专题2.3 等腰三角形的性质和判定（考题猜想，易错，好题必刷58题13种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（青岛版）

专题2.3 等腰三角形的性质和判定 （易错、好题必刷58题13种题型专项训练） 目录 【题型01 根据等边对等角证明】 1 【题型02 等腰三角形的性质和判定】 3 【题型03 三线合一】 5 【题型04 格点图中画等腰三角形】 7 【题型05 找出图中的等腰三角形】 8 【题型06 根据等角对等边证明等腰三角形】 10 【题型07 根据等角对等边证明边相等】 12 【题型08 根据等角对等边求边长】 13 【题型09 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 15 【题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】 16 【题型11 作等腰三角形（尺规作图）】 17 【题型12 等边三角形的判定和性质】 19 【题型13 根据三线合一证明】 22 【题型01 根据等边对等角证明】 1．（19-20八年级上·山东德州·期末）如图，在中，的周长10，和的平分线交于点O，过点O作分别交于D、E，则的长为（　　）    A．10 B．6 C．4 D．不确定 2．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）如图，，在上，则以下结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（22-23八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在中，，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若在某一时刻能使与全等．则点的运动速度为（    ）    A． B． C．或 D．或 4．（2020九年级·全国·专题练习）如图，是边长为2的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，以点为顶点作，点、分别在、上． （1）如图①，当时，则的周长为______； （2）如图②，求证：． 5．（18-19八年级上·江苏镇江·期中）如图，中，，CD、CE、CF分别是的高、中线、角平分线．求证：． 【题型02 等腰三角形的性质和判定】 6．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）如图，在中，，，是等边三角形，点在边上． (1)如图1，当点在边上时，求证 (2)如图2，当点在内部时，猜想和数量关系，并加以证明； (3)如图3，当点在外部时，于点，过点作，交线段的延长线于点，，，求的长． 7．（2024·四川泸州·二模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D和点E；②以点B为圆心，长为半径作弧，交于点F；③以F为圆心，长为半径作弧，在内部交前面的弧于点G；④过点G作射线交于点H．若，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期中）如图，为等边三角形，，，于R，于S，则下列四个结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接． (1)如图1，连接，当点在外部时，试说明； (2)如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由； (3)如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长． 【题型03 三线合一】 10．（23-24八年级上·四川广元·期末）如图，等腰三角形底边的长为4cm，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最短为 ． 11．（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，中，，，是边上的中线，且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 12．（19-20八年级上·河北石家庄·期末）如图，在直角坐标系中，点，点，若动点从坐标原点出发，沿轴正方向匀速运动，运动速度为，设点运动时间为秒，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的所有值 ．    13．（18-19八年级上·江苏镇江·期中）如图，在等腰中，，点F是AB的中点，且，将一块直角三角板的直角顶点放在点F处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则的值为 . 14．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，D是的中点，点E在线段上．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【题型04 格点图中画等腰三角形】 15．（19-20八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有 个。 16．（21-22八年级上·湖北武汉·期中）如图，A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形边长都为1，以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有（   ）. A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 17．（20-21八年级上·河南漯河·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，且使为等腰三角形，符合题意的点的个数为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 18．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形： (1)在图1中，画一个以为腰的等腰（为格点）； (2)在图2中，画一个以为底的等腰（为格点）． 19．（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中为格点三角形，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，作出与全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与有一条公共边，且不与有重叠． 【题型05 找出图中的等腰三角形】 20．（19-20八年级上·北京大兴·期末）如图，长方形ABCD中，AB=6,BC=2,直线l是长方形ABCD的一条对称轴，且分别与AD,BC交于点E,F,若直线l上的动点P,使得△PAB和△PBC均为等腰三角形.则动点P的个数有 个.    21．（22-23八年级上·江苏连云港·期末）如图，在一个直角三角形中，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（20-21八年级上·山西吕梁·期末）如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 23．（17-18八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，直线l1、l2相交于点A，点B是直线外一点，在直线l1 、l2上找一点C，使△ABC为一个等腰三角形．满足条件的点C有（      ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 24．（21-22八年级上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），B（﹣3，2），点C在坐标轴上，若△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　） A．4个 B．5个 C．7个 D．8个 【题型06 根据等角对等边证明等腰三角形】 25．（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）证明题：如图所示，在的边上取点D，使得，，，垂足分别为E，F，且．求证：． 26．（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，平分，求证：． 27．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）填空：如图，在中，平分，垂足分别为且，试说明． 证明：∵平分， _____（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 在与中， ∵， （_____）， ， （_____）． 28．（21-22八年级上·福建厦门·期末）已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，，求证： (1)△ABC是等腰三角形； (2)． 【题型07 根据等角对等边证明边相等】 29．（19-20八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，． (1)请用尺规作图的方法作的角平分线，交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：． 30．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，是的平分线，是边的中线．若，，则 ． 31．（18-19八年级上·浙江绍兴·期中）（1）如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断． ，，之间的等量关系________； （2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 32．