平分， ， ， ， ， ； （2）解：连接． ， ， ， 是的直径， ， ． 6．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的外接圆，平分并交于点，分别连接． (1)与相等吗？为什么？ (2)若弧的度数与弧的度数之比为，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理． （1）由角平分线的定义得到，由圆周角的定理得到，，根据三角形内角和定理结合平角的定义得，进而得到，推出，即可得出结论； （2）由（1）可知，根据，得到是周长的，即可求出，即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知， 弧的度数与弧的度数之比为，即， 是周长的， 弧的度数为，即， ． 7．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，为外接圆的直径，，垂足为点F，的平分线交于点E，连接，． (1)求证：； (2)请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以为半径的圆上？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)B，E，C三点在以D为圆心，以为半径的圆上．理由见解析 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）根据垂径定理求解即可； （2）由（1）知：，，由等弧所对的圆周角相等，得到，再结合角平分线的定义和三角形外角的性质，得出，从而推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵为直径，， ∴由垂径定理得：， ∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：， （2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上， 理由：由（1）知：， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴B，E，C三点在以D为圆心，以为半径的圆上． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，，是半圆上的两点，点是直径上一点，且满足，则称是的“相望角”，如图， (1)如图2，若弦，是弧上的一点，连接交于点，连接．求证：是的“相望角”； (2)如图3，若直径，弦，的“相望角”为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，垂直平分线的性质，圆周角定理，勾股定理等知识．熟练掌握考查了垂径定理，垂直平分线的性质，圆周角定理，勾股定理是解题的关键． （1）由直径，弦，可知垂直平分弦，则，由，可得，进而可得是的“相望角”； （2）由题意得，，由直径，弦，可得，，则，，如图1，记圆心为，连接，则，由，可得，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵直径，弦， ∴垂直平分弦， ∴， ∵， ∴， ∴是的“相望角”； （2）解：由题意知，是的“相望角”， ， ∴， ∵直径，弦， ∴，， ∴，， 如图1，记圆心为，连接，则，          ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为． 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，为的内接三角形，，，点为弧上一点，连接． (1)如图1，当时，垂足为，连接并延长分别交，于点． ①______； ②求证：． (2)如图，若与不垂直，过点作，垂足为，连接，如果，求线段的长． 【答案】(1)①；②见解析 (2)4 【分析】（1）①由垂径定理可得，由等腰三角形的性质可得，再由8字模型求解即可； ②连接，根据圆周角定理及等腰三角形的判定和性质证明即可； （2）连接，延长，过A作于D，根据圆周角定理可得平分，再根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ， ∵， ∴， ∵， ， ， ∴， 故答案为：； ②证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ． （2）解：连接，延长，过A作于D， ， ， ，， ， ， ， ， 平分， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】标题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 10．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）按照下列要求作出图形(不写作法，保留作图痕迹) (1)尺规作图：将图1中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．画出该轮的圆心； (2)如图2，矩形的顶点A在圆上，顶点B，C，D在圆内．请仅用无刻度的直尺画出图2中的圆心O． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，圆的对称性，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）尺规作、的垂直平分线交点即为圆心，再以为半径，圆心画圆即可把破轮子复原； （2）延长交圆于点H，延长交圆于点M、N，连接、并延长，交于点E，连接、交于点F，延长交圆于点G，连接，连接并延长，交于点O．理由为：由和圆周角定理可得，得到，结合可得，则，可得垂直平分弦，即过圆心，再由圆周角可得为直径，则与的交点即为圆心O． 【详解】（1）图1中的破轮子复原后图形及该轮的圆心如图： （2）圆心O如图： 二、题型二：同弧或等弧所对的圆周角相等 11．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点．连接，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，根据圆周角定理求出及的度数，进而可得出结论，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 12．