专题2.2 线段的垂直平分线和角平分线的性质（考题猜想，易错，好题必刷52题9种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（青岛版）

专题2.2 线段的垂直平分线和角平分线的性质 （易错、好题必刷52题9种题型专项训练） 目录 【题型01 线段垂直平分线的性质】 1 【题型02 线段垂直平分线的判定】 3 【题型03 作已知线段的垂直平分线】 5 【题型04 作垂线（尺规作图）】 7 【题型05 角平分线性质定理及证明】 10 【题型06 角平分线的性质定理】 13 【题型07 角平分线的判定定理】 15 【题型08 角平分线性质的实际应用】 17 【题型09 作角平分线（尺规作图）】 19 【题型01 线段垂直平分线的性质】 1．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，的垂直平分线与边分别交于点D，E，已知与的周长分别为和，则的长为 ．    2．（22-23七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，分别以A，B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线交于点D，交于点E，若，则的长度为（    ） A．9 B．6 C．3 D．12 3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 4．（22-23八年级上·福建莆田·期中）如图，，点C在的垂直平分线上． (1) 有什么关系？请你说明理由． (2)若，求的面积． 5．（2024·山东济宁·三模）如图，在中，是钝角． (1)用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线，分别交于点D，E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连结， ①若，则的周长为__________； ②若，求的度数． 【题型02 线段垂直平分线的判定】 6．（22-23八年级上·广西梧州·期末）如图，，则有（　　）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 7．（23-24八年级上·江苏·周测）如图，已知，点P为的平分线上一点，，，垂足分别为E、F (1)求证∶ (2)若，求证：点P在的垂直平分线上． 8．（21-22八年级上·吉林四平·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，与相交于点，的周长为．请你解答下列问题： (1)求的长； (2)试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 9．（21-22八年级上·湖南永州·期中）如图，在中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为线段CE的中点，，．求证：． 【题型03 作已知线段的垂直平分线】 10．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接，若的周长为24，，则的周长为 ． 11．（20-21八年级上·河北唐山·阶段练习）如图所示，在四边形ABCD中，，AC=1，，直线MN为线段AD的垂直平分线，P为MN上的一个动点，则PC+PD的最小值为（    ） A．1 B． C． D．3 12．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 13．（21-22八年级下·陕西宝鸡·期末）某地兴建的幸福小区的三个出口、、的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（    ）    A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三个角的平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 14．（2020·海南·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交边于点，连接，则的周长为 ． 15．（19-20八年级上·湖北恩施·期中）如图，在△ABC 中，AD 是高，DE 是 AC 的垂直平分线，AE=4cm，△ABD 的周长为 15cm， 则△ABC 的周长为 16．（20-21八年级上·陕西渭南·期中）如图所示，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M，N分别是位于公路两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，汽车到村庄M，N的距离相等．（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【题型04 作垂线（尺规作图）】 17．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，已知线段．按下列步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点．观察图形，请写出图中线段之间的一个等量关系 ． 18．（23-24九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若的周长为15，，则的长为 ． 19．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，点D是线段上一点，阅读以下作图步骤： （1）以点D为圆心，长为半径作弧，交于点M； （2）分别以B，M为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点N，作射线； （3）以D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接； （4）连接，分别以E，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于F，连接． 根据以上作图步骤，判断下列结论不一定正确的是 ． ①；②；③； ④的周长等于线段的长． 20．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于为半径作弧，两弧分别交于点M，N，过点M，N作直线交于点P，连接．若的周长比的周长大，则的周长为 ． 21．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）如图，已知，请你用尺规作图法作出边的垂直平分线，分别交，于点，．（保留作图痕迹，不写作法） 22．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，点A在直线l外，点B在直线l上，连接，用尺规在直线l上作点C，使，保留作图痕迹，并简单说明的理由． 23．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知，两点在直线的同一侧，根据题意，用尺规作图．    (1)在（图①）直线上找出一点，使； (2)在（图②）直线上找出一点，使的值最小； (3)在（图③）直线上找出一点，使的值最大． 【题型05 角平分线性质定理及证明】 24．（18-19八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF,以下结论： ①AD∥BC；②∠BDC＝∠BAC；③∠ADC＝90°－∠ABD； ④BD平分∠ADC; 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．