（14-15八年级上·江苏镇江·期中）在一次数学课上，老师在屏幕上出示了一个例题：在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，画出图形（如图），给出下列四个条件：①∠DBO=∠ECO；②∠BDO=∠CEO；③BD=CE；④OB=OC． （1）要求同学从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定△ABC是等腰三角形． 请你用序号在横线上写出所有情形．答： （2）选择第（1）题中的一种情形，说明△ABC是等腰三角形的理由，并写出解题过程． 【题型08 根据等角对等边求边长】 33．（22-23八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 34．（2024八年级·全国·竞赛）长方形纸片中，长，宽．现将长方形纸片按图1所示的方式折叠，使得与重合；再将向右折叠，使得点落在的延长线上，如图2所示，此时与相交于点．则的面积是（    ）． A． B． C． D． 35．（21-22八年级上·天津和平·期中）如图：E在△ABC的AC边的延长线上，AB＝AC，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，求证：BD＝CE． 36．（18-19八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过P作PC//OA交OB于点C．若∠AOB＝30°，OC=4cm，则点P到OA的距离PD等于 cm． 【题型09 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 37．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 38．（17-18八年级·湖北武汉·期中）如图，平面直角坐标系xOy中，已知定点A（1,0）和B（0,1），若动点C 在x轴上运动，则使△ABC为等腰三角形的点C有(  )． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 39．（20-21八年级上·四川绵阳·期末）如图，直线相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．（19-20八年级上·内蒙古通辽·期中）点A的坐标是（2，2），若点P在x轴或y轴上且△APO是等腰三角形，这样的点P共有（　）个 A．6 B．7 C．8 D．9 41．（21-22八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，连接． (1)画线段，使得线段与线段关于轴对称，写出、的坐标：　　，　　； (2)写出一个点的坐标，使成为等腰三角形，　　，　　； (3)已知点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有 　　个． 【题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】 42．（22-23八年级上·江西南昌·期中）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（   ）个． A． B． C． D． 43．（21-22八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，在中，，，点D在CA上，且，动点P从A点出发沿A→B→C的路线运动，运动到点C停止．在点P的运动过程中，使为等腰三角形的点P有 个． 44．（18-19八年级上·北京·期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的格点(顶点)上，请在图中找一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 45．（18-19八年级下·上海浦东新·期中）直线与两坐标轴交于、两点，点在坐标轴上，若为等腰三角形，则满足条件的点最多有（   ）个 A．8 B．4 C．5 D．7 【题型11 作等腰三角形（尺规作图）】 46．（18-19八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中， （1）尺规作图：作的平分线； （2）尺规作图：作线段的垂直平分线；（不写作法，保留作图痕迹） （3）若与交于点，∠ACP=24°，求的度数. 47．（19-20八年级上·北京海淀·期末）如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下： （1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁． （2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E． （3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F． （4）作直线CF． 则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（） A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF 48．（17-18八年级下·全国·课后作业）如图，已知线段、，作等腰三角形，使，且，边上的高．张红的作法是：      （1）作线段； （2）作线段的垂直平分线，与相交于点； （3）在直线上截取线段； （4）连接、，为所求的等腰三角形． 上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（    ）． A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 49．（17-18八年级上·福建莆田·期末）（1）操作实践：中，，，请画出一条直线把分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求画出一种分割方法即可） （2）分类探究：中，最小内角，若被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出最大内角的所有可能值； （3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明） 【题型12 等边三角形的判定和性质】 50．（22-23八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 51．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，在中，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．则下列结论：①，②为等边三角形；③；④，其中正确的结论是(　　) A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④ 52．（22-23八年级上·广西崇左·期末）如图，在中，，D是的中点，垂直平分，交于点E，交于点F，．      (1)若，求点O到的距离； (2)若，求的周长． 53．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）在中，，D为延长线上一点，点E为线段的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则______°； (2)当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足，．P为直线CF上一动点．当的值最大时，请探究表示与之间的数量关系并说明理由． 54．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，为等边三角形，边长为6，P，Q分别为边上的动点，点P，点Q同时从点A出发，若P以个单位每秒的速度从点A向点B运动，点Q以2个单位每秒的速度从点A向点C运动，设运动时间为t．    (1)如图1，①当________时，P是线段的中点，此时线段与的数量关系是________． ②在点P、Q运动过程中，是否能构成等腰三角形？________； A．有可能    B．不可能    C．无法确定 (2)如图2，连接交于点M，请问当t为何值时，； (3)如图3，D为边上的中点，P，Q在运动过程中，D，P，Q三点是否能构成使的等腰三角形？若能，试求运动时间t． 【题型13 根据三线合一证明】 55．（23-24七年级上·山东青岛·期末）（1）如图，已知与交于点，，，则与的数量关系是______； （2）如图，已知的延长线与交于点，，，探究与的数量关系，并说明理由． 56．（18-19七年级下·河北保定·期末）如图所示，在中，，是的角平分线，，，垂足分别为E、F，①，；②；③若点为上任意一点，且，则的取值范围是；④．其中，正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 57．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知：在中，作的平分线，在上找一点D，使得，过点D作，交直线于点E． (1)在图中，依题意补全图形； (2)用等式写出之间的数量关系，并给出证明； (3)如果把作的平分线，改为作的外角的平分线，其他条件不变，直接用等式写出之间的数量关系． 58．（21-22八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等边中，，分别为，边上的点，，． (1)如图1，若点在边上，求证：； (2)如图2，连．