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，中，是直径，是弦，若，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，由直径所对的圆周角为可得，从而得到，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出的度数． 【详解】解：是直径， ， ， ， ， ， 故选：C． 13．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知以为直径的圆O，C为弧的中点，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】以为斜边作等腰，则，连接，，，可求，可得点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的，当、、三点共线时，最小，，由，，即可求解． 【详解】解：如图所示，以为斜边作等腰，则，连接，，． ， 的直径为，C为的中点， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的， 当、、三点共线时，最小，， ， ， ； 的最小值为． 故答案：． 【点睛】本题考查了圆外一点到圆上一点的最小距离的典型线段最值问题，圆的基本性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，找出动点的运动轨迹是解题的关键． 14．（2024·江苏无锡·三模）如图所示，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则等于 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握圆周角的相关知识是解题关键．首先根据题意可得，，易知，进而可得，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵为的直径，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知：是的直径，是上一点，，垂足为，，交的延长线于点，延长交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，余角性质，等角对等边，由是的直径可得，进而由余角性质可得，又由得，即得，即，最后再利用余角性质得到，即可证得，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 三、题型三：半圆（直径）所对的圆周角是直角 16．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，已知四边形中，，，，则 ． 【答案】 【分析】以为圆心，长为半径作圆，延长交于，连接，在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解： ， 点，，在以为圆心，长为半径的同一个圆上，以为圆心，长为半径作圆，延长交于，连接， ， ， ，， 是的直径， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，解题的关键是作出以为圆心，长为半径的圆，构建直角三角形，从而求解． 17．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，内接于，是的直径，于点，连接，半径，连接，于点若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 根据垂径定理得到，由等腰三角形的性质得到，得到，求得，求得，于是得到，根据勾股定理即可得到结论 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，，分别是的直径和弦，于点，连接、，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是圆周角定理，垂径定理，勾股定理，能根据垂径定理求出的长是解答此题的关键．先根据圆周角定理得到，由勾股定理即可求出的长，再根据于点D可得出，再由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又∵，， ， 于点D， ∴， ∴． 19．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形内接于，D是弧的中点，延长到点E，使，连接，． (1)求证：． (2)若，求的半径， 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质； （1）根据圆内接四边形的性质得到，再证明即可得到； （2）连接并延长交于F，连接，则，根据已知条件得到，，求得，根据直角三角形的性质得到结论． 【详解】（1）证明：∵D是弧的中点， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴； （2）解：连接并延长交于F，连接， 则， ∵D是弧的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的半径． 20．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知：如图，在中，，以为直径的与边相交于点，，垂足为点E． (1)求证：点是的中点； (2)若，则的长______．（直接写答案） 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，正确添加辅助线是解决本题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理，由为直径得到，然后根据等腰三角形的性质得； （2）先由勾股定理求出，再由等积法求出即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， 为直径， ， ， ， ， 即点是的中点； （2）解：如图， ∵，为中点， ∴ ∵，， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 21．（2024九年级上·江苏·专题练习）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径． (1)如图①，在损矩形中，，则该损矩形的直径是线段 ． (2)在图①中线段上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以点P为圆心的同一个圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．