专题08 确定圆的条件（重难点综合，30题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（苏科版）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题08 确定圆的条件（重难点综合，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个实数根，则该直角三角形外接圆的半径长为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·江苏无锡·一模）如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 连接，， 点是的中点， ， ， ， ， ， 点，，，在以为直径的圆上， ， 4．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，点E是的外心，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点F，G，再分别以F，G为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点H；以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点K．作射线BH，射线，与交于点D．连接，连接，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知是的外心，分别是、的中点，连接、交于点，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏徐州·一模）如图，，，，点在上运动，当最大时，则的长度是（    ） A．15 B．20 C． D． 7．（2024·江苏无锡·一模）下列命题中属于假命题的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．菱形的对角线互相垂直 C．三个角是直角的四边形是矩形 D．三点确定一个圆 8．（2024·江苏镇江·一模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 二、填空题 9．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 10．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是 ． 11．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在网格中，A，B，C，D，E，P均是格点，则的外心是点 ．    12．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知平面直角坐标系中的三个点分别为，则A、B、C这三个点 确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 13．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，边上的高，则周长的最小值为 ． 三、解答题 14．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，中，． (1)试用尺规作图法作出的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求出的半径． 15．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知，如图，和中，，，，点D是的外心，试判断四边形的形状，并说明理由． 16．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知点、是平面内两点，线段长度一定，在平面内作使得它过点、且半程长为（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的作图说明）． 17．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，点O为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） (1)该圆弧所在圆的圆心P的坐标为______； (2)根据（1）中的条件填空： ①的半径为______；（结果保留根号） ②点在______；（填“上”、“内”或“外”） ③连接，则的度数为______. 18．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知，，是的三边长，且． (1)求，，的值； (2)求外接圆的半径． 19．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，是的外接圆．    (1)请用圆规和无刻度的直尺画出，不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将痕迹加黑； (2)求的半径； (3)若在同一平面内的也经过、两点，且，请直接写出的半径的长． 20．（23-24九年级上·江苏南京·期中）尺规作图：作已知圆的一条直径． 要求：①保留作图痕迹；②用两种不同方法作图．    21．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，．    (1)尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹）； (2)求（1）中所作外接圆的半径． 22．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系中，、、    (1)在图中画出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的位置，并写出圆心的坐标__； (2)的半径为__； (3)点到上最近的点的距离为__． 23．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，平面直角坐标系中有4个点：，，，． (1)在正方形网格中画出的外接圆，圆心M的坐标是______； (2)若是的一条长为4的弦，点G为弦的中点，求的最大值； 24．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心O，并写出圆心坐标是______； (2)判断点与的位置关系，说明理由； (3)最小覆盖圆的半径为______． 25．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）． (1)在图1中作出的外心D； (2)图2中D是的中点，作出边上的点F（不与点B重合），使得． 26．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知，用圆规和无刻度的直尺画，使得．