若，求证：； (3)如图3，是的中点，点在内，，点，分别在，上，，若，直接写出的度数（用含有的式子表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 等腰三角形的性质和判定 （易错、好题必刷58题13种题型专项训练） 目录 【题型01 根据等边对等角证明】 1 【题型02 等腰三角形的性质和判定】 8 【题型03 三线合一】 15 【题型04 格点图中画等腰三角形】 20 【题型05 找出图中的等腰三角形】 24 【题型06 根据等角对等边证明等腰三角形】 28 【题型07 根据等角对等边证明边相等】 32 【题型08 根据等角对等边求边长】 37 【题型09 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 40 【题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】 45 【题型11 作等腰三角形（尺规作图）】 49 【题型12 等边三角形的判定和性质】 53 【题型13 根据三线合一证明】 64 【题型01 根据等边对等角证明】 1．（19-20八年级上·山东德州·期末）如图，在中，的周长10，和的平分线交于点O，过点O作分别交于D、E，则的长为（　　）    A．10 B．6 C．4 D．不确定 【答案】B 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握根据角平分线和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 根据角平分线和平行线的性质可得和是等腰三角形，从而可得，，然后根据已知的周长10，可得，进行计算即可解答． 【规范解答】∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的周长10， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 故选：B． 2．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）如图，，在上，则以下结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握并灵活应用全等三角形的对应边相等，对应角相等；等腰三角形的底角相等．由，推出，，，，再由等腰三角形的性质，可以求解． 【规范解答】解：令和交于， ，， ，， ，， ， ，， 平分， ， ， ， ， 由条件不能推出， ∴①②③正确． 故选：C． 3．（22-23八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在中，，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若在某一时刻能使与全等．则点的运动速度为（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】D 【思路点拨】设点P、Q的运动时间为，分别表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①是对应边，②是对应边两种情况讨论求解即可． 【规范解答】解：∵，点D为的中点， ∴， 设点P、Q的运动时间为， ∴， ∴ 若与全等．则有： ①当时，， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：； ②当时， ∵， ∴， ∴． 故点Q的运动速度为． 所以，点的运动速度为或 故选：D． 【考点评析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点． 4．（2020九年级·全国·专题练习）如图，是边长为2的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，以点为顶点作，点、分别在、上． （1）如图①，当时，则的周长为______； （2）如图②，求证：． 【答案】（1）4；（2）见解析 【思路点拨】（1）首先证明△BDM≌△CDN，进而得出△DMN是等边三角形，∠BDM=∠CDN=30°，NC=BM=DM=MN，即可解决问题； （2）延长至点，使得，连接，首先证明，再证明，得出，进而得出结果即可． 【规范解答】解：（1）∵是等边三角形，， ， ∴是等边三角形，，则， ∵是顶角的等腰三角形， ， ， 在和中， ， ，， ∵， ∴是等边三角形，， ，， ∴的周长． （2）如图，延长至点，使得，连接， ∵是等边三角形，是顶角的等腰三角形， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ∵， ， 在和中， ． ， 又∵， ． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定，等边三角形及等腰三角形的性质是解题的关键． 5．（18-19八年级上·江苏镇江·期中）如图，中，，CD、CE、CF分别是的高、中线、角平分线．求证：． 【答案】见解析. 【思路点拨】根据角平分线的定义可得，再根据高线的定义以及直角三角形的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE=CE，然后根据等边对等角的性质得到，最后根据图形写出角的关系即可得证. 【规范解答】证明：∵CF是的平分线 ∵CD⊥AD, ∴(同角的余角相等) ∵CE是的中线 ∴ ∴（等边对等角） ∴ 【考点评析】本题考点涉及三角形的角平分、中线、高线以及等腰三角形性质等知识点；属于综合题型，稍有难度，根据题干已知条件分析，找到等量关系，便可解答本题. 【题型02 等腰三角形的性质和判定】 6．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）如图，在中，，，是等边三角形，点在边上． (1)如图1，当点在边上时，求证 (2)如图2，当点在内部时，猜想和数量关系，并加以证明； (3)如图3，当点在外部时，于点，过点作，交线段的延长线于点，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【思路点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据等边三角形的性质得出，从而得出，从而得出； （2）取的中点，连接、，根据和为等边三角形，从而得出和全等，然后得出和全等，从而得出答案； （3）取的中点，连接、、，根据题意得出和全等，然后得出和全等，设，则，，根据题意列出一元一次方程求出的值得出答案． 【规范解答】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 取的中点，连接、， ∵，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图：取的中点，连接、、， 由（2）得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得：，即． 7．（2024·四川泸州·二模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D和点E；②以点B为圆心，长为半径作弧，交于点F；③以F为圆心，长为半径作弧，在内部交前面的弧于点G；④过点G作射线交于点H．若，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【思路点拨】本题考查复杂作图，等腰三角形的判定和性质等知识，证明，，推出即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由作图可知， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：D． 8．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期中）如图，为等边三角形，，，于R，于S，则下列四个结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路点拨】首先根据角平分线上点的性质，推出①正确，然后通过求证和全等，推出②正确，再根据，推出相关角相等，通过等量代换即可得，即可推出③正确，依据等边三角形的性质和外角的性质推出，便可推出结论④． 【规范解答】解：∵，， ∴P在的平分线上， ∴平分，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴， ∴ ∴，故③正确； ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故④正确 ∴①②③④项四个结论都正确， 故选：D． 【考点评析】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边对等角，直角三角形的性质，平行线的判定，关键在于熟练运用等边三角形的性质、全等三角形的判定定理，认真推理计算相关的等量关系． 9．（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接． (1)如图1，连接，当点在外部时，试说明； (2)如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由； (3)如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形；理由见解析 (3) 【思路点拨】（1）根据证明三角形全等即可； （2）是等腰三角形．证明即可； （3）延长到T，使得，连接，延长交于点M，证明是等腰三角形，推出点E是三角形的重心，可得，再证明，可得结论． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在和中 ， ∴． （2）解：结论：是等腰三角形．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （3）解：延长到T，使得，连接，延长交于点M，如图所示： ∵，， ∴（SAS） ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∵， ∴点E是是重心， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴． 