2.5 角平分线的性质-【提分教练】2024-2025学年八年级数学上册同步精导优化与设计方案（青岛版）

数学八年级上册 2.5角平分线的性质 N0.1课前自主预习防框理，精概桥，薄来点液 5.如图，AP平分∠BAC,PE⊥AC,PF⊥AB, 垂足分别为E、F,点O是AP上任一点（除 1.角的平分线上的点到角的两边的距离 A、P外).求证：OF=OE B 2.到角的两边的距离相等的点在 3.如图所示，PC⊥OA,PDLOB, 垂足分别为C,D. (1)如果OP平分∠AOB, 则 证明：，AP平分∠BAC,∴.OF=OE. (2)如果PC=PD,则∠ 以上证明过程是否正确？若不正确，请 改正 N02课堂现固训练基培、体方法，能力提开 知识点一 角平分线的性质 1.如图，已知在△ABC中， CD是AB边上的高线， BE平分∠ABC,交CD于 点E,BC=50,DE=14,则 △BCE的面积等于 6.如图所示，△ABC中，AD是 2.如图，在△ABC中，∠C= 角平分线，BE是△ABD的 90°，AC=BC,AD平分 中线，若△ABC的面积是 ∠CAB交BC于D,DE⊥ 16,AB=5,AC=3,求 AB于E,若AB=6cm,则 △ABE的面积 △DBE的周长是 A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 3.如图所示，在△ABC 中，AD平分∠BAC, DE⊥AB于点E, SAABC =15,DE=3, 7.如图，在△ABC中，AD为 AB=6,则AC的长为 ∠BAC的平分线，DE⊥AB A.4 B.5 于E,DF⊥AC于F,△ABC C.6 D.7 的面积是28cm,AB=16cm, 4.如图，BM是∠ABC的平 AC=12cm,求DE的长. 分线，点D是BM上一 点，点P为直线BC上的 一个动点.若△ABD的面 积为9，AB=6,则线段DP的长不可能是 ( A.2 B.3 C.4 D.5.5 国0里8g目ng0900807 第2章图形的轴对称 8.如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC,点 ND3课后提升训练器技污，接考向、冲制满分 E在BD上，连接AE,CE DF⊥AE,DG⊥CE,垂足分别是F,G.试 1.如图，要在三条交错的公路区域附近修建一 说明： 个物流公司仓库，使仓库到三条公路的距离 (1)△ABE≌△CBE: 相等，则可以选择的地址有 ( (2)DF=DG. A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是 △ABC的角平分线，若CD=4,AC=12, AB=15,则△ABC的面积为 () 知识点二角平分线的判定 9.如图所示，在R1△ABC 中，∠C=90°，以顶点A E 为圆心，适当长为半径 G A.48 B.50 画圆弧，分别交AB,ACAD C.54 D.60 于点D,E,再分别以点D,E为圆心，大于 3.如图，钝角三角形ABC的面积是15，最长 DE张为半径画圆弧，两孤交于点P,作射 边AB=10,BD平分∠ABC,点M,N分别 是BD,BC上的动点，则CM+MN的最小 线AF交边BC于点G.若CG=3,AB=10, 值为 () 则△ABG的面积是 ( A.3 B.10 C.15 D.30 10.如图所示，点D在AC上， ∠BAD=∠DBC,△BDCA A.4 B.3 的内部到∠BAD两边距离 C.2.8 D.2.5 相等的点有 个，△BDC内部到 4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DE⊥ ∠BAD的两边、∠DBC两边等距离的点 AB于E,S△c=15,DE=3,AB=6,则AC 有 个 长是 11.如图，已知BE⊥AC于E, CF⊥AB于F,BE、CF相 交于点D,若AB=AC 求证：AD平分∠BAC. A.7 B.6 C.5 D.4 5.