不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将痕迹加黑． 27．（2024·江苏常州·一模）如图，在中，，交的延长线于点C，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)运用无刻度的直尺和圆规画出的外接圆，且当，时，的外接圆半径为________． 28．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C． (1)请完成以下操作： ①以点为原点，垂直和水平方向为轴，网格边长为单位长，建立平面直角坐标系； ②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心，并连接、； (2)请在（1）的基础上，完成下列填空：的半径为 ；点在 ；（填“上”、“内”、“外”） 的度数为 ． 29．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)在图中利用直尺画出的外接圆的圆心点D，圆心D的坐标为 ； (2)求外接圆的面积； (3)若点E的坐标，点E在外接圆 ．（填“圆内”“圆上”或“圆外”） 30．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，平面直角坐标系中有一个．    (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是 ； (3)该圆圆心到弦的距离为 ； (4)最小覆盖圆的半径为 ． 8 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 1 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题08 确定圆的条件（重难点综合，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形外心，坐标与图形，垂直平分线的性质，首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心，解题的关键是正确理解三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点． 【详解】解：如图， ∵的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴分别作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心， 根据坐标可得：， 故选：B． 2．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个实数根，则该直角三角形外接圆的半径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解出一元二次方程，利用勾股定理求出斜边的长度，根据圆周角定理，直角三角形的斜边是外接圆的直径，即可得解． 【详解】解：， ， 解得，； 所以直角三角形的两条直角边为：3、4， 由勾股定理得：斜边长； 所以直角三角形的外接圆半径长为2.5， 故选D． 【点睛】本题考查求直角三角形的外接圆的半径．正确的求出一元二次方程的根，掌握直角三角形的斜边是外接圆的直径是解题的关键． 3．（2023·江苏无锡·一模）如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断出点，，，四点共圆，判断出的最大值为，再求出，然后根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图， 连接，， 点是的中点， ， ， ， ， ， 点，，，在以为直径的圆上， ， ∵， 在中，，， 根据勾股定理得， 故选A． 【点睛】此题主要考查了垂径定理，四点共圆，勾股定理，作出辅助线判断出点，，，四点共圆是解本题的关键． 4．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，点E是的外心，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点F，G，再分别以F，G为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点H；以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点K．作射线BH，射线，与交于点D．连接，连接，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作角平分线，等腰三角形性质，三角形内角和定理，根据作图得出平分，平分，进而得到平分，根据三角形外心得出，结合等腰三角形性质求出，利用三角形内角和定理即可求出最后结果． 【详解】解：如图，连接，， 根据作图可知，平分，平分， 平分， ， ， 点E是的外心， ， ，，， ， ， ， 故选：B． 5．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知是的外心，分别是、的中点，连接、交于点，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆和外心，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，考查了直角三角形的性质和勾股定理的逆定理，三角形的面积，连接，，由题意得出，，可证得，根据三角形的面积公式可得出答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】连接，，如图， ∵是的外心，、分别是、的中点， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， 故选：． 6．（2024·江苏徐州·一模）如图，，，，点在上运动，当最大时，则的长度是（    ） A．15 B．20 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三点共圆，切线的判定，含的直角三角形，勾股定理，解题的关键是正确的作图，理解当P运动到圆上时，最大；过的中点Q作于P，由含的直角三角形的性质，可推出三点共圆，可证与圆Q相切于P，进而推出此时最大，再由勾股定理求解即可； 【详解】过的中点Q作于P，则， Q是的中点，， ， ， ，， ， ， 三点在以Q为圆心的圆上， ， 与圆Q相切与P， 此时最大， 在中，， 故选：． 7．（2024·江苏无锡·一模）下列命题中属于假命题的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．菱形的对角线互相垂直 C．三个角是直角的四边形是矩形 D．三点确定一个圆 【答案】D 【分析】根据平行线的判定、菱形的性质、矩形的判定及确定圆的条件进行判断即可． 