【考点评析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的重心的性质，属于中考压轴题． 【题型03 三线合一】 10．（23-24八年级上·四川广元·期末）如图，等腰三角形底边的长为4cm，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最短为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一性质是解答此题的关键．由等腰三角形三线合一性质可得，利用面积可求得，再根据垂直平分，可知点B关于的对称点为点A，即的长为的最小值，由此即得答案． 【规范解答】解：连接， 是等腰三角形，为边上的中点， ， 的面积是， ， 解得， 垂直平分， 点B关于的对称点为点A， ∴， 的长为的最小值， 的周长最短为． 故答案为． 11．（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，中，，，是边上的中线，且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理计算即可． 【规范解答】解：，， ， ，是边上的中线， ， ， ， ， ， 故选：A 12．（19-20八年级上·河北石家庄·期末）如图，在直角坐标系中，点，点，若动点从坐标原点出发，沿轴正方向匀速运动，运动速度为，设点运动时间为秒，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的所有值 ．    【答案】秒或秒或秒 【思路点拨】分两种情况：为腰或为腰.分别作出符合条件的图形，计算出OP的长度，即可求出t的值． 【规范解答】解：如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D，作BE⊥y轴于点E，分别以点B和点C为圆心，以BC长为半径画弧交y轴正半轴于点F，点H和点G    ∵点B（-8，8），点C（-2，0）， ∴DC=6cm，BD=8cm，由勾股定理得：BC=10cm ∴在直角三角形COG中，OC=2cm，CG=BC=10cm， ∴OP=OG= ， 当点P运动到点F或点H时，BE=8cm，BH=BF=10cm， ∴EF=EH=6cm ∴OP=OF=8-6=2（cm）或OP=OH=8+6=14（cm）， 故答案为：2秒，4秒或14秒． 【考点评析】本题综合考查了勾股定理和等腰三角形在平面直角坐标系中的应用，通过作图找出要求的点的位置，利用勾股定理来求解是本题的关键． 13．（18-19八年级上·江苏镇江·期中）如图，在等腰中，，点F是AB的中点，且，将一块直角三角板的直角顶点放在点F处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则的值为 . 【答案】2 【思路点拨】连接CF，结合等腰直角三角形的性质可证明，可证得AD=CE，则可求得CD+CE=AC=2 【规范解答】解：连接CF， 在等腰中，，点F是AB的中点 在 故答案为2 【考点评析】本题考查等腰直角三角形性质以及三角形全等的证明，稍有难度；首先利用辅助线创造全等三角形，再通过三角形的全等得出线段相等，利用相等线段之间的互换，即可完成本题. 14．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，D是的中点，点E在线段上．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，D是中点，得到，，证明即可证明； （2）利用角平分线的性质和全等三角形的性质即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵，D是中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，D为中点， ∴平分， ∴． ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴． 【题型04 格点图中画等腰三角形】 15．（19-20八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有 个。 【答案】8 【思路点拨】分别以A、B点为圆心，AB为半径作圆，找到格点即可（A、B、C共线除外）；此外加上在AB的垂直平分线上有两个格点，即可得到答案. 【规范解答】解：以A点为圆心，AB为半径作圆，找到格点即可，（A、B、C共线除外）；以B点为圆心，AB为半径作圆，在⊙B上的格点为C点；在AB的垂直平分线上有两个格点．故使△ABC是等腰三角形的格点C有8个． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 16．（21-22八年级上·湖北武汉·期中）如图，A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形边长都为1，以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有（   ）. A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【思路点拨】此题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键 分三种情况，当时，当时，当时，即可解答． 【规范解答】解：如图，分三种情况， 当时，以点B为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为； 当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为； 当时，作的垂直平分线，交正方形网格的格点为； 综上，满足条件的所有格点有8个， 故选：C． 17．（20-21八年级上·河南漯河·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，且使为等腰三角形，符合题意的点的个数为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【思路点拨】以O为圆心，AO长为半径画圆可得与x轴有2个交点，再以A为圆心，AO长为半径画圆可得与x轴有1个交点，然后再作AO的垂直平分线可得与x轴有1个交点． 【规范解答】解：如图所示： 点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数共4个， 故选：C． 【考点评析】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏． 18．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形： (1)在图1中，画一个以为腰的等腰（为格点）； (2)在图2中，画一个以为底的等腰（为格点）． 【答案】(1)答案见解析（答案不唯一） (2)答案见解析（答案不唯一） 【思路点拨】本题主要考查作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 【规范解答】（1）解：如图1中，即为所求（答案不唯一）； （2）解：如图2中，即为所求（答案不唯一）． 19．（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中为格点三角形，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，作出与全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与有一条公共边，且不与有重叠． 【答案】见解析 【思路点拨】根据原三角形为等腰直角三角形直接画图即可． 【规范解答】如图所示，一共5个． 【考点评析】此题考查格点三角形，解题关键是利用格线构造等腰直角三角形． 【题型05 找出图中的等腰三角形】 20．（19-20八年级上·北京大兴·期末）如图，长方形ABCD中，AB=6,BC=2,直线l是长方形ABCD的一条对称轴，且分别与AD,BC交于点E,F,若直线l上的动点P,使得△PAB和△PBC均为等腰三角形.则动点P的个数有 个.    【答案】5 【思路点拨】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分线交l于P；二是在长方形内部，在l上作点P1，使P1C=DC，AB=P1B，同理，在l上作点P2，使P2A=AB，P2D=DC；三是如图，如图，在长方形外l上作点P3，使AB=AP3，DC=P3D，同理，在长方形外l上作点P4，使BP4=AB，CP4=DC． 【规范解答】分三种情况讨论： ①如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，    ②如图，在l上作点P1，使P1C=DC，AB=P1B， 同理，在l上作点P2，使P2A=AB，P2D=DC，    ③如图，在长方形外l上作点P3，使AB=AP3，DC=P3D， 同理，在长方形外l上作点P4，使BP4=AB，CP4=DC，    故答案为：5． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定；解题中利用等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解． 21．（22-23八年级上·江苏连云港·期末）如图，在一个直角三角形中，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】对尺规作图进行分析，再利用等腰三角形的判定条件逐一进行判断即可得到答案． 【规范解答】解：A、如图1，由作法可知，，即是等腰三角形，不符合题意，选项错误； B、如图2，由作法可知，所做线段为的垂直平分线，但不能证明线段相等，无法推出等腰三角形，符合题意，选项正确； C、如图3，由作法可知，所做线段为的垂直平分线，，即是等腰三角形，不符合题意，选项错误； D、如图4，由作法可知，所做线段为的垂直平分线，，即是等腰三角形，不符合题意，选项错误， 故选B． 【考点评析】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握尺规作图的基本图形做法是解题关键． 