九年级数学期中模拟卷（深圳专用，北师大版九上第1～5章）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期期中模拟考试

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大九上第一章特殊平行四边形+第二章一元二次方程+第三章概率+第四章图形的 相似+第五章投影与视图。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共 24 分） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的） 1．笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是寓意“规矩方圆”的一方砚台， 它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从砚台上面看到的图形是一个正方形，正方形里面有一个不相切的圆， 故选：C． 2．下列方程中，关于 x 的一元二次方程是（ ） A． 2( 1) 2( 1)x x   B． 2 1 1 2 0 x x    C． 2 0ax bx c   D． 2 22 1x x x   【答案】A 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【详解】解：A、将方程 2( 1) 2( 1)x x   整理，得 2 1 0x   ，是一元二次方程，故本选项符合题意； B、方程 2 1 1 2 0 x x    不是整式方程，故本选项不符合题意； C、若 0a  ，则方程 2 0ax bx c   就不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、将方程 2 22 1x x x   ，整理得2 1 0x   ，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．根据下列表格中的对应值，可以判断关于 x的一元二次方程 2 0ax bx c   的一个解 x的范围是（ ） x 0 0.5 1 1.5 2 2ax bx c  15 8.75 2 5.25 13 A．0 0.5x  B．0.5 1x  C．1 1.5x  D．1.5 2x  【答案】C 【详解】解：根据表格得： 当 1x  时， 2 2 0ax bx c     ， 当 1.5x  时， 2 5.25 0ax bx c    ， 则关于 x的一元二次方程 2 0ax bx c   的一个解 x的范围是1 1.5x  ． 故选：C． 4．如图，已知直线a b c∥ ∥ ，直线m 、n 与a、b 、c分别交于点A 、C 、E 和 B 、D、F ， 4AC  ， 6CE  ， 3BD  ，DF  ( ) A．7 B．7.5 C．8 D．4.5 【答案】D 【详解】∵ a b c∥ ∥ ∴ AC BD CE DF  即： 4 3 = 6 DF 4.5DF  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 故选：D 5．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以点 O 为位似中心，把△AOB 放大到原来的 2 倍，得到 A OB △ ，若 点 B 的对应点B的坐标是（4，﹣2），则点 B 的坐标是（ ） A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1） 【答案】C 【详解】∵ 以点 O 为位似中心，把△ AOB 放大到原来的 2 倍，得到 A OB △ ，点 B 的对应点B的坐标是（4， −2）， ∴ 点 B 的横坐标为： 1 4 2 2         ，纵坐标为： 1 2 1 2         ，即点 B 的坐标为（−2，1），故 C 正确． 故选：C． 6．顺次连接矩形 ABCD各边中点所得四边形必定是（ ） A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．矩形 【答案】B 【详解】解：如图，连接 AC 、𝐵𝐷， E 、F 、G 、 H 分别是矩形 ABCD的𝐴𝐵、BC 、𝐶𝐷、𝐴𝐷边上的中点， EF GH   1 2 AC ，FG EH  1 2 𝐵𝐷（三角形的中位线等于第三边的一半）， 矩形 ABCD的对角线 AC BD ， EF GH FG EH    ， 四边形𝐸𝐹𝐺𝐻是菱形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 故选 B． 7．如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m），围成中间隔有一道篱笆的长方形 花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 上用其他材料做了宽为1m的两扇小门，若花圃的面积刚 好为 240m ，则此时花圃 AB 段的长为（ ）m． A．4 或 10 3 B． 10 3 C．4 D．10 【答案】C 【详解】解：设 AB x 米，则  20 3 2BC x   米， 依题意，得： 20 3 2 40x x  （ ） ， 整理，得： 23 22 40 0x x   ， 解得： 101 3x  ， 2 4x  ． 当 101 3x  时，20 3 2 12 11x    ，不合题意，舍去； 当 4x  时，20 3 2 10x   ，符合题意． 故选 C． 8．如图，正方形 ABCD中，点E 是CD边上一点，连结 BE ，以 BE 为对角线作正方形BGEF ，边EF 与正方 形 ABCD的对角线BD相交于点H ，连结 AF ，有以下结论：① ABF DBE  ；② ABF DBE ∽ ；③ AF BD ；④ 22BG BH BD  ，你认为其中正确的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】D 【详解】解： ∵① 正方形 ABCD和正方形BGEF ， ∴ ABD△ 和 FBE 都是等腰直角三角形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∴ 45ABD FBE    ，则 ABD DBF FBE DBF     ∴ ABF DBE  ； ∴ ①正确，符合题意； ∵② ABD△ 是等腰直角三角形，则 AD AB ， 90BAD   ∴ 2 2 2BD AB AD AD   ， FBE 都是等腰直角三角形，同理可得 2BE BF ∴ 2 2 AB BF BD BE   ， 又∵ ABF DBE  ， ∴ ABF DBE ∽ ， ∴ ②正确，符合题意； ∵③ ABF DBE ∽ ， ∴ 45FAB EDB     ，则 45BAF DAF   ， ∴ AF 平分 BAD ∴ AF BD ； ∴ ③正确，符合题意； ∵④ 45BEH EDB     ， EBH DBE  ， ∴ BEH BDE ∽ ， ∴ BE BH BD BE  ， ∴ 2BE BD BH  ， ∵ 2BE BF ，BF BG ， ∴ 22BG BD BH  ， ∴ ④正确，符合题意； 故选：D． 第二部分（非选择题 共 76 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 9．已知 2 3 a c b d   ，若 b+d≠0，则 a c b d   ＝ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 【答案】 2 3 【详解】设 a=2m，c=2n， ∵ 2 3 a c b d   ， ∴ b=3m，d=3n， ∴ a c b d   = 2m 2n 3m 3n   = 2 3 ， 故答案为： 2 3 10．若 1x ， 2x 是方程 2 6 2023 0x x   的两个实数根，则代数式 2 1 1 24 2x x x  的值等于 ． 【答案】2035 【详解】解：∵ 1x ， 2x 是方程 2 6 2023 0x x   的两个实数根， ∴ 1 2 6x x  ， 2 1 16 2023 0x x   ， ∴ 21 1 14 2 2023x x x   ， ∴ 21 1 2 1 24 2 2 2023 2x x x x x      1 22 2023x x   2 6 2023   2035 ． 故答案为：2035 11．如图，菱形 ABCD的边长为2.5cm， 60ABC  ，E，F分别是BC BD， 上的动点，且CE DF ，则 AE AF 的最小值为 ． 【答案】2.5 2cm / 5 2 2 厘米 【详解】解：如图, 连接 AC , 过点C 作CT CA , 使得 2.5CT AD  , 连接 AT . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 ∵ 四边形 ABCD是菱形, ∴ , 60AB CB CD AD ABC ADC        , 1 30 2 ADB ADC    ， ∴ ABC 是等边三角形, ∴ 60 , 2.5ACB AC AB cm     , ∵ AC CT , ∴ 30ECT   , ∴ ADF ECT  , ∵ ,CE DF CT DA  , ∴  SASADF ECT ≌ , ∴ AF ET , ∴ AE AF AE ET AT    , ∵ 90 , 2.5ACT AC CT cm     ,  2 2 2 22.5 2.5 2.5 2AT AC CT cm      ， 2.5 2AE AF cm   ， ∴ AE AF 的最小值为2.5 2cm． 故答案为：2.5 2cm . 12．在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的位置如右图所示，点 A 的坐标为（1，0），点 D 的坐标为（0， 2），延长 CB 交 x 轴于点 A1，作正方形 A1B1C1C，延长 C1B1 交 x 轴于点 A2，作正方形 A2B2C2C1，…按这样的规 律进行下去，第 n 个正方形的面积为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 【答案】 2 235 ( ) 2 n 【详解】解：设正方形的面积分别为 S1，S2…，Sn，根据题意， 得： ∥ ∥AD BC C1A2∥ C2B2，∴ ∠ BAA1＝ B∠ 1A1A2＝ B∠ 2A2A3（同位角相等）． ∵ ∠ ADO＋ DAO∠ ＝90°， DAO∠ ＋ BAA∠ 1＝90°， ∴ ∠ ADO＝ BAA∠ 1， 在直角△ ADO 中，根据勾股定理， 得：AD＝ 5 ， OA OD ＝ ， ∵ 1 BA AB ＝ OA OD ∴ BA1＝ AB＝ 5 2 ， ∴ CA1＝ 5 5 2  ， 同理，得：C1A2＝（ 5 5 2  ）×（1＋ ）， 由正方形的面积公式，得：S1＝（ 5 ） 2 ＝5， S2＝（ 5 ） 2×（1＋ ）2， S3＝（ 5 ）2×（1＋ ）4＝5×（ 3 2 ） 4 ， 由此，可得 Sn＝（ 5 ） 2×（1＋ ）2（n−1）＝5×（ 3 2 ） 2n−2 ． 故答案为： 2 2 3 5 2 n      ． 13.如图，正方形 ABCD和正方形 BEFG 的边长分别为 1 和 3，点 C 在边BG 上，线段DF 、EG 交于点 M， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 连接DE 、 BM ，则BM  ． 【答案】 5 【详解】如图，连接BD， BF ，则 90DBF  ， BDF 是直角三角形， BM 与 FM 关于GE 对称， BM FM  ， MBF MFB  ， 又 MBF MBD MFB MDB     ， MDB MBD   ， DM BM  ， M 是DF 的中点， Rt BDF  中， 1 2 BM DF ， 正方形 ABCD和正方形 BEFG 的边长分别为 1 和 3， 2BD  ， 3 2BF  ， 2 2 2 18 2 5DF BD BF      ， 5BM  ， 故答案为： 5 ． 三、解答题（本大题共 7 小题，满分 61 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8 分）解方程： (1) 2 2 3 0x x   （用配方法求解） (2)    1 2 1x x x  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 【详解】（1）解：移项，得 2 2 3x x  ，(1 分） 配方，得 2 2 1 4x x   ，(2 分） 即  21 4x   ，(3 分） 开方，得 1 2x    ， 解得 1 1x   ， 2 3x  ；(4 分） （2）解：移项，得    1 2 1 0x x x   ，(1 分） 则   1 2 0x x   ，(2 分） ∴ 1 0x   或 2 0x   ，(3 分） ∴ 1 1x  ， 2 2x  ．(4 分） 15．（7 分）如图，在网格图中（小正方形的边长为 1），⊿ABC 的三个顶点都在格点上． （1）把⊿ABC 沿着 x轴向右平移 6 个单位得到 1 1 1A B C△ ，请你画出 1 1 1A B C△ ； （2）请你以坐标系的原点O点为位似中心在第一象限内画出⊿ABC 的位似图形 2 2 2A B C△ ，使得⊿ABC 与 2 2 2A B C△ 的位似比为 1：2； （3）请你直接写出 2 2 2A B C△ 三个顶点的坐标． 【详解】解：（1）∵ A（-3，0），B（-3，-2），C（-1，-3）， ∴ 向右平移 6 个单位得到 1A （3，0）， 1B （3，-2）， 1C （5，-3）， 如图所示；（3 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 （2）∵ A（-3，0），B（-3，-2），C（-1，-3）， ∴ 位似变化得到 2A （6，0）， 2B （6，4）， 2C （2，6）， 如图所示；（6 分） （3） 2 2 2A B C△ 三个顶点的坐标分别为  2 6, 0A ，  2 6, 4B ，  2 2, 6C （7 分） 16．（7 分）小汤对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每 位同学只能选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图 1）， 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1) m  ________，热学对应的圆心角＝_________． (2)如图 2，当小汤随机闭合 A、B、C、D 这 4 个开关中任意 2 个时，请用树状图或列表法求出灯泡亮的概 率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 【详解】（1）解：调查人数为20 25% 80  （人）， ∴ 80 0 5 40.  m ， 热学对应的圆心角为 8 360 36 80   ， 故答案为：80，36； （2）解：画树状图，如图： （5 分） 由图知，一共有 12 种等可能的结果，其中能使灯泡亮的有 AD、BD、CD、DA、DB、DC ，共 6 种， ∴ 灯泡亮的概率为 6 1 12 2  ．（7 分） 17．（8 分）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的 旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在 2020 年春节长假期间，共接待游客达 20 万人次，预计在 2022 年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次． (1)求东部华侨城景区 2020 至 2022 年春节长假期间接待游客人次的平均增长率． (2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为 6 元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价 25 元，则平均每天可销售 300 杯，若每杯价格降低 1 元，则平均每天可多销售 30 杯，2022 年春节期间， 店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款 奶茶实现平均每天 6300 元的利润额？ 【详解】（1）解：设年平均增长率为 x，由题意得： 2( )20 1 28.8x  ，（1 分） 解得： 1 0.2 20%x   ， 2 2.2x   （舍）．（2 分） 答：年平均增长率为 20% ．（3 分） （2）解：设当每杯售价定为 y 元时，店家在此款奶茶实现平均每天 6300 元的利润额，由题意得： ( 6)[300 30(25 )] 6300y y    ，（4 分） 整理得： 2 41 420 0y y   ， 解得： 1 20y  ， 2 21y  ．（6 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 ∵ 售价不超过 20 元， ∴ 20y  ．（7 分） 答：当每杯售价定为 20 元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天 6300 元的 利润额．（8 分） 18．（8 分）如图，菱形 ABCD的对角线 AC 、BD相交于点O，过点D作DE AC∥ ，且 1 2 DE AC ，连接 AE 、 CE ． (1)求证：四边形OCED为矩形． (2)若菱形 ABCD中， 6DB  ， 8AC  ，求EF 的长． 