（11-12八年级上·河南周口·期中）如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（       ）．    A． B． C． D． 26．（18-19八年级上·福建龙岩·期末）如图，∠MON＝30°，OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON于点Q．若OQ＝4，则点P到OM的距离为（　　）    A．2 B． C．3 D． 27．（21-22八年级下·江西景德镇·期中）图，在平面直角坐标系中，已知DA⊥x轴于点A，CB⊥x轴于点B，∠COD＝90°，CO平分∠BCD，CD交y轴于点E． (1)求证：DO平分∠ADC． (2)若点A的坐标是，求点B的坐标． 28．（20-21七年级下·福建莆田·阶段练习）如图，，点E在直线AB，CD内部，且． （1）如图1，连接AC，若AE平分，求证：平分； （2）如图2，点M在线段AE上， ①若，当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由； ②若（为正整数），当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由． 29．（20-21八年级下·全国·课后作业）如图，分别是中的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？ 【题型06 角平分线的性质定理】 30．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知的周长是，点为与的平分线的交点，且于点，若，则的面积是（ ） A． B． C． D． 31．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，为的外角平分线上一点并且在的垂直平分线上，过作于，交的延长线于，则下列结论：；；；．其中正确的结论是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 32．（23-24八年级上·四川德阳·期末）如图，在的边，上取点，，连接，平分，平分，若，的面积是，的面积是，则的周长是 ． 33．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积等于 ． 34．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．求证：平分． 35．（20-21八年级上·湖南·阶段练习）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．    （1）证明：BM=CN； （2）当∠BAC=70°时，求∠DCB的度数． 【题型07 角平分线的判定定理】 36．（2024·江苏南通·二模）如图，点P是内一射线上一点，点M、N分别是边、上的点，连接，且，． 求证：是的平分线． 小星的解答如下： 证明：在和中， ∵，，， ∴……第一步 ∴……第二步 ∴是的平分线．……第三步 (1)小星的解答从第 步开始出现错误； (2)请写出你认为正确的证明过程． 37．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在和中，，，，连接，相交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 38．（22-23八年级下·广东深圳·期末）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P．小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形的三条角平分线交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 39．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则 ． 40．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，．请用尺规作图在边上找一点D，使点D到直线的距离等于．（要求：保留作图痕迹，不写作法）． 41．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，中的外角平分线于的外角平分线相交于点，求证：点在的角平分线上． 【题型08 角平分线性质的实际应用】 42．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有 处．    43．（19-20八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE平分∠ACB，AD交CE于点F，已知△AFC的面积为5，FD＝2，则AC长是（　　） A．2.5 B．4 C．5 D．6 44．（20-21八年级上·四川成都·开学考试）如图，AD是ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DM，ADM和AED的面积分别为58和40，则EDF的面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 45．（20-21八年级·全国·假期作业）如图，点为的平分线上一点，过任作一直线分别与的两边交于，两点，为中点，过作的垂线交于点，，则 ． 46．（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，两条公路，形成区域，区域内有两个农贸市场，，现想在区域内建一个货物中转站，使不仅到两条公路距离相等，且到两个农贸市场距离也相等，请在图中求作点的位置．（要求用尺规作图，保留作图痕迹） 47．（17-18八年级上·湖北武汉·期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC交BC于点G，DE⊥AB于点E，DF⊥AC的延长线于点F． （1）说明BE=CF的理由． （2）如果AB=m，AC=n，求AE，BE的长．（用m、n表示结果） 【题型09 作角平分线（尺规作图）】 48．（22-23八年级上·辽宁大连·期末）如图，，是的外角． (1)尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（）的条件下，判断射线与线段的位置关系并证明． 49．（23-24七年级下·山东泰安·期末）如图，已知中，，尺规作图如下：分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，连接两弧交点的直线交于点，连接：以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点，为半径，以大于长为半径作弧，两弧交于点，连接，延长交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 50．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，在中，，按以下步骤作图：①以顶点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M、N；②分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；③作射线，交边于点D，若的面积为4，则的面积为 ． 51．