八年级数学期中模拟卷（深圳专用，北师大版八上第1～4章）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期期中模拟考试

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年八年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大八上第一章勾股定理+第二章实数+第三章位置与坐标+第四章一次函数。 5．难度系数：0.70。 第一部分（选择题 共 24 分） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的） 1．在实数 5 ，3.14，0， 2  ， 22 7 ， 9 ，0.1616616661（两个 1 之间依次多一个 6）中，无理数的个数 是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：在实数 5 ，3.14，0， 2  ， 22 7 ， 9 ，0.1616616661（两个 1 之间依次多一个 6）中， 5 ， 2  ， 0.1616616661（两个 1 之间依次多一个 6）是无理数，共 3 个， 故选：C． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A． 12 B． 3a C． 1 5 D． 2 1a  【答案】D 【详解】解：A、 12 2 3 ， 12 不是最简二次根式，本选项不合题意； B、 3a a a ， 3a 不是最简二次根式，本选项不合题意； C、 1 5 5 5  ， 1 5 不是最简二次根式，本选项不合题意； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 D、 2 1a  是最简二次根式，本选项符合题意； 故选：D 3．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点 A处所表示的数为（ ） A． 5 B．1 5 C． 1 5  D． 1 5  【答案】B 【详解】解：根据勾股定理可得圆的半径为： 2 22 1 5  ，即点 A到表示 1 的点的距离为 5 ， ∵ 点 A在表示 1 的点的左侧， ∴ 点 A所表示的数为：1 5 ， 故选：B． 4．三角形 ABC 中， A ， B ， C 的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定三角形 ABC 为直角 三角形的是（ ） A． A B C ∠ ∠ ∠ B． : : 1:1: 2A B C    C． 2 2 2b a c  D． : : 1:1: 2a b c  【答案】D 【详解】A. A B C    ， 180A B C    ， 2 180A   ，∴ 90A  ， ABC 为直角三角形，不符合题意，故 A 错误； B. : : 1:1: 2A B C    ， A B  ， 2C A   ， 又∵ 180A B C    ， 2 180A A A     ， 45A  ， 2 90C A    ， ABC 为直角三角形，不符合题意，故 B 错误； C. 2 2 2b a c  ， ABC 是直角三角形，不符合题意，故 C 错误； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 D. : : 1:1: 2a b c  ， b a  ， 2c a ， 2 2 2a b c   ， ABC 不是直角三角形，符合题意，故 D 正确． 故选 D． 5．已知点 P的坐标为  2 ,3 6a a  ，且点 P到两坐标轴的距离相等，则点 P的坐标是（ ） A．  3,3 B．  3, 3 C．  6, 6 D．  3,3 或  6, 6 【答案】D 【详解】解：∵ 点  2 ,3 6a a  ，且点 P 到两坐标轴的距离相等， ∴ 2 3 6a a   ，即：2 3 6a a   或  2 3 6a a    ， 解得 1a   或 4a   ， 当 1a   时，2 3a  ，3 6 3a   ， 当 4a   时，2 6a  ，3 6 6a    ， ∴ 点 P的坐标为  3,3 或  6, 6 ． 故选：D． 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数 2y ax a  与 2y a x a  的图像可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 【详解】解：当 1x  时，两个函数的函数值： 2y a a  ，即两个图像都过点 21,a a ，故选项 A、C 不符 合题意； 当 0a  时， 2 0a  ，一次函数 2y ax a  经过一、二、三象限，一次函数 2y a x a  经过一、二、三象限， 都与 y 轴正半轴有交点，故选项 B 不符合题意； 当 0a  时， 2 0a  ，一次函数 2y ax a  经过一、二、四象限，与 y 轴正半轴有交点，一次函数 2y a x a  经 过一、三、四象限，与 y 轴负半轴有交点，故选项 D 符合题意． 故选：D． 7．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为 BAF 时，顶部边缘 B 处离桌面的高度BC为7cm ，此时底部边缘 A处与 C处间的距离 AC为24cm ，小组成员调整张角的大小继 续探究，最后发现当张角为 DAF 时（D是 B的对应点），顶部边缘 D处到桌面的距离DE为20cm ，则底 部边缘 A处与 E之间的距离 AE为（ ） A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm 【答案】A 【详解】解：依题意， 24, 7AC BC  ， 在Rt ABC△ 中， 2 2 25AB AC BC   ， ∵ AB AD 25 ， 20DE  , 在Rt ADE 中， 2 2 2 225 20 15AE AD DE     ， 故选：A． 8．如图，直线 4 8 3 y x   分别与 x，y轴交于点 A，B，点 C在线段OA上，将 BOC 沿BC翻折，点 O恰 好落在 AB边上的点 D处．则点 C的坐标为（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 A． 8 ,0 3       B． 5 ,0 3       C．  2 0， D．  3 0， 【答案】A 【详解】解：当 0x  时， 4 0 8 8 3 y      ， ∴ 点 B的坐标为  0 8， ， 8OB  ； 当 0y  时， 4 8 0 3 x   ， 解得： 6x  ， ∴ 点 A的坐标为  6 0， ， ∴ 6OA  ， 2 2 2 26 8 10AB OA OB      ． 由折叠的性质，可知： 90OC DC BDC BOC     ， ． 1 1 2 2ABC S AC OB AB CD    ，  8 6 10OC OC     ， 8 3 OC  ， ∴ 点 C的坐标为 8 0 3       ， ． 故选：A． 第二部分（非选择题 共 76 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 9． 81的算术平方根为 ． 【答案】3 【详解】 81 9 ，9 的算术平方根为3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6  81的算术平方根为3． 故答案为：3． 10．已知 x 是 7 的整数部分，y 是 7 的小数部分，则 xy 的值 ． 【答案】2 7 ﹣4 【详解】∵ x 是 7 的整数部分，2 7 3  ∴ x＝2， ∵ y 是 7 的小数部分， ∴ y＝ 7 ﹣2， ∴ yx＝2（ 7 ﹣2）＝2 7 ﹣4， 故答案为 2 7 ﹣4． 11．如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成， 1S ， 2S ， 3S ，S₄分别表示其对应正方 形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是 64，9，则 1 2 3 4S S S S   的值为 【答案】55 【详解】解：建立如图的数据， 由题意得 2 64a  ， 2 9e  ， 2 21S a b  ， 2 2 2S b c  ， 2 2 3S c d  ， 2 2 4S d e  ， ∴ 1 2 3 4S S S S        2 2 2 2 2 2 2 2a b b c c d d e        原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 2 2a e  64 9 55   ， 故答案为：55． 