【详解】解：同位角相等，两直线平行是真命题，故A不符合题意； 菱形的对角线互相垂直是真命题，故B不符合题意； 三个角是直角的四边形是矩形是真命题，故C不符合题意； 三点确定一个圆是假命题，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查命题的真假判定、平行线的判定、菱形的性质、矩形的判定及确定圆的条件，熟练掌握相关定理是解题的关键． 8．（2024·江苏镇江·一模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，也考查了勾股定理．根据题意作出图形，得到点B和点C的位置，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，    ∵点O为的外心， ∴，点B和点C的位置如图所示， ∴， 故选：A． 二、填空题 9．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，圆的确定，根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点不在直线上，三个点确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：∵、， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴当时，平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆， 故答案为：4 10．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外心，线段垂直平分线的性质，两点之间距离公式，确定外心的性质是解题的关键． 先根据点坐标建立平面直角坐标系，由外心的性质得到点为与垂直平分线的交点，设，通过两点之间距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴建立如图所示平面直角坐标系， 则， 设外心为，连接， ∴点为与垂直平分线的交点， ∴点在直线上，， 设， 由得，， 解得：， ∴， 故答案为：． 11．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在网格中，A，B，C，D，E，P均是格点，则的外心是点 ．    【答案】P 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，熟练掌握三角形外心的性质是解题的关键． 由三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等进行判断即可． 【详解】解：由勾股定理可得，， ∴的外心是点P， 故答案为：P． 12．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知平面直角坐标系中的三个点分别为，则A、B、C这三个点 确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 【答案】可以 【分析】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．用待定系数法求一次函数解析式．先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征判断点C是否在直线上，然后根据确定圆的条件进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 把代入得， ， 解得，， 所以直线的解析式为， 当时，， 所以点不在直线上， 即点A、B、C不在同一条直线上， 所以过A、B、C这三个点能确定一个圆． 故答案为：可以 13．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，边上的高，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，过点O作于点J，交于点T．求出的最小值，可得结论． 【详解】解：如图，延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，连接，过点O作于点J，交于点T． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴最小时，的周长最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题 14．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，中，． (1)试用尺规作图法作出的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求出的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，做外接圆，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）做其中两条边的垂直平分线，以此交点为圆心，圆心到三角形任何一顶点的距离为半径作圆； （2）连接交于D，连接，先在三角形中求出的值，然后在三角形中，用半径表示，根据勾股定理求出半径． 【详解】（1）解：如图，分别作，的垂直平分线，交于点O，以O为圆心为半径画圆，即为所求； （2）如图，连接交于D，连接． ， ，． 在中， ， 设，则， 在中，由， 得， 解得． 15．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知，如图，和中，，，，点D是的外心，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】菱形；理由见解析 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质、三角形的外心的性质以及菱形的判定，掌握四条边都相等的四边形是菱形是解题的关键．根据，得到，根据全等三角形的判定定理得到，得到，根据三角形外心的性质得到，根据菱形的判定定理得到答案． 【详解】解：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点D是的外心， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形． 16．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知点、是平面内两点，线段长度一定，在平面内作使得它过点、且半程长为（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的作图说明）． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了作图，画圆，作线段垂直平分线，连接，作的垂直平分线，以点A为圆心线段a为半径画弧交于点O，再以点O为圆心线段为半径作圆即为所求． 