2.1 三角形-【提分教练】2024-2025学年八年级数学上册同步精导优化与设计方案（湘教版）

数学八年级上册 第2章 三角形 2.1三角形 第1课时 三角形的边 N0.1课前自主预习污被建、待振特，落实点确 知识点2三角形的分类 4.三角形按边分类可分为 知识点1三角形及有关概念 A.不等边三角形、等边三角形 1.如图，以CD为公共边的三角形是 B.等腰三角形、等边三角形 ∠EFB是 的内角：在△BCE中，BE C.不等边三角形、等腰三角形、等边三角形 所对的角是 ,∠CBE所对的边是 D.不等边三角形、等腰三角形 :以∠A为公共角的三角形有 5.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡， 其中不能判断三角形类型的是 凸合凸今 2.下面是小强用三根火柴分别组成的图形，其 知识点3三角形的三边关系 中符合三角形定义的是 6.下列各组数中，不可能成为一个三角形三边 长的是 X AA A.2,3,4 B.5,7,7 C.5,6,12 D.6,8,10 3.观察下列图形，它是把一个三角形分别连接 7.若一个三角形的两边长分别为5和8，则第 这个三角形三边的中点，构成4个小三角 三边长可能是 形，挖去中间的一个小三角形（如图①）：对 A.14 B.10 剩下的三个小三角形再分别重复以上做法 C.3 D.2 …将这种做法继续下去（如图②，如图③ 8.长为9,6,5,4的四根木条，选其中三根组成 …),则图⑥中挖去三角形的个数为() 三角形，选法有 () A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 9.已知a,b,c是△ABC的三条边长，化简 2 |a+b-c-|c一a-bl的结果为 () A.121 B.362 A.2a-2b-2c B.2a-2b C.364 D.729 C.2e D.0 36 第2章三角形 10.已知有理数x,y满足x一4+y一81=0，则 考查角度2利用三角形三边关系及等腰三 以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长 角形的特征求线段的长（分类讨 是 () 论思想) A.20或16 B.20 13.把一条长为18米的细绳围成一个三角形， C.16 D.以上均不对 其中两边长分别为x米和4米 易错点忽视组成三角形的条件而出错（分类 (1)求x的取值范围： 讨论思想)】 11.一个等腰三角形的两边长分别为3,6，则 它的周长为 () A.12 B.12或15 C.15 D.以上均不对 ND2课堂现固训练蛛基验，跳方法，能力挺开 考查角度1利用三角形三边关系解与方程有 关的综合问题（数形结合思想） 12.已知△ABC的两边长分别为3和7，第三 边的长是关于x的方程a=x十1的解， 2 求a的取值范围. (2)若围成的三角形是等腰三角形，求x 的值. 37 国书多雪单多男。。。用至￥重 数学八年级上册 N03课后提升训练练技巧、装等向、冲制满分 拔尖角度2利用三角形三边关系解决实际 应用中的方案问题（建模思想） 拔尖角度1 利用三角形三边关系探究线段 15.某市木材市场上木棒规格与价格如下表： 和的大小关系 14.如图，P是△ABC内部的一点. 规格 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 价格（元/根）101520253035 小明的爷爷要做一个三角形的支架养鱼 用，现有两根长度为3m和5m的木棒，还 (1)度量AB,AC,PB,PC的长，根据度量 需要到该木材市场上购买一根。 结果比较AB+AC与PB+PC的大小. (1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷 (2)改变点P的位置，上述结论还成立吗？ 选择？ (3)你能说明上述结论为什么成立吗？ (2)在能做成三角形支架的情况下，选择哪 一种规格的木棒最省钱？ 的 38 重面0。量gg年用。。。0 第2章三角形 第2课时 三角形中的主要线段 ND.1课前自主顶习5械双、特能搭、落实点裤 5.