2.4 线段的垂直平分线-【提分教练】2024-2025学年八年级数学上册同步精导优化与设计方案（青岛版）

第2章图形的轴对称 2.4线段的垂直平分线 N0.1课前自生预习与：理，精，格，陈关点液 5.如图，在△ABC中，边 AB的垂直平分线OM 1. 叫做 与边AC的垂直平分线 这条线段的垂直平分线，简称“中垂线” ON交于点O,这两条垂 2.在线段垂直平分线上的点，与这条线段的两 直平分线分别交BC于点D,E.已知 端点的距离 :与一条线段两端点距 △ADE的周长为15cm,连接OA,OB, 离相等的点，在 上，因此 OC,若△OBC的周长为28cm,则OA的长 线段的垂直平分线可看作是 为 cm. 的集合 6.如图所示，线段AB被直线（垂直平分，点 NO2课堂巩固训练华慕路，珠方法、能力提升 C,D是线段AB上任意两点，P是直线（上 知识点一线段的垂直平分线的性质 一点（不在线段AB上），连接PA,PB,PC, 1.如图，四边形ABCD中，AC垂 PD,那么这四条线段中相等的线 直平分BD,垂足为E,下列结 段有 论不一定成立的是 ( A.AB=AD B.CA平分∠BCD C.AB=BD D.△BEC≌△DEC 7.如图，在△ABC中，BC边 2.如图，在△ABC中，AB的 上的垂直平分线DE交边 垂直平分线交AB于点D, BC于点D,交边AB于点 B D 交BC于点E,连接AE.若 E.若△EDC的周长为24， BC=7,AC=6,则△ACE △ABC与四边形AEDC的周长之差为12， 的周长为 则线段DE的长为 8.如图，在△ABC中，点E是BC边上的一 A.8 B.11 点，连接AE,BD垂直平分AE,垂足为F, C.13 D.15 BD交AC于点D,连接DE, 3.如图，在△ABC中，AC (1)若△ABC的周长为18，△DEC的周长 4cm,线段AB的垂直平 为6，求AB的长 分线交AC于点N,若 (2)若∠ABC=30°，∠C=45°，求∠CDE的 △BCN的周长是7cm, 度数. 则BC的长为 () A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 4.如图，AD⊥BC,BD =DC,点C在线段 AE的垂直平分线 上，则AB,AC,CE 的长度关系为 A.AB>AC=CE B.AB=AC>CE C.AB>AC>CE D.AB=AC=CE 21 数学八年级上册 知识点二线段的垂直平分线的判定 2.锐角三角形ABC内有一点P,满足PA= 9.如图，AC=AD,BC=BD, PB=PC,则点P是△ABC 则有 A.三条角平分线的交点 A.AB垂直平分CD B.三条中线的交点 B.CD垂直平分AB C.三条高的交点 C.AB与CD互相垂直 D.三边垂直平分线的交点 平分 3.如图所示，以C为圆心，大于 D.以上都不正确 点C到AB距离的长为半径 10.到线段AB两个端点距离相等的点， 作弧，交AB于点D,E,再分 在 11.如图所示，∠BAC=∠ABD,AC=BD,点 别以D,E为圆心，大于DE O是AD,BC的交点，点E是AB的中点 的长为半径作弧，两弧交于点F,作射线 试判断OE和AB的位置关系，并给出 CF,则 证明. A.CF平分∠ACBB.CF⊥AB C.CF平分AB D.CF垂直平分AB 4.如图，已知线段AB,分别以点A和点B为 圆心，大于2AB的长为半径作弧，两弧相交 于C,D两点，作直线CD交AB于点E,在 直线CD上任取一点F,连接FA,FB.若 FA=5,则FB= N03课后提升训练体技巧，发考肉、冲粉请分 5.如图，∠AOB=50°，点P为∠AOB内一点， 点M,N分别在OA,OB上，当△PMN的 1.如图，直线1表示一条河，A,B是两个新农 周长最小时，∠MPN的度数是 () 村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵 站，由水泵站直接向A,B两地供水.现有如 下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的 供水管道，则铺设管道最短的方案是( A.50° B.65 4。 C.80° D.130° 6.如图，△ABC中，AC=8,BC=5,AB的垂 直平分线DE交AB于点D,交边AC于点 E,则△BCE的周长为 22 1品 第2章图形的轴对称 7.如图，已知在R△ABC中， 11.在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm,BC=8cm. ∠C=90°，AC=18.分别以 (1)如图(1)，边AB的垂直平分线分别交 A,B为圆心，大于2AB长 AB,BC于点E,D,连接AD,求△ACD的 周长 为半径作弧，过弧的交点 (2)如图(2)，将直角边AC沿AM折叠，使 M,N作直线，分别交AB,AC于点D,E.若EC 点C恰好落在斜边AB上的点N处，且 =5,则BE的长为 BN=4cm,求CM的长. 8.如图，在菱形ABCD中，AB =4,线段AD的垂直平分 线交AC于点N,△CND 的周长是10，则AC的长为 图1 图2 9.在下图的正方形网格中找到一点O,使它到A、 B、C三点的距离相等.（注意保留作图痕迹） B 图1 图2 图3 12.如图所示，A,B是公路1(1为东西走向)两 10.如图，△ABC的周长为 旁的两个村庄，A村到公路！的距离AC 30cm,∠BAC=125°， 1km,B村到公路1的距离BD=2km, AB+AC=18cm,AB、 B村在A村的南偏东45°方向上. AC的垂直平分线分别 必 交BC于点E、F,与AB、AC分别交于点 D、G. 