【详解】解：如下图：即为所求： 17．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，点O为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） (1)该圆弧所在圆的圆心P的坐标为______； (2)根据（1）中的条件填空： ①的半径为______；（结果保留根号） ②点在______；（填“上”、“内”或“外”） ③连接，则的度数为______. 【答案】(1) (2)①；②外；③ 【分析】（1）可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，根据位置写出圆心坐标即可； （2）①利用勾股定理求出的长即可得到答案；②利用勾股定理求出点M到圆心的距离即可判断点和圆的位置关系；③利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即即可得到答案． 【详解】（1）解：作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示： （2）解：①由题意得，， ∵， ∴， ∴的半径为， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴在外， 故答案为：外； ③如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， 故答案为；. 【点睛】本题主要考查了确定三角形外接圆圆心的位置，坐标与图形，勾股定理和勾股定理的逆定理，点和圆的位置关系，准确确定圆心是解答此题的关键． 18．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知，，是的三边长，且． (1)求，，的值； (2)求外接圆的半径． 【答案】(1)，，； (2)外接圆的半径是． 【分析】（1）根据完全平方公式因式分解，进而根据非负数之和为0，即可求解； （2）先证明是直角三角形，再根据直角三角形外接圆的圆心即为斜边中点的特点即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ 即 ∴，，； （2）解：∵，，； ∴ ∴是直角三角形，且为斜边， 如图所示，取斜边上的中点，，则即为外接圆的半径    ∴ 【点睛】本题考查了因式分解的应用，勾股定理的逆定理，直角三角形的外接圆，熟练掌握以上知识是解题的关键． 19．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，是的外接圆．    (1)请用圆规和无刻度的直尺画出，不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将痕迹加黑； (2)求的半径； (3)若在同一平面内的也经过、两点，且，请直接写出的半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）分别作出两边的垂直平分线，交点即为圆心O； （2）过点作，垂足为，连接、，根据勾股定理即可求解； （3）分两种情况说明的半径的长． 【详解】（1）解：如图所示： （2）过点作，垂足为，连接、， ，， 垂直平分， ， 点在的垂直平分线上，即在上， ， ， 在中，，， ， 设，则． 在中，， ，即． 解得， 即的半径为； （3）当也经过、两点， 则设， ，则或， ， 或． 所以的半径的长为或． 【点睛】本题考查了尺规作图，三角形外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理，解决本题的关键是准确确定点的两个位置． 20．（23-24九年级上·江苏南京·期中）尺规作图：作已知圆的一条直径． 要求：①保留作图痕迹；②用两种不同方法作图．    【答案】见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 方法1：在圆上任取弦，作线段的垂直平分线，与圆分别交于点，，连接，根据垂径定理可知为已知圆的一条直径； 方法2：在圆上任取弦，过点作的垂线，交圆于点，连接，由圆周角定理可知为已知圆的一条直径． 【详解】解：如图所示，直径与即为所作．    21．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，．    (1)尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹）； (2)求（1）中所作外接圆的半径． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，是等腰三角形，作出边的中垂线，交点即为的外接圆圆心，连接圆心与的一个顶点，以这个线段长为半径作圆即可得到答案； （2）如图所示，由垂径定理可知于，且，再由勾股定理求出线段长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示：   即为所求； （2）解：如图所示：   于，且，， ， 在中，，则， 在中，，则， 设，则，即，解得， （1）中所作外接圆的半径． 【点睛】本题考查尺规作图及圆中求线段长，涉及中垂线尺规作图、圆的确定、垂径定理与勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键． 22．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系中，、、    (1)在图中画出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的位置，并写出圆心的坐标__； (2)的半径为__； (3)点到上最近的点的距离为__． 【答案】(1)见解析， (2) (3) 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，坐标与图形性质以及垂径定理，利用网格结构得到圆心M的坐标是解题的关键． （1）利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，利用垂径定理的推论可判断点为经过、、三点的圆的圆心； （2）利用两点间的距离公式计算出即可； （3）过点的半径可得到点到上最近的点，则点到上最近的点的距离为． 【详解】（1）如图，点为所作；点的坐标为；        故答案为：； （2），， ， 即的半径为， 故答案为：； （3）， 点到上最近的点的距离为． 故答案为：． 23．