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论中错误 的是 知识点1三角形的高 1.如图，AE⊥BC于点E,BF⊥AC于点F, CD⊥AB于点D,则△ABC中AC边上的 高是哪条线段 () A.BD是△ABC的角平分线 B.CE是△BCD的角平分线 C.∠3=2∠ACB A.AE B.CD C.BF D.AF D.CE是△ABC的角平分线 2.下列说法中正确的是 ( 6.如图，AD,BE,CF依次是△ABC的高、中 A.三角形的三条高都在三角形内 线和角平分线，下列表达式中错误的是 B.直角三角形只有一条高 () C.锐角三角形的三条高都在三角形内 D.三角形每一边上的高都小于其他两边 3.如图，△ABC中，D,E两点分别在AB,BC 上，若AD:DB=CE:EB=2:3,则 A.AE=CE △DBE与△ADC的面积比为 () B.∠ADC=90 C.∠CAD=∠CBE D.∠ACB=2∠ACF 知识点3三角形的中线 A.3:5 B.4:5 7.若AD是△ABC的中线，下列结论错误的 C.9:10 D.15:16 是 ( 知识点2三角形的角平分线 A.AB=BC B.BD=DC 4.如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的 C.AD平分BC D.BC=2DC 两条角平分线，若∠A=52°，则∠1十∠2的 8.已知D,E分别是△ABC的边AC,BC的中 度数为 点，那么下列说法中不正确的是 A.DE是△BCD的中线 B.BD是△ABC的中线 C.AD=DC,BE=EC D.AD=EC,DC=BE 39 有者套重第。，。，。g海￥重 数学八年级上册 9.三角形一边上的中线把原三角形一定分成 02课堂巩固训练恭基融，，方法，能力提升 两个 ( 考查角度1利用三角形的中线求边长 A.形状相同的三角形 14.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中 B.面积相等的三角形 线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm, C.直角三角形 BC=8cm,求边AC的长。 D.周长相等的三角形 10.如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5, BC=3,则△ABD和△BCD的周长的差是 () A.2 B.3 C.6 D.不能确定 11.如图，在△ABC中，D,E分别为BC,AD 的中点，且S=4,则Sm影为（) A.2 B.1 c号 D号 12.三角形的下列线段中能将三角形的面积分 成相等两部分的是 () A.中线 B.角平分线 C.高 D.都不确定 13.已知三角形的三条中线交于一点，则下列 结论：①这一点在三角形的内部：②这一点 有可能在三角形的外部；③这一点是三角 形的重心，其中正确的结论有 (填序号) 40 重国￥量g量年君电套6 第2章三角形 考查角度2利用三角形的角平分线解与平 ND3课后提升训练然技污，接考向、冲制满分 行线相关的问题 拔尖角度1利用三角形的高探究线段和的值 15.如图，AD是∠CAB的平分线，DE∥AB, 16.如图，已知在△ABC中，AB=AC=4,P是 DF∥AC,EF交AD于点O.请问： BC边上任一点，PD⊥AB,PE⊥AC,D,E 为垂足.若△ABC的面积为6，问：PD+ PE的值能否确定？若能确定，值是多少？ 请说明理由 (1)DO是∠EDF的平分线吗？请说明 理由. (2)若将“DO是∠EDF的平分线”与“AD 是∠CAB的平分线”，“DE∥AB”,“DF∥ AC”三个条件中的任一条件交换，所得说 法正确吗？若正确，请选择一个说明理由。 拔尖角度2利用网格线探究重心分中线的 线段间的关系 17.如图所示，网格小正方形的边长都为1，在 △ABC中，试分别画出三条边上的中线， 然后探究三条中线的位置及与其有关的线 段之间的关系，你发现了什么有趣的结论？ 41 国。雪。。g,用￥ 数学八年级上册 第3课时 三角形的内角一三角形的内角和 N0.1课前自主预习5格显，特抵格、幕实点裤 7.