12．如图，已知等边 AOC△ 的边长为 1，作OD AC 于点 D，在 x轴上取点 1C ，使 1CC DC ，以 1CC 为边 作等边 1 1ACC△ ；作 1 1 1CD AC 于点 1D ，在 x轴上取点 2C ，使 1 2 1 1C C DC ，以 1 2C C 为边作等边 2 1 2A C C ；作 1 2 2 2C D A C 于点 2D ，在 x轴上取点 3C ，使 2 3 2 2C C D C ，以 2 3C C 为边作等边 3 2 3A C C△ ；…，且点 1 2 3, , ,A A A A ，… 都在第一象限，如此下去，则点 2023D 的坐标为 ． 【答案】 2026 2025 2025 2 5 3 , 2 2        【详解】∵ 等边 AOC△ 的边长为 1，作OD AC 于点 D， ∴ 1 1 1 1, 2 2 OC CC CD OC    ， ∴ 1 1 2 2 3 43 4 023 20 22, , ,, , ,OC CC C C C C C C C C 的长分别为 2 3 2024 1 1 1 1 1 , , , 2 2 2 , 2 ,  ， 2024 1 1 2 2 3 2023 2024 2 2024 2024 20251 1 1 1 2 2 2 2 2 1 OC OC CC C C C C C C             ， 等边 2024 2023 2024A C C 的顶点 2024A 的横坐标＝ 2025 2023 2024 2024 2023 1 12 2 31 2 2 2 2     ， 等边 2024 2023 2024A C C 的边 2024 2024A C 的中点 2023D 的横坐标为 2025 2024 2024 202 5 2026 203 2 2 3 2 2 5 2 1 1 2 2 2           ， 其纵坐标为 2025 2025 1 3 3 2 2   ， ∴ 2023D 的坐标为 2026 2025 2025 2 5 3 , 2 2        ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 故答案为： 2026 2025 2025 2 5 3 , 2 2        ． 13．数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当0 12x  时，求代数式  22 4 12 9x x    的最小 值”，其中 2 4x  可看作两直角边分别为 x 和 2 的Rt ACP 的斜边长，  212 9x  可看作两直角边分别是 12 x 和 3 的Rt BDP 的斜边长．于是将问题转化为求 AP BP 的最小值，如图所示，当 AP与BP共线时， AP BP 为最小．请你解决问题：当0 4x  时，则代数式  22 1 4 4x x    的最小值是 ． 【答案】5 【详解】解：依题意如图， 2 1x  可以可看作两直角边分别是 x和 1 的Rt ACP 的斜边长，  24 4x  ， 可以可看作两直角边分别是4 x 和 2 的Rt BDP 的斜边长， 故问题转化为求 AP BP 的最小值，连接 AB，则 AP BP 的最小值为 AB的长， ∴ 1AC  ， 2DB  ， 4CD  ，CP x ， 4PD x  ， ∴ 1 2 3 4AE BE   ， ， ∴ 2 2 2 23 4 5AB AE BE     ， 代数式  22 1 4 4x x    的最小值是 5． 故答案为：5． 三、解答题（本大题共 7 小题，满分 61 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8 分）计算： (1) 0 3(2023 ) | 3 1| 8 12     ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 (2) 2( 3 2)( 3 2) 6 3     ． 【详解】（1）解： 0 3(2023 ) | 3 1| 8 12     1 3 1 2 2 3     (2 分） 3 3 2  ；（4 分） （2）解： 2 ( 3 2)( 3 2) 6 3     2 2 2( 3) ( 2) 6 3     （1 分） 3 2 2   （3 分） 3 ．（4 分） 15．（7 分）已知 2x  的一个平方根是 2 ，2 1x y  的立方根是 3； (1)求 x y、 的值； (2)求 4y x 的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意，得：  2 32 2 , 2 1 3x x y      ， ∴ 2 4, 2 1 27x x y     ，（2 分） 解得： 2, 24x y  ；（4 分） （2）∵ 2, 24x y  ， ∴ 4 24 4 2 16 4y x      ，（6 分） ∴ 4y x 的算术平方根为 4 2 ．（7 分） 16．（7 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 顶点分别是  0,2A ，  2, 2B  ，  4, 1C  ． (1)在图中作出△ABC 关于 y 轴对称的 1 1 1A BC△ ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 (2)直接写出对称点坐标 1B ________， 1C ________； (3)在图中第一象限格点中找出点D，使 10AD  ，且同时 17CD  ．（无需计算过程，请把点画清楚一些） 【详解】（1）解：如图， 1 1 1A BC△ 即为所求； (2 分） （2）解：由（1）可得，  1 2, 2B   ，  1 4, 1C   ， 故答案为：  2, 2  ，  4, 1  ；（4 分） （3）解：如图，点D即为所求． 理由：由勾股定理可得， 2 21 3 10AD    （5 分）， 2 21 4 17CD    ，（6 分） 故点D为所要找的点．（7 分） 17．（8 分）如图，在三角形 ABC 中， 90ABC  ， 20AC  ， 12BC  ． (1)设点 P在线段 AB上，连接PC，若 PAC PCA   ，求 AP的长； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 (2)设点M在线段 AC上，若 MBC△ 是等腰三角形，求 AM 的长． 【详解】（1）解： 90ABC   ， 20cmAC  ， 12cmBC  ， 2 2 16cmAB AC BC    ，（1 分） PAC PCA   ， AP PC  ，（2 分） 设 AP PC x  ， 16PB x   ，  2 2 216 12x x    ，（3 分） 解得： 25 2 x  ， 25 2 AP  ；（4 分） （2）解： AM 的长为 8 或 10 或 28 5 ． 如图，当 12CB CM  时， 20 12 8AM AC CM     ； 如图，当BM CM 时， ∴ MBC MCB  ，（5 分） ∵ 90ABM MBC ABC    ， 90A ACB   ， ∴ A ABM   ， ∴ AM BM ， ∴ 1 10 2 AM BM CM AC    ；（6 分） 如图，当BC BM 时，过 B作BH AC 于点 H， 则 48 5 AB BC BH AC    ，（ 2 2 2 2 48 3612 5 5 CH BC BH           ，（7 分） 72 2 5 CM CH   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 72 28 20 5 5 AM AC CM      综上所述， AM 的长为 8 或 10 或 28 5 ．（8 分） 18．（10 分）综合与实践 【问题情境】 在平面直角坐标系中，有不重合的两点  1 1,A x y 和点  2 2,B x y ，若 1 2x x ，则 AB y∥ 轴，且线段 AB的长 度为 1 2y y ：若 1 2y y ，则 AB x∥ 轴，且线段 AB的长度为 1 2x x ． 【知识应用】 （1）若点  1,1A  ，  2,1B ，则 AB x∥ 轴， AB的长度为________； 【拓展延伸】 我们规定：平面直角坐标系中，任意不重合的两点  1 1,M x y ，  2 2,N x y 之间的折线距离为   1 2 1 2,d M N x x y y    ．例如：图 1 中，点  1,1M  与点  1, 2N  之间的折线距离为    , 1 1 1 2 2 3 5d M N          ． 