如图，△ABC中，∠C=90°，AD 平分∠BAC,过点D作DE⊥AB 于E.若BC=18,BE=6,则 △BDE的周长是 ( A.30 B.24 C.18 D.12 书第雨重第多男。月第用至金南金￥重里 数学八年级上册 6.如图，已知射线OC上的任意一点到∠AOB 11.如图，在四边形ABCD中， 的两边的距离都相等，点D、E、F分别在 ∠A=90°，AD=3,BC=5, OC,OA、OB上，如果想证得OE=OF,只需 对角线BD平分∠ABC,则 要添加以下四个条件中的某一个即可，请写 △BCD的面积为 出所有可能的条件的序号： A.8 B.7.5 ①∠ODE=∠ODF:②∠OED=∠OFD: C.15 D.无法确定 ③ED=FD:④EF⊥OC. 12.如图，已知P点是∠AOB平分线上一点， PC⊥OA,PD⊥OB,垂足为C、D. 7.如图，在△ABC中，按 (1)求证：∠PCD=∠PDC: 以下步骤作图：①以 (2)求证：OP是线段CD的垂直平分线 点C为圆心，任意长 为半径作弧，分别交 H AC,CB于点E,F; ②分别以点E,F为圆心，大于)EF的长为 半径画弧，两弧交于点D:③作射线CD交 AB于点G:①延长CA至H,使CH=CB, 13.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平 连接HG.若AH=2,AB=5,则△AHG的 分线交于点O 周长为 (1)如图(1)，若∠A=50°，求∠BOC的 8.如图.OP平分∠AOB,∠AOP=15°，PC∥OA. 度数 PD⊥OA于点D,PC=4,则PD= (2)如图(2)，连接OA,试说明OA平 B 分∠BAC (3)如图(3)，若射线BO与∠ACB的外角 05 P 平分线交于点P,试说明OC⊥PC 9.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=20°，边 AC的垂直平分线交AC于点D,交AB于 点E,则∠BCE等于 图(1 图(2)】 图(3】 10.如图，在△ABC中，BO, CO分别平分∠ABC和 ∠ACB,OD⊥BC于D, 若△ABC的周长是20， 且OD=3,则△ABC的 B 面积为 26 重国0里eg日年0g09000因为BN=4cm, 6.解如图，过点D作DF⊥AB, 所以AB=BN+AN=4+6=10(cm). DG⊥AC,垂足分别为F,G.因 设CM=MN=xcm, 为AD是角平分线，DF⊥AB, 则BM=BC-CM=(8-x)cm. DG⊥AC,所以DF=DG.设DFB D 因为SM=号BM:AC=2AB·MN, =DG=h,因为SAAe=S△ABD十SA,所以16 所以2(8-)×6=2×10x 号AB·DF+号AC,DG,所以5h+3h=32, 解得x=3,所以CM=3cm. 解得h=4,所以SAm=号×5X4=10.因为 12.解：如图所示。 (1)方法1：设AB与CD的交点为O, BE是△ABD的中线，所以SE=2Sm=5. 根据题意可得∠A=∠OBD=45°， 7.解：AD为∠BAC的平分线， ∴.△ACO和△BDO都是等腰直角三角形， DE⊥AB,DF⊥AC, .AO=√2，BO=2√2， ..DE=DF. A,B两村的距离为 :SAr=Sm十Sam-专ABXDE+-2AC AB=AO+BO=√2+2√2=3√2(km). XDE 方法2：过点B作直线l的平行线交AC的延 长线于E, 六Sa=号AB+AC)X DE 易证四边形CDBE是矩形，∴.CE=BD=2. 在Rt△AEB中，由∠A=45°， 即号×16+12)×DE=28, 可得BE=EA=3, 故DE=2(cm). 8.