如图，AB∥CD,∠A=50°，∠C=30°，则 ∠AEC等于 知识点1三角形的内角和 1.如图，在△ABC中，∠A=60°，AB=40°，则 ∠C等于 30 D A.20° B.50° C.80° D.100 60 8.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分 线BE,CD相交于点F,∠ABC=42°，∠A A.100° B.80° C.60 D.40 =60°，则∠BFC= () 2.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的度数之比为 2:3:4,则∠B的度数为 ) A.120° B.80° C.60 D.40° 3.在△ABC中，已知∠B是∠A的2倍，∠C 比∠A大20°，则∠A等于 () A.40° B.60° C.80° D.90 A.118° B.119°C.120° D.1219 4.一个三角形的三个内角的度数之比为1：2 9.上午9时，一艘船从A处出发以每小时20 :3,则这个三角形一定是 海里的速度向正北航行，11时到达B处.若 A.锐角三角形 B.直角三角形 在A处测得灯塔C在北偏西34°方向，且 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 ∠ACB= ∠BAC,则在B处测得灯塔C 知识点2三角形内角和的应用 应在 5.如图是一块三角形木板的残余部分，量得 A.南偏西85°方向 ∠A=100°，∠B=40°，则这块三角形木板 B.北偏西85°方向 另外一个角的度数为 () C.南偏西65°方向 D.北偏西65°方向. 10.如图，从A处观测C处的仰角∠CAD 31(仰角：视线在水平线以上，视线与水平 线所成的角)，从B处观测C处的仰角 A.30 B.40° C.50 D.60 ∠CBD=42,那么从C处观测A,B两处 6.如图，BD∥AC,BE平分∠ABD,交AC于 的视角∠ACB的度数为 () 点E.若∠A=50°，则∠1的度数为() A.65 B.60° C.55 D.50° A.15° B.13° C.12° D.11° 92 。g1,,,0 第2章三角形 易错点非三角形问题用三角形内角和而致错 ND3课后提升训练然技污，接考向、冲制满分 11.如图，说明∠A+∠B+∠C与∠ADC之 拔尖角度1利用三角形内角和解图形折叠 间的关系 问题（折叠法、整体思想） 14.如图，将△ABC的一角折叠，使点C落在 △ABC内一点C'上. (1)若∠1=40°，∠2=30°，求∠C的度数； (2)试通过第(1)问，直接写出∠1，∠2， ∠C三者之间的数量关系。 NO2课堂巩固训练装落脸，练方法、能为提开 考查角度1利用三角形内角和求与平行线 相关的角 12.如图，在△ABC中，∠A=46°，CE是 △ACB的平分线，点B,C,D在同一条直 线上，FD∥EC,∠D=42°，求∠B的度数. 拔尖角度？利用三角形内角和探究多角和 的问题（转化思想，整体思想） 15.如图，请猜想∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 十∠F的度数，并说明你的理由. 考查角度2利用三角形内角和说明角的关系 13.如图所示，在△ABC中，AD是角平分线， ∠B=50°，∠C=70° (1)求∠ADB的度数： (2)若DE⊥AC于E,求∠EDC的度数. 43 金面专单多g面南重常金角有数重里 数学八年级上册 第4课时三角形的内角一直角三角形两锐角互余 ND.1课前自主顶习5械双、特桃搭、落实点裤 知识点2两锐角互余的三角形是直角三角形 5.已知∠A=37°，∠B=53°，则△ABC为 知识点1直角三角形两锐角互余 ( 1.如图，a∥b,点B在直线a上，且AB⊥BC, A.锐角三角形 B.钝角三角形 ∠1=35°.那么∠2= C.直角三角形 D.以上都有可能 6.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角 形的是 ) A.