【详解】（1）证明：∵ 四边形 ABCD是菱形， ∴ 1 , 2 AC BD AO OC AC   ， ∴ 90DOC  ， （1 分） ∵ 1 , 2 DE AC DE AC∥ ， ∴ .DE OC DE OC ∥ ， （2 分） ∴ 四边形OCED是平行四边形， （3 分） 又∵ 90DOC  ， ∴ 平行四边形OCED是矩形；（4 分） （2）解：∵ 四边形 ABCD是菱形， 6DB  ， 8AC  ， ∴ , 3, 4AC BD OB OD OA OC     ， （5 分） ∵ 平行四边形OCED是矩形； ∴ 3, 4CE OD DE OC    ， ∴ 2 2 2 23 8 73AE CE AC     ，（6 分） ∵ DE AC∥ ， ∴ DEF CAF∽△ △ ，（7 分） ∴ 4 1 8 2 EF DE AF AC    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 ∴ 73 3 EF  ．（8 分） 19．（11 分）【初步尝试】 （1）如图①，在三角形纸片 ABC 中， 90ACB  ，将 ABC 折叠，使点 B 与点C 重合，折痕为MN ，则 AM 与 BM 的数量关系为 ； 【思考说理】 （2）如图②，在三角形纸片 ABC 中， 6AC BC  ， 10AB  ，将 ABC 折叠，使点 B 与点C 重合，折痕 为MN ，求 AM BM 的值． 【拓展延伸】 （3）如图③，在三角形纸片 ABC 中， 9AB  ， 6BC  ， 2ACB A   ，将 ABC 沿过顶点C 的直线折叠， 使点 B 落在边 AC 上的点B处，折痕为CM ． ①求线段 AC 的长； ②若点O是边 AC 的中点，点 P 为线段OB上的一个动点，将 APM△ 沿PM 折叠得到 A PM ，点A 的对应 点为点 A， A M 与CP交于点F ，求 PF MF 的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 【详解】（1） AM BM ，理由如下： 由折叠的性质得： , 90CN BN CNM BNM      90ACB   90ACB BNM    //AC MN MN 是⊿ABC 的中位线 点 M 是 AB 的中点 则 AM BM 故答案为： AM BM ；（1 分） （2） 6AC BC  B A  由折叠的性质得： B MCN   MCN A  ，即 MCB A  在 BCM 和 BAC 中， MCB A B B       ∽BCM BAC  （2 分） BM BC BC AB   ，即 6 6 10 BM  解得 18 5 BM  （3 分） 18 32 10 5 5 AM AB BM      32 165 18 9 5 AM BM    ；（4 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 （3）①由折叠的性质得： 1 2 BCM ACM ACB     2ACB A   ，即 1 2 A ACB   BCM ACM A   AM CM  在 BCM 和 BAC 中， BCM A B B       ∽BCM BAC  （5 分） BM BC CM BC AB AC    ，即 6 6 9 BM CM AC   解得 4BM  （6 分） 9 4 5AM AB BM      5CM AM   6 5 9 AC   解得 15 2 AC  ；（7 分） ②如图，由折叠的性质可知， 6B C BC   ， A P AP  ， A A    15 3 6 2 2 AB AC B C       点 O 是边 AC 的中点 1 15 2 4 OA AC   15 3 9 4 2 4 OB OA AB       （8 分） 设B P x  ，则 3 2 A P AP AB B P x       点 P 为线段OB上的一个动点 0 B P OB   ，其中当点 P 与点B重合时， 0B P  ；当点 P 与点 O 重合时，B P OB  9 0 4 x   ,A A ACM A      A ACM  ，即 A FCM   在 A FP 和 CFM△ 中， A FCM A FP CFM         原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 ∽A FP CFM  （9 分） 3 3 12 5 10 5 xPF A P x MF CM       （10 分） 9 0 4 x  3 3 1 3 10 10 5 4 x    则 3 3 10 4 PF MF   ．（11 分） 20.（12 分）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图 1，在等边△ ABC 中，点 P 是边 BC 上任意一点，连接 AP，以 AP 为边作等边△ APQ， 连接 CQ．求证：BP  CQ； （2）变式探究：如图 2，在等腰△ ABC 中，ABBC，点 P 是边 BC 上任意一点，以 AP 为腰作等腰△ APQ，使 AP PQ，APQ ABC，连接 CQ．判断 ABC∠ 和 ACQ∠ 的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图 3，在正方形 ADBC 中，点 P 是边 BC 上一点，以 AP 为边作正方形 APEF，Q 是正方形 APEF 的中心，连接 CQ．若正方形 APEF 的边长为 6， 2 2CQ  ，求正方形 ADBC 的边长． 【详解】（1）证明：如图 1， ABC 与 APQ△ 都是等边三角形， 60BAC PAQ    ， 1 3 2 3     ， 1 2  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 又 AB AC ， AP AQ ， ABP ACQ   ，（1 分） BP CQ  ；（2 分） （2） ABC ACQ   ， 理由：如图 2，在⊿ABC 中， AB BC ， 180 2 ABC BAC     ， 在 PAQ△ 中，PA PQ ， 180 2 APQ PAQ     ， APQ ABC   ， BAC PAQ   ， ∽BAC PAQ  ，(2 分） BA PA AC AQ   ，（3 分） 又 1 3 BAC    ， 2 3 PAQ    ， 1 2  ， ∽ABP ACQ  ，（4 分） ∴ ABC ACQ   ；（5 分） （3）如图 3，连接 AB ， AQ ， 正方形 ADBC ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 2 AB AC   ， 45BAC  ，（6 分） 又 Q 为正方形 APEF 的中心， 2 AP AQ   ， 45PAQ  ，（7 分） 1 3 BAC    ， 2 3 PAQ    ， 1 2  ， AB AP AC AQ  ， ∽ABP ACQ  ，（8 分） 2 2 AC CQ AB BP    ， 2 2CQ  ， 4BP  ，（9 分） 设PC x ，则 4BC AC x   ， 在 Rt APC 中， 2 2 2AP AC PC  ，即 2 236 (4 )x x   ， 解得： 2 14x    ， （10 分） 0x  ， 2 14x    ，（11 分） 边长 4 2 14AC x    （12 分）. 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C D C B C D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9． 10．2035 11．/厘米 12． 13． 三、解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8分） 【详解】（1）解：移项，得，(1分） 配方，得，(2分） 即，(3分） 开方，得， 解得，；(4分） （2）解：移项，得，(1分） 则，(2分） ∴或，(3分） ∴，．(4分） 15．（7分） 【详解】解：（1）∵A（-3，0），B（-3，-2），C（-1，-3）， ∴向右平移6个单位得到 （3，0），（3，-2），（5，-3）， 如图所示；（3分） （2）∵A（-3，0），B（-3，-2），C（-1，-3）， ∴位似变化得到 （6，0），（6，4），（2，6）， 如图所示；（6分） （3）三个顶点的坐标分别为，，（7分） 16．（7分） 【详解】（1）解：调查人数为（人）， ∴， 热学对应的圆心角为， 故答案为：80，； （2）解：画树状图，如图： （5分） 由图知，一共有12种等可能的结果，其中能使灯泡亮的有、、、、、，共6种， ∴灯泡亮的概率为．（7分） 17．（8分） 【详解】（1）解：设年平均增长率为x，由题意得： ，（1分） 解得：，（舍）．（2分） 答：年平均增长率为．（3分） （2）解：设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得： ，（4分） 整理得：， 解得：，．