（尺规作图不要求写作法，但要保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据损矩形直径的定义，可得答案； （2）作线段的垂直平分线，交于P，连接，以P为圆心，为半径作圆即可，根据直角三角形斜边上中线的性质可得答案． 【详解】（1）解：根据损矩形直径的定义，可得线段是损矩形的直径， 故答案为：； （2）解：如图，作线段的垂直平分线，交于P，连接，以P为圆心，为半径作圆即可， 点P为中点， ． ， ， ， 点A、B、C、D在以P为圆心，为半径的同一个圆上． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等知识，理解损矩形的定义是解题的关键． 22．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，C是以为直径的半圆O上的一点，平分交半圆O 于点D，交射线于点E (1)求证： (2)若，当时，四边形的面积为______ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，再根据角平分线的定义可得，即可得，由平行线的判定可得，证得四边形是平行四边形，进而证得四边形是菱形，即可得证； （2）由题意得，由圆周角定理可得，利用勾股定理求得，进而可得，，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形的性质及平行线的判定，根据已知条件适当添加辅助线是解题的关键． 23．（2024·江苏南京·三模）尺规作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图，已知直线同侧有两点，，在直线上确定一点，使得； (2)如图，已知直线同侧有两点，，在直线上确定一点，使得． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据轴对称的性质，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，即可获得答案； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于，以点为圆心，以为半径作圆；连接，作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，以为半径作圆，和交于点，连接，交于点，连接、，即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，点即为所求； ∵点、关于直线对称， ∴， 又∵， ∴； （2）如下图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，以点为圆心，以为半径作圆；连接，作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，以为半径作圆，和交于点，连接，交于点，连接、，则点即为所求． ∵点、关于直线对称， ∴，， ∵为直径， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了作图—复杂作图、轴对称的性质、对顶角、全等三角形的判定与性质、圆周角定理等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 四、题型四：90度的圆周角所对的弦是直径 24．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心，直线、分别经过点、，且．若直线关于对称的直线为，直线关于对称的直线为，直线、交于点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由坐标及勾股定理可得，再根据垂心的定义、轴对称、平行线的性质、直角三角形的性质可得；说明点P在以为直径的圆O上，C、O、P共线时最大；再根据内心的意义、等面积法确定点C的坐标，然后确定的长，最后求得的值即可． 【详解】解：∵，点， ∴， 如图：过C分别作的垂线，垂足为E、F、G， ∵点是的内心， ∴, ∵直线关于对称的直线为，直线关于对称的直线为，直线、交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即, ∴点P在以为直径的圆O上，C、O、P共线时最大， ∴，, ∵, ∴,即， ∴, ∴, ∴， ∴的最大值为为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了内心的定义、勾股定理、平行线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理等知识点，发现点P在以AB为直径的圆O上，C、O、P共线时最大成为解题的关键． 25．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及圆周角定理，得到线段为圆的直径是解答的关键．圆内接四边形中，相对的角互补，结合已知条件可求出的度数，从而判定为等腰直角三角形；根据勾股定理可得的值，进而得到圆的直径． 【详解】解：四边形是圆内接四边形， ， ， ， 又， ， ， 点的坐标为， ， ． ， 线段为圆的直径， 圆的直径为． 故答案为：． 26．（2024·江苏扬州·三模）如图，在直角坐标系中，，是上一点，B是y正半轴上一点，且，，垂足为，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，圆周角定理，点到圆上的最短距离，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． 过点作轴，交的延长线于点，利用判定出得到，再根据推出点的运动轨迹，取的中点，连接，用勾股定理求出的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，过点作轴，交的延长线于点， ∵， ∴． ∵，轴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴（ASA）， ∴， ∵， ∴点在以为直径的圆上， 取的中点，连接， ∴，， ∴当点三点共线时，有的最小值为； 故答案为：． 27．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）[学习心得] （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C、D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则______． [初步运用] （2）如图2，在四边形中，，，则______°； [方法迁移] （3）如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）①如图4①，已知矩形，，，M为边上的点，若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为______． ②如图4②，在中，，是边上的高，且，．