∠A+∠B=∠C A.45° B.50 C.55 D.60 B∠A=2∠B=3∠C 2.如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高， C.∠A:∠B:∠C=1:3：4 则图中与∠B互余的角有 ( D.∠A=2∠B=3∠C N02课堂巩固训练然基陆、练布法、能力投开 考查角度1利用三角形两锐角互余判断三 D 角形的形状 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图，AB∥CD,MN分别交AB,CD于点 E,F,∠BEF与∠DFE的平分线交于点G. 3.含30°角的直角三角板与直线(1，l2的位置 (1)求∠GEF+∠GFE的度数： 关系如图所示，已知，∥L,∠ACD=∠A, (2)△EFG是什么三角形？请说明理由. 则∠1 () A.70° B.60 C.40° D.30 4.如图，直线(1∥L2,CD⊥AB于点D,∠1= 50°，则∠BCD的度数为 () A.50 B.45 C.40° D.30 44 。里。g1,g，。80月 第2章三角形 考查角度2利用三角形两锐角互余求角及 (3)如图③，把图①中的CD平移到ED处， 探究角之间的关系 交BC的延长线于点E,图中还有与∠A相 8.(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 等的角吗？为什么？ CD⊥AB于点D.图中有与∠A相等的角 吗？为什么？ ③ D (2)如图②，把图①中的CD平移到ED处， 图中还有与∠A相等的角吗？为什么？ 45 。。。。。。里华l4.解：(1)设小张跑步的平均速度为xm/min, 14.解：(1)度量结果略.AB十AC>PB十PC 则小张骑车的平均速度为1.5.xm/min, (2)成立. 根据题意得2520_2520 4 (3)延长BP交AC于点D. 1.5x 在△ABD中，AB+AD>BP+PD,① 解得x=210. 在△PDC中，PD+DC>PC,② 经检验，x=210是原方程的解且符合 ①+②，得AB+AD+PD+DC>BP+ 题意 PD+PC, 答：小张跑步的平均速度为210m/min. 即AB+AC>PB+PC (2)小张跑步到家所需时间为2520÷ 15.解：(1)设第三根木棒长xm,由三角形 210=12(min), 的三边关系可得：5一3<x<5十3，即2 小张骑车所用时间为12一4=8(min), <x<8. 小张从开始跑步回家到赶回奥体中心 故有规格为3m,4m,5m,6m的四种 所需时间为12十8十5=25(min), 木棒可供小明的爷爷选择. 因为25>23，所以小张不能在演唱会开 (2)当第三根木棒长为3m时，最省钱. 始前赶到奥体中心」 第2课时三角形中的主要线段 第2章 三角形 1.C2.C3.C4.64°5.D6.C7.A 8.D9.B10.A11.B12.A13.①③ 14.解：因为CD为△ABC的AB边上的 2.1三角形 中线， 第1课时三角形的边 所以AD=BD. 1.△CDF与△BCD;△BEF;∠BCE;CE; 因为△BCD的周长为△ACD的周长大 △ABD,△ACE和△ABC 3 cm, 2.C3.C4.D5.C6.C7.B8.C 所以(BC+BD+CD)一(AC+AD+ 9.D10.B11.C CD)=3 cm. 12.解：解关于x的方程十0=x十1，得x 所以BC-AC=3(cm). 2 因为BC=8cm,所以AC=5cm =a-2. 15.解：(1)DO是∠EDF的平分线. 由题意得7一3<x<7十3， 理由如下：因为AD是∠CAB的平 即4<x<10, 分线， 所以4<a一2<10， 所以∠EAD=∠FAD. 解得6<a<12. 因为DE∥AB,DF∥AC, 13.解：(1)依题意可得(18一4一x)一4<x 所以∠EDA=∠FAD,∠FDA <(18-4-x)十4，解得5<x<9. =∠EAD (2)当x为底边长时，则有4十4十x= 所以∠EDA=∠FDA. 18,解得x=10(不合题意，舍去)：当x为 所以DO是∠EDF的平分线， 腰长时，则有x十x十4=18，解得x=7. (2)与三个条件中的任一条件交换，所 此时，三角形的三边长为4,7,7，符合题 得说法都正确.