（6分） ∵售价不超过20元， ∴．（7分） 答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．（8分） 18．（8分） 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， （1分） ∵， ∴， （2分） ∴四边形是平行四边形， （3分） 又∵， ∴平行四边形是矩形；（4分） （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴， （5分） ∵平行四边形是矩形； ∴， ∴，（6分） ∵， ∴，（7分） ∴， ∴．（8分） 19．（11分） 【详解】（1），理由如下： 由折叠的性质得： 是⊿ABC的中位线 点M是AB的中点 则 故答案为：；（1分） （2） 由折叠的性质得： ，即 在和中， （2分） ，即 解得（3分） ；（4分） （3）①由折叠的性质得： ，即 在和中， （5分） ，即 解得（6分） 解得；（7分） ②如图，由折叠的性质可知，，， 点O是边的中点 （8分） 设，则 点为线段上的一个动点 ，其中当点P与点重合时，；当点P与点O重合时， ，即 在和中， （9分） （10分） 则．（11分） 20.（12分） 【详解】（1）证明：如图1，与都是等边三角形， ， ， ． 又，， ，（1分） ；（2分） （2）， 理由：如图2，在⊿ABC中，， ， 在中，， ， ， ， ，(2分） ，（3分） 又，， ， ，（4分） ∴；（5分） （3）如图3，连接，， 正方形， ，，（6分） 又为正方形的中心， ，，（7分） ，， ， ， ，（8分） ， ， ，（9分） 设，则， 在中，，即， 解得：， （10分） ， ，（11分） 边长（12分）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大九上第一章特殊平行四边形+第二章一元二次方程+第三章概率+第四章图形的相似+第五章投影与视图。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共24分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是寓意“规矩方圆”的一方砚台，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 3．根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 4．如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，，，，(    ) A．7 B．7.5 C．8 D．4.5 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为位似中心，把△AOB放大到原来的2倍，得到，若点B的对应点的坐标是（4，﹣2），则点B的坐标是（　　） A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1） 6．顺次连接矩形各边中点所得四边形必定是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．矩形 7．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门，若花圃的面积刚好为，则此时花圃段的长为（    ）m． A．4或 B． C．4 D．10 8．如图，正方形中，点是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连结，有以下结论：①；②；③；④，你认为其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共76分） 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9．已知，若b+d≠0，则＝ ． 10．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 11．如图，菱形的边长为，，E，F分别是上的动点，且，则的最小值为 ．    12．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第n个正方形的面积为 ． 13.如图，正方形和正方形的边长分别为1和3，点C在边上，线段、交于点M，连接、，则 ． 三、解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8分）解方程： (1)（用配方法求解） (2) 15．（7分）如图，在网格图中（小正方形的边长为1），⊿ABC的三个顶点都在格点上． （1）把⊿ABC沿着轴向右平移6个单位得到，请你画出； （2）请你以坐标系的原点点为位似中心在第一象限内画出⊿ABC的位似图形，使得⊿ABC与的位似比为1：2； （3）请你直接写出三个顶点的坐标． 16．（7分）小汤对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学只能选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)________，热学对应的圆心角＝_________． (2)如图2，当小汤随机闭合A、B、C、D这4个开关中任意2个时，请用树状图或列表法求出灯泡亮的概率． 17．（8分）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次． (1)求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率． (2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 18．（8分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、．    (1)求证：四边形为矩形． (2)若菱形中，，，求的长． 19．（11分）【初步尝试】 （1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为 ； 【思考说理】 （2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为． ①求线段的长； ②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围． 20.（12分）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ．求证：BP CQ； （2）变式探究：如图2，在等腰△ABC中，ABBC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP PQ，APQ ABC，连接CQ．判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形 APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为6，，求正方形ADBC的边长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大九上第一章特殊平行四边形+第二章一元二次方程+第三章概率+第四章图形的相 似+第五章投影与视图。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共 24 分） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的） 1．笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是寓意“规矩方圆”的一方砚台， 它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 2．下列方程中，关于 x 的一元二次方程是（ ） A． 2( 1) 2( 1)x x   B． 2 1 1 2 0 x x    C． 2 0ax bx c   D． 2 22 1x x x   3．根据下列表格中的对应值，可以判断关于 x的一元二次方程 2 0ax bx c   的一个解 x的范围是（ ） x 0 0.5 1 1.5 2 2ax bx c  15 8.75 2 5.25 13 A．0 0.5x  B．0.5 1x  C．1 1.5x  D．1.5 2x  4．如图，已知直线a b c∥ ∥ ，直线m 、n 与a、b 、c分别交于点A 、C 、E 和 B 、D、F ， 4AC  ， 6CE  ， 3BD  ，DF  ( ) A．7 B．7.5 C．8 D．4.5 5．