【问题解决】 （2）如图 2，已知  2,0E ，若  1, 1F   ，则  ,d E F  ________； （3）如图 2，已知  2,0E ，  1,G t ，若  , 3d E G  ，则 t的值为________； （4）如图 3，已知  2,0E ，  0,2H ，点 P是 EOH△ 的边上一点，若  , 6d E P  ，求点 P的坐标． 【详解】解：（1） AB的长度为 1 2 3   ， 故答案为：3；（1 分） （2）∵  2,0E ，  1, 1F   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 ∴      , 2 1 0 1 4d E F        ； 故答案为：4；（2 分） （3）∵  2,0E ，  1,G t ，  , 3d E G  ， ∴ 2 1 0 3t    ， 解得∶ 2t   ， 故答案为：2 或 2 ；（3 分） （4）设点  ,P a b ， 当点 P在OH 上时， 0a  ，（4 分） ∵  2,0E ，  , 6d E P  ， ∴ 2 0 0 6b    ， 解得： 6 2b   或2 6 （舍去）， 此时点 P的坐标为  0, 6 2 ；（5 分） 当点 P在OE上时， 0b  ，（6 分） ∵  2,0E ，  , 6d E P  ， ∴ 2 0 0 6a    ， 解得： 2 6 2a    （舍去）或2 6 0  （舍去）；（7 分） 当点 P在HE上时， 设直线HE的解析式为 y kx n  ， 把点  2,0E ，  0,2H 代入得： 2 0 2 k n n     ， 解得： 1 2 k n     ， ∴ 直线HE的解析式为 2y x   ，（8 分） ∴ 2b a   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 ∴ 此时点 P的坐标为  , 2a a  ， ∵  2,0E ，  , 6d E P  ， ∴  2 0 2 6a a      ， 解得： 6 2 2 a    或 6 2 2  （舍去），（9 分） 此时点 P的坐标为 6 6 2, 2 2         ； 综上所述，点 P的坐标为  0, 6 2 或 6 62, 2 2         ．（10 分） 19．（10 分）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求 三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的 海伦公式    S p p a p b p c    （其中a b c， ， 为三角形的三边长， 2 a b c p    ，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式： 22 2 2 2 21 4 2 a b c S a b             其中三角形边长分别为a b c， ， ，三角形的面积为S． （1）利用材料 1 解决下面的问题：当 5 3 2 5a b c  ， ， 时，求这个三角形的面积？ （2）利用材料2解决下面的问题：已知 ABC 三条边的长度分别是    221 5 4 4x x x   ， ， ，记 ABC 的周长为 ABCC ． ①当 2x  时，请直接写出 ABC 中最长边的长度； ②若 x为整数，当 ABCC 取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC 的面积． 【详解】解：（1）∵ 5 3 2 5a b c  ， ， ， ∴ 5 3 2 5 3 5 3 2 2 p      ，（1 分） ∴ 3 5 3 3 5 3 3 5 3 3 5 3 5 3 2 5 2 2 2 2 S                                 ， 3 5 3 5 3 3 5 3 3 5 2 2 2 2         ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 3 5 3 3 5 3 5 3 3 5 2 2 2 2         ，    2 22 23 5 3 3 5 4 4     ， 36 4 4 4   ， 9 ， 3 ；（2 分） （2）①当 2x  时， 1 3x   ，  2 25 3 3x   ，    2 24 4 4 2 2x     ，(5 分） ∴ ⊿ABC 中最长边的长度为3；（6 分） ② ∵ 1 0x   ，4 0x  ， ∴ 1 4x   ，（7 分） ∵    24 4 4 4x x x      ，三角形的边为正数， ∴ 0x  ， ∴ 0 4x  ，（8 分） ∴  25 5x x   ，    24 4 4 4x x x      ， ∴    221 5 4 4ABCC x x x       ， 1 5x x x     ， 1 5x   ，（9 分） ∵ 1 5 ABC C x   ， 1 4x   ， x为整数， ∴ 当 4x  时，三边为 5 ，1，4 ， ∵ 5 1 4  ， ∴ 4x  不合题意，舍去， 当 3x  时，三边为2，2，3，符合题意，此时， ABCC 取最大值， ∴ 2a  ， 2b  ， 3c  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 ∴ 22 2 2 2 21 2 2 32 2 4 2 S               2 1 1 16 4 2            ， 1 1 16 4 4        ， 63 16  ， 3 7 4  ．（10 分） 20．（11 分）如图，点 (0, )A a ，点 ( , 0)B b 分别为 y 轴正半轴、 x轴负半轴上的点，以点 B为直角顶点在第二 象限作等腰Rt ABC△ ． (1)如图 1，若a、b满足    2 23 2 0a b    ，求点C的坐标； (2)在 x轴上是否存在点 P，使 PAB 是以 AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点 P的坐标；若不存 在，请说明理由． (3)如图 2，点M 在 AC上，点N 在CA的延长线上， 45MBN  ，探究线段CM 、AN和MN之间的关系， 并加以证明． 【详解】（1） 解：如图：过点C作CD x 轴于D． 2( 3) 2 0a b    ， 3a  ， 2b   ， （1 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 (0,3)A ， ( 2,0)B  ， 3AO  ， 2BO  ，（2 分） ∵ ⊿ABC 是等腰直角三角形， 90ABC  ， AB BC ， ABO CBD BAO ABO       ， BAO CBD   ， 在⊿AOB 和 BDC 中， 90AOB BDC     ， BAO CBD   ， AB BC ， (AAS)AOB BDC△ ≌△ ， (3 分） 3AO BD   ， 2BO CD  ， 5OD  ， ( 5,2)C  ；（4 分） （2）存在，求解如下： 设点 P的坐标为 ( ,0)m ，则    2 22 20 0 3 9AP m m      ， 2BP m  ∵ 3AO  ， 2BO  ， 90AOB   ∴ 2 2 13AB OA OB   ，（5 分） 当 AP AB 时，则 2 2AP AB ，得到  22 9 13m   ，解得 2m  或 2m   （不合题意，舍去） ∴ 此时点 P的坐标为 (2,0)；（6 分） 当 BP AB 时，，得到 2 13m   ，解得 2 13m    或 2 13m    ∴ 此时点 P的坐标为 ( 2 13,0)  或 ( 2 13,0)  ； 综上可知，点 P的坐标为 (2,0)或 ( 2 13,0)  或 ( 2 13,0)  ；（7 分） （3） 2 2 2AN CM MN  ，证明如下： 过点 B作 PB BN ，使BP BN ，连接PM 、PC． 45MBN   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 45PBM NBM    ， 在 PBM 和 NBM 中， BP BN ， 45PBM NBM    ，BM BM ， (SAS)PBM NBM ≌ ， （8 分） MP MN  ， BMP BMN   ， 90ABC PBN    ， PBC NBA   ， 在 PBC△ 和 NBA△ 中， BP BN ， PBC NBA   ， AB BC ， (SAS)PBC NBA ≌ ， （9 分） PC AN  ， 135PCB NAB    ， 45 90PCM PCB      ， 2 2 2PC CM PM   （10 分） 2 2 2AN CM MN   （11 分） 2024-2025学年八年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 C D B D D D A A 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．