22．（20-21八年级上·山西吕梁·期末）如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【思路点拨】根据等腰三角形的定义利用作图的方法找出符合条件的点即可． 【规范解答】解：如图所示： 以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3；以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2；以C为圆心，BC为半径画弧，交直线m于点P5与P1两点重合． 因此出现等腰三角形的点P的位置有4个． 故选：C． 【考点评析】此题考查等腰三角形的定义和判定，利用作图找等腰三角形是一种常见的方法． 23．（17-18八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，直线l1、l2相交于点A，点B是直线外一点，在直线l1 、l2上找一点C，使△ABC为一个等腰三角形．满足条件的点C有（      ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】D 【规范解答】以A为圆心，AB长为半径画弧，交l1、l2于4个点； 以B为圆心，AB长为半径画弧交l1、l2于2个点， 再作AB的垂直平分线交l1、l2于2个点， 共有8个点， 故选：D. 24．（21-22八年级上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），B（﹣3，2），点C在坐标轴上，若△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　） A．4个 B．5个 C．7个 D．8个 【答案】C 【思路点拨】由题意知A，B是定点，C是动点，所以要分情况讨论：以AC、AB为腰；以AC、BC为腰；以BC、AB为腰，满足条件的点C即为所求，分别以A,B为圆心作圆，作AB的垂直平分线,则圆与坐标轴的交点，垂直平分线与坐标轴的交点符合题意． 【规范解答】 解：如图，分别以A,B为圆心作圆，作AB的垂直平分线,则圆与坐标轴的交点，垂直平分线与坐标轴的交点符合题意，其中I,A,B三点共线，则除点I以外的7个点符合要求． 满足条件的点C个数是图中的C、D、E、F、G、H，J共计7个点． 故选：C． 【考点评析】 本题考查等腰三角形的判定与坐标与图形的性质，分类别寻找正确答案为关键． 【题型06 根据等角对等边证明等腰三角形】 25．（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）证明题：如图所示，在的边上取点D，使得，，，垂足分别为E，F，且．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】此题考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定，关键是根据证明和全等解答．根据证明和全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【规范解答】证明：，， ． 在和中， ， ， ， ． 26．（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质； （1）根据证明即可得出结论； （2）由（1）可得，因为，则，所以，又因为平分，所以，所以，则． 【规范解答】（1）在和中， ∴， ∴． （2）由（1）可得， ∵， ∴， ∴ 又∵平分， ∴， ∴ ∴． 27．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）填空：如图，在中，平分，垂足分别为且，试说明． 证明：∵平分， _____（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 在与中， ∵， （_____）， ， （_____）． 【答案】；；；；C；等角对等边 【思路点拨】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角的平分线的性质定理等知识，证明是解题的关键． 由平分，即可根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，即可证明． 【规范解答】证明：∵平分， （角平分线上的点到角两边的距离相等）． 在与中， ∵， ， ， （等角对等边）． 故答案为：；；；；C；等角对等边． 28．（21-22八年级上·福建厦门·期末）已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，，求证： (1)△ABC是等腰三角形； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）由AE//BC可得，由AE平分得，从而，故可得结论； （2）根据SAS证明即可证明AF=CE． 【规范解答】（1）∵AE//BC ∴ ∵AE平分 ∴ ∴ ∴，即△ABC是等腰三角形； （2）由（1）可得， ∵ ∴ ∴． 【考点评析】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判断与性质，能判断出等角对等边是解答本题的关键． 【题型07 根据等角对等边证明边相等】 29．（19-20八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，． (1)请用尺规作图的方法作的角平分线，交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)证明见解析． 【思路点拨】（1）根据角平分线的作法，求解即可； （2）过点D作于点E，通过证明得到，，再证明即可求证． 【规范解答】（1）解：如图所示，线段为所求， （2）证明：过点D作于点E， ∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点评析】此题考查了尺规作图－角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 30．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，是的平分线，是边的中线．若，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了含角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定．先求出，则，根据含角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定可得，，则，由是边的中线得，根据即可求解． 【规范解答】解：，， ， 是的平分线， ， ，，， ， ， 是边的中线， ， ， ， ， ， 故答案为：． 31．（18-19八年级上·浙江绍兴·期中）（1）如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断． ，，之间的等量关系________； （2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2），理由详见解析. 【思路点拨】（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证得，再根据AAS证得≌，于是，进一步即得结论； （2）延长交的延长线于点，如图②，先根据AAS证明≌，可得，再根据角平分线的定义和平行线的性质证得，进而得出结论. 【规范解答】解：（1）. 理由如下：如图①，∵是的平分线，∴ ∵，∴，∴，∴. ∵点是的中点，∴， 又∵， ∴≌（AAS），∴. ∴. 故答案为. （2）. 理由如下：如图②，延长交的延长线于点. ∵，∴， 又∵，， ∴≌（AAS），∴， ∵是的平分线，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴. 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键． 32．（14-15八年级上·江苏镇江·期中）在一次数学课上，老师在屏幕上出示了一个例题：在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，画出图形（如图），给出下列四个条件：①∠DBO=∠ECO；②∠BDO=∠CEO；③BD=CE；④OB=OC． （1）要求同学从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定△ABC是等腰三角形． 请你用序号在横线上写出所有情形．答： （2）选择第（1）题中的一种情形，说明△ABC是等腰三角形的理由，并写出解题过程． 解：我选择 ． 证明： 【答案】（1）①③，①④，②③和②④；（2）以①④为条件，理由见解析． 【规范解答】试题分析：（1）要证△ABC是等腰三角形，就要证∠ABC=∠ACB，根据已知条件即可找到证明∠ABC=∠ACB的组合；（2）以①④为条件， 由OC=OB，可得出∠OCB=∠OBC，再由∠DBO=∠ECO，就能证明∠ABC=∠ACB，即可判定△ABC是等腰三角形．． 试题解析：解：（1）①③，①④，②③和②④； （2）以①④为条件，理由： ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB． 又∵∠DBO=∠ECO， ∴∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形．                考点：等腰三角形的判定及性质． 【题型08 根据等角对等边求边长】 33．（22-23八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【思路点拨】此题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的等角对等边解答即可． 【规范解答】解：， 是等腰三角形， ， 故选：C． 34．