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，铁路和铁路交于O处，河道与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路，的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． 52．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，中，． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作的角平分线，交于点H； ②作边的垂直平分线，垂足为点D，交于点O； (2)连接，，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 线段的垂直平分线和角平分线的性质 （易错、好题必刷52题9种题型专项训练） 目录 【题型01 线段垂直平分线的性质】 1 【题型02 线段垂直平分线的判定】 6 【题型03 作已知线段的垂直平分线】 10 【题型04 作垂线（尺规作图）】 15 【题型05 角平分线性质定理及证明】 20 【题型06 角平分线的性质定理】 28 【题型07 角平分线的判定定理】 35 【题型08 角平分线性质的实际应用】 40 【题型09 作角平分线（尺规作图）】 46 【题型01 线段垂直平分线的性质】 1．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，的垂直平分线与边分别交于点D，E，已知与的周长分别为和，则的长为 ．    【答案】4 【思路点拨】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可得到结论． 【规范解答】解：是的垂直平分线， ，， 的周长是， ，即， 的周长是， ， ， ． 故答案为：4 2．（22-23七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，分别以A，B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线交于点D，交于点E，若，则的长度为（    ） A．9 B．6 C．3 D．12 【答案】A 【思路点拨】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，再计算出，则利用含30度角的三角形三边的关系得到，所以，然后计算即可． 【规范解答】解：由作法得垂直平分， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故选：A． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 【答案】(1)见解析； (2)． 【思路点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案． 【规范解答】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 4．（22-23八年级上·福建莆田·期中）如图，，点C在的垂直平分线上． (1) 有什么关系？请你说明理由． (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2)10 【思路点拨】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答此题的关键． （1）根据垂直平分线的性质即可求解； （2）利用三角形面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：， ∵， ∴； 又∵点C在的垂直平分线上， ∴， ∴； （2）由（1）可知 ∵， ∴， ∵ ∴． 5．（2024·山东济宁·三模）如图，在中，是钝角． (1)用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线，分别交于点D，E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连结， ①若，则的周长为__________； ②若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①10；②． 【思路点拨】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质． （1）利用基本作图，分别作和的垂直平分线即可； （2）①根据线段垂直平分线的性质得到，，然后利用等线段代换得到的周长； ②先根据线段垂直平分线的性质得到，，则，，再利用三角形外角性质得到，，然后利用三角形内角和得到，则可计算出，接着可计算出的度数． 【规范解答】（1）如图， （2）①，的垂直平分线，分别交于点、， ，， 的周长； 故答案为：10； ②，的垂直平分线，分别交于点、， ，， ，， ，， ， ， ， ． 【题型02 线段垂直平分线的判定】 6．（22-23八年级上·广西梧州·期末）如图，，则有（　　）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 【答案】A 【思路点拨】此题考查全等三角形的判定和性质，根据证明，根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【规范解答】解：∵，    ∴， 在与中， ， ， ， ∴垂直平分，故A正确， 无法得出，故不能垂直平分，故B和C错误， 也无法得出，故不能平分，故D错误， 故选：A． 7．（23-24八年级上·江苏·周测）如图，已知，点P为的平分线上一点，，，垂足分别为E、F (1)求证∶ (2)若，求证：点P在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）通过证明，即可求证； （2）连接、，通过证明，得到，即可求证． 【规范解答】（1）证明：∵点P为的平分线上一点 ∴ ∵， ∴ 在和中 ∴ ∴ （2）证明：连接、，如下图： 由（1）可得： 又∵， ∴ ∴ ∴点P在的垂直平分线上 【考点评析】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质． 8．（21-22八年级上·吉林四平·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，与相交于点，的周长为．请你解答下列问题： (1)求的长； (2)试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【思路点拨】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论． 【规范解答】（1）垂直平分， ， 同理， ； （2）点在边的垂直平分线上， 理由：连接，，， 与是，的垂直平分线， ，， ， 点在边的垂直平分线上． 【考点评析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 9．（21-22八年级上·湖南永州·期中）如图，在中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为线段CE的中点，，．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】首先证明AD是线段EC的垂直平分线，即可得出AE=AC，根据AB的垂直平分线EF，即可得出AE=BE,即可证明． 【规范解答】证明：连接AE， ∵，， ∴， ∴． ∵点D为线段CE的中点， ∴， ∴AD垂直平分线段CE， ∴， ∵EF垂直平分AB， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质是解决问题的关键． 【题型03 作已知线段的垂直平分线】 10．