3 10．2﹣4 11．55 12． 13． 三、解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8分） 【详解】（1）解： (2分） ；（4分） （2）解： （1分） （3分） ．（4分） 15．（7分） 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴，（2分） 解得：；（4分） （2）∵， ∴，（6分） ∴的算术平方根为．（7分） 16．（7分） 【详解】（1）解：如图，即为所求； (2分） （2）解：由（）可得，，， 故答案为：，；（4分） （3）解：如图，点即为所求． 理由：由勾股定理可得，（5分），，（6分） 故点为所要找的点．（7分） 17．（8分） 【详解】（1）解：，， ， ，（1分） ， ，（2分） 设， ， ，（3分） 解得：， ；（4分） （2）解：的长为8或10或． 如图，当时，； 如图，当时， ∴，（5分） ∵，， ∴， ∴， ∴；（6分） 如图，当时，过B作于点H， 则，（ ，（7分） ， 综上所述，的长为8或10或．（8分） 18．（10分） 【详解】解：（1）的长度为， 故答案为：3；（1分） （2）∵，， ∴； 故答案为：4；（2分） （3）∵，，， ∴， 解得∶ ， 故答案为：2或；（3分） （4）设点， 当点P在上时，，（4分） ∵，， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点P的坐标为；（5分） 当点P在上时，，（6分） ∵，， ∴， 解得：（舍去）或（舍去）；（7分） 当点P在上时， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为，（8分） ∴， ∴此时点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：或（舍去），（9分） 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或．（10分） 19．（10分） 【详解】解：（）∵， ∴，（1分） ∴， ， ， ， ， ， ；（2分） （）当时， ，，，(5分） ∴⊿ABC中最长边的长度为；（6分） ∵，， ∴，（7分） ∵，三角形的边为正数， ∴， ∴，（8分） ∴，， ∴， ， ，（9分） ∵，，为整数， ∴当时，三边为，，， ∵， ∴不合题意，舍去， 当时，三边为，，，符合题意，此时，取最大值， ∴，，， ∴ ， ， ， ．（10分） 20．（11分） 【详解】（1） 解：如图：过点作轴于． ， ，， （1分） ，， ，，（2分） ∵⊿ABC是等腰直角三角形， ，， ， ， 在⊿AOB和中， ，，， ， (3分） ，， ， ；（4分） （2）存在，求解如下： 设点P的坐标为，则， ∵，， ∴，（5分） 当时，则，得到，解得或（不合题意，舍去） ∴此时点P的坐标为；（6分） 当时，，得到，解得或 ∴此时点P的坐标为或； 综上可知，点P的坐标为或或；（7分） （3），证明如下： 过点作，使，连接、． ， ， 在和中， ，，， ， （8分） ，， ， ， 在和中， ，，， ， （9分） ，， ， （10分） （11分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级上学期期中模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. _______________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 三、解答题（共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（7分） 17．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（11分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 6 页） 试题 第 2 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年八年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大八上第一章勾股定理+第二章实数+第三章位置与坐标+第四章一次函数。 5．难度系数：0.75。 第一部分（选择题 共 24 分） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的） 1．在实数 5 ，3.14，0， 2  ， 22 7 ， 9 ， 0.1616616661（两个 1 之间依次多一个 6）中，无理数的个 数是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A． 12 B． 3a C． 1 5 D． 2 1a  3．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点 A处所表示的数为（ ） A． 5 B．1 5 C． 1 5  D． 1 5  4．三角形 ABC 中， A ， B ， C 的对边分别记为a，b， c，由下列条件不能判定三角形 ABC 为直角 三角形的是（ ） A． A B C ∠ ∠ ∠ B． : : 1:1: 2A B C    C． 2 2 2b a c  D． : : 1:1: 2a b c  5．已知点 P的坐标为  2 ,3 6a a  ，且点 P到两坐标轴的距离相等，则点 P的坐标是（ ） A．  3,3 B．  3, 3 C．  6, 6 D．  3,3 或  6, 6 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数 2y ax a  与 2y a x a  的图像可能是（ ） A． B． C． D． 7．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为 BAF 时，顶部边缘 B 处离桌面的高度BC为7cm ，此时底部边缘 A处与 C处间的距离 AC为24cm ，小组成员调整张角的大小继 续探究，最后发现当张角为 DAF 时（D是 B的对应点），顶部边缘 D处到桌面的距离DE为20cm ，则底 部边缘 A处与 E之间的距离 AE为（ ） A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm 8．如图，直线 4 8 3 y x   分别与 x，y轴交于点 A，B，点 C在线段OA上，将 BOC 沿BC翻折，点 O恰 好落在 AB边上的点 D处．则点 C的坐标为（ ） A． 8 ,0 3       B． 5 ,0 3       C．  2 0， D．  3 0， 第二部分（非选择题 共 76 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 9． 81的算术平方根为 ． 10．已知 x 是 7 的整数部分，y 是 7 的小数部分，则 xy 的值 ． 11．如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成， 1S ， 2S ， 3S ，S₄分别表示其对应正方 形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是 64，9，则 1 2 3 4S S S S   的值为 试题 第 3 页（共 6 页） 试题 第 4 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 12．如图，已知等边 AOC△ 的边长为 1，作OD AC 于点 D，在 x轴上取点 1C ，使 1CC DC ，以 1CC 为 边作等边 1 1ACC△ ；作 1 1 1CD AC 于点 1D ，在 x轴上取点 2C ，使 1 2 1 1C C DC ，以 1 2C C 为边作等边 2 1 2A C C ； 作 1 2 2 2C D A C 于点 2D ，在 x轴上取点 3C ，使 2 3 2 2C C D C ，以 2 3C C 为边作等边 3 2 3A C C△ ；…，且点 1 2 3, , ,A A A A ，…都在第一象限，如此下去，则点 2023D 的坐标为 ． 13．