（选其中一种情况说明 意.故所求x的值为7. 理由即可)①若和AD是∠CAB的平分 38 线交换.理由与(1)中的理由类似， 所以∠A+∠ABD+∠ADB+∠C十 ②若和DE∥AB交换. ∠DBC+∠CBD=360°， 理由如下：因为DF∥AC, 又因为∠ADB+∠CDB+∠ADC 所以∠FDA=∠EAD. =360°， 因为AD是∠CAB的平分线， 所以∠A+∠ABC+∠C+360° 所以∠EAD=∠FAD. ∠ADC=360°， 所以∠FAD=∠FDA. 所以∠A+∠ABC+∠C=∠ADC 又因为DO是∠EDF的平分线， 12.解：因为FD∥EC,∠D=42°， 所以∠EDA=∠FDA. 所以∠BCE=∠D=42°. 所以∠EDA=∠FAD. 因为CE是∠ACB的平分线， 所以∠DE∥AB. 所以∠ACB=2∠BCE=84°. ③若和DF∥AC交换，理由与②类似. 又因为∠A=46°， 16.解：PD十PE的值能确定，且PD+PE 所以∠B=180°-∠ACB-∠A=180 =3. -84°-46°=50° 理由：如图，连接AP 13.解：(1)因为∠B=50°，∠C=70°， 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=60 又因为AD是角平分线，所以∠BAD =30°， 所以∠BAD=30°， 由图可得S△B=S△BP十S△Xp: 所以∠ADB=180°-∠BAD-∠B 因为PD⊥AB,PE⊥AC,AB=AC=4, =100°. △ABC的面积为6， (2)因为DE⊥AC,所以∠DEC=90°， 所以6=号X4XPD+2×4XPE= 所以∠EDC=180°-∠DEC-∠C 2(PD+PE). =20°. 所以PD十PE=3. 14.解：(1)由折叠可知∠CDE=∠CDE, 17.解：所画中线如图所示.发现 ∠CED=∠CED. 的结论为：①三条中线交于 因为∠1+∠CDE+∠CDE=180°， 一点；②在同一条中线上，中 所以40°+2∠CDE=180°. 线的交点与边中，点所连线段的长度等 所以∠CDE=70°. 于它与顶点所连线段的长度的一半 因为∠2+∠C'ED+∠CED=180°， 第3课时三角形的内角 所以30°+2∠CED=180°.所以∠CED 三角形的内角和 =75°. 1.B2.C3.A4.B5.B6.A7.C 所以∠C=180°-∠CDE-∠CED= 8.C9.B10.D 180°-70°-75°=35. 11.解：连接BD.因为∠A+∠ABD十 (2)∠C=2(∠1+∠2. ∠ADB=180°， 15.解：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F ∠C+∠DBC+∠CDB=180°， =360°. 39 理由如下：因为∠A十∠B+∠AMB=180°， (3)有. ∠AMB+∠BMP=180°，所以∠BMP 理由：因为ED⊥AB, =∠A十∠B.同理得∠ENM=∠E+ 所以∠B十∠E=90° ∠F,∠MPC=∠C+∠D.又因为 因为∠ACB=90°，所以∠B+∠A=90°. ∠BMP+∠ENM+∠MPC=(180° 所以∠E=∠A, ∠VMP)+(180°-∠MNP)+(180° 第5课时三角形的外角 ∠MPN)=540°-（∠NMP+∠MNP 1.D2.A3.C4.C5.D6.B7.A +∠MPN)=360°， 8.D9.B10.B11.54012.C 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+ 13.解：因为EF∥GH, ∠F=360° 所以∠ABD+∠FAC=180°， 第4课时三角形的内角 所以∠ABD=180°-72°=108°， 直角三角形两锐角互余 因为∠ABD=∠ACD十∠BDC, 1.C2.B3.B4.C5.C6.D 所以∠BDC=∠ABD-∠ACD=108 7.解：(1)因为AB∥CD, -58°=50°. 所以∠BEF+∠DFE=180°. 14.