求的长． 【答案】（1）；（2）25；（3）见解析；（4）①；② 【分析】（1）由圆周角定理可得出答案； （2）取的中点，连接、．由直角三角形的性质证明点、、、共圆，由圆的性质得出，则可得出答案； （3）作出等边三角形，再以O为圆心，为半径画圆，由圆周角定理可得圆与直线的交点即为点P； （4）①在上截取，连接，以为直径，由图形可知，由勾股定理求出和的长，则可得出答案； ②作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、．由圆周角定理及勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1）是的圆心角，是的圆周角，， ； 故答案为：； （2）如图2，取的中点，连接、． ， ，， ， 点、、、共圆， ， ， ． 故答案为：25； （3）作图如下： 由图知，；同理． （4）①．理由如下： 在上截取，连接，以为直径作，交于，交于，连接，过圆心作于且交圆于，过作的切线交于交于，如图所示： ， ， 的半径为，即， ∵， ， ， ， ， ，即， 故答案为：； ②如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、，则四边形是矩形， ∴． ， ． 在中，， ． ，为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，，， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、尺规作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质，垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 28．（2024·江苏泰州·三模）定理：直径所对的圆周角是直角． (1)写出此定理的逆命题； (2)判断此定理的逆命题是否为真命题，如果是真命题，请写出已知、求证并证明；如果不是真命题，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是真命题，见解析 【分析】（1）根据题意写逆命题即可； （2）先判断逆命题的真假，然后写已知、求证，根据圆周角定理证明即可． 【详解】（1）解：由题意知，此定理的逆命题为圆周角所对的弦为直径； （2）解：此定理的逆命题是真命题， 已知，如图，是的外接圆，，求证：是的直径． 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴三点共线， ∵是的外接圆， ∴是的直径． 【点睛】本题考查了逆命题，真命题，圆周角定理，圆周角所对的弦为直径等知识．熟练掌握逆命题，真命题，圆周角定理，圆周角所对的弦为直径是解题的关键． 29．（2024·江苏淮安·一模）如图，在方格纸中，A、B、C三点在圆上，且均为格点，点F是圆与格线的交点，仅用无刻度的直尺按要求完成做图． (1)请在图①作出该圆的圆心O (2)请在图②优弧上确定一点P，使 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查网格作图，圆周角定理推论，的圆周角所对弦是直径确定圆心； （1）取格点N，连接并延长与圆交于点M，得到，连接得到为直径，与格线的交点的交点即为圆心； （2）取圆与格线交点Q及格点R，连接并延长与圆交点即为所求点P，由得出． 【详解】（1）解：如图①所示的点O即为所求； （2）解：如图②所示的点P即为所求． 30．（2024·江苏南京·二模）千姿百态的桥 问题：景区计划在半径为的人工湖上修建景观桥，为容纳更多游客赏景休闲，需要景观桥长度最大．现有以下三种设计方案，分别求出每种设计方案中桥长的最大值，景观桥的宽度忽略不计． “型” （1）如图①，若点，，，在上，则的最大值为　　； “型” （2）如图②，若点，，在上，且．求的最大值； “型” （3）如图③，若点，，在上，且，垂足为，则的最大值为　　． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意得出，，即可得出结论； （2）连接，过点作于点，根据度的圆周角所对的弦是直径及勾股定理得，继而得到，再根据，得到，即可得出结论； （3）如图，过点作于点，延长交于点，连接，设，，得到，由垂径定理得，根据勾股定理得，即，由一元二次方程根的判别式得，继而得到，则，可得结论． 【详解】解：（1）∵点，，，在半径为的上， ∴，， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：； （2）连接，过点作于点， ∵，的半径为， ∴， ∴， ∵， 即当时，的面积取得最大值， ∴，即， ∴， ∴的最大值为； （3）如图，过点作于点，延长交于点，过点作于点，连接，，设，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，当点与点重合时，取“”， ∵， ， ∴， ∵，即， 整理，得：， ∴， 解得：， ∴， ∴ ， ∴的最大值为 故答案为：． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了弦与直径的关系，度的圆周角所对的弦是直径，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式等知识点．掌握圆的基本性质是解题的关键． 五、题型五：已知圆内接四边形求角度 31．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形内接于，交的延长线于点，若平分，，，则的长为（    ）． A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据圆内接四边形对角互补得到，根据得到结合角平分线得到，即可得到：，从而得到，结合勾股定理即可得到答案； 【详解】解：连接， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理及圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等知识，掌握这些知识是解题的关键． 32．