数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当0 12x  时，求代数式  22 4 12 9x x    的最 小值”，其中 2 4x  可看作两直角边分别为 x 和 2 的Rt ACP 的斜边长，  212 9x  可看作两直角边分 别是12 x 和 3 的Rt BDP 的斜边长．于是将问题转化为求 AP BP 的最小值，如图所示，当 AP与BP共线 时， AP BP 为最小．请你解决问题：当0 4x  时，则代数式  22 1 4 4x x    的最小值是 ． 三、解答题（本大题共 7 小题，满分 61 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8 分）计算： (1) 0 3(2023 ) | 3 1| 8 12     ； (2) 2( 3 2)( 3 2) 6 3     ． 15．（7 分）已知 2x  的一个平方根是 2 ，2 1x y  的立方根是 3； (1)求 x y、 的值； (2)求 4y x 的算术平方根． 16．（7 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 顶点分别是  0,2A ，  2, 2B  ，  4, 1C  ． (1)在图中作出△ABC 关于 y 轴对称的 1 1 1A BC△ ； (2)直接写出对称点坐标 1B ________， 1C ________； (3)在图中第一象限格点中找出点D，使 10AD  ，且同时 17CD  ．（无需计算过程，请把点画清楚一些） 17．（8 分）如图，在三角形 ABC 中， 90ABC  ， 20AC  ， 12BC  ． (1)设点 P在线段 AB上，连接PC，若 PAC PCA   ，求 AP的长； (2)设点M在线段 AC上，若 MBC△ 是等腰三角形，求 AM 的长． 18．（10 分）综合与实践 【问题情境】 在平面直角坐标系中，有不重合的两点  1 1,A x y 和点  2 2,B x y ，若 1 2x x ，则 AB y∥ 轴，且线段 AB的长 度为 1 2y y ：若 1 2y y ，则 AB x∥ 轴，且线段 AB的长度为 1 2x x ． 【知识应用】 （1）若点  1,1A  ，  2,1B ，则 AB x∥ 轴， AB的长度为________； 试题 第 5 页（共 6 页） 试题 第 6 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … 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， ，三角形的面积为S． （1）利用材料 1 解决下面的问题：当 5 3 2 5a b c  ， ， 时，求这个三角形的面积？ （2）利用材料2解决下面的问题：已知 ABC 三条边的长度分别是    221 5 4 4x x x   ， ， ，记 ABC 的周长为 ABCC ． ①当 2x  时，请直接写出 ABC 中最长边的长度； ②若 x为整数，当 ABCC 取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC 的面积． 20．（11 分）如图，点 (0, )A a ，点 ( , 0)B b 分别为 y 轴正半轴、 x轴负半轴上的点，以点 B为直角顶点在第 二象限作等腰Rt ABC△ ． (1)如图 1，若a、b满足    2 23 2 0a b    ，求点C的坐标； (2)在 x轴上是否存在点 P，使 PAB 是以 AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点 P的坐标；若不存 在，请说明理由． (3)如图 2，点M 在 AC上，点N 在CA的延长线上， 45MBN  ，探究线段CM 、AN和MN之间的关系， 并加以证明． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年八年级上学期期中模拟卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 9. _______________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 三、解答题（共 61 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（7 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（7 分） 17．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（11 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年八年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大八上第一章勾股定理+第二章实数+第三章位置与坐标+第四章一次函数。 5．难度系数：0.70。 第一部分（选择题 共24分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，，，（两个1之间依次多一个6）是无理数，共3个， 故选：C． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，不是最简二次根式，本选项不合题意； B、，不是最简二次根式，本选项不合题意； C、，不是最简二次根式，本选项不合题意； D、是最简二次根式，本选项符合题意； 故选：D 3．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据勾股定理可得圆的半径为：，即点A到表示的点的距离为， ∵点A在表示1的点的左侧， ∴点A所表示的数为：， 故选：B． 4．三角形ABC中，，，的对边分别记为，，，由下列条件不能判定三角形ABC为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A.，， ，∴， 为直角三角形，不符合题意，故A错误； B.， ，， 又∵， ，， ， 为直角三角形，不符合题意，故B错误； C.， 是直角三角形，不符合题意，故C错误； D.， ，，， 不是直角三角形，符合题意，故D正确． 故选D． 5．已知点的坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：∵点，且点P到两坐标轴的距离相等， ∴，即：或， 解得或， 当时，，， 当时，，， ∴点的坐标为或． 故选：D． 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，两个函数的函数值：，即两个图像都过点，故选项A、C不符合题意； 当时，，一次函数经过一、二、三象限，一次函数经过一、二、三象限，都与轴正半轴有交点，故选项B不符合题意； 当时，，一次函数经过一、二、四象限，与轴正半轴有交点，一次函数经过一、三、四象限，与轴负半轴有交点，故选项D符合题意． 故选：D． 7．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意，， 在中，， ∵，, 在中，， 故选：A． 8．如图，直线分别与x，y轴交于点A，B，点C在线段上，将沿翻折，点O恰好落在边上的点D处．则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当时，， ∴点B的坐标为， ； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， ． 由折叠的性质，可知：． ， ， ， ∴点C的坐标为． 故选：A． 第二部分（非选择题 共76分） 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9．的算术平方根为 ． 【答案】 【详解】，9的算术平方根为 的算术平方根为． 故答案为：． 10．已知x是的整数部分，y是的小数部分，则xy的值 ． 【答案】2﹣4 【详解】∵x是的整数部分， ∴x＝2， ∵y是的小数部分， ∴y＝﹣2， ∴yx＝2（﹣2）＝2﹣4， 故答案为2﹣4． 11．如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为 【答案】55 【详解】解：建立如图的数据， 由题意得，，，，，， ∴ ， 故答案为：55． 12．如图，已知等边的边长为1，作于点D，在x轴上取点，使，以为边作等边；作于点，在x轴上取点，使，以为边作等边；作于点，在x轴上取点，使，以为边作等边；…，且点，…都在第一象限，如此下去，则点的坐标为 ．    