（2024八年级·全国·竞赛）长方形纸片中，长，宽．现将长方形纸片按图1所示的方式折叠，使得与重合；再将向右折叠，使得点落在的延长线上，如图2所示，此时与相交于点．则的面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，根据折叠的性质得到进而即可求解 【规范解答】解：在图2中，， ∴的面积=， 故选B 35．（21-22八年级上·天津和平·期中）如图：E在△ABC的AC边的延长线上，AB＝AC，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，求证：BD＝CE． 【答案】见解析 【思路点拨】过D作DG∥CE，交BC于点G，证明△DGF≌△ECF，可得DG＝CE，根据平行线的性质以及等角对等边可得BD＝DG，等量代换即可证明BD＝CE． 【规范解答】证明：过D作DG∥CE，交BC于点G， 则∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB， 在△DGF和△ECF中， ， ∴△DGF≌△ECF（ASA）， ∴DG＝CE， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝∠DGB， ∴BD＝DG BD＝CE． 【考点评析】本题考查了三角形全等的性质与判定，等角对等边，正确的添加辅助线是解题的关键． 36．（18-19八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过P作PC//OA交OB于点C．若∠AOB＝30°，OC=4cm，则点P到OA的距离PD等于 cm． 【答案】2 【思路点拨】过P作PM⊥OB于M，推出PD＝PM，根据角平分线定义和平行线性质求出∠POC＝∠CPO，推出OC＝PC＝4，求出∠PCM＝30°，求出PM即可． 【规范解答】过P作PM⊥OB于M． ∵OP平分∠AOB，∠AOB＝30°，∴∠AOP＝∠BOP=15°． ∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∠PCB＝∠AOB＝30°，∴∠POC＝∠CPO，∴PC＝OC＝4． ∵∠PCM＝30°，∴PMPC＝2． ∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PM⊥OB，∴PD＝PM＝2． 故答案为2． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线定义，平行线性质等知识点的运用，关键是综合运用这些性质进行推理，题目比较好，是一道综合性比较强的题目． 【题型09 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 37．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【思路点拨】本题考查等腰三角形性质及构造等腰三角形的方法．根据等腰三角形性质，结合构造等腰三角形的方法，分三种情况：①构造中垂线；②以为圆心，长为半径作圆；③以为圆心，长为半径作圆；他们与直线或射线的交点即是点，从而得到结论 【规范解答】解：分三种情况： ①构造中垂线，、即为所求，如图所示： ②以为圆心，长为半径作圆，、即为所求，如图所示： ③以为圆心，长为半径作圆，即为所求，如图所示： 综上所述，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，符合条件的点有、、、、共5个， 故选：B． 38．（17-18八年级·湖北武汉·期中）如图，平面直角坐标系xOy中，已知定点A（1,0）和B（0,1），若动点C 在x轴上运动，则使△ABC为等腰三角形的点C有(  )． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路点拨】分为三种情况：①AB=AC，②AC=BC，③AB=BC，画出图形，即可得出答案． 【规范解答】∵A（1，0），B（0，1），∴AO=OB=1，如图： ①以A为圆心，以AB为半径作弧，交x轴于C1、C2，此时两点符合； ②当C3和O重合时，AC=BC=1，此点符合； ③以B为圆心，以AB为半径作弧，交x轴于C4，此时点符合； 共2+1+1=4个点符合． 故选C． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定及分类讨论思想．分类讨论是解答本题的关键． 39．（20-21八年级上·四川绵阳·期末）如图，直线相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路点拨】分别以点为顶点的等腰三角形有种情况，分别为，，，从这三方面考虑点的位置即可； 【规范解答】解：当时； 以点为圆心，的长为半径作圆，与直线在点两侧各有一个交点，此时点有个； 当时； 以点为圆心，的长为半径作圆，与直线有一个交点，此时点有个； 当时； 作的垂直平分线，与直线有一个交点，此时点有个； ∴满足条件的点总共有个； 故选：D． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，因此要注意分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点是解题的关键． 40．（19-20八年级上·内蒙古通辽·期中）点A的坐标是（2，2），若点P在x轴或y轴上且△APO是等腰三角形，这样的点P共有（　）个 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【思路点拨】根据等腰三角形的性质，要使△AOP是等腰三角形，可以分两种情况考虑：当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴出现2个交点；当OA是腰时，则分别以点O、点A为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴出现6个交点，这样的点P共8个． 【规范解答】如图，分两种情况进行讨论：    当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴的交点有2个； 当OA是腰时，以点O为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴有4个交点；以点A为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴出现2个交点； ∴满足条件的点P共有8个， 故选：C． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的定义，坐标与图形的性质，解题的关键是根据OA为腰或底两种情况分类讨论，运用数形结合的思想进行解决． 41．（21-22八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，连接． (1)画线段，使得线段与线段关于轴对称，写出、的坐标：　　，　　； (2)写出一个点的坐标，使成为等腰三角形，　　，　　； (3)已知点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有 　　个． 【答案】(1)见解析，；； (2)； (3)7 【思路点拨】（1）依据线段A1B1与线段AB关于y轴对称，即可得到线段A1B1，并得到A1、B1的坐标； （2）利用等腰三角形的定义，并结合轴对称的性质，找到一点C即可； （3）依据点C在坐标轴上，且△ABC是等腰△ABC，即可得出所有符合条件的C点． 【规范解答】（1）解：如图所示，线段即为所求，、； 故答案为：；； （2）解：如图所示，使成为等腰三角形，点； 故答案为：； （3）解：如图所示，分别以点A、B为圆心，AB长为半径作圆，与坐标轴相交，得到5个交点，过两圆交点画直线与坐标轴相交，得到2个交点，则点C在坐标轴上，且满足ΔABC是等腰三角形的C点有7个． 【考点评析】本题考查了作图轴对称变换，几何图形都可看作是由点组成，解题的关键是我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． 【题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】 42．（22-23八年级上·江西南昌·期中）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据题意，分三种情况：当时，当时，当时，即可解答． 【规范解答】解：如图所示： 分三种情况： ①当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，， ②当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，， ③当时，作的垂直平分线，交网格线的格点为，，，， 综上所述：使成为等腰三角形，则满足条件的点有个， 故选：B． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，分三种情况讨论是解题的关键． 43．（21-22八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，在中，，，点D在CA上，且，动点P从A点出发沿A→B→C的路线运动，运动到点C停止．在点P的运动过程中，使为等腰三角形的点P有 个． 【答案】 【思路点拨】点在上时，存在三种情况使为等腰三角，点在上时，存在一种情况使为等腰三角形． 【规范解答】解：①点在上时， 当时， ∵，， ∵， ∴， ∴, ∴； 当时，； 当时，； ②当点在上时， 存在， 综上，使为等腰三角形的点P有个， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质，注意分情况讨论是解本题的关键． 44．