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以点 O 为位似中心，把△AOB 放大到原来的 2 倍，得到 A OB △ ， 若点 B 的对应点B的坐标是（4，﹣2），则点 B 的坐标是（ ） A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1） 6．顺次连接矩形 ABCD各边中点所得四边形必定是（ ） A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．矩形 7．如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m），围成中间隔有一道篱笆的长方形 花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 上用其他材料做了宽为1m的两扇小门，若花圃的面积刚 好为 240m ，则此时花圃 AB 段的长为（ ）m． A．4 或 10 3 B． 10 3 C．4 D．10 8．如图，正方形 ABCD中，点E 是CD边上一点，连结 BE ，以 BE 为对角线作正方形BGEF ，边EF 与正 方形 ABCD的对角线BD相交于点H ，连结 AF ，有以下结论：① ABF DBE  ；② ABF DBE ∽ ；③ AF BD ；④ 22BG BH BD  ，你认为其中正确的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 第二部分（非选择题 共 76 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 9．已知 2 3 a c b d   ，若 b+d≠0，则 a c b d   ＝ ． 10．若 1x ， 2x 是方程 2 6 2023 0x x   的两个实数根，则代数式 2 1 1 24 2x x x  的值等于 ． 11．如图，菱形 ABCD的边长为2.5cm， 60ABC  ，E，F 分别是BC BD， 上的动点，且CE DF ，则 AE AF 的最小值为 ． 12．在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的位置如右图所示，点 A 的坐标为（1，0），点 D 的坐标为（0， 2），延长 CB 交 x 轴于点 A1，作正方形 A1B1C1C，延长 C1B1 交 x 轴于点 A2，作正方形 A2B2C2C1，…按这样的 规律进行下去，第 n 个正方形的面积为 ． 13.如图，正方形 ABCD和正方形 BEFG 的边长分别为 1 和 3，点 C 在边 BG 上，线段DF 、EG 交于点 M， 连接DE 、 BM ，则BM  ． 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 三、解答题（本大题共 7 小题，满分 61 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8 分）解方程： (1) 2 2 3 0x x   （用配方法求解） (2)    1 2 1x x x  15．（7 分）如图，在网格图中（小正方形的边长为 1），⊿ABC 的三个顶点都在格点上． （1）把△ABC 沿着 x轴向右平移 6 个单位得到 1 1 1A B C△ ，请你画出 1 1 1A B C△ ； （2）请你以坐标系的原点O点为位似中心在第一象限内画出⊿ABC 的位似图形 2 2 2A B C△ ，使得△ABC 与 2 2 2A B C△ 的位似比为 1：2； （3）请你直接写出 2 2 2A B C△ 三个顶点的坐标． 16．（7 分）小汤对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查， 每位同学只能选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图 1）， 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1) m  ________，热学对应的圆心角＝_________． (2)如图 2，当小汤随机闭合 A、B、C、D 这 4 个开关中任意 2 个时，请用树状图或列表法求出灯泡亮的概 率． 17．（8 分）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的 旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在 2020 年春节长假期间，共接待游客达 20 万人次，预计在 2022 年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次． (1)求东部华侨城景区 2020 至 2022 年春节长假期间接待游客人次的平均增长率． (2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为 6 元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价 25 元，则平均每天可销售 300 杯，若每杯价格降低 1 元，则平均每天可多销售 30 杯，2022 年春节期间， 店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款 奶茶实现平均每天 6300 元的利润额？ 18．（8 分）如图，菱形 ABCD的对角线 AC 、BD相交于点O，过点D作DE AC∥ ，且 1 2 DE AC ，连接 AE 、CE ． (1)求证：四边形OCED为矩形． (2)若菱形 ABCD中， 6DB  ， 8AC  ，求EF 的长． 19．（11 分）【初步尝试】 （1）如图①，在三角形纸片 ABC 中， 90ACB  ，将 ABC 折叠，使点 B 与点C 重合，折痕为MN ，则 AM 与 BM 的数量关系为 ； 【思考说理】 （2）如图②，在三角形纸片 ABC 中， 6AC BC  ， 10AB  ，将 ABC 折叠，使点 B 与点C 重合，折痕 为MN ，求 AM BM 的值． 【拓展延伸】 （3）如图③，在三角形纸片 ABC 中， 9AB  ， 6BC  ， 2ACB A   ，将 ABC 沿过顶点C 的直线折叠， 使点 B 落在边 AC 上的点B处，折痕为CM ． ①求线段 AC 的长； ②若点O是边 AC 的中点，点 P 为线段OB上的一个动点，将 APM△ 沿PM 折叠得到 A PM ，点A 的对应 点为点 A， A M 与CP交于点F ，求 PF MF 的取值范围． 20.（12 分）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图 1，在等边△ ABC 中，点 P 是边 BC 上任意一点，连接 AP，以 AP 为边作等边△ APQ， 连接 CQ．求证：BP  CQ； （2）变式探究：如图 2，在等腰△ ABC 中，ABBC，点 P 是边 BC 上任意一点，以 AP 为腰作等腰△ APQ， 使 AP PQ，APQ ABC，连接 CQ．判断 ABC∠ 和 ACQ∠ 的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图 3，在正方形 ADBC 中，点 P 是边 BC 上一点，以 AP 为边作正方形 APEF，Q 是正方 形 APEF 的中心，连接 CQ．若正方形 APEF 的边长为 6， 2 2CQ  ，求正方形 ADBC 的边长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大九上第一章特殊平行四边形+第二章一元二次方程+第三章概率+第四章图形的 相似+第五章投影与视图。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共 24 分） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的） 1．笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是寓意“规矩方圆”的一方砚台， 它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 2．下列方程中，关于 x 的一元二次方程是（ ） A． 2( 1) 2( 1)x x   B． 2 1 1 2 0 x x    C． 2 0ax bx c   D． 2 22 1x x x   3．根据下列表格中的对应值，可以判断关于 x的一元二次方程 2 0ax bx c   的一个解 x的范围是（ ） x 0 0.5 1 1.5 2 2ax bx c  15 8.75 2 5.25 13 A．0 0.5x  B．0.5 1x  C．1 1.5x  D．1.5 2x  4．如图，已知直线a b c∥ ∥ ，直线m 、n 与a、b 、c分别交于点A 、C 、E 和 B 、D、F ， 4AC  ， 6CE  ， 3BD  ，DF  ( ) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．