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，平面直角坐标系中有4个点：，，，． (1)在正方形网格中画出的外接圆，圆心M的坐标是______； (2)若是的一条长为4的弦，点G为弦的中点，求的最大值； 【答案】(1)见解析， (2)6 【分析】本题考查作图应用与设计，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）分别找出线段及线段的垂直平分线，它们的交点即为圆心，再画出的外接圆即可解决问题； （2）当点在线段延长线上时最大，此时， 【详解】（1）如图所示；； 故答案为． （2）连接，，，， 点为弦的中点，， ， ， ， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上， 当点在线段延长线上时最大，此时， ， 的最大值为； 24．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心O，并写出圆心坐标是______； (2)判断点与的位置关系，说明理由； (3)最小覆盖圆的半径为______． 【答案】(1)，图见解析 (2)点在圆外 (3) 【分析】（1）分别作边的垂直平分线，交点即为圆心O； （2）用勾股定理分别求出，，比较即可； （3）取中点P，连接，最小覆盖圆的半径为的长，用勾股定理求解即可． 【详解】（1） 分别作边的垂直平分线，相交于点 （2）∵， ∴ 由图可得： ∴ ∴ ∴点在圆外； （3）取中点P，连接， 最小覆盖圆的半径为的长， ∴ 【点睛】本题考查勾股定理，点与圆的位置关系，三角形的外接圆等，灵活运用所学知识是关键． 25．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）． (1)在图1中作出的外心D； (2)图2中D是的中点，作出边上的点F（不与点B重合），使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． （1）如图1中，分别作及的垂直平分线，相交于点D，点D即为所求． （2）如图2中，过点A作的垂线，垂足即为点F，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一亲，可得． 【详解】（1）如图1，点D即为的外心； （2）如图2，点F即为所作； 26．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知，用圆规和无刻度的直尺画，使得．不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将痕迹加黑． 【答案】见解析 【分析】本题考查确定圆弧的圆心，尺规作图，在上任取一点M，连接，，作线段，的垂直平分线，交点即为所在圆的圆心，令点C与点A重合，在圆周上取， 即为所求．解题的关键是找到已知弧所在圆的圆心． 【详解】解：如图，即为所求． 27．（2024·江苏常州·一模）如图，在中，，交的延长线于点C，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)运用无刻度的直尺和圆规画出的外接圆，且当，时，的外接圆半径为________． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析， 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键. （1）由“”可证 （2）分别作的垂直平分线，两条直线交于点，以点为圆心，长为半径画圆即可画出的外接圆，由勾股定理可求的长， 即可求解. 【详解】（1）)证明：， ， 又 ， 在 和 ， ， ； （2） ∵，， ∴， ， ∴， 的外接圆半径 ， 故答案为： 28．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C． (1)请完成以下操作： ①以点为原点，垂直和水平方向为轴，网格边长为单位长，建立平面直角坐标系； ②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心，并连接、； (2)请在（1）的基础上，完成下列填空：的半径为 ；点在 ；（填“上”、“内”、“外”） 的度数为 ． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，上，90° 【分析】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据题意建立平面直角坐标系即可；作两条弦的垂直平分线，垂直平分线的交点即为圆心． （2）利用勾股定理、点与圆的位置关系、先判断，即可判断； 【详解】（1）解：①平面直角坐标系如图所示： ②解：圆心点，如图所示； （2）解：的半径， 点到圆心的距离半径， 点在上． ，，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：，上，． 29．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)在图中利用直尺画出的外接圆的圆心点D，圆心D的坐标为 ； (2)求外接圆的面积； (3)若点E的坐标，点E在外接圆 ．（填“圆内”“圆上”或“圆外”） 【答案】(1) (2) (3)圆内 【分析】（1）作线段及线段的垂直平分线，交点即为圆心D；再根据D的位置可得其坐标； （2）连接，利用勾股定理求出，再根据面积公式计算即可； （3）利用勾股定理求出的长，由此判断即可． 【详解】（1）解：如图，作线段及线段的垂直平分线，交点即为圆心D； ∴； （2）解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴外接圆的面积为； （3）解：∵，， ∴， ∵半径，而， ∴点E在外接圆内； 【点睛】此题考查三角形外接圆的圆心的确定，勾股定理，点与圆的位置关系，圆的面积的计算，正确确定三角形外接圆的圆心是解题的关键． 30．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，平面直角坐标系中有一个．    (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是 ； (3)该圆圆心到弦的距离为 ； (4)最小覆盖圆的半径为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了三角形外心的性质，等腰三角形三线合一，勾股定理，熟练掌握以上知识点并利用数形结合思想是解题的关键． （1）根据三角形外心的性质，分别作与的垂直平分线，两直线相交于点，则点即是的外接圆的圆心； （2）根据（1）所求，可由坐标系直接得到答案； （3）取的中点，连接，根据等腰三角形三线合一可知，利用勾股定理求出即为所求； （4）利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：分别作与的垂直平分线，两直线相交于点，则点即是的外接圆的圆心，如图即为所求：    （2）解：由（1）可知，点坐标为 故答案为：． （3）解：取的中点，连接，如图，    则 该圆圆心到弦的距离为 故答案为：． （4）解：由图可知，最小覆盖圆的半径为长 如图所示，可知为所求，利用网格    故答案为：． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$