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接，若的周长为24，，则的周长为 ． 【答案】15 【思路点拨】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则．由题意可得，，则的周长为求解． 【规范解答】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴． ∵的周长为24，， ∴． ∴的周长为． 故答案为：15． 11．（20-21八年级上·河北唐山·阶段练习）如图所示，在四边形ABCD中，，AC=1，，直线MN为线段AD的垂直平分线，P为MN上的一个动点，则PC+PD的最小值为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【思路点拨】要求PC+PD的值最小，当PC、PD在一条这线上值最小，根据垂直平分线定理可以把PD转化为PA，可得知A、P、C在一条直线上值最小，即最小值为AC的长． 【规范解答】连接PA， ∵直线MN为线段AD的垂直平分线， ∴， ∴， 当P在AC上时，最小，即最小， ∴最小值为1， 故选：A． 【考点评析】本题主要考查的是垂直平分线定理的运用，以及动点问题，熟练掌握垂直平分线的性质以及四边形动点问题的转化是解决本题的关键． 12．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据即，只需作线段的垂直平分线即可． 本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，即，只需作线段的垂直平分线即可． 故选B． 13．（21-22八年级下·陕西宝鸡·期末）某地兴建的幸福小区的三个出口、、的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（    ）    A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三个角的平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【思路点拨】根据线段的垂直平分线的性质解答即可． 【规范解答】解：电动车充电桩到三个出口的距离都相等， 充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处， 故选：D． 【考点评析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质的应用，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 14．（2020·海南·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交边于点，连接，则的周长为 ． 【答案】 【思路点拨】由题意可得MN为AB的垂直平分线，所以AD=BD，进一步可以求出的周长. 【规范解答】∵在中，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，交BC边于D，连接AD； ∴MN为AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∴的周长为：AD+DC+AC=BC+AC=13； 故答案为13. 【考点评析】本题主要考查的是垂直平分线的运用，掌握定义及相关方法即可. 15．（19-20八年级上·湖北恩施·期中）如图，在△ABC 中，AD 是高，DE 是 AC 的垂直平分线，AE=4cm，△ABD 的周长为 15cm， 则△ABC 的周长为 【答案】23cm． 【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质得到AC=2AE=8，DA=DC，根据三角形的周长公式计算即可． 【规范解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AC=2AE=8，DA=DC， ∵△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=15， ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=15+8=23cm， 故答案是：23cm． 【考点评析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 16．（20-21八年级上·陕西渭南·期中）如图所示，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M，N分别是位于公路两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，汽车到村庄M，N的距离相等．（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【思路点拨】连接，作线段的垂直平分线交公路于点C，则点C即为所求． 【规范解答】解：如图所示，点C即为汽车到村庄M，N距离相等的位置． 【考点评析】本题主要考查了线段垂直平分线的实际应用，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【题型04 作垂线（尺规作图）】 17．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，已知线段．按下列步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点．观察图形，请写出图中线段之间的一个等量关系 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查垂直平分线的尺规作图，根据作图的方法得垂直平分，即可得到答案． 【规范解答】解：由作法得垂直平分， ∴， 故答案为：． 18．（23-24九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若的周长为15，，则的长为 ． 【答案】8 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换，根据的周长为15可计算出的长． 【规范解答】解：由作法得垂直平分， ∴， ∵的周长为15， ∴， ∴， 即， 解得． 故答案为：8． 19．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，点D是线段上一点，阅读以下作图步骤： （1）以点D为圆心，长为半径作弧，交于点M； （2）分别以B，M为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点N，作射线； （3）以D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接； （4）连接，分别以E，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于F，连接． 根据以上作图步骤，判断下列结论不一定正确的是 ． ①；②；③； ④的周长等于线段的长． 【答案】①②③④ 【思路点拨】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息． 利用线段的垂直平分线的性质，直角三角形的判定方法一一判断即可． 【规范解答】解：由作图可知垂直平分线段， ，故①正确， 由作图可知垂直平分线段， ，故②正确， 由作图可知， ，故③正确， ，， ∴的周长，故④正确． 故答案为：①②③④． 20．