【答案】 【详解】∵等边的边长为1，作于点D， ∴， ∴的长分别为， ， 等边的顶点的横坐标＝， 等边的边的中点的横坐标为， 其纵坐标为， ∴的坐标为． 故答案为：． 13．数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是 ． 【答案】5 【详解】解：依题意如图，可以可看作两直角边分别是x和1的的斜边长，，可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长， 故问题转化为求的最小值，连接，则的最小值为的长， ∴，，，，， ∴， ∴， 代数式的最小值是5． 故答案为：5． 三、解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8分）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： (2分） ；（4分） （2）解： （1分） （3分） ．（4分） 15．（7分）已知的一个平方根是，的立方根是3； (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴，（2分） 解得：；（4分） （2）∵， ∴，（6分） ∴的算术平方根为．（7分） 16．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点分别是，，． (1)在图中作出△ABC关于轴对称的； (2)直接写出对称点坐标________，________； (3)在图中第一象限格点中找出点，使，且同时．（无需计算过程，请把点画清楚一些） 【详解】（1）解：如图，即为所求； (2分） （2）解：由（）可得，，， 故答案为：，；（4分） （3）解：如图，点即为所求． 理由：由勾股定理可得，（5分），，（6分） 故点为所要找的点．（7分） 17．（8分）如图，在三角形ABC中，，，． (1)设点P在线段上，连接，若，求的长； (2)设点M在线段上，若是等腰三角形，求的长． 【详解】（1）解：，， ， ，（1分） ， ，（2分） 设， ， ，（3分） 解得：， ；（4分） （2）解：的长为8或10或． 如图，当时，； 如图，当时， ∴，（5分） ∵，， ∴， ∴， ∴；（6分） 如图，当时，过B作于点H， 则，（ ，（7分） ， 综上所述，的长为8或10或．（8分） 18．（10分）综合与实践 【问题情境】 在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，若，则轴，且线段的长度为：若，则轴，且线段的长度为． 【知识应用】 （1）若点，，则轴，的长度为________； 【拓展延伸】 我们规定：平面直角坐标系中，任意不重合的两点，之间的折线距离为．例如：图1中，点与点之间的折线距离为． 【问题解决】 （2）如图2，已知，若，则________； （3）如图2，已知，，若，则t的值为________； （4）如图3，已知，，点P是的边上一点，若，求点P的坐标． 【详解】解：（1）的长度为， 故答案为：3；（1分） （2）∵，， ∴； 故答案为：4；（2分） （3）∵，，， ∴， 解得∶ ， 故答案为：2或；（3分） （4）设点， 当点P在上时，，（4分） ∵，， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点P的坐标为；（5分） 当点P在上时，，（6分） ∵，， ∴， 解得：（舍去）或（舍去）；（7分） 当点P在上时， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为，（8分） ∴， ∴此时点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：或（舍去），（9分） 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或．（10分） 19．（10分）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料．古希腊的几何学家海伦（，约公元年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中为三角形的三边长，，为三角形的面积）． 材料．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：其中三角形边长分别为，三角形的面积为． （）利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积？ （）利用材料解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为． 当时，请直接写出中最长边的长度； 若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积． 【详解】解：（）∵， ∴，（1分） ∴， ， ， ， ， ， ；（2分） （）当时， ，，，(5分） ∴⊿ABC中最长边的长度为；（6分） ∵，， ∴，（7分） ∵，三角形的边为正数， ∴， ∴，（8分） ∴，， ∴， ， ，（9分） ∵，，为整数， ∴当时，三边为，，， ∵， ∴不合题意，舍去， 当时，三边为，，，符合题意，此时，取最大值， ∴，，， ∴ ， ， ， ．（10分） 20．（11分）如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰． (1)如图1，若、满足，求点的坐标； (2)在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点在上，点在的延长线上，，探究线段、和之间的关系，并加以证明． 【详解】（1） 解：如图：过点作轴于． ， ，， （1分） ，， ，，（2分） ∵⊿ABC是等腰直角三角形， ，， ， ， 在⊿AOB和中， ，，， ， (3分） ，， ， ；（4分） （2）存在，求解如下： 设点P的坐标为，则， ∵，， ∴，（5分） 当时，则，得到，解得或（不合题意，舍去） ∴此时点P的坐标为；（6分） 当时，，得到，解得或 ∴此时点P的坐标为或； 综上可知，点P的坐标为或或；（7分） （3），证明如下： 过点作，使，连接、． ， ， 在和中， ，，， ， （8分） ，， ， ， 在和中， ，，， ， （9分） ，， ， （10分） （11分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年八年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大八上第一章勾股定理+第二章实数+第三章位置与坐标+第四章一次函数。 5．难度系数：0.75。 第一部分（选择题 共24分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（   ） A． B． C． D． 4．三角形ABC中，，，的对边分别记为，，，由下列条件不能判定三角形ABC为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 5．已知点的坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（    ） A． B． C． D．或 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（    ） A． B． C． D． 7．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（    ） A． B． C． D． 8．如图，直线分别与x，y轴交于点A，B，点C在线段上，将沿翻折，点O恰好落在边上的点D处．则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9．的算术平方根为 ． 10．已知x是的整数部分，y是的小数部分，则xy的值 ． 11．如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为 12．如图，已知等边的边长为1，作于点D，在x轴上取点，使，以为边作等边；作于点，在x轴上取点，使，以为边作等边；作于点，在x轴上取点，使，以为边作等边；…，且点，…都在第一象限，如此下去，则点的坐标为 ．    13．数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是 ． 三、解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8分）计算： (1)； (2)． 15．（7分）已知的一个平方根是，的立方根是3； (1)求的值； (2)求的算术平方根． 16．