2.3 等腰三角形-【提分教练】2024-2025学年八年级数学上册同步精导优化与设计方案（湘教版）

第2章三角形 2.3等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 N0.1☑课前自主预习写根是，特机格、落实友孩 4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 知识点1等腰三角形的边角性质：等边对 36°，则该等腰三角形的底角的度数为 等角 1.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,若以点B 知识点2等腰三角形的轴对称性：“三线合一” 为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点 5.如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC的中 E,则下列结论一定正确的是 () 点，∠BAD=35°，则∠C的度数为() A.35° B.45 A.AE=EC B.AE=BE C.55 D.60 C.∠EBC=∠BACD.∠EBC=∠ABE 2.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别 6.如图，在△ABC中，AB=AC,点D是BC 在边BC和AC上，若AD=AE,则下列结 边的中点，点E在AD上，那么下列结论不 论错误的是 ( 一定正确的是 () A.∠ADB=∠ACB+∠CAD B.∠ADE=∠AED A.AD⊥BC B.∠EBC=∠ECB C.∠CDE-2∠BAD C.∠ABE=∠ACED.AE=BE 7.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E在BC D.∠AED=2∠ECD 上，连接AD,AE,如果只添加一个条件使 3.如图所示，点D是△ABC的边AC上一点 ∠DAB=∠EAC,则添加的条件不能为 (不含端点)，AD=BD,则下列结论正确的 是 A.AC>BC B.AC=BC A.BD=CE B.AD-AE C.∠A>∠ABC D.∠A=∠ABC C.DA=DE D.BE=CD 57 书者雪甲，。月，里至有￥ 数学八年级上册 知识点3等边三角形的性质 N02课堂巩固训练恭基做、，方法、能力提升 8.下列性质中，等边三角形具有且等腰三角形 考查角度1利用等腰三角形等边对等角求 也具有的是 () 角的度数 A.三条边相等 B.三个内角相等 13.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC, C.有三条对称轴 D.是轴对称图形 ∠A=20°.ED⊥AB,垂足为D,AD=BD,ED 9.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边 交AC于点E,连接BE,求∠EBC的度数， 上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为() A.25 B.60 C.85 D.95 10.如图，直线l∥m∥n,等边△ABC的顶点 B、C分别在直线n和m上，边BC与直线 n所夹锐角为28°，则∠α的度数为() 考查角度2 构造“三线合一”的基本图形证 线段关系（构造法】 A.28 B.30 14.如图，点D,E在△ABC的边BC上，AB C.32 D.45 AC,AD=AE.求证：BD=CE. 11.如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分 线，△ADE是等边三角形，下列结论： ①AD⊥BC:②EF=FD:③BE=BD.其中 正确结论的个数为 () A.3 B.2 C.1 D.0 易错点 求等腰三角形的角时易出现漏解的错误 12.已知等腰三角形的一个外角等于110°，这 个等腰三角形的一个底角的度数为() A.40° B.55 C.70 D.55或70° 58 事写。。m1m重重年0■0。。。多001 第2章三角形 NO3课后提升训练练技巧、技等向、冲制满分 拔尖角度2利用等腰三角形的等边对等角 解边角关系 拔尖角度1利用等边三角形的性质解决与 16.如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形， 正方形相关的问题 点A,D,E在同一直线上，连接BE.若 15.如图，已知四边形ABCD是正方形， ∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED △PAD是等边三角形，求∠BPC的度数. =50 (1)求证：AD=BE: (2)求∠AEB的度数. 59 。年。。，。￥ 数学八年级上册 第2课时 等腰三角形的判定 ND.1课前自主顶习5械双、特能搭、落实点裤 5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平 分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB 知识点1等腰三角形的判定 于点M,交AC于点N,若BM+CN=9,则 1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判 线段MN的长为 定△ABC是等腰三角形的是 () A.∠A=50°，∠B=709 B.∠A=70°，∠B=40° C.∠A=30°，∠B=90 A.6 B.7 D.∠A=80°，∠B=60 C.8 D.9 2.如图，∠B=∠C=36°，∠ADE=∠AED= 6.