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于为半径作弧，两弧分别交于点M，N，过点M，N作直线交于点P，连接．若的周长比的周长大，则的周长为 ． 【答案】8 【思路点拨】本题考查了尺规作图-作垂直平分线，根据作图可得，根据的周长比的周长大，求得，再根据周长公式计算即可得到答案． 【规范解答】解：由作图可知是线段的垂直平分线， ， ， 的周长为， ， 的周长为， 的周长比的周长大， ， ， 的周长为， 故答案为：8． 21．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）如图，已知，请你用尺规作图法作出边的垂直平分线，分别交，于点，．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】详见解析 【思路点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可． 【规范解答】解：如图，直线即为所求作． 22．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，点A在直线l外，点B在直线l上，连接，用尺规在直线l上作点C，使，保留作图痕迹，并简单说明的理由． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查尺规作图−线段垂直平分线，以点A为圆心，为半径作弧，交直线l于点D，再分别以点B、D为圆心，为半径作弧，两弧分别相交于点A、E，连接交直线l于点C，即可求解． 【规范解答】解：如图，点C即为所求，理由如下： 以点A为圆心，为半径作弧，交直线l于点D，再分别以点B、D为圆心，为半径作弧，两弧分别相交于点A、E，连接交直线l于点C， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，即． 23．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知，两点在直线的同一侧，根据题意，用尺规作图．    (1)在（图①）直线上找出一点，使； (2)在（图②）直线上找出一点，使的值最小； (3)在（图③）直线上找出一点，使的值最大． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】（1）连接，作线段的垂直平分线，交直线于点，则点即为所求； （2）作点关于直线的对称点，连接，线段与直线交于点，则点即为所求．（也可作关于直线的对称点） （3）过点，作直线与直线交于点，则点即为所求． 【规范解答】（1）如图①，点P即为所求    此时； （2）如图②，点P即为所求    此时的值最小； （3）如图③，点P即为所求    此时最大． 【考点评析】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，解题的关键是正确画出图形． 【题型05 角平分线性质定理及证明】 24．（18-19八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF,以下结论： ①AD∥BC；②∠BDC＝∠BAC；③∠ADC＝90°－∠ABD； ④BD平分∠ADC; 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【规范解答】解：∵AD平分∠EAC， ∴∠EAC=2∠EAD， ∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB， ∴∠EAD=∠ABC， ∴AD∥BC， ∴①正确； ∵∠ACF=2∠DCF，∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠ABC=2∠DBC，∠DCF=∠DBC+∠BDC， ∴∠BAC=2∠BDC， ∠BDC＝∠BAC, ∴②正确； 在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°， ∵CD平分△ABC的外角∠ACF， ∴∠ACD=∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB ∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD， ∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°， ∴∠ADC+∠ABD=90° ∴∠ADC=90°-∠ABD， 故③正确； ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°-∠ABC， ∴∠ADB不等于∠CDB， ∴④不正确； 即正确的有3个， 故选C． 【考点评析】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定的难度． 25．（11-12八年级上·河南周口·期中）如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（       ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】过点分别作，，的垂线，可得，从而可证，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，，    由角平分线的性质定理得：， 的三边，，长分别是20，30，40， ． 故选：C． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握定理是解题的关键． 26．（18-19八年级上·福建龙岩·期末）如图，∠MON＝30°，OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON于点Q．若OQ＝4，则点P到OM的距离为（　　）    A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【思路点拨】通过作辅助线PF⊥OM，PE⊥ON，PF即为所求，根据角平分线性质，有PF=PE,由已知条件得.在中，2PE=PQ=OQ，从而得出答案. 【规范解答】解：过P作PF⊥OM，PE⊥ON， ∵OP平分∠MON， ∴PE＝PF，∠1＝∠2， ∵PQ∥OM， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3＝15°， ∴OQ＝PQ，∠4＝30°， ∴PQ＝2PE＝4 ∵OQ＝4， ∴PE＝PF＝2． 故选：A．    【考点评析】本题是一道综合了角平分线定理，平行线性质，直角三角形性质等多个知识点的题目，理解点到直线的距离，合理作出辅助线是解题的关键. 27．（21-22八年级下·江西景德镇·期中）图，在平面直角坐标系中，已知DA⊥x轴于点A，CB⊥x轴于点B，∠COD＝90°，CO平分∠BCD，CD交y轴于点E． (1)求证：DO平分∠ADC． (2)若点A的坐标是，求点B的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）由可得，由可得，再结合平分，即可证明平分． （2）作于，利用角平分线的性质可得，由此可得的坐标． 【规范解答】（1）证明：轴，轴， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分． （2）：作于， ，． 平分，，， ． 平分，，， ， ． 【考点评析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质定理，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解决本题的关键． 28．