7 B．7.5 C．8 D．4.5 5．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以点 O 为位似中心，把△AOB 放大到原来的 2 倍，得到 A OB △ ，若 点 B 的对应点B的坐标是（4，﹣2），则点 B 的坐标是（ ） A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1） 6．顺次连接矩形 ABCD各边中点所得四边形必定是（ ） A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．矩形 7．如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m），围成中间隔有一道篱笆的长方形 花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 上用其他材料做了宽为1m的两扇小门，若花圃的面积刚 好为 240m ，则此时花圃 AB 段的长为（ ）m． A．4 或 10 3 B． 10 3 C．4 D．10 8．如图，正方形 ABCD中，点E 是CD边上一点，连结 BE ，以 BE 为对角线作正方形BGEF ，边EF 与正方 形 ABCD的对角线BD相交于点H ，连结 AF ，有以下结论：① ABF DBE  ；② ABF DBE ∽ ；③ AF BD ；④ 22BG BH BD  ，你认为其中正确的有（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 第二部分（非选择题 共 76 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 9．已知 2 3 a c b d   ，若 b+d≠0，则 a c b d   ＝ ． 10．若 1x ， 2x 是方程 2 6 2023 0x x   的两个实数根，则代数式 2 1 1 24 2x x x  的值等于 ． 11．如图，菱形 ABCD的边长为2.5cm， 60ABC  ，E，F分别是BC BD， 上的动点，且CE DF ，则 AE AF 的最小值为 ． 12．在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的位置如右图所示，点 A 的坐标为（1，0），点 D 的坐标为（0， 2），延长 CB 交 x 轴于点 A1，作正方形 A1B1C1C，延长 C1B1 交 x 轴于点 A2，作正方形 A2B2C2C1，…按这样的规 律进行下去，第 n 个正方形的面积为 ． 13.如图，正方形 ABCD和正方形 BEFG 的边长分别为 1 和 3，点 C 在边BG 上，线段DF 、EG 交于点 M， 连接DE 、 BM ，则BM  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 三、解答题（本大题共 7 小题，满分 61 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8 分）解方程： (1) 2 2 3 0x x   （用配方法求解） (2)    1 2 1x x x  15．（7 分）如图，在网格图中（小正方形的边长为 1），⊿ABC 的三个顶点都在格点上． （1）把⊿ABC 沿着 x轴向右平移 6 个单位得到 1 1 1A B C△ ，请你画出 1 1 1A B C△ ； （2）请你以坐标系的原点O点为位似中心在第一象限内画出⊿ABC 的位似图形 2 2 2A B C△ ，使得⊿ABC 与 2 2 2A B C△ 的位似比为 1：2； （3）请你直接写出 2 2 2A B C△ 三个顶点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 16．（7 分）小汤对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每 位同学只能选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图 1）， 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1) m  ________，热学对应的圆心角＝_________． (2)如图 2，当小汤随机闭合 A、B、C、D 这 4 个开关中任意 2 个时，请用树状图或列表法求出灯泡亮的概 率． 17．（8 分）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的 旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在 2020 年春节长假期间，共接待游客达 20 万人次，预计在 2022 年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次． (1)求东部华侨城景区 2020 至 2022 年春节长假期间接待游客人次的平均增长率． (2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为 6 元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价 25 元，则平均每天可销售 300 杯，若每杯价格降低 1 元，则平均每天可多销售 30 杯，2022 年春节期间， 店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款 奶茶实现平均每天 6300 元的利润额？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 18．（8 分）如图，菱形 ABCD的对角线 AC 、BD相交于点O，过点D作DE AC∥ ，且 1 2 DE AC ，连接 AE 、 CE ． (1)求证：四边形OCED为矩形． (2)若菱形 ABCD中， 6DB  ， 8AC  ，求EF 的长． 19．（11 分）【初步尝试】 （1）如图①，在三角形纸片 ABC 中， 90ACB  ，将 ABC 折叠，使点 B 与点C 重合，折痕为MN ，则 AM 与 BM 的数量关系为 ； 【思考说理】 （2）如图②，在三角形纸片 ABC 中， 6AC BC  ， 10AB  ，将 ABC 折叠，使点 B 与点C 重合，折痕 为MN ，求 AM BM 的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【拓展延伸】 （3）如图③，在三角形纸片 ABC 中， 9AB  ， 6BC  ， 2ACB A   ，将 ABC 沿过顶点C 的直线折叠， 使点 B 落在边 AC 上的点B处，折痕为CM ． ①求线段 AC 的长； ②若点O是边 AC 的中点，点 P 为线段OB上的一个动点，将 APM△ 沿PM 折叠得到 A PM ，点A 的对应 点为点 A， A M 与CP交于点F ，求 PF MF 的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 20.（12 分）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图 1，在等边△ ABC 中，点 P 是边 BC 上任意一点，连接 AP，以 AP 为边作等边△ APQ， 连接 CQ．求证：BP  CQ； （2）变式探究：如图 2，在等腰△ ABC 中，ABBC，点 P 是边 BC 上任意一点，以 AP 为腰作等腰△ APQ，使 AP PQ，APQ ABC，连接 CQ．判断 ABC∠ 和 ACQ∠ 的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图 3，在正方形 ADBC 中，点 P 是边 BC 上一点，以 AP 为边作正方形 APEF，Q 是正方形 APEF 的中心，连接 CQ．若正方形 APEF 的边长为 6， 2 2CQ  ，求正方形 ADBC 的边长． 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大九上第一章特殊平行四边形+第二章一元二次方程+第三章概率+第四章图形的相似+第五章投影与视图。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共24分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是寓意“规矩方圆”的一方砚台，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从砚台上面看到的图形是一个正方形，正方形里面有一个不相切的圆， 故选：C． 