解析(1)因为BD平分∠ABC,所以∠ABE .AB=√/3+3=3√2(km). =∠CBE, .A、B两村的距离为3√2km (AB=CB, (2)作法：①分别以点A,B为圖心，以大于 在△ABE与△CBE中，∠ABE=∠CBE, 合AB的长为半径作孤，两孤交于两点M,N, BE=BE, 作直线MN;②直线MN交l于，点P,点P即 所以△ABE≌△CBE(SAS). 为所求 (2)由(1)得△ABE≌△CBE, 所以∠AEB=∠CEB, 所以180°-∠AEB=180°-∠CEB, 即∠AED=∠CED, 又因为DF⊥AE,DG⊥EC,所以DF=DG 9.C10.无数1 2.5角平分线的性质 11.证明：证法一：连接BC, ,BE⊥AC于E, 课前自主预习 CF⊥AB于F, 1.相等2.角的平分线上 ∴.∠CFB=∠BEC=90°， 3.(1)PC PD (2)AOP BOP .AB=AC, 课堂巩固训练 ∴.∠ABC=∠ACB, 1.3502.A3.A4.A 在△BCF和△CBE中 5.解：不正确.AP平分∠BAC,PF⊥AB,PE⊥ I∠BFC=∠CEB AC,∴.PF=PE,接着证△APE≌△APF,得 :∠FBC=∠ECB, AE=AF,再证△AOF≌△AOE即可. BC=BC 36 ∴.△BCF≌△CBE(AAS), (2)如图，过点O作OD⊥BC,OE⊥AB, ∴.BF=CE, OF⊥AC,垂足分别为D,E,F 在△BFD和△CED中 因为∠ABC和∠ACB的平分 ∠BFD=∠CED 线交于点O,OD⊥BC,OE1 ∠FDB=∠EDC, AB,OF⊥AC,所以OD=OE, BF=CE OD=OF,所以OE=OF, ∴.△BFD≌△CED(AAS), 所以OA平分∠BAC. .DF=DE, (3)因为OC平分∠ACB,CP平分∠ACD,所 ∴.AD平分∠BAC 以∠AC0=2∠ACB,∠ACP=?∠ACD,所 证法二：先证△AFC≌△AEB,得到AE=AF, 再用(HL)证△AFD≌△AED,得到∠FAD= 以∠OCP=∠ACO+∠ACP=2∠ACB+2 ∠EAD,所以AD平分∠BAC 课后提升训练 ∠ACD= 号∠BCD=号×180°=90，所 2 1.D2.C3.B4.D5.B 以OC⊥CP. 6.①②④7.78.29.6010.30 11.B 2.6 等腰三角形 12.证明：(1)，OP是∠AOB的平分线， 且PC⊥OA,PD⊥OB, 第1课时等腰三角形的性质 ∴PC=PD, 课前自主预习 ∴.∠PCD=∠PDC: 1.有两条边相等2.相等等边对等角 (2),∠OCP=∠ODP=90°， 3.互相重合三线合一 在Rt△POC和Rt△POD中， 课堂巩固训练 PC=PD 1.32.D3.D4.B5.B6.90°7.C OP=OP 8.证明：作DB的延长线至E,使AB=BE,连 ∴.Rt△POC≌Rt△POD(HL), AE,则DE=DB+BA=CD,'AD⊥CD, ∴.OC=OD ∴△ACE为等腰三角形，.∠C=∠E, 设CD交OP于M ,△ABE为等腰三角形，，∠ABD=∠E十 在△OCM与△ODM中 ∠BAE=2∠E,∠B=2∠C (OC=OD ∠COP=∠DOP OM-OM ∴.△OCM≌△ODM(SAS) 9.三三边的垂直平分线 ∴.CM=DM 10.解：因为AB=AC,所以∠ABD=∠C, ∠CMO=∠DMO=90 又因为AD是BC边上的中线，所以AD⊥BC. ∴OP是线段CD的垂直平分线， 因为BE⊥AC于点E, 13.解(1)因为∠A=50°，所以∠ABC+∠ACB 所以∠BEC=∠ADB=90° =180°-∠A=130°.因为∠ABC和∠ACB的 所以∠C+∠CBE=∠ABD+∠BAD=90°， 平分线交于点O,所以∠OBC=2∠ABC, 所以∠CBE=∠BAD. ∠OCB=2∠ACB,所以∠OBC+∠OCB= 课后提升训练 1.A2.D3.A4.C5.C ∠ABC+2∠ACB=65,所以∠BOC=180° 6.157.ABC8.129.36°或45 10.解：已知：△ABC中，AB=AC, -(∠OBC+∠OCB)=115°. 求证：∠B=∠C: 37