（20-21七年级下·福建莆田·阶段练习）如图，，点E在直线AB，CD内部，且． （1）如图1，连接AC，若AE平分，求证：平分； （2）如图2，点M在线段AE上， ①若，当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由； ②若（为正整数），当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①∠BAE+∠MCD=90°，理由见解析；②∠BAE+∠MCD=90°，理由见解析. 【思路点拨】（1）根据平行的性质可得∠BAC+∠DCA=180°，再根据可得∠EAC+∠ECA=90°，根据AE平分∠BAC可得∠BAE=∠EAC,等量代换可得∠ECD+∠EAC=90°，继而求得∠DCE=∠ECA； （2）①过E作EF∥AB，先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案； ②过E作EF∥AB，先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案. 【规范解答】（1）解：因为， 所以∠BAC+∠DCA=180°， 因为， 所以∠EAC+∠ECA=90°， 因为AE平分∠BAC， 所以∠BAE=∠EAC， 所以∠BAE+∠DCE=90°， 所以∠EAC+∠DCE=90°， 所以∠DCE=∠ECA， 所以CE平分∠ACD； （2）①∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+∠MCD=90°， 理由如下： 过E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴EF∥AB∥CD， ∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE， ∵∠E=90°， ∴∠BAE+∠ECD=90°， ∵∠MCE=∠ECD， ∴∠BAE+∠MCD=90°； ②∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+∠MCD=90°， 理由如下： 过E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴EF∥AB∥CD， ∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE， ∵∠E=90°， ∴∠BAE+∠ECD=90°， ∵∠MCE=∠ECD， ∴∠BAE+∠MCD=90°. 【考点评析】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，解决本题的关键是要添加辅助线利用平行性质. 29．（20-21八年级下·全国·课后作业）如图，分别是中的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？ 【答案】 【思路点拨】 根据角平分线的定义和邻补角的定义可得，从而得到． 【规范解答】 解：，理由如下： ∵、分别是中的内角平分线和外角平分线， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴． 【考点评析】本题考查了三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线，也考查了邻补角的定义以及垂直的定义． 【题型06 角平分线的性质定理】 30．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知的周长是，点为与的平分线的交点，且于点，若，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于E，于F，连接，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【规范解答】解：作于E，于F，连接， ∵O为与的平分线的交点，， ∴， ∴的面积的面积的面积的面积 ， 故选：B． 31．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，为的外角平分线上一点并且在的垂直平分线上，过作于，交的延长线于，则下列结论：；；；．其中正确的结论是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【规范解答】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出；根据全等三角形对应角相等可得，利用三角形内角和定理可得；利用三角形的外角性质得到． 【思路点拨】解：∵平分，，， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， 在和中， ， ∴，故正确； ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，故正确； 在中，，故错误； 综上，正确，共个． 故选：． 【考点评析】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键． 32．（23-24八年级上·四川德阳·期末）如图，在的边，上取点，，连接，平分，平分，若，的面积是，的面积是，则的周长是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质，过作与， 于，于，连接，利用角平分线的性质和三角形的面积可得，根据的面积的面积的面积的面积，进行计算即可求出，进而得到的周长，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：过作与， 于，于，连接， ∵平分， 平分， ∴，， ∴， ∵，的面积， ∴， ∴， ∵的面积，的面积， ∴的面积的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 33．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积等于 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，解题关键是恰当作出辅助线求得三角形的高． 过点作于，由角平分线的性质得到，所以根据三角形的面积公式作答即可． 【规范解答】解：如图，过点作于， 是边上的高， ． 平分，， ． ， ． 故答案为：6． 34．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．求证：平分． 【答案】证明见解析． 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的判定定理即可得出结论，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【规范解答】证明：如图，过点作于点，于点，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即为的平分线． 又∵，， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴点在的平分线上， ∴平分． 35．（20-21八年级上·湖南·阶段练习）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．    （1）证明：BM=CN； （2）当∠BAC=70°时，求∠DCB的度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠DCB=35° 【思路点拨】（1）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到DM=DN，DB=DC，根据HL证明Rt△DMB≌Rt△DNC，即可得出BM=CN； （2）由HL证明Rt△DMA≌Rt△DNA，得出∠ADM=∠ADN=55°，由于∠BDM=∠CDN，因此∠BDC=110°，因此∠EDC=55°，根据两角互余的关系即可求得∠DCB的度数． 【规范解答】（1）证明：连接BD、CD，如图所示： ∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC， ∴DM=DN，    ∵DE垂直平分线BC， ∴DB=DC， 在Rt△DMB和Rt△DNC中， ∴Rt△DMB≌Rt△DNC(HL)， ∴BM=CN； （2）由（1）得：∠BDM=∠CDN， ∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC， ∴DM=DN， 在Rt△DMA和Rt△DNA中， ∴Rt△DMA≌Rt△DNA(HL)， ∴∠ADM=∠ADN ∵∠BAC=70° ∴∠MDN=110°，∠ADM=∠ADN=55°， ∵∠BDM=∠CDN ∴∠BDC=∠MDN=110° ∵AD是BC的垂直平分线 ∴∠EDC=55° ∴∠DCB=90°-∠EDC=35° ∴∠DCB=35° 故答案为∠DCB=35°． 【考点评析】考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟悉角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 【题型07 角平分线的判定定理】 36．（2024·江苏南通·二模）如图，点P是内一射线上一点，点M、N分别是边、上的点，连接，且，． 求证：是的平分线． 小星的解答如下： 证明：在和中， ∵，，， ∴……第一步 ∴……第二步 ∴是的平分线．……第三步 (1)小星的解答从第 步开始出现错误； (2)请写出你认为正确的证明过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 过点P作，于点D，E，根据证明，即可得到，然后根据角平分线的判定定理即可得到结论． 【规范解答】（1）小星的解答从第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）证明：过点P作，于点D，E， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是的平分线． 37．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在和中，，，，连接，相交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】本题考查了三角形全等的判定及性质．利用手拉手模型证明，可得①②正确，根据全等推导出是的平分线可得④正确；利用反证法证明③不成立即可． 【规范解答】解：设、相交于点，过点作，垂足为，作，垂足为，   ， ，即， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，故②正确； ， ， ，， 平分， ， ， ，故④正确； 假设③正确，则一定有，又，则会有， ，， ，则，假设不成立，③错误． 综上，①②④正确； 故选：C． 38．（22-23八年级下·广东深圳·期末）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P．小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形的三条角平分线交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 【答案】A 【思路点拨】此题考查了角平分线的判定定理，在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，据此解答即可． 【规范解答】解：由题意可知，点P到射线的距离是直尺的宽度，点P到射线的距离也是直尺的宽度， ∴点P到射线，的距离相等， ∴点P在的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）． 故选：A． 39．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质和角平分线的定义，解题的关键是能正确作出辅助线，证明平分； 过点E作，根据角平分线的性质可得，则有，再根据，即可得出平分即可解答． 【规范解答】解：过点E作，如图所示： 三角形的外角和的平分线交于点E， ， ， ， 平分， ， 故答案为：． 40．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，．请用尺规作图在边上找一点D，使点D到直线的距离等于．（要求：保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查尺规作角平分线，角平分线的性质， 作的平分线交于，根据角平分线的性质得点到的距离等于． 【规范解答】解：如图，作的平分线交于， ∵，即， ∵平分 ∴点到的距离等于， ∴点即为所作． 41．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，中的外角平分线于的外角平分线相交于点，求证：点在的角平分线上． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等和到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等和到角的两边的距离相等的点在角的平分线上解答即可． 【规范解答】证明：作于，于，于， 的外角平分线与的外角平分线相交于点， ，， ，又，， 点在的角平分线上． 【题型08 角平分线性质的实际应用】 42．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有 处．    【答案】三 【思路点拨】此题考查了三角形角平分线的性质，分别作外角的角平分线，交点分别为，即为所求的点，解题的关键是熟练掌握三角形角平分线的性质及其应用． 【规范解答】解：如图所示，，即为所求的点，    故答案为：三． 43．（19-20八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE平分∠ACB，AD交CE于点F，已知△AFC的面积为5，FD＝2，则AC长是（　　） A．2.5 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【思路点拨】根据已知作FH⊥AC，先求出FH，再利用面积法，便可求出AC. 【规范解答】解：过F作FH⊥AC， ∵AD⊥BC，CE平分∠ACB， ∴FH＝DF， ∵FD＝2， ∴FH＝2， ∵△AFC的面积为5， ∴AC•FH＝×2×AC＝5， ∴AC＝5， 故选：C． 【考点评析】考查了角平分线性质和用面积法求三角形的低，也属于常考题目，希望重点掌握. 44．（20-21八年级上·四川成都·开学考试）如图，AD是ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DM，ADM和AED的面积分别为58和40，则EDF的面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】C 【思路点拨】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF＝DH，再利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DMH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△DEF＝S△DMH，然后列式求解即可． 