求：(1)△AEF的周长； (2)∠EAF的度数. (1)求A,B两村之间的距离： (2)为方便村民出行，计划在公路边新建一 个公共汽车站P,要求该站到两村的距离 相等，请用尺规在图中作出点P的位置 (保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法) 23 重单。行目g￥6.③：4 ∠BAC=105°，所以∠ADE=360°-∠ABC- 7.4 ∠BAC-∠BED=120°，所以∠CDE=180° 8.解：如图所示，△AB,C即为△ABC关于y轴对 ∠ADE=180°-120°=60°. 称的图形； 9.A 10.线段AB的垂直平分线上 11.解：OE⊥AB证明如下：在△BAC和 ! △ABD中， AC=BD,∠BAC=∠ABD,AB=BA, ∴.△BAC≌△ABD, ∴.∠OBA=∠OAB, .OA=OB.又AE=BE,.OE⊥AB. 则B1的坐标是(3,3) 课后提升训练 9.解：(1)如图所示：△AB,C1,即为所求： 1.D2.D3.B (2)如图所示：△A2BC2,即为所求， 4.55.C6.137.B8.6 9.解析如图，点O即为所作. 图1 图2 点A(-3,-1),B2(0,-2),C2(-2,-4). 2.4线段的垂直平分线 课前自主预习 1.经过线段中点并且垂直这条线段的直线 图3 2.相等这条线段的垂直平分线到线段两端点 10.解析：(1)'DE、FG分别垂直平分AB、AC, 距离相等的所有点 ..EA=EB.FA=FC. 课堂巩固训练 ,△ABC的周长为30cm,AB+AC=18cm 1.C2.C3.C4.D5.6.56.PA-PB ∴.△AEF的周长=AE+AF+EF=BE+EF 7.6 +FC=BC=30-18=12(cm). 8.解(1)因为BD是线段AE的垂直平分线，所 (2).EA=EB,FA=FC, 以AB=BE,AD=DE ∴.∠EBA=∠EAB,∠FAC=∠FCA. 因为△ABC的周长为18，△DEC的周长为6， 设∠EBA=∠EAB=a,∠FAC=∠FCA=B, 所以AB+BE+EC+CD+AD=18,CD+EC ,∠BAC=125°， +DE=CD+CE+AD=6, .a+B=55°， 所以AB十BE=18一6=12，所以AB=6. ∴.∠BAE+∠FAC=55°， (2)因为∠ABC=30°，∠C=45°， .∠EAF=125°-55°=70. 所以∠BAC=180°-30°-45°=105. 11.解(1)因为DE垂直平分AB,所以BD= BA=BE, AD.所以△ACD的周长为AC+CD+AD= 在△BAD和△BED中BD=BD, AC+CD+BD=AC+BC=6+8=14(cm). DA-DE. (2)由折叠可得MN=CM,∠MNA=∠C 所以△BAD2△BED(SSS),所以∠BED= 90°，AN=AC=6cm. 35 因为BN=4cm, 6.解如图，过点D作DF⊥AB, 所以AB=BN+AN=4+6=10(cm). DG⊥AC,垂足分别为F,G.因 设CM=MN=xcm, 为AD是角平分线，DF⊥AB, 则BM=BC-CM=(8-x)cm. DG⊥AC,所以DF=DG.设DFB D 因为SM=号BM:AC=2AB·MN, =DG=h,因为SAAe=S△ABD十SA,所以16 所以2(8-)×6=2×10x 号AB·DF+号AC,DG,所以5h+3h=32, 解得x=3,所以CM=3cm. 解得h=4,所以SAm=号×5X4=10.因为 12.解：如图所示。 (1)方法1：设AB与CD的交点为O, BE是△ABD的中线，所以SE=2Sm=5. 根据题意可得∠A=∠OBD=45°， 7.解：AD为∠BAC的平分线， ∴.△ACO和△BDO都是等腰直角三角形， DE⊥AB,DF⊥AC, .AO=√2，BO=2√2， ..DE=DF. A,B两村的距离为 :SAr=Sm十Sam-专ABXDE+-2AC AB=AO+BO=√2+2√2=3√2(km). XDE 方法2：过点B作直线l的平行线交AC的延 长线于E, 六Sa=号AB+AC)X DE 易证四边形CDBE是矩形，∴.CE=BD=2. 在Rt△AEB中，由∠A=45°， 即号×16+12)×DE=28, 可得BE=EA=3, 故DE=2(cm). 8.解析(1)因为BD平分∠ABC,所以∠ABE .AB=√/3+3=3√2(km). =∠CBE, .A、B两村的距离为3√2km (AB=CB, (2)作法：①分别以点A,B为圖心，以大于 在△ABE与△CBE中，∠ABE=∠CBE, 合AB的长为半径作孤，两孤交于两点M,N, BE=BE, 作直线MN;②直线MN交l于，点P,点P即 所以△ABE≌△CBE(SAS). 为所求 (2)由(1)得△ABE≌△CBE, 所以∠AEB=∠CEB, 所以180°-∠AEB=180°-∠CEB, 即∠AED=∠CED, 又因为DF⊥AE,DG⊥EC,所以DF=DG 9.C10.无数1 2.5角平分线的性质 11.证明：证法一：连接BC, ,BE⊥AC于E, 课前自主预习 CF⊥AB于F, 1.相等2.角的平分线上 ∴.∠CFB=∠BEC=90°， 3.(1)PC PD (2)AOP BOP .AB=AC, 课堂巩固训练 ∴.∠ABC=∠ACB, 1.3502.A3.A4.A 在△BCF和△CBE中 5.解：不正确.AP平分∠BAC,PF⊥AB,PE⊥ I∠BFC=∠CEB AC,∴.PF=PE,接着证△APE≌△APF,得 :∠FBC=∠ECB, AE=AF,再证△AOF≌△AOE即可. BC=BC 36