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点分别是，，． (1)在图中作出△ABC关于轴对称的； (2)直接写出对称点坐标________，________； (3)在图中第一象限格点中找出点，使，且同时．（无需计算过程，请把点画清楚一些） 17．（8分）如图，在三角形ABC中，，，． (1)设点P在线段上，连接，若，求的长； (2)设点M在线段上，若是等腰三角形，求的长． 18．（10分）综合与实践 【问题情境】 在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，若，则轴，且线段的长度为：若，则轴，且线段的长度为． 【知识应用】 （1）若点，，则轴，的长度为________； 【拓展延伸】 我们规定：平面直角坐标系中，任意不重合的两点，之间的折线距离为．例如：图1中，点与点之间的折线距离为． 【问题解决】 （2）如图2，已知，若，则________； （3）如图2，已知，，若，则t的值为________； （4）如图3，已知，，点P是的边上一点，若，求点P的坐标． 19．（10分）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料．古希腊的几何学家海伦（，约公元年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中为三角形的三边长，，为三角形的面积）． 材料．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：其中三角形边长分别为，三角形的面积为． （）利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积？ （）利用材料解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为． 当时，请直接写出中最长边的长度； 若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积． 20．（11分）如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰． (1)如图1，若、满足，求点的坐标； (2)在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点在上，点在的延长线上，，探究线段、和之间的关系，并加以证明． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大八上第一章勾股定理+第二章实数+第三章位置与坐标+第四章一次函数。 5．难度系数：0.70。 第一部分（选择题 共24分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（   ） A． B． C． D． 4．三角形ABC中，，，的对边分别记为，，，由下列条件不能判定三角形ABC为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 5．已知点的坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（    ） A． B． C． D．或 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（    ） A． B． C． D． 7．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（    ） A． B． C． D． 8．如图，直线分别与x，y轴交于点A，B，点C在线段上，将沿翻折，点O恰好落在边上的点D处．则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共76分） 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9．的算术平方根为 ． 10．已知x是的整数部分，y是的小数部分，则xy的值 ． 11．如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为 12．如图，已知等边的边长为1，作于点D，在x轴上取点，使，以为边作等边；作于点，在x轴上取点，使，以为边作等边；作于点，在x轴上取点，使，以为边作等边；…，且点，…都在第一象限，如此下去，则点的坐标为 ．    13．数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是 ． 三、解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8分）计算： (1)； (2)． 15．（7分）已知的一个平方根是，的立方根是3； (1)求的值； (2)求的算术平方根． 16．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点分别是，，． (1)在图中作出△ABC关于轴对称的； (2)直接写出对称点坐标________，________； (3)在图中第一象限格点中找出点，使，且同时．（无需计算过程，请把点画清楚一些） 17．（8分）如图，在三角形ABC中，，，． (1)设点P在线段上，连接，若，求的长； (2)设点M在线段上，若是等腰三角形，求的长． 18．（10分）综合与实践 【问题情境】 在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，若，则轴，且线段的长度为：若，则轴，且线段的长度为． 【知识应用】 （1）若点，，则轴，的长度为________； 【拓展延伸】 我们规定：平面直角坐标系中，任意不重合的两点，之间的折线距离为．例如：图1中，点与点之间的折线距离为． 【问题解决】 （2）如图2，已知，若，则________； （3）如图2，已知，，若，则t的值为________； （4）如图3，已知，，点P是的边上一点，若，求点P的坐标． 19．（10分）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料．古希腊的几何学家海伦（，约公元年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中为三角形的三边长，，为三角形的面积）． 材料．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：其中三角形边长分别为，三角形的面积为． （）利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积？ （）利用材料解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为． 当时，请直接写出中最长边的长度； 若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积． 20．（11分）如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰． (1)如图1，若、满足，求点的坐标； (2)在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点在上，点在的延长线上，，探究线段、和之间的关系，并加以证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年八年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大八上第一章勾股定理+第二章实数+第三章位置与坐标+第四章一次函数。 5．难度系数：0.70。 第一部分（选择题 共 24 分） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的） 1．在实数 5 ，3.14，0， 2  ， 22 7 ， 9 ，0.1616616661（两个 1 之间依次多一个 6）中，无理数的个数 是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A． 12 B． 3a C． 1 5 D． 2 1a  3．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点 A处所表示的数为（ ） A． 5 B．1 5 C． 1 5  D． 1 5  4．三角形 ABC 中， A ， B ， C 的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定三角形 ABC 为直角 三角形的是（ ） A． A B C ∠ ∠ ∠ B． : : 1:1: 2A B C    C． 