【规范解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC， ∴DF＝DH， 在Rt△DEF和Rt△DMH中，DF＝DH，DE＝DM， ∴Rt△DEF≌Rt△DMH（HL）， ∴S△DEF＝S△DMH， ∵△ADM和△AED的面积分别为58和40， ∴△EDF的面积＝×（58﹣40）＝9． 故选：C． 【考点评析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 45．（20-21八年级·全国·假期作业）如图，点为的平分线上一点，过任作一直线分别与的两边交于，两点，为中点，过作的垂线交于点，，则 ． 【答案】． 【思路点拨】过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据线段垂直平分线性质求出BD＝CD，证Rt△DEB≌Rt△DFC，求出∠EDB＝∠CDF，推出∠BDC＝∠EDF＝50°，由四边形内角和定理即可得出答案． 【规范解答】解：如图： 过作于，于， 则， 平分， ， 为中点，， ， 在和中，， ， ， ．， ； 故答案为：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确作出辅助线，证明三角形全等是解此题的关键． 46．（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，两条公路，形成区域，区域内有两个农贸市场，，现想在区域内建一个货物中转站，使不仅到两条公路距离相等，且到两个农贸市场距离也相等，请在图中求作点的位置．（要求用尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【思路点拨】作平分，作垂直平分线段，交于点M，点M即为所求． 【规范解答】解：如图，点即为所求． 【考点评析】本题考查了作图—应用与设计作图，角平分线的性质，线段垂直平分线，正确的理解题意并作出图形是解决本题的关键． 47．（17-18八年级上·湖北武汉·期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC交BC于点G，DE⊥AB于点E，DF⊥AC的延长线于点F． （1）说明BE=CF的理由． （2）如果AB=m，AC=n，求AE，BE的长．（用m、n表示结果） 【答案】（1）见解析；（2）AE =， 【思路点拨】（1）连接DB、DC，先由角平分线的性质就可以得出DE=DF，再由垂直平分线性质得到DB=DC，然后证明△DBE≌△DCF就可以得出结论； （2）先证明AE=AF，进而列出等式m-BE=n+CF，即可求解． 【规范解答】解：（1）如图，连接BD，CD   ∵AD是∠BAC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE=DF ∵DG⊥BC且平分BC ∴DG是BC的垂直平分线 ∴DB=DC 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴Rt△BDE≌ Rt△CDF（HL） ∴BE=CF （2）在Rt△ADE和Rt△ADF中 ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）   ∴AE=AF 又∵BE=CF ∴m-BE=n+BE   ∴2BE=m-n   ∴ ∴AE=AB-BE= 【考点评析】本题考查了角平分线的性质定理、线段的垂直平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键熟练掌握相关性质解决问题． 【题型09 作角平分线（尺规作图）】 48．（22-23八年级上·辽宁大连·期末）如图，，是的外角． (1)尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（）的条件下，判断射线与线段的位置关系并证明． 【答案】(1)作图见解析； (2)射线与线段平行，证明见解析． 【思路点拨】（）根据角平分线的作法作的平分线即可； （）根据角平分线的定义和平行线的判定方法即可求解； 本题考查了基本作图——角平分线，平行线的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图， ∴射线即为所求； （2）射线与线段平行， 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∵， 即， ∴， ∴． 49．（23-24七年级下·山东泰安·期末）如图，已知中，，尺规作图如下：分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，连接两弧交点的直线交于点，连接：以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点，为半径，以大于长为半径作弧，两弧交于点，连接，延长交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了对“线段垂直平分线”与“角平分线”的作法理解，解题的关键是知晓作法的过程． 由作法过程可知垂直平分线段，由对称性可得出；再由作法过程知平分，于是得出，故的度数可求． 【规范解答】解：根据作图过程可知，是线段的垂直平分线， ∴点A与点C关于直线对称，则， ∵，且由作图过程知平分， ∴， ∴． 故选：A． 50．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，在中，，按以下步骤作图：①以顶点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M、N；②分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；③作射线，交边于点D，若的面积为4，则的面积为 ． 【答案】16 【思路点拨】本题考查角平分线性质．根据题意过点作交延长线于点，，利用角平分线性质可求出，继而求出本题答案． 【规范解答】解：过点作交延长线于点，于Ｆ，    ∵是的平分线， ∴， ∵的面积为4， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：16． 51．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，铁路和铁路交于O处，河道与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路，的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质，角平分线的作法；根据题意作的平分线交于点，点即为水厂的位置． 【规范解答】解：如图所示，作的平分线交于点，点即为水厂的位置． 52．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，中，． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作的角平分线，交于点H； ②作边的垂直平分线，垂足为点D，交于点O； (2)连接，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质． （1）利用尺规作图作出角平分线，线段垂直平分线即可； （2）证明，得到，再根据线段垂直平分线的性质得到，即可证明． 【规范解答】（1）解：所作图形如图所示： ； （2）证明：由作图知，又，， ∴， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$