2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、将方程整理，得，是一元二次方程，故本选项符合题意； B、方程不是整式方程，故本选项不符合题意； C、若，则方程就不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、将方程，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据表格得： 当时，， 当时，， 则关于的一元二次方程的一个解的范围是． 故选：C． 4．如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，，，，(    ) A．7 B．7.5 C．8 D．4.5 【答案】D 【详解】∵ ∴ 即： 故选：D 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为位似中心，把△AOB放大到原来的2倍，得到，若点B的对应点的坐标是（4，﹣2），则点B的坐标是（　　） A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1） 【答案】C 【详解】∵以点O为位似中心，把△AOB放大到原来的2倍，得到，点B的对应点的坐标是（4，−2）， ∴点B的横坐标为：，纵坐标为：，即点B的坐标为（−2，1），故C正确． 故选：C． 6．顺次连接矩形各边中点所得四边形必定是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．矩形 【答案】B 【详解】解：如图，连接、， 、、、分别是矩形的、、、边上的中点， ，（三角形的中位线等于第三边的一半）， 矩形的对角线， ， 四边形是菱形． 故选B． 7．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门，若花圃的面积刚好为，则此时花圃段的长为（    ）m． A．4或 B． C．4 D．10 【答案】C 【详解】解：设米，则米， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 故选C． 8．如图，正方形中，点是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连结，有以下结论：①；②；③；④，你认为其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：①∵正方形和正方形， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，则 ∴； ∴①正确，符合题意； ②∵是等腰直角三角形，则， ∴， 都是等腰直角三角形，同理可得 ∴， 又∵， ∴， ∴②正确，符合题意； ③∵， ∴，则， ∴平分 ∴； ∴③正确，符合题意； ④∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴④正确，符合题意； 故选：D． 第二部分（非选择题 共76分） 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9．已知，若b+d≠0，则＝ ． 【答案】 【详解】设a=2m，c=2n， ∵， ∴b=3m，d=3n， ∴==， 故答案为： 10．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 【答案】2035 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为： 11．如图，菱形的边长为，，E，F分别是上的动点，且，则的最小值为 ．    【答案】/厘米 【详解】解：如图, 连接, 过点作, 使得, 连接.    ∵四边形是菱形, ∴, ， ∴是等边三角形, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∵, ， ， ∴的最小值为． 故答案为：. 12．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第n个正方形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：设正方形的面积分别为S1，S2…，Sn，根据题意， 得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，∴∠BAA1＝∠B1A1A2＝∠B2A2A3（同位角相等）． ∵∠ADO＋∠DAO＝90°，∠DAO＋∠BAA1＝90°， ∴∠ADO＝∠BAA1， 在直角△ADO中，根据勾股定理， 得：AD＝，＝， ∵＝ ∴BA1＝AB＝， ∴CA1＝， 同理，得：C1A2＝（）×（1＋）， 由正方形的面积公式，得：S1＝（）2＝5， S2＝（）2×（1＋）2， S3＝（）2×（1＋）4＝5×（）4， 由此，可得Sn＝（）2×（1＋）2（n−1）＝5×（）2n−2． 故答案为：． 13.如图，正方形和正方形的边长分别为1和3，点C在边上，线段、交于点M，连接、，则 ． 【答案】 【详解】如图，连接，，则， 是直角三角形， 与关于对称， ， ， 又， ， ， 是的中点， 中，， 正方形和正方形的边长分别为1和3， ，， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8分）解方程： (1)（用配方法求解） (2) 【详解】（1）解：移项，得，(1分） 配方，得，(2分） 即，(3分） 开方，得， 解得，；(4分） （2）解：移项，得，(1分） 则，(2分） ∴或，(3分） ∴，．(4分） 15．（7分）如图，在网格图中（小正方形的边长为1），⊿ABC的三个顶点都在格点上． （1）把⊿ABC沿着轴向右平移6个单位得到，请你画出； （2）请你以坐标系的原点点为位似中心在第一象限内画出⊿ABC的位似图形，使得⊿ABC与的位似比为1：2； （3）请你直接写出三个顶点的坐标． 【详解】解：（1）∵A（-3，0），B（-3，-2），C（-1，-3）， ∴向右平移6个单位得到 （3，0），（3，-2），（5，-3）， 如图所示；（3分） （2）∵A（-3，0），B（-3，-2），C（-1，-3）， ∴位似变化得到 （6，0），（6，4），（2，6）， 如图所示；（6分） （3）三个顶点的坐标分别为，，（7分） 16．（7分）小汤对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学只能选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)________，热学对应的圆心角＝_________． (2)如图2，当小汤随机闭合A、B、C、D这4个开关中任意2个时，请用树状图或列表法求出灯泡亮的概率． 【详解】（1）解：调查人数为（人）， ∴， 热学对应的圆心角为， 故答案为：80，； （2）解：画树状图，如图： （5分） 由图知，一共有12种等可能的结果，其中能使灯泡亮的有、、、、、，共6种， ∴灯泡亮的概率为．（7分） 17．（8分）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次． (1)求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率． (2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 【详解】（1）解：设年平均增长率为x，由题意得： ，（1分） 解得：，（舍）．（2分） 答：年平均增长率为．（3分） （2）解：设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得： ，（4分） 整理得：， 解得：，．（6分） ∵售价不超过20元， ∴．（7分） 答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．（8分） 18．（8分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、．    (1)求证：四边形为矩形． (2)若菱形中，，，求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， （1分） ∵， ∴， （2分） ∴四边形是平行四边形， （3分） 又∵， ∴平行四边形是矩形；（4分） （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴， （5分） ∵平行四边形是矩形； ∴， ∴，（6分） ∵， ∴，（7分） ∴， ∴．（8分） 19．（11分）【初步尝试】 （1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为 ； 【思考说理】 （2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为． ①求线段的长； ②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围． 