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，等边三角形中，为边上一动点，，垂足分别为则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，取的中点O，连接，，过点O作于H，首先证明是顶角为的等腰三角形，当的值最小时，的值最小，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接，取的中点O，连接，，过点O作于H， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴C、D、P、E四点共圆， ∴， ∴当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可得，当时，，此时最小，， ∵，，   ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴的值最小为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了四点共圆、垂线段最短、圆周角定理、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；正确判断当时最小是解题的关键． 33．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，连接，E为延长线上一点，且平分． (1)如图①，若，求证：为等边三角形； (2)如图②，若，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查了角平分线的定义、圆内接四边形的性质、同弧所对圆周角相等、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂直平分线的性质，解本题的关键在正确作出辅助线和熟练掌握相关的性质定理． （1）利用圆的内接四边形的性质，圆的性质，角的平分线的意义，证明即可． （2）过点作于点，连接，根据（1）中，得出，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，再根据勾股定理和垂直平分线的性质，得出的长和垂直平分，进而得出圆心在的垂直平分线上，再设的半径为r，再根据勾股定理，列出方程，解出即可得出的半径． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：如图，过点作于点，连接， 由（1）知： ∴， ∵， ∴， ∴，垂直平分， ∵， ∴圆心在的垂直平分线上， ∴， 设的半径为r， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为． 34．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是等边的外接圆，P点是劣弧上的一个动点(不与点A，B 重合)． (1)求的度数； (2)若，，求的长； (3)若，点P在劣弧上运动的过程中， ①的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围． ②试探究的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围． 【答案】(1) (2)7 (3)①；②的值是定值96． 【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到，然后根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）延长到点F使，首先证明出是等边三角形，求出，然后证明出，即可得到； （3）①首先由（2）可得，，然后得到当点P和点A或点B重合时，的最小值为；当点P，O，C三点共线时，有最大值，然后画出图形，根据勾股定理求解即可； ②延长到点F使，过点A作，由（2）得，是等边三角形，得到，然后根据勾股定理求出，进一步得到，然后结合，代入得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形 ∴ ∵四边形内接于 ∴； （2）如图所示，延长到点F使， ∵ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在和中 ∴ ∴； （3）①由（2）可得， ∵点P在劣弧上运动 ∴当点P和点A或点B重合时，的长度最小，即或的长度 ∵是等边三角形 ∴ ∴的最小值为 ∴的最小值为； 当点P，O，C三点共线时，的长度最大，如图所示， ∴此时是的直径 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，负值舍去 ∴的最大值为8 ∴的最大值为8； ∴的值的取值范围是； ②如图所示，延长到点F使，过点A作 由（2）得，是等边三角形 ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ． ∴的值是定值96． 【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理和全等三角形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造等边三角形． 35．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知内接于圆．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，矩形的判定，由平行四边形的性质可得，又由圆内接四边形的性质可得，即得，据此即可求证，掌握平行四边形及圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵内接于圆， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 六、题型六：求四边形外接圆的直径 36．（22-23九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接作，垂足为F，连接．则长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】取的中点K，连接，根据即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，取的中点K，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的外接圆的半径为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴CF的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定的最小值是解决本题的关键． 