（18-19八年级上·北京·期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的格点(顶点)上，请在图中找一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【思路点拨】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【规范解答】当AB为腰时，分别以A. B点为顶点，以AB为半径作圆,可找出格点点C的个数有6个； 当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有2个， 使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有6个. 故选D. 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 45．（18-19八年级下·上海浦东新·期中）直线与两坐标轴交于、两点，点在坐标轴上，若为等腰三角形，则满足条件的点最多有（   ）个 A．8 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【思路点拨】运用分类讨论的数学思想，分AB为腰或底两种情况来分类解析，逐一判断，即可解决问题． 【规范解答】解：如图，对于直线y＝x−1， 当x＝0时，y＝−1； 当y＝0时，x＝1， ∴直线y＝x−1与两个坐标轴的交点分别为A（0，−1），B（1，0）； 若以点B为圆心，以AB的长为半径画弧， 则与x轴有两个交点，与y轴有一个交点（点A除外）； 若以点A为圆心，以AB的长为半径画弧， 则与x轴有一个交点（点B除外），与y轴有两个交点； ∴以AB为腰的等腰△ABC有6个； 若以AB为底，作AB的垂直平分线，与坐标轴交于原点O， 综上所述，满足条件的点C最多有7个， 故选D． 【考点评析】该题主要考查了等腰三角形的判定问题；解题的关键是运用分类讨论的数学思想，分AB为腰或底两种情况来分类解析，逐一判断；对综合分析问题解决问题的能力提出了一定的要求． 【题型11 作等腰三角形（尺规作图）】 46．（18-19八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中， （1）尺规作图：作的平分线； （2）尺规作图：作线段的垂直平分线；（不写作法，保留作图痕迹） （3）若与交于点，∠ACP=24°，求的度数. 【答案】（1）见解析；（2）见解析（3） 【思路点拨】（1）利用基本作图作l1平分∠ABC； （2）利用基本作图作l2垂直平分BC； （3）设∠ABP的度数为x，利用角平分线的定义得∠ABP=∠CBP=x，则根据线段垂直平分线的性质得BP=CP，则∠PBC=∠PCB=x，然后根据三角形内角和得到60°+2x+x+24°=180°，再解方程求出x即可． 【规范解答】（1）如图，l1为所作； （2）如图，l2为所作； （3）设∠ABP的度数为x ∵平分 ∴=x 又∵垂直平分 ∴ ∴ ∴=x 又∵ 又∵， ∴ 即 【考点评析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 47．（19-20八年级上·北京海淀·期末）如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下： （1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁． （2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E． （3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F． （4）作直线CF． 则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（） A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF 【答案】A 【思路点拨】根据作图过程和等腰三角形的定义进行分析即可. 【规范解答】由作图过程可得：CD=CD,DF=EF,CD=CK 所以，是等腰三角形的有 △CDK， △CDE，△DEF；△CDF不一定是等腰三角形. 故选：A 【考点评析】考核知识点：等腰三角形.理解等腰三角形的定义是关键. 48．（17-18八年级下·全国·课后作业）如图，已知线段、，作等腰三角形，使，且，边上的高．张红的作法是：      （1）作线段； （2）作线段的垂直平分线，与相交于点； （3）在直线上截取线段； （4）连接、，为所求的等腰三角形． 上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（    ）． A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】C 【思路点拨】在直线MN上截取线段h，说法不准确，应该是：在直线MN上截取线段DA=h． 【规范解答】解：在直线MN上截取线段h，说法不准确，应该是：在直线MN上截取线段DA=h．所以C的说法错误，符合题意. 故选：C． 【考点评析】本题考查了学生运用准确几何语言表达作图方法与步骤的能力，平时要重视数学语言的训练． 49．（17-18八年级上·福建莆田·期末）（1）操作实践：中，，，请画出一条直线把分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求画出一种分割方法即可） （2）分类探究：中，最小内角，若被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出最大内角的所有可能值； （3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明） 【答案】（1）见解析；（2）见解析，的最大内角可能值是或或或；（3）见解析． 【思路点拨】（1）第一种：将分成和；第二种：将分成和； （2）分别以作为底角和作为顶角构造等腰三角形，进一步即可计算出最大内角度数； （3）由（1）、（2）作出的几种图形得出结论即可． 【规范解答】 解：（1）如图所示，其中任意一种情况均可． （2）设分割线为，相应用的角度如图所示： 图1的最大角为：， 图2的最大角为：，， 图3的最大角为：， 图4的最大角为：， 故的最大内角可能值是或或或； （3）若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足的如下条件之一： ①该三角形是直角三角形； ②该三角形有一个角是另一个角的2倍； ③该三角形有一个角是另一个角的3倍． 【考点评析】 本题考查将三角形分割成等腰三角形，考查作图能力，熟练掌握等腰三角形的性质从而构造等腰三角形是关键． 【题型12 等边三角形的判定和性质】 50．（22-23八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)等边三角形，见解析 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得出，，，进而根据，得出，根据等角对等边即可得证； （2）根据是的垂直平分线，得出，根据等边对等角得出，进而得出，可得是等边三角形. 【规范解答】（1）证明：∵，，是边上的中线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）结论：是等边三角形． ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，，是边上的中线， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 51．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，在中，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．则下列结论：①，②为等边三角形；③；④，其中正确的结论是(　　) A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④ 【答案】A 【思路点拨】连接，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①；由三角形内角和定理可求，可得，可判断②；过点作，在上截取，由“”可证，延长至H，使，则点关于的对称点，连接，根据对称性质即可判断③；过点A作，在上截取，由三角形的面积的和差关系可判断④． 【规范解答】解：如图，连接， ∵，点是的中点， ∴，，， ∴是的中垂线， ∴，而， ∴， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴而， ∴是等边三角形，故②正确； 如图，延长至，使，则点关于的对称点为，连接， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．故③正确； 过点A作，在上截取， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．故④正确． 所以其中正确的结论是①②③④． 故选：A． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，垂直平分线的定义与性质，添加恰当辅助线是本题的关键． 52．（22-23八年级上·广西崇左·期末）如图，在中，，D是的中点，垂直平分，交于点E，交于点F，．      (1)若，求点O到的距离； (2)若，求的周长． 【答案】(1)1 (2)18 【思路点拨】本题考查等腰三角形的对称性，等边三角形的判定与性质以及利用轴对称求最短距离，解题关键是掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质． （1）由题意可知共线，则是的对称轴，由对称性即可求解； （2）由题意可知平分，可判断是等边三角形，再求解即可． 【规范解答】（1）解：是的中点， 共线， 所在直线是的对称轴， ， 点O到的距离为1， 故答案为：1； （2）是的中点，， ， 平分， ， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， 的周长为． 53．