【详解】（1），理由如下： 由折叠的性质得： 是⊿ABC的中位线 点M是AB的中点 则 故答案为：；（1分） （2） 由折叠的性质得： ，即 在和中， （2分） ，即 解得（3分） ；（4分） （3）①由折叠的性质得： ，即 在和中， （5分） ，即 解得（6分） 解得；（7分） ②如图，由折叠的性质可知，，， 点O是边的中点 （8分） 设，则 点为线段上的一个动点 ，其中当点P与点重合时，；当点P与点O重合时， ，即 在和中， （9分） （10分） 则．（11分） 20.（12分）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ．求证：BP CQ； （2）变式探究：如图2，在等腰△ABC中，ABBC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP PQ，APQ ABC，连接CQ．判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形 APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为6，，求正方形ADBC的边长． 【详解】（1）证明：如图1，与都是等边三角形， ， ， ． 又，， ，（1分） ；（2分） （2）， 理由：如图2，在⊿ABC中，， ， 在中，， ， ， ， ，(2分） ，（3分） 又，， ， ，（4分） ∴；（5分） （3）如图3，连接，， 正方形， ，，（6分） 又为正方形的中心， ，，（7分） ，， ， ， ，（8分） ， ， ，（9分） 设，则， 在中，，即， 解得：， （10分） ， ，（11分） 边长（12分）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期期中模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. _______________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 三、解答题（共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（7分） 17．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（11分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级上学期期中模拟卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 9. _______________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 三、解答题（共 61 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（7 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（7 分） 17．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（11 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大九上第一章特殊平行四边形+第二章一元二次方程+第三章概率+第四章图形的相似+第五章投影与视图。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共24分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是寓意“规矩方圆”的一方砚台，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 3．根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 4．如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，，，，(    ) A．7 B．7.5 C．8 D．4.5 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为位似中心，把△AOB放大到原来的2倍，得到，若点B的对应点的坐标是（4，﹣2），则点B的坐标是（　　） A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1） 6．顺次连接矩形各边中点所得四边形必定是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．矩形 7．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门，若花圃的面积刚好为，则此时花圃段的长为（    ）m． A．4或 B． C．4 D．10 8．如图，正方形中，点是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连结，有以下结论：①；②；③；④，你认为其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9．已知，若b+d≠0，则＝ ． 10．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 11．如图，菱形的边长为，，E，F分别是上的动点，且，则的最小值为 ．    12．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第n个正方形的面积为 ． 13.如图，正方形和正方形的边长分别为1和3，点C在边上，线段、交于点M，连接、，则 ． 三、解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8分）解方程： (1)（用配方法求解） (2) 15．（7分）如图，在网格图中（小正方形的边长为1），⊿ABC的三个顶点都在格点上． （1）把△ABC沿着轴向右平移6个单位得到，请你画出； （2）请你以坐标系的原点点为位似中心在第一象限内画出⊿ABC的位似图形，使得△ABC与的位似比为1：2； （3）请你直接写出三个顶点的坐标． 16．（7分）小汤对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学只能选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)________，热学对应的圆心角＝_________． (2)如图2，当小汤随机闭合A、B、C、D这4个开关中任意2个时，请用树状图或列表法求出灯泡亮的概率． 17．（8分）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次． (1)求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率． (2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 18．（8分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、．    (1)求证：四边形为矩形． (2)若菱形中，，，求的长． 19．（11分）【初步尝试】 （1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为 ； 【思考说理】 （2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为． ①求线段的长； ②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围． 20.（12分）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ．求证：BP CQ； （2）变式探究：如图2，在等腰△ABC中，ABBC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP PQ，APQ ABC，连接CQ．判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形 APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为6，，求正方形ADBC的边长． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$