如果一个三角形的一条内角平分线垂直于 72°，则图中的等腰三角形有 ( 对边，那么这个三角形一定是 () A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 知识点2等边三角形的判定 A.3个 B.4个 7.等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为 C.5个 D.6个 等边三角形的是 () 3.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,ED∥ A.有一个内角是60 BC.已知AB=3,AD=1,则△AED的周长 B.有一个外角是120 为 ( ) C.有两个角相等 D.腰与底边相等 8.如图，△ABC是等边三角形，D,E,F为各 边中点，则图中共有等边三角形 () A.2 B.3 C.4 D.5 4.如图，在△ABC中，AB=AC,BD是AC边 上的高，CE是AB边上的高，它们相交于点 O,则图中除△ABC外一定是等腰三角形的 A.2个 B.3个 是 () C.4个 D.5个 9.下列三角形： ①有两个角等于60°的三角形： ②有一个角等于60°的等腰三角形： ③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都 相等的三角形： A.△ABD B.△ACE ④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰 C.△OBC D.△OCD 三角形. 60 重0里g年用g。，多e 第2章三角形 其中是等边三角形的有 ( N02课堂巩固训练恭基做、，方法，能力提升 A.①②③ B.①②④ 考查角度1利用等腰三角形的判定方法证 C.①③④ D.①②③④ 等腰三角形 10.如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB,且 13.如图，AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为 OP=2.若点M,N分别在OA,OB上，且 点D,DE∥AC.求证：△BDE是等腰三 △PMN为等边三角形，则满足上述条件 角形 的△PMN有 A.1个 B.2个 C.3个 D.3个以上 11.在△ABC中，∠A=60°，∠B= 时，△ABC是等边三角形. 易错点不能正确运用等腰三角形的性质及 判定 12.如图，在△ABC中，D,E是BC边上的两 点，且BD=CE,AD=AE.试说明：∠B= 考查角度2利用等边三角形的性质和判定 ∠C,∠BAD=∠CAE. 进行相关计算 14.如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别 在边BC,AC上，且DE∥AB,过点E作 EF⊥DE,交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数： (2)若CD=2,求DF的长. 61 ,,,,1 数学八年级上册 NO3课后提升训练练技巧、技等向、冲制满分 拔尖角度2利用等腰三角形证线段的和差 关系（轴对称构造法） 拔尖角度1利用等腰三角形证线段相等（平 16.如图，已知在△ABC中，AB=AC,∠A= 行线构造法) 100°，BE平分∠ABC交AC于点E 15.如图，在△ABC中，AB=AC,EF交AB (1)求证：BC=BE+AE: 于点E,交AC的延长线于点F,交BC于 (2)探究：若∠A=108°，其他条件不变，那 点D,且BE=CF.求证：DE=DF 么BC等于哪两条线段长的和呢？试说明 理由. 62 重国0。g里目年。年8g。金。17.解：(1)①②③；④⑤ .∠1+∠B=90°. (2)② ∠ACB=90°， (3)为说明命题是假命题，可采用举反 ∴.∠1+∠2=90° 例的方法. .∠2=∠B.同理可证：∠1=∠A. 如：①中a和一a是同类项，但数字系数 13.证明：如图，，∠2与∠5是对顶角， 不同： ∴∠2=∠5（对顶角相等） ③中|7=|-7，但7≠-7. 18.解：(1)没有逆定理.反例：三角形的一 个内角被角平分线分成的两个角相等， 但不是对顶角.（反例不唯一) (2)有逆定理，它的逆定理：如果a十b= 又.∠1+∠2=180°（已知）， 0,那么a,b互为相反数. .∠1十∠5=180°（等量代换）. (3)有逆定理，它的逆定理：两条直线被 CD∥EF(同旁内角互补，两直线平行)， 第三条直线所截，如果同旁内角互补， ∴.∠3=∠4（两直线平行，同位角相 那么这两条直线平行 等) 19.解：反例：如图，∠1与∠2是邻补角， 14.解：（答案不唯一）选②. ∠1与∠2互补，但是它们不是同旁内 ∠1=∠2， 角.（所举的例不唯一）》 ∴.DE∥BF(内错角相等，两直线平行)， .∠E=∠F(两直线平行，内错角相 22 等) 第3课时命题的证明 1.定义；基本事实；定理：证明 15.证明：假设b∥c.a∥b,∴.ac. 2.D3.B4.D5.B 这与“a与c相交”矛盾，故假设不成立. 6.已知：∠2：两直线平行，内错角相等；已 因此b与c相交. 知：等式的性质；CD:内错角相等，两直线 2.3等腰三角形 平行 7.C8.B 第1课时 等腰三角形的性质 9.③；∠MGE=∠NHG 1.C2.D3.A4.63°或27°5.C6.D 10.解：感觉上面的三角形的面积大，但实 7.C8.D9.D10.C11.A12.D 际计算后发现一样大.因为上面的三角 13.解：ED⊥AB, 形的面积为2X3÷2=3,下面的三角形 .∠ADE=∠BDE=90°， 的面积为1×6÷2=3，所以它们的面积 又AD=BD, 一样大 ∴.