2 2 2b a c  D． : : 1:1: 2a b c  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 5．已知点 P的坐标为  2 ,3 6a a  ，且点 P到两坐标轴的距离相等，则点 P的坐标是（ ） A．  3,3 B．  3, 3 C．  6, 6 D．  3,3 或  6, 6 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数 2y ax a  与 2y a x a  的图像可能是（ ） A． B． C． D． 7．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为 BAF 时，顶部边缘 B 处离桌面的高度BC为7cm ，此时底部边缘 A处与 C处间的距离 AC为24cm ，小组成员调整张角的大小继 续探究，最后发现当张角为 DAF 时（D是 B的对应点），顶部边缘 D处到桌面的距离DE为20cm ，则底 部边缘 A处与 E之间的距离 AE为（ ） A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm 8．如图，直线 4 8 3 y x   分别与 x，y轴交于点 A，B，点 C在线段OA上，将 BOC 沿BC翻折，点 O恰 好落在 AB边上的点 D处．则点 C的坐标为（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 A． 8 ,0 3       B． 5 ,0 3       C．  2 0， D．  3 0， 第二部分（非选择题 共 76 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 9． 81的算术平方根为 ． 10．已知 x 是 7 的整数部分，y 是 7 的小数部分，则 xy 的值 ． 11．如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成， 1S ， 2S ， 3S ，S₄分别表示其对应正方 形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是 64，9，则 1 2 3 4S S S S   的值为 12．如图，已知等边 AOC△ 的边长为 1，作OD AC 于点 D，在 x轴上取点 1C ，使 1CC DC ，以 1CC 为边 作等边 1 1ACC△ ；作 1 1 1CD AC 于点 1D ，在 x轴上取点 2C ，使 1 2 1 1C C DC ，以 1 2C C 为边作等边 2 1 2A C C ；作 1 2 2 2C D A C 于点 2D ，在 x轴上取点 3C ，使 2 3 2 2C C D C ，以 2 3C C 为边作等边 3 2 3A C C△ ；…，且点 1 2 3, , ,A A A A ，… 都在第一象限，如此下去，则点 2023D 的坐标为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 13．数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当0 12x  时，求代数式  22 4 12 9x x    的最小 值”，其中 2 4x  可看作两直角边分别为 x 和 2 的Rt ACP 的斜边长，  212 9x  可看作两直角边分别是 12 x 和 3 的Rt BDP 的斜边长．于是将问题转化为求 AP BP 的最小值，如图所示，当 AP与BP共线时， AP BP 为最小．请你解决问题：当0 4x  时，则代数式  22 1 4 4x x    的最小值是 ． 三、解答题（本大题共 7 小题，满分 61 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8 分）计算： (1) 0 3(2023 ) | 3 1| 8 12     ； (2) 2( 3 2)( 3 2) 6 3     ． 15．（7 分）已知 2x  的一个平方根是 2 ，2 1x y  的立方根是 3； (1)求 x y、 的值； (2)求 4y x 的算术平方根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 16．（7 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 顶点分别是  0,2A ，  2, 2B  ，  4, 1C  ． (1)在图中作出△ABC 关于 y 轴对称的 1 1 1A BC△ ； (2)直接写出对称点坐标 1B ________， 1C ________； (3)在图中第一象限格点中找出点D，使 10AD  ，且同时 17CD  ．（无需计算过程，请把点画清楚一些） 17．（8 分）如图，在三角形 ABC 中， 90ABC  ， 20AC  ， 12BC  ． (1)设点 P在线段 AB上，连接PC，若 PAC PCA   ，求 AP的长； (2)设点M在线段 AC上，若 MBC△ 是等腰三角形，求 AM 的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 18．（10 分）综合与实践 【问题情境】 在平面直角坐标系中，有不重合的两点  1 1,A x y 和点  2 2,B x y ，若 1 2x x ，则 AB y∥ 轴，且线段 AB的长 度为 1 2y y ：若 1 2y y ，则 AB x∥ 轴，且线段 AB的长度为 1 2x x ． 【知识应用】 （1）若点  1,1A  ，  2,1B ，则 AB x∥ 轴， AB的长度为________； 【拓展延伸】 我们规定：平面直角坐标系中，任意不重合的两点  1 1,M x y ，  2 2,N x y 之间的折线距离为   1 2 1 2,d M N x x y y    ．例如：图 1 中，点  1,1M  与点  1, 2N  之间的折线距离为    , 1 1 1 2 2 3 5d M N          ． 【问题解决】 （2）如图 2，已知  2,0E ，若  1, 1F   ，则  ,d E F  ________； （3）如图 2，已知  2,0E ，  1,G t ，若  , 3d E G  ，则 t的值为________； （4）如图 3，已知  2,0E ，  0,2H ，点 P是 EOH△ 的边上一点，若  , 6d E P  ，求点 P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 19．（10 分）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求 三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的 海伦公式    S p p a p b p c    （其中a b c， ， 为三角形的三边长， 2 a b c p    ，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式： 22 2 2 2 21 4 2 a b c S a b             其中三角形边长分别为a b c， ， ，三角形的面积为S． （1）利用材料 1 解决下面的问题：当 5 3 2 5a b c  ， ， 时，求这个三角形的面积？ （2）利用材料2解决下面的问题：已知 ABC 三条边的长度分别是    221 5 4 4x x x   ， ， ，记 ABC 的周长为 ABCC ． ①当 2x  时，请直接写出 ABC 中最长边的长度； ②若 x为整数，当 ABCC 取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC 的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 20．（11 分）如图，点 (0, )A a ，点 ( , 0)B b 分别为 y 轴正半轴、 x轴负半轴上的点，以点 B为直角顶点在第二 象限作等腰Rt ABC△ ． (1)如图 1，若a、b满足    2 23 2 0a b    ，求点C的坐标； (2)在 x轴上是否存在点 P，使 PAB 是以 AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点 P的坐标；若不存 在，请说明理由． (3)如图 2，点M 在 AC上，点N 在CA的延长线上， 45MBN  ，探究线段CM 、AN和MN之间的关系， 并加以证明．