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）在中，，D为延长线上一点，点E为线段的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则______°； (2)当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足，．P为直线CF上一动点．当的值最大时，请探究表示与之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)①等边三角形，证明见解析；②，证明见解析 【思路点拨】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可； （2）①证明即可推出为等边三角形；②作点D关于直线的对称点，连接．当点P在的延长线上时，的值最大，此时，再利用全等三角形的性质证明，可得结论． 【规范解答】（1）解：∵点E为线段的垂直平分线的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：①证明：∵点E为线段的垂直平分线的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； ②． 证明：∵为等边三角形, ∴,, 如图，作点D关于直线的对称点，连接． ∴, ∴，则点P在的延长线上时，的值最大，此时． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． ∴， ∴． ∵,, ∴， ∴． 【考点评析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 54．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，为等边三角形，边长为6，P，Q分别为边上的动点，点P，点Q同时从点A出发，若P以个单位每秒的速度从点A向点B运动，点Q以2个单位每秒的速度从点A向点C运动，设运动时间为t．    (1)如图1，①当________时，P是线段的中点，此时线段与的数量关系是________． ②在点P、Q运动过程中，是否能构成等腰三角形？________； A．有可能    B．不可能    C．无法确定 (2)如图2，连接交于点M，请问当t为何值时，； (3)如图3，D为边上的中点，P，Q在运动过程中，D，P，Q三点是否能构成使的等腰三角形？若能，试求运动时间t． 【答案】(1)①2，；②B (2) (3)能， 【思路点拨】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质： （1）①先求出，再求出，则，据此可得答案；②由等边三角形的性质得到，则当是等腰三角形时，一定是等边三角形，则此时一定有，再由即可得到答案； （2）先证明，再证明，得到，据此列出方程求解即可； （3）过点D作，垂足分别为F、E，连接，由等边三角形的性质得到，证明，得到，则，再证明，得到，求出，得到，则，接着证明，据此建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：①当P是线段的中点时，， ∴, ∴此时， ∵， ∴； ②∵是等边三角形， ∴， ∴当是等腰三角形时，一定是等边三角形， ∴此时一定有， ∵点P与点Q的运动速度不相同， ∴， ∴不是等腰三角形， 故选：B； （2）解：∵为等边三角形且边长为6， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； （3）解：如图，过点D作，垂足分别为F、E，连接， ∵是等边三角形，D是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，D，P，Q三点是能构成使的等腰三角形．    【题型13 根据三线合一证明】 55．（23-24七年级上·山东青岛·期末）（1）如图，已知与交于点，，，则与的数量关系是______； （2）如图，已知的延长线与交于点，，，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【思路点拨】（）利用等腰三角形的“三线合一”性质即可求证； （2）在上截取，证明，可得出，，则可得出； 本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的的判定应性质，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键． 【规范解答】（）∵，， ∴， 故答案为：； （），理由如下： 在上截取， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 56．（18-19七年级下·河北保定·期末）如图所示，在中，，是的角平分线，，，垂足分别为E、F，①，；②；③若点为上任意一点，且，则的取值范围是；④．其中，正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD，AD⊥BC，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AD上的点到AB、AC两边的距离相等，根据垂线段最短判断PD 的取值范围，根据等边对等角的性质可得∠B=∠C，等角的余角相等即可判断． 【规范解答】在中， ∵，是的角平分线， ∴，（三线合一），①正确； ∵是的角平分线，，， ∴，②正确； ∵， ∴DF=3， ∵点为上任意一点，且， ∴，③错误； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，④正确； 即①②④正确； 故选：C． 【考点评析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质和垂线段最短的性质为解题关键． 57．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知：在中，作的平分线，在上找一点D，使得，过点D作，交直线于点E． (1)在图中，依题意补全图形； (2)用等式写出之间的数量关系，并给出证明； (3)如果把作的平分线，改为作的外角的平分线，其他条件不变，直接用等式写出之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2),证明见解析 (3) 【思路点拨】根据题意补全图形即可． （2）在上截取，从而构造，则，再利用等腰三角形的“三线合一”性质证得，再结合即可获得结论． （3）与（2）的思路类似． 【规范解答】（1）补全图形如图所示： （2），证明如下： 在上取一点F，使，连接．（如图） ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴为等腰三角形底边上的高， ∴， 由得 ∵ ∴，得 即： （3）结论：．理由如下： 在射线上取一点F，使（如图） ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵，即 ∴，即 ∴ ∴ 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质、利用等腰三角形“三线合一”证明，解题的关键是利用角平分线构造全等三角形． 58．（21-22八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等边中，，分别为，边上的点，，． (1)如图1，若点在边上，求证：； (2)如图2，连．若，求证：； (3)如图3，是的中点，点在内，，点，分别在，上，，若，直接写出的度数（用含有的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路点拨】（1）连接DF，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断△DEF是等边三角形，则DF=EF，又△ABC是等边三角形，根据三角形内角和可得出，∠AFD=∠FEC，所以△ADF≌△CFE（AAS），则AD=CF； （2）过点F作JKAC交AB于点J，交BC于点K，过点F作PIAB交AC于P，交BC于点I，连接DF，则△BJK和△CPI是等边三角形，△BDE≌△JFD≌KEF，所以DJ=BE=FK，因为ABPI，FKAC，所以四边形AJFP是平行四边形，则AJ=PF，易得△CPI为等边三角形，由∠FCB=30°可得CF平分∠PCI，则FI=FP，所以FP=AJ，FK=BE=DJ，FI=FK，所以AJ=DJ=BE，即AD=AJ+DJ=2BE； （3）延长MO到点G，使OG=OM，连接NG，BG，NM，作∠ACQ=∠ABN，且使CQ=BN，连接MQ，AQ，先得到△BOG≌△COM（SAS），再得到△ACQ≌△ABN（SAS）和△BNG≌△CQM（SAS），所以∠NAM=∠MAQ=∠CAM+∠CAQ=∠CAM+∠BAN，所以∠CAM+∠BAN=30°，则∠CAM=，所以∠BAN=30°-． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， ，， ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ， ， ， ，， ， ； （2）证明：如图，过点作交于点，交于点，过点作交于，交于点，连接， ， ， 和是等边三角形， ，， 是等边三角形， 由（1）中结论可知，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 为等边三角形，， ， 平分， 是等边三角形， ， ， ，， ，即； （3）如图，延长到点，使，连接，，，作，且使，连接，， ，， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ，，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， ． 【考点评析】本题属于三角形的综合题，涉及全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形三线合一等知识，类比思想及构造的思想进行分析，仿造（1）中的结论构造出全等三角形是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$