37．（22-23九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，得出，，再根据勾股定理，得出，再根据正方形的性质，得出，进而得出的半径为，再根据圆的面积公式，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的半径为， ∴的面积为：． 故选：A 【点睛】本题考查了求正方形外接圆的直径、正方形的性质、勾股定理、圆的面积，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 38．（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知，如图，，点A，B为射线，上的动点，且，在的内部、的外部有一点P，且，，则线段的取范围 ． 【答案】 【分析】如图，由条件可以得出四点共圆，当是圆的直径时的值最大，当点与点或点重合时的值最小，通过解直角三角形就可以求出结论． 【详解】解：，， ， 四边形四点共圆． 当为直径时，最大， ． ， ，，， ， ． ， 在中，由勾股定理，得 ， ． ， ， ． 当点与顶重合时，最小．作于点．    ， ． ， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， ， 即． 的取值范围是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，垂径定理的性质的运用，勾股定理的运用，四点共圆定理的运用，解答时运用等腰三角形的性质及垂径定理求解是关键． 39．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：    (1)如图1，点、、在上，点在外，线段、与交于点、，试猜想______（请填“”、“”或“”）， (2)如图2，点、、在上，点在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； (3)如图3，凸四边形中，对角线长为8，，，则四边形面积的最大值是______. 【答案】(1) (2)不成立，，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据四边形为的内接四边形，推得，根据三角形的外角性质可得，即可求解； （2）延长交于点，连接，根据圆内接四边形的性质可得，根据三角形的外角性质可得，即可推得，即可证明； （3）根据四边形内角和可推得，得到四边形四点共圆，分别过点A、C作于点M，于点N，根据三角形的面积公式求得四边形的面积，结合圆的性质即可推得当A、M、N、C共线且为圆的直径时，四边形面积最大，连接、，根据圆周角定理可得，根据等边三角形的判定和性质可得，，即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图：    ∵四边形为的内接四边形， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； （2）解：（1）的结论不成立，理由： 延长交于点，连接，如图：    ∵四边形为的内接四边形， ∴， 在中，， ∴， 即， 故（1）的结论不成立． （3）解：∵，四边形的内角和为1， ∴， 即四边形四点共圆， 分别过点A、C作于点M，于点N，如图：    则四边形面积 故当A、M、N、C共线且为圆的直径时，四边形面积最大， 连接、， ∵， ∴， 又∵， 故为等边三角形， ∴， 则， 则四边形面积最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，三角形的外角性质，四边形内角和，三角形的面积公式，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，理解圆内接四边形的的性质是解题的关键． 40．（22-23九年级上·江苏连云港·期中）定义：能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆． (1)如图①，线段，则线段的最小覆盖圆的半径为_________； (2)如图②，中，，，，请用尺规作图，作出的最小覆盖圆（保留作图痕迹，不写作法）．此最小覆盖圆的半径为_________； (3)如图③，矩形中，，，则矩形的最小覆盖圆的半径为_________；若用两个等圆完全覆盖该矩形，那么这两个等圆的最小半径为_________． 【答案】(1) (2)作图见解析， (3)， 【分析】（1）根据最小覆盖圆的定义可知，当为圆的直径时，此圆即为最小覆盖圆； （2）根据最小覆盖圆的定义可知，直角三角形的最小覆盖圆即为该直角三角形的外接圆，据此求解即可； （3）根据最小覆盖圆的定义可知，矩形的外接圆即为最小覆盖圆，如图③所示，连接交于O，则点O即为矩形的外接圆圆心，利用勾股定理求出的长即可得到答案；如图④所示，分别取的中点G，H，连接交于E，连接交于F，连接，则四边形，四边形都是矩形，同理可得圆E和圆F分别是四边形，四边形的最小覆盖圆，同理求出即可． 【详解】（1）解：如图所示，∵， ∴（O为AB中点，）， ∴，当为圆的直径时，此圆即为最小覆盖圆， ∴线段的最小覆盖圆的半径为， 故答案为：； （2）解：由题意可知的最小覆盖圆即为的外接圆， 作线段的垂直平分线交于D，点D即为最小覆盖圆圆心， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴最小覆盖圆的半径为， 故答案为：； （3）解：由题意得，矩形的外接圆即为最小覆盖圆， 如图③所示，连接交于O， ∵四边形是矩形， ∴， ∴点O即为矩形的外接圆圆心， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的最小覆盖圆半径为； 如图④所示，分别取的中点G，H，连接交于E，连接交于F，连接，则四边形，四边形都是矩形， 同理可得圆E和圆F分别是四边形，四边形的最小覆盖圆， 在中，， ∴， ∴， ∴这两个等圆的最小半径为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆以及四边形的外接圆的相关知识，矩形的性质，勾股定理，正确理解最小覆盖圆的定义是解题的关键． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 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