解：(1)因为∠A=70°， 因为∠BEF与∠DFE的平分线相交于 所以∠ABC+∠ACB=110°， G,所以∠GEF=2∠BEF,∠GFE 因为BD,CD分别为∠ABC,∠ACB的 平分线， 3∠DFE, 所以∠DBC= 号∠ABC,∠DCB= 所以∠GEF+∠GFE=2（∠BEF+ ∠AcB ∠DFE)=2×180°=90. 所以∠DBC+∠DCB=号（∠ABC+ (2)△EFG是直角三角形.理由如下： ∠ACB)=55. 因为在△EFG中，∠EGF=180° 所以∠BDC=180°-（∠DBC+ (∠GEF+∠GFE)=180°-90°=90°， ∠DCB)=125. 所以△EFG是直角三角形 (2)因为∠EDC=50°， 8.解：(1)有. 所以∠DBC+∠DCB=50° 理由：因为CD⊥AB, 因为BD,CD分别为∠ABC,∠ACB的 所以∠B十∠BCD=90°. 平分线， 因为∠ACB=90°， 所以∠DBC= 2∠ABC,∠DCB= 所以∠B十∠A=90°」 所以∠BCD=∠A. g∠ACB (2)有. 所以∠ABC+∠ACB=2(∠DBC+ 理由：因为ED⊥AB, ∠DCB)=100°. 所以∠B+∠BED=90°. 所以∠A=80° 因为∠ACB=90°，所以∠B+∠A=90°. 所以∠BED=∠A. (3)∠BDC=90+∠A. 40 15.解：(1)因为∠ACD=180°-∠ACB 10.解：条件：两条直线被第三条直线所截， =100°， 同位角相等；结论：两条直线平行 所以∠PCD=∠PBC+∠P=50°， 11.解：共同特征：都是整式方程，均含有一 而∠PBC=2∠ABC=20°， 个未知数，且未知数的最高次数均为3； 名称：一元三次方程： 所以∠P=30° 定义：含有一个未知数，且未知数的最 (2)因为∠PCD-2∠ABC+∠P, 高次数为3的整式方程是一元三次 方程. 2∠PCD=∠ABC+∠A, 12.解：(1)这个命题的条件是“三条线段分 所以2∠P=∠A=60°， 别是同一三角形三条边上的高”，结论 所以∠P=30° 是“这三条高交于一点”.可改写成“如 (3)∠A=2∠P,理由类同(2) 果三条线段分别是同一三角形三条边 16.解：(1)C 上的高，那么这三条高交于一点” (2)∠1+∠2=180°+∠A. (2)这个命题的条件是“垂直于同一条 理由：因为∠1，∠2为△AEF的外角， 直线的两条直线”，结论是“这两条直线 所以∠1=∠A十∠AEF, 平行”可改写成“如果两条直线都和第 ∠2=∠A+∠AFE. 三条直线垂直，那么这两条直线平行”， 所以∠1+∠2=∠A+∠A十∠AEF 13.解：根据命题的定义可知，(1)(3)(5)都 +∠AFE. 是对某一件事情作出判断的语句，所以 又因为∠A+∠AEF+∠AFE=180°， 是命题.(2)是问句，不是陈述句，(4)中 所以∠1+∠2=∠A+180°. 没有对事情作出判断，所以(2)(4)不是 (3)∠1+∠2=2∠A. 命题 理由：因为△EFP是由△EFA折叠得 14.解：此题为开放题，答案不唯一 到的， 例如：如果(3)OB=OC,(4)∠B=∠C, 所以∠AFE=∠PFE,∠AEF 那么(2)AB=AC.连接BC. =∠PEF. 因为OB=OC,所以∠OBC=∠OCB. 所以∠1=180°-2°∠AFE,∠2=180°- 又因为∠ABE=∠ACD, 2∠AEF 所以∠ABC=∠ACB. 所以∠1+∠2=360°-2（∠AFE+ 所以AB=AC ∠AEF). 即此命题正确. 又因为∠AFE+∠AEF=180°-∠A, 第2课时真命题与假命题、基本事实与定理 所以∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)= 1.①②④2.C3.B4.D5.D6.B 2∠A. 7.C8.C9.A10.C11.A12.D 13.C14.D15.C 2.2命题与证明 16.解：(1)是真命题.(2)是假命题，如三个 第1课时定义与命题 角可以都为60°.(3)是真命题.(4)是假 1.C2.B3.D4.B5.D6.D7.C 命题，如当点C不在线段AB上，且AC 8.C9.C =BC时，点C不是线段AB的中点 41