△ADE沿DE翻折可以和△BDE重 11.已知：互为余角的定义；互为余角的定 合.∠A=∠ABE 义：同角的余角相等：内错角相等，两直 ∠A=20°， 线平行 .∠ABE=20°.又AB=AC, 12.证明：.CD⊥AB, ∴.∠ABC=∠ACB=80. .∠ADC=∠BDC=90°. ∴.∠EBC=∠ABC-∠ABE=60° 42 14.证明：如图，过A点作 ∴.∠ADC=180°-∠CDE=130° AF⊥BC于点F. .∠BEC=130° .AB=AC, ∴.∠AEB=∠BEC-∠CED=130° ∴.BF=CF(三线合一). 50°=80. .AD=AE, 第2课时等腰三角形的判定 .DF=EF(三线合一). 1.B2.D3.C4.C5.D6.A7.C .'BF-DF=CF-EF, 8.D9.D10.D11.60 即BD=CE 12.解：过点A作AF⊥BC,垂足为F. 15.解：，四边形ABCD是正方形， ,AD=AE,AF⊥BC, ∴.∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD .DF=EF,∠DAF=∠EAF. =CD. 又BD=CE, ,△PAD是等边三角形， ∴.BD+DF=CE+EF,即BF=CF. ∴.∠PAD=∠PDA=∠APD=60°， ∴AF垂直平分BC. AP=AD=PD. ∴.△ABF沿AF翻折可以和△ACF .∠BAP=∠CDP=90°+60°=150°， 重合， AB=AP,CD=PD ..AB=AC. ∠APB=2(180-∠BAP)=号× ∴.△ABC是等腰三角形 ∴.∠B=∠C,∠BAF=∠CAF (180°-150)=15°， .∠BAF-∠DAF=∠CAF-∠EAF, ∠DPC=2(18o°-∠CDP)=2× ∴.∠BAD=∠CAE. 13.证明：如图，：DE∥AC,∴.∠1=∠3. (180°-150)=15°， ,AD平分∠BAC,. ,∴.∠BPC=∠APD-∠APB-∠DPC ∠1=∠2. =60°-15°-15°=30°. ∴.∠2=∠3. 16.(1)证明：.'∠CAB=∠CBA=∠CDE AD⊥BD, =∠CED=50°， ∴.∠2+∠B=90°，∠3 .∠ACB=∠DCE=180°-2×50° +∠BDE=90°. =80°， ∠B=∠BDE. ∴.∠ACB=∠DCB=∠DCE-∠DCB, ∴△BDE是等腰三角形. 即∠ACD=∠BCE. 14.解：(1)：△ABC是等边三角形，∴∠B ,△ACB和△DCE均为等腰三角形， =60°. ∴.AC=BC,DC=EC. DE∥AB,∴.∠EDC=∠B=60°. .△CEB绕点C顺时针旋转80° ,EF⊥DE,∴.∠DEF=90 (∠ACB的度数)可以与△CDA重合. ∴.∠F=90°-∠EDC=30°. .'.AD=BE. (2)∠ACB=60°，∠EDC=60°， (2)解：由(1)可知∠ADC=∠BEC. ∴.∠DEC=180°-∠ACB-∠EDC= 点A,D,E在同一直线上， 180°-60°-60°=60°， 且∠CDE=50°， .△EDC是等边三角形.又CD=2, 43 ..ED=EC=CD=2. ∴.∠ABC=∠C=(180°-108)÷2 ,∠DCE=∠CEF+∠F=60°，∠F =36°. =30° .∠CPE=(180°-36)÷2=72 .∠CEF=30°=∠F.∴.CF=CE=2. .∠BPE=180°-72°=108°. .DF=CD+CF=4. ∴.∠BPE=∠A. 15.证明：过点E作EG∥AC交BC于 ,'BE平分∠ABC,.∠ABE=∠PBE 点G, .△ABE与△PBE关于BE对称 .∠F=∠DEG,∠ACB=∠EGB. ∴.BA=BP.∴.BC=CP+BP=CE ,'AB=AC,.∠ACB=∠B, AB. ∴.∠B=∠EGB,∴.BE=EG. 2.4线段的垂直平分线 .'BE=CF,..EG=CF. .△DCF绕点D旅转180°可以与 第1课时线段垂直平分线的性质和判定 △DGE重合， 1.B2.C3.B4.B5.B6.C7.A .'DE=DF. 8.D9.B10.A 16.(1)证明：如图，作点A关于BE的对称 11.解：DE垂直平分BC, 点D,在BC上截BF=BE ∴.DB=DC ∴.△BAE与△BDE .'AC+AD+DC=14(cm), 关于BE对称， .'.AC+AD++BD=14(cm), .AE=ED,∠BDE 即AC+AB=14cm. =∠A. 设AB=xcm,AC=ycm. ∠A=100°，AB=AC, x十y=14·解得 x=8, .∴.∠BDE=100°，∠ABC=∠C=40°， x-y=2, y=6. ,BE平分∠ABC, .AB长为8cm,AC长为6cm. .∠ABE=∠EBD=20°. 12.解：AD垂直平分EF 又，BF=BE, ,AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB, .∠EFD=80°， DF⊥AC, .∠CEF=40°=∠C. .∠DFA=∠DEA=90°，DE=DF, ..CF=EF. .点D在线段EF的垂直平分线上， ,∠EDF=180°-∠BDE=80°， ∠DEF=∠DEF, .∠EDF=∠EFD. ,∠AFE=∠DFA-∠DFE, ∴.EF=ED ∠AEF=∠DEA-∠DEF, ∴.CF=AE .∠AFE=∠AEF, ∴.BC=BF+CF=BE+AE. .'.AE=AF, (2)解：BC=CE十AB.理由如下：在CB 点A在线段EF的垂直平分线上， 上截取CP=CE,连接PE,如图. .AD垂直平分EF. AB=AC,∠A 13.(1)证明：，AD∥BC, =108°， ∴.∠ECF=∠ADE. ,E为CD的中点， 44